Я был крайне удивлён, найдя мало статей про динамическое программирование (далее просто динамика) на хабре. Мне всегда казалось, что эта парадигма довольно сильно распространена, в том числе и за пределами олимпиад по программированию. Поэтому я постараюсь закрыть этот пробел своей статьёй.

# Весь код в статье написан на языке Python

Основы

Пожалуй, лучшее описание динамики в одно предложение, которое я когда либо слышал:

Динамическое программирование — это когда у нас есть задача, которую непонятно как решать, и мы разбиваем ее на меньшие задачи, которые тоже непонятно как решать. (с) А. Кумок.

В прошлой статье я писал про эвристические методы оптимизации перебора. В этой статье я расскажу вам о ещё одной, но уже асимптотической оптимизации — meet-in-the-middle.

Типичные для этого метода снижения асимптотики: и .

Вступление

Метод заключается в том, чтобы разделить задачу пополам, получить какие-то данные и сопоставить их друг с другом.

Meet-in-the-middle имеет смысл применять, если для конкретной задачи выполняются два условия:
1) Время обработки половины данных асимптотически меньше времени получения итогового ответа.
2) Известен асимптотически более быстрый способ получения ответа для всей задачи с использованием информации об обработки её половинок.

Дисклеймер: для понимания этой статьи требуются начальные знания теории графов, в частности знание поиска в глубину, поиска в ширину и алгоритма Беллмана — Форда.

Введение

Наверняка вы сталкивались с задачами, которые приходилось решать перебором. А если вы занимались олимпиадным программированием, то точно видели NP-полные задачи, которые никто не умеет решать за полиномиальное время. Такими задачами, например, является поиск пути максимальной длины без самопересечений в графе и многим известная игра — судоку, обобщенная на размер . Полный перебор крайне долгий, ведь время его работы растёт экспоненциально относительно размера входных данных. Например, время поиска максимального пути в графе из 15 вершин наивным перебором становится заметным, а при 20 — очень долгим.

В этом посте я расскажу как можно оптимизировать большинство переборов, чтобы они стали работать на порядки быстрее.