С другой стороны, Microsoft могли бы сделать браузер на Gecko и коммитить новое в Firefox. Всё-таки Mozilla для них меньший конкурент, чем Google, хоть и более давний.
У меня пример очень быстро начинает тормозить, хотя ничего тормозящего там быть по идее не должно. Что-то там очень неоптимизировано.
Ну и перерисовывать лучше
а) через requestAnimationFrame, а не таймаут
б) только когда что-то действительно изменилось на канвасе
Интересно. Если переводчик Вася перевёл статью Пети с его разрешения и получил все авторские права на перевод — значит ли это, что в дальнейшем можно переводить перевод Васи с его разрешения на другие языки без разрешения Пети?
Да, я тоже обо всём этом думаю (про первые 2 пункта).
и, что, у вас основной задачник на практиках не Демидович был?
Честно, не помню. Интегралы-пределы были не из Демидовича, но мне к зачёту оттуда задавали несколько задач.
ну а как мотивируют в НМУ? или насколько понимаю, никак — предполагается что уже все и так должны знать?
Да, в НМУ, кажется, именно последовательности тоже не мотивировали. Хотя не уверен, я мог просто пропустить. Я там много пропускал в своё время, поэтому я до сих пор и не умею нормально в математику.
не, ну это уже к вопросам философии. например про отсылку к евклиду я только что от вас услышал, поэтому не считаю что «Без этого нормально понять анализ не получится»
Ну я не совсем правильно выразился, видимо.
Школьнику (не матшкольнику, а обычному) в школе ничего не доказывают, как правило, он не знаком вообще с понятием «доказательство теоремы», считает, что аксиома это аналог теоремы, но без доказательства… ну и так далее. Могу ошибаться, но Евклид первым заложил идею «вводим определения / аксиомы, доказываем о них что-то» и вот это вот всё. А рассказ о том, что при отрицании 5 постулата получается неевклидова геометрия, неплохо помогает понять, зачем аксиомы нужны и почему от них зависит всё.
ну, не знаю. по-моему всё-таки школьники знают, что ирррациональные числа — это такие, которые нельзя представить в виде дроби, как минимум. если не знают, то на 1й лекции это напоминается с классической демонстрацией иррациональности корня из двух.
Ну вот в том и дело, что я неоднократно спрашивал школьников и первокурсников, что такое иррациональное число, и они в основном не знали :)
вы имеете ввиду, всё множество натуральных чисел, или то что каждое число — множество? если последнее, то для курса анализа это не надо, и, пожалуй, введение в такие дебри наоборот сделает курсу хуже. обычно рациональные числа воспринимаются как данные, потому что они «естественные»
Действительные, кажется, тоже вполне воспринимаются как «естественные», поскольку мы всё-таки интуитивно воспринимаем мир как R^3 (по крайней мере, моя картинка в голове даже не Q^3), хоть это и не так.
И определения чисел вовсе не очень нужны в курсе анализа, однако же если вернуться к моей предлагаемой программе, я предлагаю двигаться от интуиции к формализации, и в самом конце этой самой программы в качестве бонуса будет венец формализации — мы введём определения чисел.
Но — да, согласен, это не очень нужно. Тут я скорее просто делюсь своей историей, как я начал хоть как-то понимать математику.
Я об определении натуральных чисел. Когда мы уже ввели множества, мы можем определить натуральное число как класс эквивалентности равномощных множеств.
вообще, у вас интересный путь. насколько я понимаю, в НМУ вы уже пошли даже после окончания МАИ — так оказывается можно вообще?
Нет, я пришёл в НМУ на 2 курсе МАИ. Задержался там на ~полтора семестра.
Да, я весьма смело сказал, что все маткурсы МАИ мне ничего не дали, это скорее потому что отлично знаю, на каком уровне математика у одногруппников :)
Да, в НМУ свободный проход всем. На любую лекцию можно прийти и 10-класснику и аспиранту. Если вы об этом.
и, что вас заставило начинать изучать математику на таком высоком уровне аж до НМУ и Шварца, всё-таки, насколько я понимаю, в МАИ люди идут изначально не за математикой… и пригодились ли полученные знания в вашей непосредственной работе, или это всё-таки осталось на уровне хобби?
Ну в первую очередь я пришёл как раз за этим самым «хочу начать понимать математику». Да, сейчас мне уже сложно представить, как можно это не понимать, это же обычная логика, однако раньше действительно было совершенно непонятно примерно всё, и оба семестра анализа я сдал на 3, вынеся оттуда больше понимание, как решать интегралы, чем что-либо ещё.
Потом увлёкся… и вот. В итоге дошёл до Рудина, Лорана Шварца, Львовского, Дьедонне… ну в смысле, до книжек такой вот сложности. Даже Бурбаки читал, но не очень много.
Зачем я пошёл в МАИ, да ещё и на инженера — вообще отдельный вопрос, но вкратце, это не то, чем я хотел бы заниматься, и не то, чем в итоге занимаюсь. Плохое школьное образование, плохо сданное ЕГЭ… и вот это вот всё. Например, в 11 классе я вовсе перестал посещать школьные уроки математики, предпочтя готовиться самостоятельно, в итоге я сдал с огромным отрывом от всего класса… но даже не то чтобы хорошо, просто не настолько отстойно, как все остальные :)
Математика так и осталась по большей частью хобби. Ещё её понимание неплохо помогает в других хобби, например, статьи по геймдеву читать теперь гораздо проще. Но в работе вроде бы пока не пригождалось.
При чем тут категории если мы говорим конкретно о теории пределов?
Вы утверждаете, что студенты НМУ уже плюс-минус знакомы с темой, на которую рассказывается лекция. И говорите, что не понимаете, как студент может доказать что-то про объект, определение которого услышал 5 минут назад.
Я привёл пример. Чем категории принципиально отличаются от пределов?
Потому что подавляющее большинство мат. объектов вводятся без какой-либо мотивировки и оказывается полезным постфактум. Пределы, производные и прочую элементарщину вы сможете так вот на пальцах" пояснить, что-то чуть более сложное — уже нет.
