Comments 105
Сколько токенов на это всё потратили?
Ну тут скорее дело не в токенах, а в книгах по истории математики.
Там, правда, больше перекос в историю, чем в математику, у меня наоборот.
Лучше уж перекос в историю, чем в нейрослоп.
Так тут нет нейрослопа совсем. Нейронка только картинки рисует.
Здесь реализован новый подход к объяснению темы комплексных чисел.
Мне кажется, тут слишком много текста для объяснения простой идеи, что i само по себе это не число, а умножение на i это операция поворота на 90 градусов.
Одно другого не отменяет. А всё потому, что 
. И, да, конечно, умножение комплексных чисел эквивалентно повороту на соответствующий угол.
Ну просто если цель объяснить комплексные числа, то для понимания этого достаточно. Нам этого не говорили ни в школе, ни в университете, а так было бы гораздо понятнее для многих.
i = (0, 1) это некорректная запись, она показывает только точку на плоскости и не показывает связь с поворотом. Точка (0, 1) это уже результат поворота, иначе мы рассматриваем просто двумерную плоскость с независимыми осями.
Не было бы понятнее. "Число это поворот" - с такой формулировкой согласиться либо тот кто уже относительно в теме либо просто примет на веру без понимания. Ну с таким же успехом он примет любое другое объяснение.
Какой поворот, где поворот, мы вроде тут вчера яблоки складывали, потом вычитали и получали долги а тут какие-то повороты и числа которые нельзя сравнивать между собой. Что вообще происходит?
Тут два выхода либо "заткнись и считай" либо переехать катком алгебры абсолютно все наивные представления о числах.
Число это не поворот. Число это число, поворот это поворот. Поворот это операция, такая же как сложение и умножение. i само по себе это не число, а операция. Соответствующую точку на плоскости можно обозначать (0, 1) или 1i. Сложение, умножение и применение i соответствуют аффинным преобразованиям плоскости сдвиг, масштабирование и поворот.
Очевидно что не такая же. Ни одна из этих операций(+,*) не позволяет выйти за рамки алгебраической структуры.
А вот "поворот" внезапно превращает число 3 в вектор 3i. Более того возникают вопросы - это мы "поворачиваем" число 3 или это мы масштабируем вектор i?
А мы и не выходим за рамки. Умножение в поле действительных чисел корректно определено и не выводит за их рамки. А умножение на i есть умножение в поле комплексных чисел, и тоже не выводит за их рамки. Ничего необычного.
Именно так, умножение есть умножение.
Но обратите внимание на всю ветку выше. Там утверждается что i это не число и вводится операция поворта числа.
Многие части обсуждения, как мне кажется, страдают от отсутствия точных определений, отсюда и возникает «чудо» и «магия» (более типичные для философии, нежели для точных наук).
Нету понятия «число», есть «действительное число» и «комплексное число». В рамках действительных чисел, i просто нет, т. к. квадрат действительного числа не может быть отрицательным. В рамках комплексных чисел i — это обычное число.
«Поворот чисел» возникает в рамках геометрической интерпретации комплексных чисел, ну окей, прикольный факт, полезен для привлечения геометрической интуиции.
Так надо рассматривать не алгебраическую структуру, а геометрическую плоскость. 2 измерения это плоскость. Рассматривать только алгебру можно, но тогда это и будет "заткнись и считай, просто правила такие", не будет понятно, почему они такие.
"поворот" внезапно превращает число 3 в вектор 3i
Если вы рассматривали поворот точки относительно начала координат, то и после поворота будет точка. Если вектор из нуля, то и после поворота будет вектор из нуля.
Более того возникают вопросы - это мы масштабируем вектор i?
Вот как раз если считать, что i это операция, а не число, то таких вопросов не возникает. Нельзя сказать "мы масштабируем вектор умножения", так и тут. i применяется к обычным действительным числам.
Так надо рассматривать не алгебраическую структуру, а геометрическую плоскость. 2 измерения это плоскость.
