Представьте в начальной ситуации на бесконечном листе бесконечную сетку из линий: для каждого целого числа и для каждого целого числа . Эта сетка образует клетки вроде бы понятным образом: у каждой клетки границы образованы двумя соседними горизонтальными линиями и двумя соседними вертикальными.
А затем линии сетки преобразовались (масштабировались) в и . Линии с одинаковыми целочисленными "номерами" соответствуют друг другу, а через соответствие линий, ограничивающих клетку, определим соответствие клеток. Пусть (возможно , как в примере выше), тогда можно посчитать, что каждая клетка расширилась и сдвинулась строго определённым образом, так что ни одна на другую не налезла.
Дальше можно, конечно, рассматривать и сужения, сжатия по одной оси и растяжения по другой, положить какое-то плавное изменение коэффициентов и со временем (например, линейное, как предложил @mayorovp, или экспоненциальное) и т.д.
Другие клетки (бесконечное их количество) могут сдвинуться (как в бесконечном отеле), и даже расшириться при этом. Как вам указали в других ветках (например), нужно лишь чтобы клетки не налазили друг на друга в промежуточных и конечных состояниях. Да, это может быть сложно представить, но математически всё получается.
Не могу понять каким образом номер освобождается потому что бесконечное кол-во номеров отеля занято постояльцами. Куда мы их сдвигаем? Пустых же номеров нет.
Хорошо, давайте остановимся на случае одного номера. Для удобства допустим, что управляющий может мгновенно транслировать всем постояльцам сообщение. Он передаёт каждому примерно такую инструкцию: соберите вещи, ровно через час выйдите из своего номера (-го), ещё через 5 минут после этого зайдите в следующий (-й) и располагайтесь там. Допустим, что никто серьёзно не ошибётся и не отклонится от графика. Тогда
каждый постоялец из уже имеющихся спустя всего лишь короткое время заселяется в конкретный номер, недавно освобождённый другим, т.к. для любого натурального числа существует и это тоже натуральное число.
в итоге первый номер (или нулевой, если нумеровать с нуля, а не с единицы) через час освободится, потому что из него выйдет жилец и через 5 минут никто не зайдёт, т.к. его порядковый номер — наименьшее натуральное число; туда может спокойно заселяться новоприбывший.
Я имел в виду следующую постановку. В отеле бесконечно много номеров, которые пронумерованы натуральными числами, изначально все заняты и свободных нет. Потом появляется новый постоялец и хитрый управляющий находит способ его разместить — сдвинуть всех остальных постояльцев "вверх" по номерам, т.е. жильца i-го попросить переехать в (i+1)-ый для каждого натурального i. Первый (или нулевой) номер таким образом освобождается; ничего никуда не пристраивается.
Для конечного числа новых постояльцев n сдвигаем каждого из уже имеющихся на n вместо 1, освобождая нужное количество номеров у "начала". Бесконечное количество можно вместить, например, переместив каждого жильца из i-го номера в -й, тогда доступны становятся всё нечётные. Больше информации есть, например, в Википедии.
Это "оживлённый" пример математической работы со счётными бесконечностями; похожим образом, например, показывается, что натуральных, целых и даже рациональных чисел "одинаково много" (строже говоря, множества равномощны).
По этим примерам, кстати, становится понятно, что не важно, в отеле бесконечное количество этажей (вверх и/или вниз), комнат на этаже (в одну или обе стороны) или и то, и другое сразу — их всё равно можно занумеровать натуральными числами из некой начальной точки, если только этажи и комнаты можно проиндексировать натуральными и/или целыми числами.
Только с этим отелем есть одна маленькая загвоздка: его регистратор - Чак Норрис, он может сосчитать до бесконечности (т.к. ему просто надо называть номер комнаты где произошло переселение). Иными словами, если переселение идёт хоть с какой-то скоростью, волной - то процесс "утряски" никогда не закончится и отель не "сработает".