Во-первых, вы говорите что-то странное. Да, математики чисто по приколу придумывают объекты и что-то про них доказывают, но нет, мы говорим не об этом. Когда вы составляете программу «чему учить первокурсников в 1 семестре на анализе», у вас должна быть конкретная причина, зачем туда включать ту или иную тему. Это и есть мотивировка.
Какой троллинг? Еще раз — задачи после параграфа есть в любом нормальном учебнике. Офк, бывает что нет — но это исключение.
Ещё раз: это не учебник, это задачник. Задачи после параграфа, как правило, не такие сложные, но даже если вдруг и так, их количество не может конкурировать с количеством задач в задачнике.
Ну вот вам например бауманский учебник:
Львовский это сильно своеобразное чтиво, например, я его даже будучи в НМУ не очень понимал, а начал сильно после. Это совсем никак не учебник для начинающих (в любом смысле), а скорее шпаргалка для тех, кто уже знаком со всеми мотивациями. Как и Бурбаки или Кнут, например.
Курсы НМУ не мотивированы на том уровне, на котором предложил автор статьи. На таком уровне вообще не очень много что объясняется, увы.
Но курсы НМУ мотивированы сильно лучше, чем многое другое, в частности, большинство моих маткурсов в МАИ.
в НМУ на порядок выше требования к школьной подготовке, с чем вы тогда не согласились.
Ээ, нет, не было такого. Я специально поискал, может ошибаюсь, но вроде нет, не говорил я такого.
Я лишь хотел а) развеять миф о том, что НМУ не заканчивают только потому что это очень сложно — нет, не только; б) развеять миф, что крутой уровень студентов обуславливается лишь очень сложной программой, которая обеспечивает не столько подготовку, сколько отбор. Есть такое, да, программа действительно сложнее и отбор действительно есть, но нет, там именно подготовка, а не отбор. Ну и в) объяснить, за счёт чего такой эффект.
что для того чтобы быть способными что-то доказать самостоятельно, необходимо достичь некоторого «критического уровня»
Согласен.
такой уровень поставят в матшколе, но в случае с обычными выпускниками — скорее всего он у них будет отсутствовать.
Согласен.
чтобы научились и приходится давать элементарные доказательства на лекциях
Не согласен, что этого достаточно, чтобы научиться доказывать. Хотя это да, разумеется, даст некоторое представление, как доказательства выглядят, но чтобы научиться доказывать, нужно доказывать. Могу ошибаться, но по моему опыту нет никакого плавного входа в доказательства — нужно пытаться, и в какой-то момент будет первый качественный скачок.
Вообще тут хорошо бы начать делить, а про какую программу мы говорим, т.к. например, анализ, читаемый гуманитариям, инженерам, физикам и математикам — это, по-хорошему, 4 разных анализа. С соответственными задачами и так далее. Кому-то доказательства совсем не сдались (хотя было бы классно научить и их доказывать, но давайте двигаться шажками), кому-то же это жизненно необходимо.
Анализ, читаемый математикам, я видел только в НМУ, и он был хорошим. Но я предполагаю, что читаемое математикам в более-менее остальных местах сильно напоминает мою программу для инженеров в МАИ, а значит, отстой.
видимо, вам очень неудачно прочитали курс по стандартной программе.
Да, это так. Но подождите, давайте обсудим Фихтенгольца.
Скажите, для чего нужны последовательности в анализе 1 семестра? Я своё мнение озвучил, но я ещё не уверен, что оно верно. Это пока просто результат обдумывания, который мне ещё никто не аппрувил. Если ваше такое же, вы же так думали об этом и до меня (странный вопрос, но я его должен спросить)?
Ну и — откуда об этом узнаёт студент, в результате долгого обдумывания программы матана и задавания себе вопросов «а зачем нам рассказали вот это»? Я не помню мотивировки к их вводу ни в Зориче, ни в Фихтенгольце, ни в Кудрявцеве, ни, кажется, ещё где-либо.
Кроме того, как минимум нигде не указанными пререквизитами к тому же Фихтенгольцу будет понимание, что математика устроена как евклидова геометрия (постулаты, определения, теоремы, етс) и наверное ещё что математика это не про реальный мир. Без этого нормально понять анализ не получится.
Лично мне с домашкой в 500-600 интегралов-пределов было просто не до Демидовича :)
ну здесь не надо так обобщать. учивший студент — ответит, неучивший — не ответит
Сюда же — откуда он об этом узнает?
тем не менее, проблема с неспособностью самостоятельно доказывать утверждения, всё равно сохранится и с ней, так что все те же самые теоремы, что и в обычном курсе — всё равно надо будет показывать как доказывать, только в другом порядке
Да, это правда, но перегруппировывать темы, рассказывать историю и мотивировки имеет под собой другую цель — подать курс не как кучу разрозненных фактов, непонятно зачем собранных вместе, а как законченную логичную историю, в которой всё на своём месте. Каждый будет понимать, зачем последовательности, зачем предел, зачем дифференциал.
основная же загвоздка в том, что нет таких учебников по вашей программе
Это правда, да, увы. На самом деле когда я думал про сегодня эту программу, мне в ней почудился Курант-Роббинс, у них, кажется довольно научно-популярный учебник. И наверное неформальный.
ну, на самом деле, это очевидно, для специализированного университета уровня НМУ. но вы не думали, что вы так много получили в НМУ, именно благодаря тому, что до этого у вас была подготовка МАИ, где вам набили руку на рутинных задачах и задали общий уровень? потом вы смогли углубиться и отшлифовать детали в НМУ, но именно благодаря тому что вы уже имели общение представление о математике и знали куда и где копать
Думал, и это отчасти верно. Когда я пришёл в НМУ, мне действительно было проще, потому что я уже понимал эпсилон-дельта, интеграл и предел, всякие там бесконечно малые (я тогда ещё считал, что величины), матрицы, векторы, вот это всё, имел кое-какой опыт с комплексными числами и так далее. И даже знал, что такое доказательство. Это куда лучше, чем если бы я пришёл после школы.
Но — нет. У меня не было представления о математике и куда копать.
Например, на моей самой первой лекции в НМУ, это была лекция по геометрии, рассказали про попытки доказать 5 постулат и про Лобачевского. Так совпало, что я эту же историю читал парой дней раньше в какой-то научпоп-книжке.