Так если вы оперируете 2 измерениями то у вас уже вектора а не числа, в смысле как точки на числовой прямой. Ну или хотя бы называйте их тогда комплексными числами. На них определены свои операции умножения и сложения и i выступает абсолютно рядовым участником а не операцией.
Вот как раз если считать, что i это операция, а не число, то таких вопросов не возникает. Нельзя сказать "мы масштабируем вектор умножения", так и тут. i применяется к обычным действительным числам.
Как вы будете возводить операцию в квадрат? Что такое e в степени операции? И еще миллион вопросов.
если вы оперируете 2 измерениями то у вас уже вектора а не числа
Нет, если вы рассматривали точки на числовой прямой, то в двух измерениях вы будете рассматривать точки на числовой плоскости. Точки сами по себе не превращаются в вектора, вектор это направленный отрезок из одной точки в другую. На одномерной числовой прямой вектора тоже есть.
Вообще лучше рассматривать комплексную плоскость как полярные координаты, а не как декартовы. Тут нет отдельной "мнимой" оси и отрицательных чисел. Отрицательные числа это лишь частный случай поворота на произвольный угол i^x, где x = 2, и направление тут идет от нуля в сторону -∞.
и i выступает абсолютно рядовым участником а не операцией
Вот именно об этом я и говорю. Если так считать, то будет непонятно, почему i^2 = -1. i это не число, рядовым участником можно считать точку 1i.
Как вы будете возводить операцию в квадрат?
Вот именно что никак. В квадрат возводится исходная единица, которую вы решили упростить. И даже так говорить некорректно, она не возводится в квадрат (вернее, не только возводится), а поворачивается. i^2 это 1ii. Даже умножение тут ставить неправильно. Это и есть то, что вызывает непонимание у многих, что и показывает этот диалог. i это не число, и умножать на него нельзя, так же как нельзя умножать на сложение. Причем это бинарная операция, i^1/3 это поворот на 30 градусов.
Замените i на вот такой знак "⟲", тогда будет понятнее.
1i^2 = 1ii = 1⟲2 = -1
Что такое e в степени операции?
Ничего, это бессмысленное высказывание. Поэтому я и говорю, что надо учитывать, что перед i есть коэффициент 1.
e^i = e^1i = e^(1⟲1). Берем число 1 (точку на комплексной плоскости), поворачиваем на 90 градусов относительно 0, получаем другое число, берем число e, с ними проводим операцию "возведение в степень". Не упрощайте единицу, тогда будет понятнее.
i применяется к обычным действительным числам.
Т.е., надо писать не 3i, а i(3)? Что возварщает эта функция? А так i(i) тоже можно?
Там смысл в том, что переосмысляем сначала обычные числа геометрически. Умножение на положительное число тогда дает растяжение-сжатие, на минус единицу центральное отражение. Тогда мнимая единица дает поворот.
Тут как геометрическая алгебра в 
, только не на векторной плоскости, а на числовой. Если же рассматривать двумерную геометрическую алгебру, то комплексная числовая плоскость изображает четную подалгебру в Cl(2,0,0).
В
аналогичная четная подалгебра — дает кватернионы.
Прикол еще в том, Cl(2,0,0) изоморфна алгебре всех вещественных матриц 2 на 2, а Cl(3,0,0) — всех комплексных матриц 2 на 2. Я вообще за то, чтобы популяризировать теорию всех комплексных матриц 2 на 2, как минимум. Там очень много геометрического смысла, и эффективных методов вычислений (например, от любых таких матриц легко считать любые аналитические функции, если знать как, а вот в более сложных случаях уже нет, грубо можно сказать комплексные матрицы 2 на 2 являются объектом максимальной сложности, на котором аналитические функции определены максимально просто — для всех объектов проще есть простые явные формулы для них, а для всех объектов сложнее их уже нет).
i - элемент множества комплексных чисел. То есть вполне себе число. А вот умножение на число i - уже можно интерпретировать как поворот. Как и умножение на любое другое число, вещественное или комплексное.
Нет, элемент множества комплексных чисел можно записать как 1i. А само по себе i правильнее считать операцией. Так сразу понятно, почему применение i два раза дает -1 - потому что мы применяем поворот к обычной единице.