Ну, процесс (вроде как) неизбежно идёт с "начала" отеля, и переселяемые вынуждены переходить в ещё занятые комнаты. При конечной скорости перемещения/сбора вещей процесс действительно длится вечно, но количество затронутых на любом этапе конечно, что на фоне бесконечного количества жильцов как бы "не существенно". И новоприбывшие могут заселиться на первом шаге, передав инструкции дальше (они обычно достаточно простые).
Переселять в уже освобождённые (и убранные) комнаты не получится, потому что тогда придётся идти со (свободного) конца, которого нет. Не говоря уже о том, что мало кто захочет внезапно получить от отеля требование сменить комнату в середине проживания там.
Может быть, что тут вдумывание в бытовую обёртку вредит красивой идее, но может быть и наоборот, что оно помогает почувствовать нюансы.
Могу ещё посоветовать почитать/посмотреть про "парадокс бесконечного отеля". Там в рамках бесконечного отеля занято бесконечное количество номеров (возможно даже все). Однако в любой момент количество занятых номеров можно увеличить хоть в два раза, хоть в три. Таким образом бесконечность расширится.
По-моему, интереснее всего постановка, когда в бесконечном отеле все номера заняты, но с помощью сдвигов постояльцев можно разместить (освободить номер для) ещё одного новоприбывшего, а также для любого конечного или даже бесконечного количества.
Я в целом и имел в виду, что на нынешнем уровне точности с привязкой к астрономической единице есть ряд тонкостей. Так что это раньше неточность значения а.е. в километрах сильно понижала точность при переводе единиц, сейчас это мало актуально.
В отличие от космологических расстояний из красных смещений, потому как там фигурирует постоянная Хаббла, измерения которой разными группами методов не согласуются. Поэтому пользуются очень легко вводящими в заблужение единицами Мпк/h, где h — это значение постоянной Хаббла в 100 км/с/Мпк (вроде как из прошлого, когда она была то ли 100, то ли 50 км/с/Мпк).
P.S. разве радиусы звёзд заметны не только для ближайших? Орбитальное движение в двойных (и далее) системах — это другое дело, его в данных Gaia выделяют.
А так, да, парсек больше для астрономов, та же Гайа измеряет и публикует паралаксы (расстояния до миллиардов звёзд) в миллисекундах дуги.
Однако Gaia находится не на земной орбите, а возле точки Лагранжа L2 системы Земля-Солнце, что примерно в 2 млн километрах за Землёй. С другой стороны, расстояние от неё до Солнца выражается через полуось земной орбиты и массы.
Хм, 1% только ближайших - это ж проблема прошлого века. 😉 Гайа измеряет паралаксы для ярких звёзд с точностью 5...7 микросекунд дуги (150...200 кпк). Так что и насчёт других галактик, это Вы сильно зря.
Проблема в том, что параллаксы можно измерить только у сравнительно близких звёзд. Даже в нашей галактике хорошо если измерению поддаются 1% ближайших звёзд. А уж о других галактиках и мечтать нечего.
Методы для измерения больших расстояний привязаны к параллаксам (прямо или через посредство промежуточных техник). См., например, "шкала космических расстояний" (она же лестница) в астрономическом словарике.
Световой же год нагляден в соотношении возраста вселенной. Когда квазар находится в 10 млрд св.л. это сразу говорит, не только о дистанции до него, но и о его времени от условного БВ.
Осложняющее обстоятельство в том, что на таких огромных масштабах есть несколько разных расстояний для разных целей (сопутствующее, собственное, углового диаметра, светимости и пути света), и только последнее переводится в разницу возраста, а отличия между ними довольно значительны. Например, в расстоянии пути света радиус наблюдаемой Вселенной около 13.8 млрд световых лет (4.2 гигапарсек), а в сопутствующем (или собственном на сегодня) около 45.7 млрд (14 гигапарсек).
