Да, конечно! Многие привыкли к традиционной интерпретации, что 0^0 - неопределённость, но даже во многих языках программирования результат такой операции далеко не NaN, а 1.
и опять не верно. это тождество- это определение нулевого элемента в алгебре.
В контексте публикации слово "вытекает" подразумевает - визуально показывает или демонстрирует (но не доказывает!), почему выбрано такое определение для нулевого элемента. Благодаря этому определению, и возникает почва для дальнейшего создания алгебры: начинают удовлетворяются аксиомы групп, можно описывать поля и кольца.
Но это насколько сам понимаю, не стоит принимать за незыблемую истину!
Благодарю! Это классический подход, чтобы показать, почему математики выбрали именно такое определение. Но одна из основных задач публикации - также познакомить читателя с визуальным представлением
При желании можно развернуть виртуальную машину и запустить Windows на ней, правда, не могу гарантировать, что программа будет корректно работать в эмуляторах, потому что сам не проверял такие случаи...
Это, перефразированно, версия с разложением акустического сигнала наподобие призмы, когда гармоники сигнала «подсвечивают» определённые участки линейки из слуховых рецепторов, скрученной в логарифмическую спиральку.
Возможно, именно такая форма спирали обуславливает ту особенность слуха, что повышение частоты тона в два раза (транспонирование на октаву) субъективно воспринимается, как повышение на одинаковый частотный интервал, хотя в линейном представлении (до применения логарифмического масштаба) интервалы различны.
Но нужно признать, что эти механизмы мало изучены и таят ещё много загадок...
Если принять скорость распространения звука в жидкости порядка 1500 м/c, то длина волны для сигнала в 500 Гц составит 1500(м/c) / 500(1/c) = 3 м, что немало, учитывая скромные геометрические размеры слуховой улитки.
Похоже, в этом отношении версия с частотной линейкой (возможно, даже логарифмической) выглядит чуть более реалистично...
Ещё вспомнилось пару аргументов в пользу аналогового принципа получения амплитудного спектрального рисунка (наподобие спектограммы):
вряд ли слуховая нервная система способна работать на килогерцевых частотах (воспринимая высокочастотные колебания звука напрямую), ведь даже мощный визуальный тракт уже после 20 Гц начинает склеивать картинки-кадры и воспринимать объекты на них в движении; и если мерцание монитора в 60-75 Гц ещё можно заметить, то 100 Гц и выше уловить уже намного сложнее
ну слух практически неразличимы сигналы, где отброшена фазовая компонента (например, зачастую трудно отличить оригинальный wav и сжатый mp3 в высоком качестве), значит, фазы гармоник при восприятии человеком не особенно учитываются и форма волны во временном представлении может варьироваться при тех же звуковых ощущениях
Но вместе с тем восприятие тембра у людей обычно развито хорошо, хотя с рисунка-спектограммы такую информацию считать весьма непросто, возможно, существует также механизм получения рисунков-цветков, наподобие тех, что рассмотрены в статье... Что интересно, сдвиги фаз обычно поворачивают рисунки либо добавляют плавные переливы, но при этом сохраняют характерный узнаваемый узор.
Также при смешении звука с нескольких источников разной природы (например, музыка и голос) слуховое восприятие способно их разделить и верно соотнести тембральные составляющие...
Спасибо большое! Но тут, конечно, важно респектнуть и огромному коммьюнити, скрытому за материалами данной статьи, ведь во многом - это компиляция и продолжение множества открытых ранее идей, наработок и наблюдений!
Насчёт сжатия - вопрос открытый для исследований... С определёнными оговорками кодировать растровые и векторные картинки в Фурье-образы можно уже сейчас (см. видео про детальный алгоритм кодирования), но будет ли это эффективным форматом хранения информации, обеспечивающим сжатие без существенных потерь в качестве, для сложных и даже фотографических изображений - мне даже предположить трудно. Здесь широкий простор для работы и экспериментов...
Не уверен, что верно понял ваш вопрос, но, резюмируя, алгоритм в общих чертах следующий:
берётся временной кадр [например, 1024 отсчёта] с прямоугольным окном
произвобится быстрое преобразование Фурье для получения спектрального кадра
выполняется интерполяция спектрального кадра по фазе и амплитуде (ФАИ)
выделяются значимые гармоники сигнала
на основе значимых гармоник происходит построение геометрии
В общем-то для модельных идеальных сигналов с генератора очень точную геометрию можно получить сразу перейдя к шагу номер 5 и минуя предыдущие этапы, поскольку точные значения частот, амплитуд и фаз нам уже известны сразу. Но для внешних сигналов (например, с микрофона) нужно пройти все шаги.