В этом как раз и возникает путаница. Потому что обычно считается, что i это число, и мы на него умножаем.
Во второй части будет про геометрию. И там гораздо больше геометрического смысла, на самом деле, чем поворот.
умножение на i это операция поворота на 90 градусов.
Я просто оставлю это здесь
Текст и код усеяны юникодом, который для меня в большинстве случаев признак нейрообработки (и мне кажется не только для меня). Готов поверить, что вы это делаете сами -- в этом случае снимаю шляпу! Если же это всё-таки обработка LLM, то ... просто напишите что и где используете, люди поймут. Мне вот тоже иногда нейрослоп приписывают, думаю перестать тратить время на ручную замену "--" -> "—"
В данном случае нейронка была нужна для создания единой структуры и множества иллюстраций. К форматированию кавычек и тире я привык давно.
Скормил нейронке кучу книжек, вписал много чего, что нужно сделать, получил от нее версию плана, потом редактировал и добавлял тем еще, так через несколько итераций получил и продумал весь план целиком, ушло несколько часов на него (но тут важно то, что идеи такого цикла были уже давным давно. а весь материал мне известен, иначе бы так быстро не получилось). У меня есть детальный разбор каждого пункта плана, там можно все остальные 6 статей хоть сейчас мгновенно сгенерировать, но качество будет не то. Буду писать как эту первую часть все остальные. К тому же нейронка некоторые темы всё же пропускает, и не совсем то что нужно пишет.
К билдам — научился от нейронки сам недавно, выделения помогают чтению.
В тексте есть куски исторические, они просто выборочно переписаны с исторических книг, цитаты и формулы скопированы из них же.
А остальное — по сути есть в иллюстрациях этих, так что тут текст от нейронки не нужен был совсем. Вот даже это хваленого бота запускал, ничего не находит.
В статье по теории групп я сначала сделал текст от нейронки, потом переписал сам, бот что-то находил всё равно в небольших количествах, хотя это я просто вручную переписал с сохранением смысла своими словами. А тут писал текст сам полностью, признаков ИИ нет совсем.
Видимо, генерировать текст множеством промптов, а потом переписывать, идея не очень. Куда лучше генерировать структуру множеством промптов, чтобы нейронка сложила все нужные идеи в промптах, а также материал из пособий и статей в единую структуру, а потом заполнять самому эту структуру.
Для иллюстраций, кстати. Обнаружил, что вместо того, чтобы мучать Gemini, лучше работает связка Дипсик + чатГПТ. Т.е. черновую версию иллюстрации кодом на Питоне делает Дипсик, он это быстро генерирует (Gemini ждать дольше), а потом закидываем в чатГПТ и тот за 2-3 итерации (иногда даже сразу за одну) иллюстрацию доделывает, у него это получается лучше, чем у Gemini.
думаю перестать тратить время на ручную замену "--" -> "—"
Вы её ещё и заменяете? А я вот не выйоживаюсь, а просто печатаю Alt+0151.
(Кстати, ™ — Alt+0153)
Некоторые элементы такого подхода можно найти в исторических книгах, но там, к сожалению, не ставят цели объяснить именно математику, там про ученых.
Для таких материалов абсолютно неважно откуда их получил автор. Это очень редкий и очень нужный тип работы. И выполнить его неимея в распоряжении нейросеть очень сложно. Я пробовал.
Современное описание комплексных чисел напоминает художественную летопись где реальная история порождает целый букет причудливо пересекающихся абстракций, отчасти принятых традиционно, но уже не достаточных. Это существенно мешает пониманию. Названия и пояснениядолжны образовывать целостный смысл.
Да и с нейронками сложно. Тут скорее речь о том, что довольно много разных знаний про комплексные числа накопилось уже, порылся ещё дополнительно в книгах и статьях, а нейронка позволяет это структурировать в единое повествование. А текст тут они не писали.
Кстати говоря, про связь комплексных чисел с группами и алгебрами Ли, про формулу Эйлера в любой ассоциативной алгебре нейронки вообще не вспоминают, если только напрямую им об этом не написать. Видимо, этого относительно мало в их обучающей выборке.