Думаю, что в научно-популярной статье, скорее всего, напишут как раз расстояние пути света, но оно, строго говоря, годится практически только для подсчёта разницы во времени. А, например, отношение реального физического размера к угловому (которое, казалось бы, тоже расстояние, вот только углового диаметра) будет другим. Оно ещё и имеет максимум на красном смещении около 1.5 (в рамках стандартной космологической модели).
Например, я помню, что Млечный путь имеет диаметр примерно 100000 св.л., а мы от центра в 27000 св.л., но у меня нет желания запоминать эти же цифры в парсеках.
Я наоборот, запомнил, что мы от центра примерно в 8 килопарсеках, радиус диска около 30 килопарсеков, а радиус гало около 100.
Путаница обычно возникает от того, что "скоростью расширения Вселенной" могут называть две разные величины. В основе обеих лежит масштабный фактор , пропорционально которому растягиваются физические расстояния между объектами во Вселенной на больших масштабах.
Скоростью расширения можно считать просто производную масштабного фактора по времени (). С 1998 года измерения убедительно показывают, что эта величина сейчас растёт.
Можно также взять относительную скорость расширения — производную масштабного фактора, делённую на сам масштабный фактор (). Она же параметр Хаббла ; постоянная Хаббла — это только для нынешнего момента . И вот относительная скорость/параметр Хаббла со временем скорее падает. Чтобы она росла в рамках модели Фридмана, нужно увеличение плотности энергии со временем, например, от "фантомной" тёмной энергии (а не космологической постоянной).
Ничто не может сокращать свою дистанцию с горизонтом событий - даже свет. "Световой конус" не позволяет. Внутри чёрной дыры (Шварцшильда) он всегда, при любых условиях, в любых ИСО, в любой точке направлен своими "раструбами" от горизонта событий к сингулярности. Следствие всегда происходит ближе к сингулярности, чем причина.
Решение Шварцшильда — для вакуума. Строго говоря, оно продолжается до центра чёрной дыры только если там находится точечная масса. (С решением Керра аналогично, только масса в некотором смысле в виде бесконечно тонкого кольца.)
Для VS Code есть плагин, который меняет фон у русских букв
Highlight Bad Chars это может, например, — есть опция выделения любых не-ASCII символов.
Кроме того, у меня VS Code и без того, сам по себе обрамляет кириллицу в Python исходниках, но не в plain text. Включена (по умолчанию?) опция подчёркивания символов, которые могут быть перепутаны с ASCII и при этом не обычны для пользовательской локали (en_US).
Кириллические буквы в Юникоде идут после "основной" латиницы, так что коды у них разные. Кроме того, в UTF-8 только символы ASCII помещаются в один байт, а любая кириллическая буква вроде как записывается двумя (как и, например, "расширенная" латиница или греческие символы).
Однако шрифт, где обычно похожие буквы было бы легче отличить, пока не нашёл/вспомнил.
Для быстрой проверки обычно смотрю ord() символа в python.
Принцип Паули задаёт максимальную плотность фермионов в фазовом пространстве (обычное + импульсное). Чем выше плотность в обычном пространстве, тем больший шар в импульсном пространстве должны занимать частицы (шар, потому что они всё же стремятся к минимально возможной энергии и соответственно импульсу с учётом запрета). Импульсы продолжают увеличиваться, но скорость ограничена скоростью света и её рост постепенно замедляется.
На гарвардском магистерском курсе про звёзды была задача о белом карлике, где давление считалось как интеграл с учётом вышеуказанных соображений, и дальше решалось уравнение гидростатического равновесия с ньютоновской гравитационной силой. Это относительно простой случай, потому что давление создаётся только электронами, которые составляют малую долю массы.
С нейтронными звёздами всё значительно сложнее, потому что там в центре (почти) вся масса ультрарелятивистская, давление начинает быть сравнимо с плотностью энергии и тоже существенно влиять на гравитационное поле (в общей теории относительности источником гравитации являются все элементы тензора энергии-импульса).
