Хорошо. Быть может я не до конца понимаю ту самую математическую строгость, о которой вы говорите, и которой не хватает в статье. Правильно ли я понимаю, что строгость на нужна для верифицируемости математических выражений в рамках некой теории? Т.е. проверка корректности синтаксиса формулы внутри данной теории. Или не так?
К тому же, есть же в математике, такой подход к верифицируемости, как конструктивизм. Что-то существует только тогда, когда у нас есть способ это сгенерировать неограниченное число раз. Алгебра совокупностей имеет физическое воплощение в виде Урны Лукасевича. Это мешок вместимостью вещей. Отличимость вещей друг от друга строго определена. Описание одной вещи всегда однозначно. Нет ни каких различных толкований и объектов внешних по отношению к этому мешку. Неужели такой строгости недостаточно?
Если вы подумаете и поставите другой набор значений, то от реальности ваши значения буду ещё дальше.
Не нужно для импликации ставить како-то иной набор значений в таблице истинности, ведь тогда она перестанет быть одной из 16-ти булевых функций. В своей нише импликация прекрасно справляется со своими задачами. Но для следования выводов нужна не просто одиночная булева функция, а дизюнктивная интегральная сумма, которая работает как квантор существования. Мы объявляем существование класса импликации, а потом выделяем результат в универсуме Аристотеля. Куда уж более формальный и точный подход.
Чтобы получить по лбу, не обязательно наступать на грабли. Существует бесконечно много других возможных источников удара в лоб.
Да, всё верно. Мы действительно говорим об одном и том же.
Импликация - не потенциальное следование. А достаточное, но не необходимое следование.
А вот это не совсем так. Здесь только посылка A - достаточное условие для следствия B. А вот значение самого следования в таблице истинности, равное 1 - это необходимое выполнение этого следования с достаточностью A для B. Но в импликации это не так. Там равенство импликации единице - это именно что "бывает или не бывает такое сочетание A и B".
Здесь я с вами тоже соглашусь. Импликация - это потенциальное следование. То, какими выводы могут быть. Это варианты того, что может последовать, когда я на ступил на грабли, и когда на них не не наступи. А теперь представьте, что истинность импликации - это не указание на то, что чисто теоретически возможно, а то, что неизбежно произойдёт. Тогда вы сразу увидите разницу между импликацией и следованием.
Если вы наступили на грабли, вы неизбежно получили по лбу.
Если вы не наступили на грабли, вы точно не получили по лбу.
Не может быть так, что вы наступили на грабли, но не получили по лбу.
Неизвестно, почему вы получили по лбу, если не насупили на грабли.
4 ситуации. Ситуация неизбежна в первых трёх случаях. Только в 4-й она потенциальна, необходимости в ней нет.
поэтому и результат при X=0 будет 1, но не 0, ведь если нет причины X, то нет гарантий, что не существует причины Z
Верно. Нет гарантий, что не существует причины Z, и нету гарантий, что причина для Z есть. Но таблица истинности категорично утверждает, что причина точно найдётся, и не важно, какая. И если категоричность для (X=1, Z=1) и (X=0, Z=0) абсолютно оправданны (как и 0 для X=1 и Z=0), то необходимость (X=0, Z=1) для вывода следствия просто бессмысленна. И про импликацию я не утверждал, что она противоречива. Она парадоксальна.
Да, получаем два бита с 4-мя значениями на 3 возможных варианта, но для других ситуаций точно так же получите, например, три троичных бита для описания значения от 0 до 9
Тоже верно. Моделирование троичности 2-мя битами имеет свои издержки. Но если троичность нам именно понадобилось, а железная реализация только двоичная, то зачем нам в тоичной реализации двумя тритами моделировать 9 состояний? Откуда вообще возникнет нужда в 9-ти состояниях? Если нужно промоделировать 4 состояния, то, да потребуется 2 трита, но каждое третье переключение можно сделать двойным, и это будет отличной эмуляцией двоичного железа.
Зачем же понадобилась сама троичная логика? Для сокращённых форм. Для явного выражения привходимости вещи в множестве. Для того, чтобы компьютерная логика не была островом Рыцарей и Лжецов, который не адекватен реальности.
Поэтому в таблице истинности мы видим значение 1 для Y при значении 0 для X. То есть теория не знает, только ли при X Y становится истинным. Теория допускает, что при X=0 Y тоже может быть истинным, но по каким-то другим причинам.
