Система типов в математике
Пример. «Интервал является замкнутым или открытым?»
Пример. «Является ли группой?»
Пример. «Каков ряд Фурье для ?»
А вот ещё более глупые примеры.
Пример. «Является ли прямоугольник простым?»
Пример. "?"
Пример. «Каков ряд Фурье для пустого множества?»
Объединяет все эти примеры то, что они являются ошибками типизации: это попытки применения некого математического процесса к математическому объекту, который никак не может быть входными данными для него. Если для ответа на эти вопросы вы попытаетесь написать программу на каком-нибудь высоко математическом языке программирования, то она (я надеюсь!) не скомпилируется.
Математические объекты обычно не воспринимаются явно как имеющие типы в том же смысле, что и объекты в языках программирования с системой типов. Предполагается, что обычная математика должна формализироваться в системе Цермело — Френкеля (ZF), возможно, с аксиомой выбора, а в ZF каждый математический объект конструируется как множество. В этом смысле все эти объекты имеют одинаковый тип. (В частности, вопрос "" вполне логичен в ZF! И это одна из причин, по которой стоит не любить ZF в качестве основы для математики.) Однако, мне кажется, что на практике математические объекты неявно воспринимаются, как имеющие типы, и такой образ мышления математики усваивают, но не часто обсуждают.