У меня с прошлого года сохранилась "туристическая" предоплатная симка греческого Vodafone. Там аналогично: 30-дневный безлимит в европейском роуминге (ЕС + Соединённое королевство и кое-что ещё) имеет fair usage policy ограничение в 22 ГБ, недельный — в 6.1 ГБ, дневной — в 1 ГБ. Ограниченные пакеты интернета имеют немного более сильный лимит в роуминге (около 80% домашнего). Швейцария не включена, но для неё (и ряда других стран) предлагают купить недельный пакет роуминга с 80 минутами и 2.5 ГБ за 14.50 евро.
При переводе новости ещё потерялся меметичный момент, что клиент был из Флориды (Florida man). Хотя, возможно, он недостаточно известен аудитории Хабра.
Представьте в начальной ситуации на бесконечном листе бесконечную сетку из линий:
для каждого целого числа 
и 
для каждого целого числа 
. Эта сетка образует клетки вроде бы понятным образом: у каждой клетки границы образованы двумя соседними горизонтальными линиями и двумя соседними вертикальными.
А затем линии сетки преобразовались (масштабировались) в
и 
. Линии с одинаковыми целочисленными "номерами" соответствуют друг другу, а через соответствие линий, ограничивающих клетку, определим соответствие клеток. Пусть 
(возможно 
, как в примере выше), тогда можно посчитать, что каждая клетка расширилась и сдвинулась строго определённым образом, так что ни одна на другую не налезла.
Дальше можно, конечно, рассматривать и сужения, сжатия по одной оси и растяжения по другой, положить какое-то плавное изменение коэффициентов
и 
со временем (например, линейное, как предложил @mayorovp, или экспоненциальное) и т.д.
Другие клетки (бесконечное их количество) могут сдвинуться (как в бесконечном отеле), и даже расшириться при этом. Как вам указали в других ветках (например), нужно лишь чтобы клетки не налазили друг на друга в промежуточных и конечных состояниях. Да, это может быть сложно представить, но математически всё получается.
Хорошо, давайте остановимся на случае одного номера. Для удобства допустим, что управляющий может мгновенно транслировать всем постояльцам сообщение. Он передаёт каждому примерно такую инструкцию: соберите вещи, ровно через час выйдите из своего номера (
-го), ещё через 5 минут после этого зайдите в следующий (
-й) и располагайтесь там. Допустим, что никто серьёзно не ошибётся и не отклонится от графика. Тогда
каждый постоялец из уже имеющихся спустя всего лишь короткое время заселяется в конкретный номер, недавно освобождённый другим, т.к. для любого натурального числа
существует 
и это тоже натуральное число.
в итоге первый номер (или нулевой, если нумеровать с нуля, а не с единицы) через час освободится, потому что из него выйдет жилец и через 5 минут никто не зайдёт, т.к. его порядковый номер — наименьшее натуральное число; туда может спокойно заселяться новоприбывший.
Другие случаи аналогичны.
Я имел в виду следующую постановку. В отеле бесконечно много номеров, которые пронумерованы натуральными числами, изначально все заняты и свободных нет. Потом появляется новый постоялец и хитрый управляющий находит способ его разместить — сдвинуть всех остальных постояльцев "вверх" по номерам, т.е. жильца i-го попросить переехать в (i+1)-ый для каждого натурального i. Первый (или нулевой) номер таким образом освобождается; ничего никуда не пристраивается.
Для конечного числа новых постояльцев n сдвигаем каждого из уже имеющихся на n вместо 1, освобождая нужное количество номеров у "начала". Бесконечное количество можно вместить, например, переместив каждого жильца из i-го номера в
-й, тогда доступны становятся всё нечётные. Больше информации есть, например, в Википедии.
Это "оживлённый" пример математической работы со счётными бесконечностями; похожим образом, например, показывается, что натуральных, целых и даже рациональных чисел "одинаково много" (строже говоря, множества равномощны).