Вот здесь абсолютно верно. Ключевое слово "может быть истинным". А может и не быть. Мы этого не знаем. Нет необходимости ни в истинности, ни в ложности.
Но не требует от существующей теории изменений лишь потому, что ему показалось важным добавить однозначность в таблицы истинности.
Вот здесь мои заявления не были категоричными. От существующей теории не требуется ни каких изменений. В своей системе аксиом она завершена и красива. Просто в классических учебниках по дискретной математике никогда не упоминается о случаях вы хода за пределы набора состояний 0 и 1, как будто это что-то постыдное. А для общего и всестороннего понимания теории это было бы не лишним. В учебниках же не стесняются писать о вычитании и отрицательных числах, и квадратном корне и комплексных числах.
Хорошо, возможно на счёт формализма я рубанул с плеча. Для верефицируемости он действиетельно необходим. Поправьте меня, если я ошибаюсь. Но формализм ведь это то же самое, что правило построения формулы внутри какой-то теории? Т.е. формализм всегда сводится к корректности синтаксиса. Или нет?
Импликация означает, что её левый операнд является достаточным условием правого операнда, но не является необходимым.
Да, всё верно. Левый операнд - достаточное условие для правого, правый - необходимое условие для левого.
Я не наступал на грабли IMP Я получил по лбу = верно, я получил по лбу не граблями и по другой причине.
Вот здесь кроется основная ошибка. В первом, втором и четвёртом случаях вывод делается с необходимостью в силу, как вы выражаетесь, идеальности граблей. 4-й случай тоже работает в силу идеальности граблей, потому что идеальные грабли ни когда не ударят человека, который на них не наступал. А вот в 3-ем случае ни какой необходимости нет. Нельзя делать вывод, что человек обязательно получил по лбу, но по другой причине. Он может как получить по лбу, так и не получить. Это чистая случайность. Поэтому значение 3-го выражения = сигма.
Да, на этот вопрос уже хорошо ответил @vesper-bot. Тут дело в том, что каждый из признаков в уравнения не самостоятелен, и проявляется только в связке с остальными. Это мы сейчас подкованные в геометрии наперёд знаем, какая прямоугольность может быть в каких многогранниках. А конкретно в этом уравнении не существует многогранников и вообще фигур как таковых. Даже квадрат здесь - это просто признак, не несущий информации о геометрии, евклидовости и других вещах, которые есть у нас в голове. Существует только связанность трёх терминов в универсуме. Эти 4 вывода можно сделать об одном термине через остальные.
Математически строгая теория не предполагает внешних по отношении к ней сущностей
Но их тут и нету. Все сущности уже находятся внутри совокупностного выражения. Данность чего-то мы объявляем, когда имеем какие-то стартовые условия, факты, на основе которых хотим сделать различные выводы. Стартовые условия - это термины-критерии и их связанность друг с другом посредством булевых связок. Булевы связки целиком и полностью естественно-языковые. Если в процессе вы хотите внести какие-то дополнения, потому что появились новые факты и условия, вы добавляете новый термин-критерий в универсум. А новые факты появились, потому что у вас есть вещи, которые этим критерием обладают, и которые им не обладают. Именно поэтому из-за отличимости одних вещей от других у вас появляется предмет для разговора и выводов. То, что машина обрабатывает всё это по своему алгоритму - дело десятое.
Да, если мы постфактум вводим в теорию рассуждения про "что угодно", то вполне возможно, из этого "угодно" следует ещё какое-то "что угодно", но общепринятая математика так не работает
Конечно, не работает. Ни кто в здравом уме не будет в своих рассуждения использовать парадоксы только потому, что они верны в некой системе аксиом. Вы мне пытаетесь доказать, что "если снег белый, то дважды два равно 4 и дважды два не равно 4". Импликация - это просто одна из 16-ти булевых функций, не более. Не нужно использовать для рассуждения инструмент, для этого не предназначенный.
Всё это лишь критика введения к дальнейшим выкладкам, но уже видно, что начиная с введения автор грубо нарушает закон строгости, обязательный для нормальной (без противоречий) математики.
Описанная вами строгость - это формализм возведённый в культ. Алгебра совокупностей непротиворечива внутри общего универсума.