История была увлекательной, она (особенно после второго прослушивания) осталась у меня в памяти, и довольно скоро я понял, что так в общем и устроена вся математика.
Ещё я где-то прочитал про идею Гильберта «мы можем вместо точек, прямых и окружностей рассуждать о пивных кружках, столах и стульях, дав им такие же определения, и результаты не изменятся».
Это всё привело к внезапному пониманию, как же всё-таки устроена математика. Почему всё всегда доказывается. Почему обозначения не важны, и об определениях спорить бессмысленно. И так далее.
На первой алгебре был интересный рассказ про числа и уравнения. И на первом анализе тоже, надо же.
Тут ещё стоит сделать отступление и сказать, что школьники после школы в большинстве случаев не знают, что такое иррациональные числа, а помнят лишь вызубренный факт, что пи, е и корни из 2, 3, 5, 7 иррациональны. Много раз проверял. Сам уже не помню, откуда это узнал, но точно не из школы.
Так вот, на анализе рассказывали определения натуральных чисел, затем целых через натуральные, рациональных через целые и, кажется, целых через действительные. Кстати про упомянутую сложность НМУ — слов вроде «факторизация по отношению эквивалентности» ещё не звучало, было просто «считаем такие пары одинаковыми, если...». Про факторизацию я узнал и вовсе сильно позже, читая и разбирая Лорана Шварца.
Ещё интересный факт, мне и до этого рассказывали эти определения — преподаватель по алгебре в МАИ, весьма увлечённый человек, во время экзамена разговор зашёл в это русло, и удалось дознаться у него, что натуральные числа это, оказывается, множества. Правда, смысла этого я тогда не понял.
На алгебре же рассказывали про различные уравнения, которые внезапно оказались мотивировкой ко вводу новых видов чисел. В натуральных не решается уравнение x + 1 = 0, в целых 2x = 1, в рациональных x^2 = 2, в действительных x^2 + 1 = 0. Можно продолжать.
А вот ещё вспомнилась за несколько месяцев до НМУ старая (2012 что ли) скачанная лекция оттуда по алгебре (читал Смирнов). Там тоже никаких фактормножеств не вводилось. Он захотел определить кольцо вычетов, и рассказал так: «Давайте поделим все числа на n с остатком. И сложим разные числа в разные корзины. Вот эти корзины и будем считать числами и научимся их складывать и умножать.». Причём там было гораздо проще и многословнее, я укорачиваю в расчёте, что вы это знаете. Ох уж это непонятное и сложное НМУ :)
Я говорю о том, что те вещи что мы обсуждаем студент НМУ знает еще до того, как их начали изучать.
Это тоже неправда. Во-первых, нет. Никакой матшкольник не знает категории (да и выпускник мехмата наверное далекоо не каждый) — а вон они, на первом курсе НМУ. Вещи, которые студент и так знает, скажем, комплексные числа, изучать нет никакого смысла, и такой фигнёй в НМУ никто не занимается.
Во-вторых, студенты разные, и на 1 курсе НМУ бывают люди с разными знаниями. Встречаются и аспиранты, которые те же категории знают, таких единицы; встречаются и 10-11-классники.
Задачи после параграфов практически во всех учебниках есть.
Это такой троллинг что ли? Вы рассуждаете о том, что не знаете, пытаясь попасть в точку?
Откройте, да посмотрите: www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf
Возьмём, например, 4 главу «Циклические группы» — 7 строк в начале главы это определение, что такое порядок элемента. А дальше — задачи. Теория даётся в задачах, слышите? В обычном учебнике какой-нибудь факт вроде «a^i != a^j для элемента бесконечного порядка» будет доказываться автором в тексте, а в задачах будет что-нибудь вроде «выпишите элементы группы симметрий квадрата». Здесь такие факты даются в качестве задач читающему.
Проблема в том, что то, что вы описываете, возможно только в очень ограниченном числе случаев для очень ограниченного числа объектов.
Во-первых, докажите. Я не понимаю, почему вы так считаете.
Во-вторых, что мешает так читать хотя бы те предметы, в которых это возможно? Тот же анализ.
Так. Для начала давайте разграничим эти два треда — про НМУ и про недостатки образования. Иначе получается довольно странно: в одном месте я топлю за НМУ, где образование довольно непростое, в другом говорю, что образование слишком сложно и надо упрощать (на самом деле нет, ничего такого).
Сперва должен озвучить интересный факт: полтора семестра НМУ мне дали гора-аздо больше в плане математики, чем все матпредметы в МАИ вместе взятые. Я сейчас не про какие-то частные знания вроде «10 трюков, как взять интеграл» или «как решать интегральные уравнения», а именно про общие вещи, про основу, про понимание математики и так далее. МАИ, кажется, вообще инсайтов или внезапных озарений, которые бы затрагивали вообще всю математику, не принёс.
Потому что от студента НМУ ожидается, что он и так все это, вообще говоря, знает.
Если вы хотите сказать, что, задавая доказательство теоремы как задачу, ожидается услышать от студента пересказ из учебника — нет, это абсолютная неправда. Если, что студент должен помнить принцип доказательства из учебника, и построить какое-то доказательство на этом самом принципе — нет, это тоже неправда.
Многие задачи вовсе придумываются лектором, и в учебниках отсутствуют.
А как вы будете от человека, который впервые услышал определения, чего-то там доказывать — не совсем ясно.
Лол. Вы не поверите, но так НМУ и работает.
Я проходил курс дискретной математики для школьников (матшкольников, естессно) в НМУ, вот этот вот: ium.mccme.ru/s17/s17-MSkopenkov.html, знаете, как он был устроен?
Все занятия были практическими с паруминутными вкраплениями лекции. Рассказывались определения, а потом в качестве задач задавались различные теоремы и факты об этих определениях, которые нужно было доказать. Сидишь за партой и решаешь самостоятельно. Решил — подзываешь кого-нибудь принять. Время от времени кого-то вызывали к доске, но вообще довольно редко. Или вот книги есть — скажем, Топология от Вербицкого или «Теорема Абеля в задачах» Алексеева, там то же самое.
На большинстве других предметов лекции есть, но тот же самый принцип работает.