По этим примерам, кстати, становится понятно, что не важно, в отеле бесконечное количество этажей (вверх и/или вниз), комнат на этаже (в одну или обе стороны) или и то, и другое сразу — их всё равно можно занумеровать натуральными числами из некой начальной точки, если только этажи и комнаты можно проиндексировать натуральными и/или целыми числами.
Ну, процесс (вроде как) неизбежно идёт с "начала" отеля, и переселяемые вынуждены переходить в ещё занятые комнаты. При конечной скорости перемещения/сбора вещей процесс действительно длится вечно, но количество затронутых на любом этапе конечно, что на фоне бесконечного количества жильцов как бы "не существенно". И новоприбывшие могут заселиться на первом шаге, передав инструкции дальше (они обычно достаточно простые).
Переселять в уже освобождённые (и убранные) комнаты не получится, потому что тогда придётся идти со (свободного) конца, которого нет. Не говоря уже о том, что мало кто захочет внезапно получить от отеля требование сменить комнату в середине проживания там.
Может быть, что тут вдумывание в бытовую обёртку вредит красивой идее, но может быть и наоборот, что оно помогает почувствовать нюансы.
По-моему, интереснее всего постановка, когда в бесконечном отеле все номера заняты, но с помощью сдвигов постояльцев можно разместить (освободить номер для) ещё одного новоприбывшего, а также для любого конечного или даже бесконечного количества.
Старая байка про аналогичную ошибку на иврите
Конечно, между "поддаются измерению" и "измеряются" разница существенная. Так что, наверное, это не столько переоценка, как интересное совпадение.
Я в целом и имел в виду, что на нынешнем уровне точности с привязкой к астрономической единице есть ряд тонкостей. Так что это раньше неточность значения а.е. в километрах сильно понижала точность при переводе единиц, сейчас это мало актуально.
В отличие от космологических расстояний из красных смещений, потому как там фигурирует постоянная Хаббла, измерения которой разными группами методов не согласуются. Поэтому пользуются очень легко вводящими в заблужение единицами Мпк/h, где h — это значение постоянной Хаббла в 100 км/с/Мпк (вроде как из прошлого, когда она была то ли 100, то ли 50 км/с/Мпк).
P.S. разве радиусы звёзд заметны не только для ближайших? Орбитальное движение в двойных (и далее) системах — это другое дело, его в данных Gaia выделяют.
Однако Gaia находится не на земной орбите, а возле точки Лагранжа L2 системы Земля-Солнце, что примерно в 2 млн километрах за Землёй. С другой стороны, расстояние от неё до Солнца выражается через полуось земной орбиты и массы.
Вы немного переоценили прогресс. Gaia измеряет 2 миллиарда параллаксов, что как раз около 1% звёзд Млечного пути. Хотя не все они в пределах нашей галактики, действительно.
Методы для измерения больших расстояний привязаны к параллаксам (прямо или через посредство промежуточных техник). См., например, "шкала космических расстояний" (она же лестница) в астрономическом словарике.
Осложняющее обстоятельство в том, что на таких огромных масштабах есть несколько разных расстояний для разных целей (сопутствующее, собственное, углового диаметра, светимости и пути света), и только последнее переводится в разницу возраста, а отличия между ними довольно значительны. Например, в расстоянии пути света радиус наблюдаемой Вселенной около 13.8 млрд световых лет (4.2 гигапарсек), а в сопутствующем (или собственном на сегодня) около 45.7 млрд (14 гигапарсек).
Думаю, что в научно-популярной статье, скорее всего, напишут как раз расстояние пути света, но оно, строго говоря, годится практически только для подсчёта разницы во времени. А, например, отношение реального физического размера к угловому (которое, казалось бы, тоже расстояние, вот только углового диаметра) будет другим. Оно ещё и имеет максимум на красном смещении около 1.5 (в рамках стандартной космологической модели).
Я наоборот, запомнил, что мы от центра примерно в 8 килопарсеках, радиус диска около 30 килопарсеков, а радиус гало около 100.