Я недавно буквально тем же но для для себя занимался. Закрывал детские гештальты). Пришел к интереснейшему выводу, для себя. О том что человечество переходит к осознанным описательным конструкциям в терминах состояний и переходов между ними.
Точнее - наш язык изначально оперирует состояниями, операторами и переходами из одного в другое. Он по сути таков. А разные подъязыки упрощают все это до формы, грубо говоря - современного учебника. Чисто из каких-то прикладных целей.
Начиная с комплексных чисел началась история затягивания этой сложной конструкции с состояниями - в науку, и замена ею чистых абстракций. Окончившаяся, на сегодня по крайней мере, судя по всему, гилбертовым пространством и тд. Интереснейшая и красивейшая тема, при этом многослойная.
Суток двое переписывался с ИИ и копался в других источниках. При том что сам ни разу не математик. Прост ради более целостной картины мира. Просто чудо что про это еще и пишут. Уверен что у 90 процентов выпускников стиль подачи материала в ВУЗах не оставляет и тени вопросов, котоыре могли бы привести к такому тексту.
Робофобская гидра пожирает сама себя, луддиты уже нападают на людей в тщетных попытках сдетектить ИИ. Продолжайте дискредитировать биошовинистов, ИИшникам это только на руку.
Тут еще фактически ввожу новую концепцию «отчужденного знания». По аналогии с Марксом.
Во второй части будет разобрано как раз подробно.
Сейчас пошло обсуждений этой статьи в соцсетях. Оказалось, многие не знают о том, что при возведении в мнимую степень происходит «обмен ролями»: модуль исходного числа влияет на угол поворота результата, аргумент исходного числа влияет на модуль результата. И много других геометрических вещей не знают, важных для понимания. Как раз вторая часть про это.
Тут еще фактически ввожу новую концепцию «отчужденного знания». По аналогии с Марксом.
В математике каждый термин несёт в себе какую-то собственную пользу. Отсылки к марксизму в виде утверждений, которые ниоткуда не следуют, и ни чего не объясняют, выглядят в этой статье как инородное тело. Да и сам он появился явно позже, описываемых здесь событий. Видно, что вам близка эта тема, но было бы лучше вынести в отдельную статью, чтобы можно было проследить всю логику.
Здесь весь план статей на цикл построен на основе определенной философии. Историческое развитие понимания комплексных чисел, совпадающее с описанными 7 стадиями. У Яновской похожее было сделано в объяснении понятия множества.
А в конце - на основе продемонстрированного подхода общая философия понимания.
Ну конечно, 7 стадий это что-то само собой разумеющееся. Поэтому не нужно ни чего объяснять, достаточно просто их перечислить. В 2025 же все изучают Маркса со школьной скамьи, в отличие от комплексных чисел.
Если серьёзно, аналогия с миром финансов заинтриговала. Однако в реальности для денежных расчётов не используют комплексные числа. Ну то есть будь у такой философии хоть какой-то практический смысл, мы бы видели эту математику на практике. Уж кто, а бизнес вряд-ли упустил конкурентное преимущество в оценке ценностей, будь оно здесь. Но это просто догадки, вероятно я не понял эту часть статьи.
Видимо, стоит вообще в начале второй статьи раскрыть, а не в конце цикла, там логичнее, да и смыкается такой переход с концом этой статьи логично. Суть в том, что мнимая единица прошла такой исторический путь:
Артефакт вычислений.
Формальный символ одной операции.
Случайный, но полезный инструмент.
Систематический используемый с оформленными правилами работы, но непонятный
Геометрически осмысленный объект, полностью понятный.
Ядро собственной теории.
Часть всеобщего языка науки.
Это и соответствует этим 7 этапам.
В этой статье я раскрыл первые 4:
Кардано.
Бомбелли (и еще Декарт, кстати, можно было его тоже упомянуть).
Эйлер, Безу, Муавр и т.п.
Даламбер и прочие ученые в конце 18-го века. Там как раз та самая "революционная ситуация" - правила уже сложились, а понимания нет.