Ну блин, ну посмотрите вы пример какой-нибудь. Вот например в этом году вторая лекция по алгебре ium.mccme.ru/postscript/f18/algebra1-lect02.pdf, а вот задачи к ней ium.mccme.ru/postscript/f18/algebra1-list02.pdf. Я вам гарантирую, что на лекции не были рассказаны способы решать эти задачи, их нужно самому придумать.
более того, в предисловии к тем же лекциям Львовского это прямо и упоминается
Подождите. Это вот как раз про разграничение тредов. Нигде и не утверждалось, что лекции НМУ простые. Однако должен сказать, они как правило хорошо мотивированные и вот это вот всё.
Должен сказать, что в НМУ вполне обычно слышать фразу вроде «ну вы все в школе проходили, как брать интегралы через вычеты», всё рассчитано на матшкольников и т.п. И вот пререквизиты ко Львовскому в принципе вполне подходят к программе 57 школы, например www.mccme.ru/~merzon/v14.
Теперь про сложность и непонятность. Я ни в коем случае не считаю, что программа по любому математическому предмету, скажем, сложная, и её нужно упрощать. Или что наоборот надо во все вузы ввести задачи из НМУ (хотя на самом деле было бы круто, но я пока затрудняюсь сказать, как это сделать). Нет. Я считаю, что хромает именно подача материала, например, те же мотивации.
Вот давайте например возьмём стандартную программу по матанализу 1 семестра, как она выглядит?
1. Действительные числа, множества, етс.
2. Последовательность и её предел.
3. Функция и её предел.
4. Производная, дифференциал, ряд Тейлора.
5. Интеграл.
Ну как-то плюс-минус так. Заглядываем внутрь, и видим гору ничем не мотивированных определений, доказательств ничем не мотивированных фактов и так далее. Например, возьмите первокурсника и спросите, зачем нужны последовательности в программе по матану. Лично по-моему, последовательности нужны а) чтобы определить предел функции, т.к. предел последовательности определяется гораздо проще и естественнее; б) через них можно определить действительные числа (хотя это и не делают). Но вам никакой первокурсник этого не скажет. Непонятно зачем они нужны.
Или вот про платоновский мир идей или про систему Евклида «постулаты/аксиомы — определения — доказательства» никто не рассказывает. Да, предполагается, что все это знают со школы, но на самом деле не знают ведь.
Как должна выглядеть программа по моему мнению?
1. Ставим задачу о нахождении касательной, площади, длины, объёма. Замечаем, что если ввести «очень маленькую величину», эти задачи можно решить. Рассказываем про Архимеда, Ньютона, етс. Доказываем, что очень маленькой величины нет и показываем пару парадоксов на эту тему. Анонс: дальше мы расскажем, как посмотреть на эти задачи с другой стороны и решить парадоксы.
2. Рассказываем про предел последовательности и замечаем, что можно определить площадь, касательную, длину, объём и етс как предел этой самой последовательности. Рассказываем про предел функции по Гейне.
3. и так далее.
…
n. Ну и в самом конце можно рассказать про формализацию фундамента, определения чисел и так далее. Когда люди уже понимают, зачем это нужно и что формализация полезна и вообще необходима, ибо см. Евклид.
Напоминаю, что это чисто моё видение, а я про анализ даже 1 семестра знаю и понимаю ну далеко не всё. Уверен, здесь можно намного-намного больше.
Иии… можно продолжать. К предложенному автором «интуитивное понимание — парадоксы — формализация» я пришёл в своё время сам, и из этого делаю вывод, что для других людей тоже должно работать. Сейчас же программа предлагает самому отыскать интуицию за формализацией, а затем ещё и найти, зачем вообще формализация нужна. Можно конечно сказать, что это тоже своеобразное упражнение, но, боюсь, оно в итоге приводит к тому самому «пара-тройка человек выплывает, остальные не поймут анализ никогда».
Не возражаю. Но судя по всему, более-менее везде так кроме пары не совсем скатившихся мест (мехмат там).
Но это же везде так. После определения предела вы проходите теоремы об этих пределах
Нет. В НМУ студент САМ доказывает эти теоремы. У него есть только формулировки. В обычном универе эти теоремы рассказывают студенту на лекциях. Ну камон, это как если бы одни программировали сами, а другие смотрели на ютубе, как пишут код — кто быстрее научится? Даже не так: кто вообще научится?
Вот например по анализу у нас оба семестра в расписании было несколько лекций в неделю и несколько семинаров. По лин. алгебре так же. По ОДУ ещё.
А вот функан, вар. исчисление, умф, тензорный анализ и дифгем, тфкп, тервер и слупы, численные и их допглавы и кто помнит что ещё значились в расписании как просто занятия (причём большинство — 1 раз в неделю), и преподавателям приходилось либо из и так небольшого количества лекций выделять практические занятия (а какая об этом может идти речь, если у тебя 1 или 0.5 занятия в неделю, в которые даже лекции не все помещаются?), либо же отделять первую половину лекции под лекцию, а вторую под практику.
Не по всему так было, я сейчас понимаю, что начинаю забывать уже, могу наврать в чём-то, но тем не менее, случай очень частый.
В каком смысле другие? Что изучаете на лекциях, об том и задачи, а как по-другому может быть?
Ха. Вот так и может. На лекции, конечно, расскажут таблицу интегралов в общих определениях, но трюки типа «вот тут прибавим и отнимем x, чтобы взять интеграл» будут именно на практических занятиях.
Я выше об этом говорил. После лекции про предел последовательности в НМУ вас попросят доказать разные факты о пределах и последовательностях, а в обычном институте научат 10 трюкам, как найти какой-нибудь странный предел, не используя Лопиталь или ряд Тейлора. Иными словами, в НМУ задачи теоретические, именно потому люди из НМУ отлично понимают теорию (на которой ведь и базируется всё). В обычных институтах задачи больше практические (хотя где на практике нужно брать предел без Лопиталя, ума не приложу, даже в доказательствах это не нужно). Поэтому студент может, как обезьянка, дифференцировать и интегрировать, не понимая смысла этой операции.
Ровно встать, расставить руки в стороны, а затем махи ногами — вперёд, круговые внутрь (нужно ударить стопой о ладонь, левой о правую, правой о левую), круговые наружу (тоже, но теперь правой о правую, левой о левую).