Действительно, внутренняя метрика Шварцшильда для внутренностей шара однородной плотности. Только она не поддерживает чёрные дыры — давление начинает обращаться в бесконечность раньше, чем гравитационный радиус достигает радиуса целого шара (а для меньших шаров радиус Шварцшильда будет убывать пропорционально кубу обычного).
Путаница обычно возникает от того, что "скоростью расширения Вселенной" могут называть две разные величины. В основе обеих лежит масштабный фактор
, пропорционально которому растягиваются физические расстояния между объектами во Вселенной на больших масштабах.
Скоростью расширения можно считать просто производную масштабного фактора по времени (
). С 1998 года измерения убедительно показывают, что эта величина сейчас растёт.
Можно также взять относительную скорость расширения — производную масштабного фактора, делённую на сам масштабный фактор (
). Она же параметр Хаббла 
; постоянная Хаббла 
— это только для нынешнего момента 
. И вот относительная скорость/параметр Хаббла со временем скорее падает. Чтобы она росла в рамках модели Фридмана, нужно увеличение плотности энергии со временем, например, от "фантомной" тёмной энергии (а не космологической постоянной).
Решение Шварцшильда — для вакуума. Строго говоря, оно продолжается до центра чёрной дыры только если там находится точечная масса. (С решением Керра аналогично, только масса в некотором смысле в виде бесконечно тонкого кольца.)
Highlight Bad Chars это может, например, — есть опция выделения любых не-ASCII символов.
Кроме того, у меня VS Code и без того, сам по себе обрамляет кириллицу в Python исходниках, но не в plain text. Включена (по умолчанию?) опция подчёркивания символов, которые могут быть перепутаны с ASCII и при этом не обычны для пользовательской локали (en_US).
Кириллические буквы в Юникоде идут после "основной" латиницы, так что коды у них разные. Кроме того, в UTF-8 только символы ASCII помещаются в один байт, а любая кириллическая буква вроде как записывается двумя (как и, например, "расширенная" латиница или греческие символы).
Однако шрифт, где обычно похожие буквы было бы легче отличить, пока не нашёл/вспомнил.
Для быстрой проверки обычно смотрю
ord()символа в python.В целом вроде бы так.
Принцип Паули задаёт максимальную плотность фермионов в фазовом пространстве (обычное + импульсное). Чем выше плотность в обычном пространстве, тем больший шар в импульсном пространстве должны занимать частицы (шар, потому что они всё же стремятся к минимально возможной энергии и соответственно импульсу с учётом запрета). Импульсы продолжают увеличиваться, но скорость ограничена скоростью света и её рост постепенно замедляется.
На гарвардском магистерском курсе про звёзды была задача о белом карлике, где давление считалось как интеграл
с учётом вышеуказанных соображений, и дальше решалось уравнение гидростатического равновесия с ньютоновской гравитационной силой. Это относительно простой случай, потому что давление создаётся только электронами, которые составляют малую долю массы.
С нейтронными звёздами всё значительно сложнее, потому что там в центре (почти) вся масса ультрарелятивистская, давление начинает быть сравнимо с плотностью энергии и тоже существенно влиять на гравитационное поле (в общей теории относительности источником гравитации являются все элементы тензора энергии-импульса).
У меня с прошлого года сохранилась "туристическая" предоплатная симка греческого Vodafone. Там аналогично: 30-дневный безлимит в европейском роуминге (ЕС + Соединённое королевство и кое-что ещё) имеет fair usage policy ограничение в 22 ГБ, недельный — в 6.1 ГБ, дневной — в 1 ГБ. Ограниченные пакеты интернета имеют немного более сильный лимит в роуминге (около 80% домашнего). Швейцария не включена, но для неё (и ряда других стран) предлагают купить недельный пакет роуминга с 80 минутами и 2.5 ГБ за 14.50 евро.
При переводе новости ещё потерялся меметичный момент, что клиент был из Флориды (Florida man). Хотя, возможно, он недостаточно известен аудитории Хабра.