В приложении Solfeggio сигнал с генератора синтезируются и подаётся на вход для дальнейшей обработки по полному циклу, поскольку это было необходимо для отладки алгоритма ФАИ.
Алгоритм и программа реализованы на языке C# (платформа .NET), для визуализации в десктопной версии использована технология WPF, а в мобильной связка: платформа Xamarin + графический фреймворк Skia.
~
Также в комментариях выше (1, 2) @iShrimp и @alcotel подсказали, что подобную геометрию (но без интерполяции) в теории можно получить и немного другим путём:
берётся временной кадр [например, 1024 отсчёта] с прямоугольным окном
произвобится быстрое преобразование Фурье для получения спектрального кадра
необходимо умножить спектр БПФ на плюс/минус мнимую единицу (знак влияет на ориентацию геометрии по либо против часовой стрелки), что эквивалентно сдвигу спектра по фазе на +/-90 градусов
затем для сдвинутого спектра нужно выполнить обратное БПФ, чтобы получить смещённый по фазе исходный сигнал во временной области
после чего по оси Y откладывать оригинальный исходный сигнал, а по оси X смещённый по фазе
На практике это предположение пока что не проверял, но оно очень похоже на правду.
Стуки и щелчки (прямоугольные всплески) на Фурье-спектре обычно выглядят очень размыто (растекаются), то есть задействуются широкие области спектра, как если бы мы нажали одновременно на десяток-другой соседних клавиш пианино с разной, но значимой интенсивностью.
Интересно, что негромкие щелчки являются хорошими ASMR-триггерами, мне на ум даже приходит гипотеза, что такие широкие тихие спектральные сигналы как-то помогают нервной системе перезагрузиться и сонастроить активность и чувствительность нервных клеток.
Верно, это корректнее назвать отражением, чем преломлением. Но тут, конечно, по большей части догадки и предположения, на практике может оказаться и по-другому...
Например, если воскрикнуть в пустом помещении с голыми стенами, то звуковые волны ещё некоторое время будут отражаться эхом, постепенно затухая. Если же это помещение заставить мебелью и вещами, а на стене повесить ковёр, то волны будут быстро рассеиваться и эффект эхо пропадёт.
Когда стена плоская, то фронт волны отражается от неё линейно, но если стена или потолок, скажем, закруглены, то фронт исходной волны в отражённой начнёт менять форму... Полукруглый свод будет собирать и фокусировать звук словно вогнутое зеркало. Наглядный пример в природе - устройство ушной раковины у животных.
И опять же не понимаю откуда в жидкости возьмется преломление, там нет ситуации когда волна переходит из одной среды в другую (путь от барабанной перепонки до стенки улитки я бы не считал таким переходом).
Предполагаю, что сама стенка полости (трубка) и жидкость в ней могут формировать преломляющий акустический переход подобно тому, как световые лучи многократно преломляются в оптическом волокне.
Ранее пробовал использовать параболическую интерполяцию по трём точкам, но всё же для моих задач точность ФАИ по четырём оказалась существенно выше, хотя аналитических обоснований у меня до сих пор нету... Формулы выводились путём моделирования не очень сложных идеальных сигналов и наблюдений за их спектрами при плавных изменениях входных параметров.
Если припасть ухом к железнодорожной металлической рельсе и на расстоянии порядка сотен метров ударить по ней, то звук по металлической среде распостранится быстрее, чем по воздуху, поэтому можно будет услышать удар дважды.
В случае не единичного удара, а более длительного гармонического сигнала, волны будут распространяться по двум средам одновременно с некоторой разностью фаз, которая будет зависеть от удалённости источника звука. Сам не проверял, но в теории это будет приводить к появлению чередующихся областей с ослабленой и усиленной слышимостью, то есть появится своеобразная интерференционная картинка.
Что касается улитки, можно выделить три основные среды передачи сигнала: стенка, жидкость в полости, костная основа. Учитывая небольшой размер органа, возможно, скорость передачи в этих разных средах не вносит существенного вклада в процесс восприятия, но многократное преломление волны в полости с дальнейшей интерференцией вполне может происходить подобно световым лучам в вогнутом зеркале.
Всё же природа, наверно, не случайно придала этому слуховому органу такую замысловатую форму, должен быть практический физический смысл в подобной геометрии. Из рукотворных предметов на ум приходят духовые инструменты и рупор граммофона, только улитка работает как-то наоборот - принимает звук...
Да, конечно! Многие привыкли к традиционной интерпретации, что
0^0- неопределённость, но даже во многих языках программирования результат такой операции далеко неNaN, а1.Например, C#.