Пятый и шестой этап - это 19-й век, а седьмой этап - уже 20-й скорее (теория групп и алгебр Ли, применения в квантовой механике и тому подобное).
Считается, что вообще эту семичленку придумала Яновская, а не сам Маркс, но она на конкретных примерах есть у Маркса (деньги, товар, натуральное число, дифференциал). Просто Маркс не писал ее в виде явного списка нигде, кроме оглавления "Капитала".
У Яновской в статьях по философии математики есть анализ, почему это именно так устроено. Она была ученицей Колмогорова и тем самым человеком, который математические рукописи Маркса первым разобрал, перевел, оцифровал.
можете дополнить своё повествование о числах кватернионами. Тем более, что они как бы продолжение идеи мнимых чисел
Читаю первую же фразу:
«Квадратного корня из минус единицы не существует» — эта фраза, сказанная на уроке, становится ментальным барьером. Она возводит преграду «дальше не думай», за которой остаётся самое важное — вопросы «почему», «как» и «а что если».
Извините, а что у вас за школа была? У нас в школе объяснили очень просто: квадрат положительного числа положительный, квадрат отрицательного числа положительный (минус на минус), квадрат нуля равен нулю. То есть квадрат любого числа не может быть отрицательным. Объяснение занимает 1 минуту и всем понятно.
Как видите, никакой опереточной «преграды».
квадрат положительного числа положительный, квадрат отрицательного числа положительный (минус на минус), квадрат нуля равен нулю. То есть квадрат любого числа не может быть отрицательным.
...более того, На Самом Деле™ 
(то есть корня вообще-то два).
По определению, корень - неотрицательное число. Не нужно путать с корнями уравнения `x*x - a*a = 0`
Это зависит от определения. В школе определяли как «число, которое надо возвести в указанную степень, чтобы получилось подкоренное выражение».
Это вы про какую-то "неправильную школу" говорите. Если принять ваше определение, то нельзя сказать верно или неверно такое неравенство
Да, но это ничего не меняет. Отрицательное число можно возводить в квадрат и получать положительное (про это как раз ваш пример). Но какое число не возводи в квадрат, отрицательное не получится, даже с многозначной функцией корня.
Нам в школе объясняли, что вводить i через квадратный корень - не корректно. Комплексные числа вводились как пары чисел с определенными свойствами, из которых следовало i^2 = -1 Это корректная записать без использования квадратного корня.
Квадратный корень - это буквально решение такого уравнения. Так что от формы записи ничего не меняется.
Нам в школе объясняли, что вводить i через квадратный корень - не корректно.
Да. И совершенно правильно говорили. Строго говоря, надо спросить: который из? Потому как в области комплексных чисел корни из единицы распределены на окружности, то есть — их некоторое множество. А ещё есть аргумент комплексного числа. Опять же: который из?
А дальше возникает идея и понятие римановой поверхности и римановой (многолистной) функции. Жалко, что такие красивые вещи не изучаются прямо в школе, когда мозги ещё быстры и податливы. Можно было бы потом заняться наукой и получать глубокие результаты.
Не корректно, потому что √-1 = i и √-1 = -i, так как √ это многозначная операция.
То есть значение i для математики похоже на значение бога для верующих? Типа, какая разница существует ли он где-то или нет, все равно через него можно описывать и разрешать что-то новое?
Комплексные числа это как переход на новый инструментальный уровень. Теперь у вас есть число на плоскости, пространство, вектора, и даже матрицы можно приплести. Ничего сверхъестественного, просто эволюция математического аппарата.
какая разница существует ли он где-то или нет, все равно через него можно описывать и разрешать что-то новое?
Так с любыми математическими понятиями. Комплексные числа тут абсолютно никак не выделяются.
Так с любыми математическими понятиями
Это только сейчас так. Раньше было иначе.
Комплексные числа тут абсолютно никак не выделяются
Выделяются. В самом названии "мнимые числа" уже указано их отличие от натуральных и действительных.
В те времена философия была такая, что числа "отражают" Природу. То есть числа не "придумывают", а "открывают".