Нашёл такую вот картинку: www.jkd-kim.narod.ru/img/training_mah.jpg (только там руки не расставлены).
Самое важное: будет большой соблазн слегка согнуться в спине, чтобы ногу смочь повыше — так вот, нельзя так делать, спину нужно держать прямой.
Ну и разогреться перед этим не забудьте, конечно.
А с точки зрения кого-то другого — ничего плавного там не было.
Почему вы так считаете? Это гипотеза или у вас есть объективные причины так считать?
Нет, нельзя, потому что предел — он у последовательности, функций там просто нет.
Определяем топологические пространства, топологию и т.п.
f непрерывно, если прообраз открытого множества открыт. (или какое-нибудь эквивалентное определение)
А дальше что-нибудь такое:
он должен понимать, что ему не зря поставили в программу матан и значит знать его необходимо
Из этого и можно запросто извлечь утверждение, что читать что-либо понятно не очень нужно. Потому что знать предмет — это проблема учащегося, а преподавателя. Это мне и не нравится.
Про Фихтенгольца не спорю, что он понятнее наверное всех классических учебников по анализу, однако же согласен с автором статьи, что он мог бы быть ещё понятнее.
Да, лекции НМУ я слушал вживую, и с мотивациями там всё было куда лучше, чем где-либо ещё, где я слушал (включая и мой институт). Лекторы действительно стараются читать интересно и хорошо. Сложно != скучно ведь. Могу сейчас вспомнить очень много примеров, когда лекторы плавно подводили к тому, что новое определение совершенно естественно появляется само собой.
Именно это я (и наверное автор) и называю мотивацией, никак не могу понять, зачем вы думаете про морковку и упрашивание послушать теорему. Мотивация — это объяснение, зачем нужен новый термин.
А мои первые 2 лекции там были просто-напросто экскурсом в историю, после которого тем не менее внезапно начинаешь понимать очень многое, что знал, но не понимал раньше.
Ньютон с Лейбницем, кажется, без этого обходились.
Ну и на самом деле — вот не знаю. У нас в курсе УМФ в МАИ были ну очень грязные доказательства, буквально состоящие из хаков, пихания физики внутрь математики и наоборот и так далее. Вероятно, нам просто поленились доказывать прям строго, но у меня периодически появлялось ощущение, что их просто проверили на практике и забили.
Можно и наоборот — предел определить через непрерывные функции.
Если хотите, покажу, куда копать, чтобы освоить ещё пару интересных вещей (это к комментарию habr.com/post/432114/#comment_19458236).
Ну и перерисовывать лучше
а) через requestAnimationFrame, а не таймаут
б) только когда что-то действительно изменилось на канвасе
Честно, не помню. Интегралы-пределы были не из Демидовича, но мне к зачёту оттуда задавали несколько задач.
Да, в НМУ, кажется, именно последовательности тоже не мотивировали. Хотя не уверен, я мог просто пропустить. Я там много пропускал в своё время, поэтому я до сих пор и не умею нормально в математику.
Ну я не совсем правильно выразился, видимо.
Школьнику (не матшкольнику, а обычному) в школе ничего не доказывают, как правило, он не знаком вообще с понятием «доказательство теоремы», считает, что аксиома это аналог теоремы, но без доказательства… ну и так далее. Могу ошибаться, но Евклид первым заложил идею «вводим определения / аксиомы, доказываем о них что-то» и вот это вот всё. А рассказ о том, что при отрицании 5 постулата получается неевклидова геометрия, неплохо помогает понять, зачем аксиомы нужны и почему от них зависит всё.
Ну вот в том и дело, что я неоднократно спрашивал школьников и первокурсников, что такое иррациональное число, и они в основном не знали :)
Действительные, кажется, тоже вполне воспринимаются как «естественные», поскольку мы всё-таки интуитивно воспринимаем мир как R^3 (по крайней мере, моя картинка в голове даже не Q^3), хоть это и не так.
И определения чисел вовсе не очень нужны в курсе анализа, однако же если вернуться к моей предлагаемой программе, я предлагаю двигаться от интуиции к формализации, и в самом конце этой самой программы в качестве бонуса будет венец формализации — мы введём определения чисел.
Но — да, согласен, это не очень нужно. Тут я скорее просто делюсь своей историей, как я начал хоть как-то понимать математику.
Я об определении натуральных чисел. Когда мы уже ввели множества, мы можем определить натуральное число как класс эквивалентности равномощных множеств.
Нет, я пришёл в НМУ на 2 курсе МАИ. Задержался там на ~полтора семестра.
Да, я весьма смело сказал, что все маткурсы МАИ мне ничего не дали, это скорее потому что отлично знаю, на каком уровне математика у одногруппников :)
Да, в НМУ свободный проход всем. На любую лекцию можно прийти и 10-класснику и аспиранту. Если вы об этом.
Ну в первую очередь я пришёл как раз за этим самым «хочу начать понимать математику». Да, сейчас мне уже сложно представить, как можно это не понимать, это же обычная логика, однако раньше действительно было совершенно непонятно примерно всё, и оба семестра анализа я сдал на 3, вынеся оттуда больше понимание, как решать интегралы, чем что-либо ещё.
Потом увлёкся… и вот. В итоге дошёл до Рудина, Лорана Шварца, Львовского, Дьедонне… ну в смысле, до книжек такой вот сложности. Даже Бурбаки читал, но не очень много.
Зачем я пошёл в МАИ, да ещё и на инженера — вообще отдельный вопрос, но вкратце, это не то, чем я хотел бы заниматься, и не то, чем в итоге занимаюсь. Плохое школьное образование, плохо сданное ЕГЭ… и вот это вот всё. Например, в 11 классе я вовсе перестал посещать школьные уроки математики, предпочтя готовиться самостоятельно, в итоге я сдал с огромным отрывом от всего класса… но даже не то чтобы хорошо, просто не настолько отстойно, как все остальные :)
Математика так и осталась по большей частью хобби. Ещё её понимание неплохо помогает в других хобби, например, статьи по геймдеву читать теперь гораздо проще. Но в работе вроде бы пока не пригождалось.
Я привёл пример. Чем категории принципиально отличаются от пределов?