В булевой алгебре третье состояние всегда подразумевается в выражении, которое можно минимизировать путём склеек. Оно также явно вылезает, когда берём обратные функции от коньюнкции и дизъюнкции. Но, на сколько я знаю (хотя могу ошибаться), в SAT-солверах работают именно классические булевы выражения. Дизъюнктов там нету. Дизъюнкт - это интегральная сумма по комбинаторному множеству строго фиксированного размера. Здесь ключевую роль играет не наличие третьего состояния ХЗ, а необходимость присутствия/отсутствия в множестве вещи, описываемой булевым выражением. На такое чистая булева алгебра не способна.
Статья шикарна!
Скажите, а я правильно понимаю, что в ZFC за счёт аксиомы регулярности не может существовать Универсального множества?
Такая обширная статья, и ни слова про японские свичи Topre?
Хорошо. Быть может я не до конца понимаю ту самую математическую строгость, о которой вы говорите, и которой не хватает в статье. Правильно ли я понимаю, что строгость на нужна для верифицируемости математических выражений в рамках некой теории? Т.е. проверка корректности синтаксиса формулы внутри данной теории. Или не так?
К тому же, есть же в математике, такой подход к верифицируемости, как конструктивизм. Что-то существует только тогда, когда у нас есть способ это сгенерировать неограниченное число раз. Алгебра совокупностей имеет физическое воплощение в виде Урны Лукасевича. Это мешок вместимостью
вещей. Отличимость вещей друг от друга строго определена. Описание одной вещи всегда однозначно. Нет ни каких различных толкований и объектов внешних по отношению к этому мешку. Неужели такой строгости недостаточно?
Не нужно для импликации ставить како-то иной набор значений в таблице истинности, ведь тогда она перестанет быть одной из 16-ти булевых функций. В своей нише импликация прекрасно справляется со своими задачами. Но для следования выводов нужна не просто одиночная булева функция, а дизюнктивная интегральная сумма, которая работает как квантор существования. Мы объявляем существование класса импликации, а потом выделяем результат в универсуме Аристотеля. Куда уж более формальный и точный подход.
Да, всё верно. Мы действительно говорим об одном и том же.
А вот это не совсем так. Здесь только посылка A - достаточное условие для следствия B. А вот значение самого следования в таблице истинности, равное 1 - это необходимое выполнение этого следования с достаточностью A для B. Но в импликации это не так. Там равенство импликации единице - это именно что "бывает или не бывает такое сочетание A и B".
Просто не знаю, какие ещё аналогии привести.
Здесь я с вами тоже соглашусь. Импликация - это потенциальное следование. То, какими выводы могут быть. Это варианты того, что может последовать, когда я на ступил на грабли, и когда на них не не наступи. А теперь представьте, что истинность импликации - это не указание на то, что чисто теоретически возможно, а то, что неизбежно произойдёт. Тогда вы сразу увидите разницу между импликацией и следованием.
Если вы наступили на грабли, вы неизбежно получили по лбу.
Если вы не наступили на грабли, вы точно не получили по лбу.
Не может быть так, что вы наступили на грабли, но не получили по лбу.
Неизвестно, почему вы получили по лбу, если не насупили на грабли.
4 ситуации. Ситуация неизбежна в первых трёх случаях. Только в 4-й она потенциальна, необходимости в ней нет.
Верно. Нет гарантий, что не существует причины Z, и нету гарантий, что причина для Z есть. Но таблица истинности категорично утверждает, что причина точно найдётся, и не важно, какая. И если категоричность для (X=1, Z=1) и (X=0, Z=0) абсолютно оправданны (как и 0 для X=1 и Z=0), то необходимость (X=0, Z=1) для вывода следствия просто бессмысленна. И про импликацию я не утверждал, что она противоречива. Она парадоксальна.
Тоже верно. Моделирование троичности 2-мя битами имеет свои издержки. Но если троичность нам именно понадобилось, а железная реализация только двоичная, то зачем нам в тоичной реализации двумя тритами моделировать 9 состояний? Откуда вообще возникнет нужда в 9-ти состояниях? Если нужно промоделировать 4 состояния, то, да потребуется 2 трита, но каждое третье переключение можно сделать двойным, и это будет отличной эмуляцией двоичного железа.