В контексте публикации слово "вытекает" подразумевает - визуально показывает или демонстрирует (но не доказывает!), почему выбрано такое определение для нулевого элемента. Благодаря этому определению, и возникает почва для дальнейшего создания алгебры: начинают удовлетворяются аксиомы групп, можно описывать поля и кольца.
Но это насколько сам понимаю, не стоит принимать за незыблемую истину!
Благодарю за внимательность! Решил вовсе убрать спорное утверждение о Дельта-функции.
Благодарю! Это классический подход, чтобы показать, почему математики выбрали именно такое определение. Но одна из основных задач публикации - также познакомить читателя с визуальным представлением
Каскадная лента? Мне немного напоминает Ribbon Menu.
При желании можно развернуть виртуальную машину и запустить Windows на ней, правда, не могу гарантировать, что программа будет корректно работать в эмуляторах, потому что сам не проверял такие случаи...
То есть это что-то вроде динамичной интерференционной картинки? Может, оно и так...
Это, перефразированно, версия с разложением акустического сигнала наподобие призмы, когда гармоники сигнала «подсвечивают» определённые участки линейки из слуховых рецепторов, скрученной в логарифмическую спиральку.
Возможно, именно такая форма спирали обуславливает ту особенность слуха, что повышение частоты тона в два раза (транспонирование на октаву) субъективно воспринимается, как повышение на одинаковый частотный интервал, хотя в линейном представлении (до применения логарифмического масштаба) интервалы различны.
Но нужно признать, что эти механизмы мало изучены и таят ещё много загадок...
Если принять скорость распространения звука в жидкости порядка 1500 м/c, то длина волны для сигнала в 500 Гц составит 1500(м/c) / 500(1/c) = 3 м, что немало, учитывая скромные геометрические размеры слуховой улитки.
Похоже, в этом отношении версия с частотной линейкой (возможно, даже логарифмической) выглядит чуть более реалистично...
Большое спасибо за обратную связь! Радует и вдохновляет, что статья такой непростой тематики кому-то интересна!
Ещё вспомнилось пару аргументов в пользу аналогового принципа получения амплитудного спектрального рисунка (наподобие спектограммы):
вряд ли слуховая нервная система способна работать на килогерцевых частотах (воспринимая высокочастотные колебания звука напрямую), ведь даже мощный визуальный тракт уже после 20 Гц начинает склеивать картинки-кадры и воспринимать объекты на них в движении; и если мерцание монитора в 60-75 Гц ещё можно заметить, то 100 Гц и выше уловить уже намного сложнее
ну слух практически неразличимы сигналы, где отброшена фазовая компонента (например, зачастую трудно отличить оригинальный wav и сжатый mp3 в высоком качестве), значит, фазы гармоник при восприятии человеком не особенно учитываются и форма волны во временном представлении может варьироваться при тех же звуковых ощущениях
Но вместе с тем восприятие тембра у людей обычно развито хорошо, хотя с рисунка-спектограммы такую информацию считать весьма непросто, возможно, существует также механизм получения рисунков-цветков, наподобие тех, что рассмотрены в статье... Что интересно, сдвиги фаз обычно поворачивают рисунки либо добавляют плавные переливы, но при этом сохраняют характерный узнаваемый узор.
Также при смешении звука с нескольких источников разной природы (например, музыка и голос) слуховое восприятие способно их разделить и верно соотнести тембральные составляющие...
Спасибо большое! Но тут, конечно, важно респектнуть и огромному коммьюнити, скрытому за материалами данной статьи, ведь во многом - это компиляция и продолжение множества открытых ранее идей, наработок и наблюдений!
Насчёт сжатия - вопрос открытый для исследований... С определёнными оговорками кодировать растровые и векторные картинки в Фурье-образы можно уже сейчас (см. видео про детальный алгоритм кодирования), но будет ли это эффективным форматом хранения информации, обеспечивающим сжатие без существенных потерь в качестве, для сложных и даже фотографических изображений - мне даже предположить трудно. Здесь широкий простор для работы и экспериментов...
Ламповая и красивая демка получилась, благодарю! Эффект постепенного угасания добавляет картинке плавности и живости!
Не уверен, что верно понял ваш вопрос, но, резюмируя, алгоритм в общих чертах следующий:
берётся временной кадр [например, 1024 отсчёта] с прямоугольным окном
произвобится быстрое преобразование Фурье для получения спектрального кадра
выполняется интерполяция спектрального кадра по фазе и амплитуде (ФАИ)
выделяются значимые гармоники сигнала
на основе значимых гармоник происходит построение геометрии
В общем-то для модельных идеальных сигналов с генератора очень точную геометрию можно получить сразу перейдя к шагу номер 5 и минуя предыдущие этапы, поскольку точные значения частот, амплитуд и фаз нам уже известны сразу. Но для внешних сигналов (например, с микрофона) нужно пройти все шаги.