Это касалось не только чисел, но и геометрии. Геометрия должна "отражать" Природу, поэтому Лобачевского и травили, а сам он мерил углы в актовом зале своего Универа в надежде, что его геометрия верна(!) на больших растояниях.
Да, но какая разница, что там было или не было раньше? Если копаться во всей этой заплесневелой истории - времени на современные вещи не останется. Лучше сразу прививать себе взгляд на вещи, который позволит изучать математику наиболее продуктивно. И попытки вытащить глубокий "философский" смысл из названий типа "мнимые", "действительные" и т.д. - только отдаляет от понимания сути вещей.
Людей часто травмируют комплексные числа, но почему-то никогда не травмирует число 2.
Хотя оно такое же абстрактное.
На плоскости комплексные числа вполне себе упорядочиваются. В действительных числах корня из отрицательных чисел действительно не существует. Комплексное число называется "комплексное", потому что мы оперируем парой чисел как единым целым. Мнимая единица - это просто символ, позволяющий оперировать парой чисел как единым целым алгебраически. Оперировать комплексными числами можно и в матричном виде, но это не так удобно. Элементарные функции комплексного переменного определены везде и выводятся через их разложение в степенной ряд.
Факты just for fun:
(простое число)
(значение косинуса больше единицы)
Хорошо написано, но нет времени все читать. Маленькие добавки:
Вопрос о физическом смысле мнимой единицы у тех, кто ею пользуется, никогда не возникает. А вот для отрицательных числе хорошо бы придумать объяснение, в физике же (время, расстояние, масса, температура) их нет.
Для широкого практического применения (цифровой обработки сигналов) студентами и инженерами хорошо бы придумать физическое (не математическое) объяснение периодичности цифрового спектра и того факта, что можно взять любую инверсную копию спектра (в том числе, из минус бесконечности) и восстановить по ней реальный физический сигнал.
в физике же (время, расстояние, масса, температура) их нет.
Координаты векторов. Знаки электрических зарядов.
Всё зависит от точки зрения - векторы всегда положительные, только расположены в разных местах и смотрят в разные стороны. А ярлык "отрицательный" - проявление субъективизма человека. Можно же было назвать разные заряды красными и синими... Мужчины и женщины тоже притягиваются, кто из них отрицательный?
Можно было. Поэтому названия ни на что не влияют. Можно называть "красный" и "синий", можно называть как угодно, хоть табуреткой. Главное, корректно ввести операции на этих объектах. В этом и суть математики: в соответствующих структурах, а не в названиях.
векторы всегда положительные
Что значит "положительный вектор"? Это что-то новенькое.
... не забыв сообщить заинтересованному читателю о необходимости иметь достаточную частоту дискретизации (теорема Котельникова!). Ну и, конечно, восстановить можно не всякий сигнал, а только сигнал с ограниченным спектром (опять же: теорема Котельникова и частота Найквиста!)
Вопрос о физическом смысле мнимой единицы у тех, кто ею пользуется, никогда не возникает. А вот для отрицательных числе хорошо бы придумать объяснение, в физике же (время, расстояние, масса, температура) их нет.
Я пользуюсь мнимыми числами (цепи переменного тока, ТАУ), но физический смысл их так и не уложил в голове. Объяснил себе, что это просто удобная математическая абстракция для отражения некоторых явлений и вычислений. Также как и матрицы в линейной алгебре. А в чём проблема с отрицательными числами не понятно. Координаты, скорости, ускорения. Угловые и линейные. Если поворот вправо на 5 градусов это +5, то поворот влево на 5 градусов это -5, что тут объяснять?
в физике же (время, расстояние, масса, температура) их нет
Отрицательная температура (в каком-то смысле ниже абс нуля) – вполне себе устоявшаяся концепция для термодинамики неравновесных систем. https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_temperature
Рабочее тело лазера в момент накачки вполне можно как пример такой системы рассматривать.
Тут главный вопрос «что считать временем, массой и температурой», а не «бывает или нет».
Можно считать всё, что угодно, главное - договориться считать одинаково. А если объяснять что-либо постороннему, полезнее исходить из его понимания.