Во-первых, вы говорите что-то странное. Да, математики чисто по приколу придумывают объекты и что-то про них доказывают, но нет, мы говорим не об этом. Когда вы составляете программу «чему учить первокурсников в 1 семестре на анализе», у вас должна быть конкретная причина, зачем туда включать ту или иную тему. Это и есть мотивировка.
Ещё раз: это не учебник, это задачник. Задачи после параграфа, как правило, не такие сложные, но даже если вдруг и так, их количество не может конкурировать с количеством задач в задачнике.
Ну вот вам например бауманский учебник:
Не такие задачи в НМУ по сложности, не такие.
Курсы НМУ не мотивированы на том уровне, на котором предложил автор статьи. На таком уровне вообще не очень много что объясняется, увы.
Но курсы НМУ мотивированы сильно лучше, чем многое другое, в частности, большинство моих маткурсов в МАИ.
Ээ, нет, не было такого. Я специально поискал, может ошибаюсь, но вроде нет, не говорил я такого.
Я лишь хотел а) развеять миф о том, что НМУ не заканчивают только потому что это очень сложно — нет, не только; б) развеять миф, что крутой уровень студентов обуславливается лишь очень сложной программой, которая обеспечивает не столько подготовку, сколько отбор. Есть такое, да, программа действительно сложнее и отбор действительно есть, но нет, там именно подготовка, а не отбор. Ну и в) объяснить, за счёт чего такой эффект.
Согласен.
Согласен.
Не согласен, что этого достаточно, чтобы научиться доказывать. Хотя это да, разумеется, даст некоторое представление, как доказательства выглядят, но чтобы научиться доказывать, нужно доказывать. Могу ошибаться, но по моему опыту нет никакого плавного входа в доказательства — нужно пытаться, и в какой-то момент будет первый качественный скачок.
Вообще тут хорошо бы начать делить, а про какую программу мы говорим, т.к. например, анализ, читаемый гуманитариям, инженерам, физикам и математикам — это, по-хорошему, 4 разных анализа. С соответственными задачами и так далее. Кому-то доказательства совсем не сдались (хотя было бы классно научить и их доказывать, но давайте двигаться шажками), кому-то же это жизненно необходимо.
Анализ, читаемый математикам, я видел только в НМУ, и он был хорошим. Но я предполагаю, что читаемое математикам в более-менее остальных местах сильно напоминает мою программу для инженеров в МАИ, а значит, отстой.
Да, это так. Но подождите, давайте обсудим Фихтенгольца.
Скажите, для чего нужны последовательности в анализе 1 семестра? Я своё мнение озвучил, но я ещё не уверен, что оно верно. Это пока просто результат обдумывания, который мне ещё никто не аппрувил. Если ваше такое же, вы же так думали об этом и до меня (странный вопрос, но я его должен спросить)?
Ну и — откуда об этом узнаёт студент, в результате долгого обдумывания программы матана и задавания себе вопросов «а зачем нам рассказали вот это»? Я не помню мотивировки к их вводу ни в Зориче, ни в Фихтенгольце, ни в Кудрявцеве, ни, кажется, ещё где-либо.
Кроме того, как минимум нигде не указанными пререквизитами к тому же Фихтенгольцу будет понимание, что математика устроена как евклидова геометрия (постулаты, определения, теоремы, етс) и наверное ещё что математика это не про реальный мир. Без этого нормально понять анализ не получится.
Лично мне с домашкой в 500-600 интегралов-пределов было просто не до Демидовича :)
Сюда же — откуда он об этом узнает?
Да, это правда, но перегруппировывать темы, рассказывать историю и мотивировки имеет под собой другую цель — подать курс не как кучу разрозненных фактов, непонятно зачем собранных вместе, а как законченную логичную историю, в которой всё на своём месте. Каждый будет понимать, зачем последовательности, зачем предел, зачем дифференциал.
Это правда, да, увы. На самом деле когда я думал про сегодня эту программу, мне в ней почудился Курант-Роббинс, у них, кажется довольно научно-популярный учебник. И наверное неформальный.
Думал, и это отчасти верно. Когда я пришёл в НМУ, мне действительно было проще, потому что я уже понимал эпсилон-дельта, интеграл и предел, всякие там бесконечно малые (я тогда ещё считал, что величины), матрицы, векторы, вот это всё, имел кое-какой опыт с комплексными числами и так далее. И даже знал, что такое доказательство. Это куда лучше, чем если бы я пришёл после школы.
Но — нет. У меня не было представления о математике и куда копать.
Например, на моей самой первой лекции в НМУ, это была лекция по геометрии, рассказали про попытки доказать 5 постулат и про Лобачевского. Так совпало, что я эту же историю читал парой дней раньше в какой-то научпоп-книжке.
История была увлекательной, она (особенно после второго прослушивания) осталась у меня в памяти, и довольно скоро я понял, что так в общем и устроена вся математика.
Ещё я где-то прочитал про идею Гильберта «мы можем вместо точек, прямых и окружностей рассуждать о пивных кружках, столах и стульях, дав им такие же определения, и результаты не изменятся».
Это всё привело к внезапному пониманию, как же всё-таки устроена математика. Почему всё всегда доказывается. Почему обозначения не важны, и об определениях спорить бессмысленно. И так далее.
На первой алгебре был интересный рассказ про числа и уравнения. И на первом анализе тоже, надо же.
Тут ещё стоит сделать отступление и сказать, что школьники после школы в большинстве случаев не знают, что такое иррациональные числа, а помнят лишь вызубренный факт, что пи, е и корни из 2, 3, 5, 7 иррациональны. Много раз проверял. Сам уже не помню, откуда это узнал, но точно не из школы.
Так вот, на анализе рассказывали определения натуральных чисел, затем целых через натуральные, рациональных через целые и, кажется, целых через действительные. Кстати про упомянутую сложность НМУ — слов вроде «факторизация по отношению эквивалентности» ещё не звучало, было просто «считаем такие пары одинаковыми, если...». Про факторизацию я узнал и вовсе сильно позже, читая и разбирая Лорана Шварца.
Ещё интересный факт, мне и до этого рассказывали эти определения — преподаватель по алгебре в МАИ, весьма увлечённый человек, во время экзамена разговор зашёл в это русло, и удалось дознаться у него, что натуральные числа это, оказывается, множества. Правда, смысла этого я тогда не понял.