Зачем же понадобилась сама троичная логика? Для сокращённых форм. Для явного выражения привходимости вещи в множестве. Для того, чтобы компьютерная логика не была островом Рыцарей и Лжецов, который не адекватен реальности.
Вот здесь абсолютно верно. Ключевое слово "может быть истинным". А может и не быть. Мы этого не знаем. Нет необходимости ни в истинности, ни в ложности.
Вот здесь мои заявления не были категоричными. От существующей теории не требуется ни каких изменений. В своей системе аксиом она завершена и красива. Просто в классических учебниках по дискретной математике никогда не упоминается о случаях вы хода за пределы набора состояний 0 и 1, как будто это что-то постыдное. А для общего и всестороннего понимания теории это было бы не лишним. В учебниках же не стесняются писать о вычитании и отрицательных числах, и квадратном корне и комплексных числах.
Хорошо, возможно на счёт формализма я рубанул с плеча. Для верефицируемости он действиетельно необходим. Поправьте меня, если я ошибаюсь. Но формализм ведь это то же самое, что правило построения формулы внутри какой-то теории? Т.е. формализм всегда сводится к корректности синтаксиса. Или нет?
Да, всё верно. Левый операнд - достаточное условие для правого, правый - необходимое условие для левого.
Вот здесь кроется основная ошибка. В первом, втором и четвёртом случаях вывод делается с необходимостью в силу, как вы выражаетесь, идеальности граблей. 4-й случай тоже работает в силу идеальности граблей, потому что идеальные грабли ни когда не ударят человека, который на них не наступал. А вот в 3-ем случае ни какой необходимости нет. Нельзя делать вывод, что человек обязательно получил по лбу, но по другой причине. Он может как получить по лбу, так и не получить. Это чистая случайность. Поэтому значение 3-го выражения = сигма.
Да, на этот вопрос уже хорошо ответил @vesper-bot. Тут дело в том, что каждый из признаков в уравнения не самостоятелен, и проявляется только в связке с остальными. Это мы сейчас подкованные в геометрии наперёд знаем, какая прямоугольность может быть в каких многогранниках. А конкретно в этом уравнении не существует многогранников и вообще фигур как таковых. Даже квадрат здесь - это просто признак, не несущий информации о геометрии, евклидовости и других вещах, которые есть у нас в голове. Существует только связанность трёх терминов в универсуме. Эти 4 вывода можно сделать об одном термине через остальные.
Но их тут и нету. Все сущности уже находятся внутри совокупностного выражения. Данность чего-то мы объявляем, когда имеем какие-то стартовые условия, факты, на основе которых хотим сделать различные выводы. Стартовые условия - это термины-критерии и их связанность друг с другом посредством булевых связок. Булевы связки целиком и полностью естественно-языковые. Если в процессе вы хотите внести какие-то дополнения, потому что появились новые факты и условия, вы добавляете новый термин-критерий в универсум. А новые факты появились, потому что у вас есть вещи, которые этим критерием обладают, и которые им не обладают. Именно поэтому из-за отличимости одних вещей от других у вас появляется предмет для разговора и выводов. То, что машина обрабатывает всё это по своему алгоритму - дело десятое.
Конечно, не работает. Ни кто в здравом уме не будет в своих рассуждения использовать парадоксы только потому, что они верны в некой системе аксиом. Вы мне пытаетесь доказать, что "если снег белый, то дважды два равно 4 и дважды два не равно 4". Импликация - это просто одна из 16-ти булевых функций, не более. Не нужно использовать для рассуждения инструмент, для этого не предназначенный.
Описанная вами строгость - это формализм возведённый в культ. Алгебра совокупностей непротиворечива внутри общего универсума.
В булевой алгебре третье состояние всегда подразумевается в выражении, которое можно минимизировать путём склеек. Оно также явно вылезает, когда берём обратные функции от коньюнкции и дизъюнкции. Но, на сколько я знаю (хотя могу ошибаться), в SAT-солверах работают именно классические булевы выражения. Дизъюнктов там нету. Дизъюнкт - это интегральная сумма по комбинаторному множеству строго фиксированного размера. Здесь ключевую роль играет не наличие третьего состояния ХЗ, а необходимость присутствия/отсутствия в множестве вещи, описываемой булевым выражением. На такое чистая булева алгебра не способна.