договориться считать одинаково
Так не получится же. Масса – как синоним веса – работает при невысоких скоростях на макрообъектах, но чуть в микромир или в быстрое перемещение, начинается чёрте что. Температура может быть мерой «тёплости», статистикой скорости, статистикой спектрального распределения, статистикой распределения по уровням энергии частиц и тд.
Про расстояние и время даже начинать не хочется.
Если исходить из понимания… Легко сказать. «Понимание» – уже не про реальный мир, шире чем просто ощущения. Понимание – про интерпретацию ощущений, а поди угадай какое оно у конкретного человека. Людям и отрицательные числа, и комплексные заходят – но заодно и астрология, и тонкие тела, и вообще всё что хотите. Безотносительно оно бывает или нет.
Поскольку 
, а значит
...куда исчез X?.. и в первом выражении и во втором (уравнении).
Автор ещё не дошёл до формулы Муавра. (Либо я что-то пропустил...) Операции над комплексными числами позволяют получить явные формулы для тригонометрических функций составных углов. Тут ещё имеется прямая связь с задачами на построения при помощи циркуля и линейки.
x^3+xa=b. Вы говорите про замену х=b-a а потом откуда взялось это здоровенный уравнение, если мы сделали замену, то иксы вообще уйти должны были. Ниче непонятно, вас не только кандидаты математических наук читают, ну почему всегда так!
Статья из серии "Сложно о простом". Это точно не туториал. Если это науч-поп или исторический экскурс, то слишком перегружено.
С помощью комплексных чисел работает Wi-Fi, обрабатывается аудио и видео, функционируют законы квантовой механики
Законы квантовой механики все-таки описываются с помощью комплексных чисел, а не функционируют. Понятно что это урок по математике, а не по русскому языку, но все же.
Приглашение к бунту. «Квадратного корня из минус единицы не существует»
Корень из отрицательного числа "невозможен" только в рамках арифметики. Получается что это бунт против арифметики.
На мой взгляд, говорить, что комплексное число — это поворот, некорректно.
Нужна отдельная глава, поясняющая чуть математических объектов (конструкций), как устанавливается и какая связь между ними (например, комплексное число и повороты, повороты и теория групп, теория групп и симметрия), что значит конструкт применяется к реальному миру (кастрюля, конечно, цилиндрическая, но в цилиндре суп сварить нельзя).
Планка взята очень высоко, поэтому аккуратность и скрупулёзность на понятийном уровне критично важна.
Поэтому желаю успеха и не потерять задора и энтузиазма в этом деле.
Ещё одно замечание. Материал полиаспектный и каждому читателю нужно (заходит) что-то своё. А текст, увы, линейный, пусть и имеет иерархическое разбиение.
Я бы предложил подумать над типологией читателя и для каждого типа предложить свой маршрут по книге. Я такое встречал в некоторых монографиях, там в основном, по уровню подготовки и глубине интереса к вопросам, раскрываемых в книге. Грубо говоря, если вы это знаете, эти главы можно не читать. Если вы этим интересуетесь, прочитайте вот эти главы.
Иначе часть критики (совершенно справедливой) будет про "кому вы это пишите" и "зачем вы это написали".
А в СССР нас, шестиклассников, пытали вот такими вот занимательными книжками
(Лёвшин В. А., Александрова Э. Б. Путешествие по Карликании и Аль-Джебре. — М. : Детская литература, 1991. — 255 с. : ил. ISBN 5-08-001458-х.)
Надо посмотреть.
Со своей стороны порекомендую Гиндикина "Рассказы о физиках и математиках".
Там про комплексные числа тоже прилично написано.
У меня в детстве была занимательная книжка по математике, но название и автора, я, к сожалению, забыл. Помню, как самообучающийся компьютер из спичечных коробков клеил.
а иррациональные и трансцендентные числа никого не смущают? )))
каждый раз диву даюсь как вроде начинают с красивых формул а к концу статьи скобки начинают плыть, а корни торчат как символ. как у людей разметка-то ломается
Царский путь к пониманию комплексных чисел. Часть I