На алгебре же рассказывали про различные уравнения, которые внезапно оказались мотивировкой ко вводу новых видов чисел. В натуральных не решается уравнение x + 1 = 0, в целых 2x = 1, в рациональных x^2 = 2, в действительных x^2 + 1 = 0. Можно продолжать.
А вот ещё вспомнилась за несколько месяцев до НМУ старая (2012 что ли) скачанная лекция оттуда по алгебре (читал Смирнов). Там тоже никаких фактормножеств не вводилось. Он захотел определить кольцо вычетов, и рассказал так: «Давайте поделим все числа на n с остатком. И сложим разные числа в разные корзины. Вот эти корзины и будем считать числами и научимся их складывать и умножать.». Причём там было гораздо проще и многословнее, я укорачиваю в расчёте, что вы это знаете. Ох уж это непонятное и сложное НМУ :)
Это тоже неправда. Во-первых, нет. Никакой матшкольник не знает категории (да и выпускник мехмата наверное далекоо не каждый) — а вон они, на первом курсе НМУ. Вещи, которые студент и так знает, скажем, комплексные числа, изучать нет никакого смысла, и такой фигнёй в НМУ никто не занимается.
Во-вторых, студенты разные, и на 1 курсе НМУ бывают люди с разными знаниями. Встречаются и аспиранты, которые те же категории знают, таких единицы; встречаются и 10-11-классники.
Это такой троллинг что ли? Вы рассуждаете о том, что не знаете, пытаясь попасть в точку?
Откройте, да посмотрите: www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf
Возьмём, например, 4 главу «Циклические группы» — 7 строк в начале главы это определение, что такое порядок элемента. А дальше — задачи. Теория даётся в задачах, слышите? В обычном учебнике какой-нибудь факт вроде «a^i != a^j для элемента бесконечного порядка» будет доказываться автором в тексте, а в задачах будет что-нибудь вроде «выпишите элементы группы симметрий квадрата». Здесь такие факты даются в качестве задач читающему.
Во-первых, докажите. Я не понимаю, почему вы так считаете.
Во-вторых, что мешает так читать хотя бы те предметы, в которых это возможно? Тот же анализ.
Так. Для начала давайте разграничим эти два треда — про НМУ и про недостатки образования. Иначе получается довольно странно: в одном месте я топлю за НМУ, где образование довольно непростое, в другом говорю, что образование слишком сложно и надо упрощать (на самом деле нет, ничего такого).
Сперва должен озвучить интересный факт: полтора семестра НМУ мне дали гора-аздо больше в плане математики, чем все матпредметы в МАИ вместе взятые. Я сейчас не про какие-то частные знания вроде «10 трюков, как взять интеграл» или «как решать интегральные уравнения», а именно про общие вещи, про основу, про понимание математики и так далее. МАИ, кажется, вообще инсайтов или внезапных озарений, которые бы затрагивали вообще всю математику, не принёс.
Если вы хотите сказать, что, задавая доказательство теоремы как задачу, ожидается услышать от студента пересказ из учебника — нет, это абсолютная неправда. Если, что студент должен помнить принцип доказательства из учебника, и построить какое-то доказательство на этом самом принципе — нет, это тоже неправда.
Многие задачи вовсе придумываются лектором, и в учебниках отсутствуют.
Лол. Вы не поверите, но так НМУ и работает.
Я проходил курс дискретной математики для школьников (матшкольников, естессно) в НМУ, вот этот вот: ium.mccme.ru/s17/s17-MSkopenkov.html, знаете, как он был устроен?
Все занятия были практическими с паруминутными вкраплениями лекции. Рассказывались определения, а потом в качестве задач задавались различные теоремы и факты об этих определениях, которые нужно было доказать. Сидишь за партой и решаешь самостоятельно. Решил — подзываешь кого-нибудь принять. Время от времени кого-то вызывали к доске, но вообще довольно редко. Или вот книги есть — скажем, Топология от Вербицкого или «Теорема Абеля в задачах» Алексеева, там то же самое.
На большинстве других предметов лекции есть, но тот же самый принцип работает.
Ну блин, ну посмотрите вы пример какой-нибудь. Вот например в этом году вторая лекция по алгебре ium.mccme.ru/postscript/f18/algebra1-lect02.pdf, а вот задачи к ней ium.mccme.ru/postscript/f18/algebra1-list02.pdf. Я вам гарантирую, что на лекции не были рассказаны способы решать эти задачи, их нужно самому придумать.
Подождите. Это вот как раз про разграничение тредов. Нигде и не утверждалось, что лекции НМУ простые. Однако должен сказать, они как правило хорошо мотивированные и вот это вот всё.
Должен сказать, что в НМУ вполне обычно слышать фразу вроде «ну вы все в школе проходили, как брать интегралы через вычеты», всё рассчитано на матшкольников и т.п. И вот пререквизиты ко Львовскому в принципе вполне подходят к программе 57 школы, например www.mccme.ru/~merzon/v14.
Теперь про сложность и непонятность. Я ни в коем случае не считаю, что программа по любому математическому предмету, скажем, сложная, и её нужно упрощать. Или что наоборот надо во все вузы ввести задачи из НМУ (хотя на самом деле было бы круто, но я пока затрудняюсь сказать, как это сделать). Нет. Я считаю, что хромает именно подача материала, например, те же мотивации.
Вот давайте например возьмём стандартную программу по матанализу 1 семестра, как она выглядит?
1. Действительные числа, множества, етс.
2. Последовательность и её предел.
3. Функция и её предел.
4. Производная, дифференциал, ряд Тейлора.
5. Интеграл.
Ну как-то плюс-минус так. Заглядываем внутрь, и видим гору ничем не мотивированных определений, доказательств ничем не мотивированных фактов и так далее. Например, возьмите первокурсника и спросите, зачем нужны последовательности в программе по матану. Лично по-моему, последовательности нужны а) чтобы определить предел функции, т.к. предел последовательности определяется гораздо проще и естественнее; б) через них можно определить действительные числа (хотя это и не делают). Но вам никакой первокурсник этого не скажет. Непонятно зачем они нужны.