В приложении Solfeggio сигнал с генератора синтезируются и подаётся на вход для дальнейшей обработки по полному циклу, поскольку это было необходимо для отладки алгоритма ФАИ.
Алгоритм и программа реализованы на языке C# (платформа .NET), для визуализации в десктопной версии использована технология WPF, а в мобильной связка: платформа Xamarin + графический фреймворк Skia.
~
Также в комментариях выше (1, 2) @iShrimp и @alcotel подсказали, что подобную геометрию (но без интерполяции) в теории можно получить и немного другим путём:
берётся временной кадр [например, 1024 отсчёта] с прямоугольным окном
произвобится быстрое преобразование Фурье для получения спектрального кадра
необходимо умножить спектр БПФ на плюс/минус мнимую единицу (знак влияет на ориентацию геометрии по либо против часовой стрелки), что эквивалентно сдвигу спектра по фазе на +/-90 градусов
затем для сдвинутого спектра нужно выполнить обратное БПФ, чтобы получить смещённый по фазе исходный сигнал во временной области
после чего по оси Y откладывать оригинальный исходный сигнал, а по оси X смещённый по фазе
На практике это предположение пока что не проверял, но оно очень похоже на правду.
Стуки и щелчки (прямоугольные всплески) на Фурье-спектре обычно выглядят очень размыто (растекаются), то есть задействуются широкие области спектра, как если бы мы нажали одновременно на десяток-другой соседних клавиш пианино с разной, но значимой интенсивностью.
Интересно, что негромкие щелчки являются хорошими ASMR-триггерами, мне на ум даже приходит гипотеза, что такие широкие тихие спектральные сигналы как-то помогают нервной системе перезагрузиться и сонастроить активность и чувствительность нервных клеток.
Верно, это корректнее назвать отражением, чем преломлением. Но тут, конечно, по большей части догадки и предположения, на практике может оказаться и по-другому...
Например, если воскрикнуть в пустом помещении с голыми стенами, то звуковые волны ещё некоторое время будут отражаться эхом, постепенно затухая. Если же это помещение заставить мебелью и вещами, а на стене повесить ковёр, то волны будут быстро рассеиваться и эффект эхо пропадёт.
Когда стена плоская, то фронт волны отражается от неё линейно, но если стена или потолок, скажем, закруглены, то фронт исходной волны в отражённой начнёт менять форму... Полукруглый свод будет собирать и фокусировать звук словно вогнутое зеркало. Наглядный пример в природе - устройство ушной раковины у животных.
Предполагаю, что сама стенка полости (трубка) и жидкость в ней могут формировать преломляющий акустический переход подобно тому, как световые лучи многократно преломляются в оптическом волокне.
Ранее пробовал использовать параболическую интерполяцию по трём точкам, но всё же для моих задач точность ФАИ по четырём оказалась существенно выше, хотя аналитических обоснований у меня до сих пор нету... Формулы выводились путём моделирования не очень сложных идеальных сигналов и наблюдений за их спектрами при плавных изменениях входных параметров.
Большое спасибо за пояснение, кажется, мне стало понятнее! Есть подозрение, что получится та же геометрическая картинка, но это надо проверить...
Про переходы фаз - это отдельная головоломка! Но в практических экспериментах следующий алгоритм неплохо справляется и с этой задачей
Только не спрашивайте, как его получил... Долго эксперементировал - и вывелось из наблюдений интуитивно!
Если припасть ухом к железнодорожной металлической рельсе и на расстоянии порядка сотен метров ударить по ней, то звук по металлической среде распостранится быстрее, чем по воздуху, поэтому можно будет услышать удар дважды.
В случае не единичного удара, а более длительного гармонического сигнала, волны будут распространяться по двум средам одновременно с некоторой разностью фаз, которая будет зависеть от удалённости источника звука. Сам не проверял, но в теории это будет приводить к появлению чередующихся областей с ослабленой и усиленной слышимостью, то есть появится своеобразная интерференционная картинка.
Что касается улитки, можно выделить три основные среды передачи сигнала: стенка, жидкость в полости, костная основа. Учитывая небольшой размер органа, возможно, скорость передачи в этих разных средах не вносит существенного вклада в процесс восприятия, но многократное преломление волны в полости с дальнейшей интерференцией вполне может происходить подобно световым лучам в вогнутом зеркале.
Всё же природа, наверно, не случайно придала этому слуховому органу такую замысловатую форму, должен быть практический физический смысл в подобной геометрии. Из рукотворных предметов на ум приходят духовые инструменты и рупор граммофона, только улитка работает как-то наоборот - принимает звук...