Что нам стоит полином Жегалкина построить…

Самое главное в что существует только одна АНФ форма для записи функции, в отличии от других форм представлений. Т.е. если превести в данной форме функцию то две эквивалентные функции будут иметь однотипную запись.

есть ли примеры практической пользы от представления логических

Плиномы Жегалкина или АНФ — удобное представление булевых функций. Их использование можно увидеть во многих работах. С полиномами работать проще и удобнее, чем с ДНФ или КНФ.
Можно сказать, что это одно из базовых понятий в дискретной математике. Например, понятие линейных функций (см. замкнутые классы, теорема о полноте) вводится с их использованием.
Еще одной особенностью является отсутствие фиктивных переменных в представлнии функции через АНФ.

для задач вроде проектирования микросхем операция «исключающее ИЛИ» является невыгодной: на ее реализацию требуется больше логических элементов, чем для базиса вроде «И-НЕ»

В вопросах схемотехники я, конечно, профан. Буду рад если меня поправят. Элементы типа и-не и или-не эффективно реализуются при помощи транзисторов. Более того, других вариантов нет, и ничего не остается, кроме как реализовать все остальные функции (или, и, не, xor) через и-не или или-не, чтобы использовать изученный математический аппарат.

Если найти представление какой-нибудь логической функции в виде полинома Жегалкина — есть ли польза от рассмотрения этого полинома на поле действительных чисел? Имеет ли такой полином какое-нибудь отношение к рассматриваемой логической функции, дает ли он пользу для ее анализа?

Понятие «поля» предпологает наличие двух операций сложения и умножения над элементами. «xor» и «и» вводятся над множеством {0,1}, а не над действительными числами. Может быть я неверно понимаю ваш вопрос?

Если мне не изменяет память, в 2014 году на ZeroNights ребята из ReCrypt рассказывали, что перевод последовательности инструкций в эту форму значительно упрощает процесс деобфускации.

Сказанное мной ниже в качестве предположения.
Классическая математика оперирует объектами или реально существующими, или абстрактными, т.е. занимается именно исчислением объектов, и тут на помощь приходит программирование, — операндов.
Не знаю правильно ли будет сказано — булева алгебра — скажу луше — абстрактная — смещает акцент от исчисления оперндов к исчислению операторов.
Далее, снова в качестве предположения, полином Жегалкина может сократить проведение теста над длинным формальным высказыванием на предмет его истинности. Делаю это утверждению из того, чтоб было сказано про единственность таблицы истинности для одной функции. А из этого делаю вывод, что можно использовать полином для составления «тестов истинности» логики программ.

Просто исходя из логических сображений — мы получаем полином над кольцом Z2, что позволяет нам строить, к примеру, матрицы этой функции (по аналогии с матрицами квадратичной формы; не знаю, как их назвать в случае булевой алгебры :) ) Возможно, это, как и в случае «обыкновенных» многочленов может дать что-то интересное.

Как было сказано выше, это азы дискретной математики.
Как следствие, практическое применение очень объемно в программировании: компиляторы, логические анализаторы, генераторы и оптимизаторы, экспертные системы, нейронные сети и т.п.
Такое приведение позволяет унифицировать эквивалентные логические высказывания, приводя их к функции одного вида, при этом сокращая число операций в этой функции.

Понятно, что в простых программах, зачастую не акцентируют внимание на подобных вещах, но когда блоки условий разрастаются в страницы однотипного кода, это просто обязано наводить на размышления о подобных преобразованиях.
Тут на помощь и приходят такие финты, как законы де Моргана, полиномы Жегалкина и другие, более сложные механизмы дискретной математики и булевой алгебры.