Или вот про платоновский мир идей или про систему Евклида «постулаты/аксиомы — определения — доказательства» никто не рассказывает. Да, предполагается, что все это знают со школы, но на самом деле не знают ведь.
Как должна выглядеть программа по моему мнению?
1. Ставим задачу о нахождении касательной, площади, длины, объёма. Замечаем, что если ввести «очень маленькую величину», эти задачи можно решить. Рассказываем про Архимеда, Ньютона, етс. Доказываем, что очень маленькой величины нет и показываем пару парадоксов на эту тему. Анонс: дальше мы расскажем, как посмотреть на эти задачи с другой стороны и решить парадоксы.
2. Рассказываем про предел последовательности и замечаем, что можно определить площадь, касательную, длину, объём и етс как предел этой самой последовательности. Рассказываем про предел функции по Гейне.
3. и так далее.
…
n. Ну и в самом конце можно рассказать про формализацию фундамента, определения чисел и так далее. Когда люди уже понимают, зачем это нужно и что формализация полезна и вообще необходима, ибо см. Евклид.
Напоминаю, что это чисто моё видение, а я про анализ даже 1 семестра знаю и понимаю ну далеко не всё. Уверен, здесь можно намного-намного больше.
Иии… можно продолжать. К предложенному автором «интуитивное понимание — парадоксы — формализация» я пришёл в своё время сам, и из этого делаю вывод, что для других людей тоже должно работать. Сейчас же программа предлагает самому отыскать интуицию за формализацией, а затем ещё и найти, зачем вообще формализация нужна. Можно конечно сказать, что это тоже своеобразное упражнение, но, боюсь, оно в итоге приводит к тому самому «пара-тройка человек выплывает, остальные не поймут анализ никогда».
Не возражаю. Но судя по всему, более-менее везде так кроме пары не совсем скатившихся мест (мехмат там).
Нет. В НМУ студент САМ доказывает эти теоремы. У него есть только формулировки. В обычном универе эти теоремы рассказывают студенту на лекциях. Ну камон, это как если бы одни программировали сами, а другие смотрели на ютубе, как пишут код — кто быстрее научится? Даже не так: кто вообще научится?
Почему? Можно пример?
Отлично понимаю, мне очень хотелось крушить всё вокруг во время физических доказательств.
А вот функан, вар. исчисление, умф, тензорный анализ и дифгем, тфкп, тервер и слупы, численные и их допглавы и кто помнит что ещё значились в расписании как просто занятия (причём большинство — 1 раз в неделю), и преподавателям приходилось либо из и так небольшого количества лекций выделять практические занятия (а какая об этом может идти речь, если у тебя 1 или 0.5 занятия в неделю, в которые даже лекции не все помещаются?), либо же отделять первую половину лекции под лекцию, а вторую под практику.
Не по всему так было, я сейчас понимаю, что начинаю забывать уже, могу наврать в чём-то, но тем не менее, случай очень частый.
Ха. Вот так и может. На лекции, конечно, расскажут таблицу интегралов в общих определениях, но трюки типа «вот тут прибавим и отнимем x, чтобы взять интеграл» будут именно на практических занятиях.
Я выше об этом говорил. После лекции про предел последовательности в НМУ вас попросят доказать разные факты о пределах и последовательностях, а в обычном институте научат 10 трюкам, как найти какой-нибудь странный предел, не используя Лопиталь или ряд Тейлора. Иными словами, в НМУ задачи теоретические, именно потому люди из НМУ отлично понимают теорию (на которой ведь и базируется всё). В обычных институтах задачи больше практические (хотя где на практике нужно брать предел без Лопиталя, ума не приложу, даже в доказательствах это не нужно). Поэтому студент может, как обезьянка, дифференцировать и интегрировать, не понимая смысла этой операции.
А что, я где-то такое говорил разве? Покажите, где.
Ровно встать, расставить руки в стороны, а затем махи ногами — вперёд, круговые внутрь (нужно ударить стопой о ладонь, левой о правую, правой о левую), круговые наружу (тоже, но теперь правой о правую, левой о левую).
Нашёл такую вот картинку: www.jkd-kim.narod.ru/img/training_mah.jpg (только там руки не расставлены).
Самое важное: будет большой соблазн слегка согнуться в спине, чтобы ногу смочь повыше — так вот, нельзя так делать, спину нужно держать прямой.
Ну и разогреться перед этим не забудьте, конечно.
Почему вы так считаете? Это гипотеза или у вас есть объективные причины так считать?
Определяем топологические пространства, топологию и т.п.
f непрерывно, если прообраз открытого множества открыт. (или какое-нибудь эквивалентное определение)
А дальше что-нибудь такое:
Из этого и можно запросто извлечь утверждение, что читать что-либо понятно не очень нужно. Потому что знать предмет — это проблема учащегося, а преподавателя. Это мне и не нравится.
Про Фихтенгольца не спорю, что он понятнее наверное всех классических учебников по анализу, однако же согласен с автором статьи, что он мог бы быть ещё понятнее.
Да, лекции НМУ я слушал вживую, и с мотивациями там всё было куда лучше, чем где-либо ещё, где я слушал (включая и мой институт). Лекторы действительно стараются читать интересно и хорошо. Сложно != скучно ведь. Могу сейчас вспомнить очень много примеров, когда лекторы плавно подводили к тому, что новое определение совершенно естественно появляется само собой.
Именно это я (и наверное автор) и называю мотивацией, никак не могу понять, зачем вы думаете про морковку и упрашивание послушать теорему. Мотивация — это объяснение, зачем нужен новый термин.
А мои первые 2 лекции там были просто-напросто экскурсом в историю, после которого тем не менее внезапно начинаешь понимать очень многое, что знал, но не понимал раньше.
Ньютон с Лейбницем, кажется, без этого обходились.
Ну и на самом деле — вот не знаю. У нас в курсе УМФ в МАИ были ну очень грязные доказательства, буквально состоящие из хаков, пихания физики внутрь математики и наоборот и так далее. Вероятно, нам просто поленились доказывать прям строго, но у меня периодически появлялось ощущение, что их просто проверили на практике и забили.
Можно и наоборот — предел определить через непрерывные функции.