вместо этого определяют сразу предел в точке, которая не является точкой сгущения области, там получается, что он тогда равен значению функции в этой точке (например, по Иванову функция всегда непрерывна в изолированной точке, если она в ней определена).
Вы повторяете одну и ту же ошибку. Предел функции в точке не имеет никакого отношения к значению функции в этой точке. И это досадно, что вы повторяете. Пределы вычисляются только в предельных точках множества (точках сгущения, по-вашему), потому у Ф. так и написано.
Изолированная точка или неизолированная (предельная) важно только для определения непрерывности. Тривиальный случай непрерывности возникает в изолированной точке. Там все равно какая функция, лишь бы точка лежала в области определения. Это все не по Иванову, а по Зоричу, с которым, возможно, Иванов согласен. Главное, что это вырожденный случай, который не дает никакой информации о поведении функции в точке.
А если бы он (Ф.) использовал предел по Гейне, то, что точка предельная для множества пришлось бы упоминать тоже, потому что вам нужно обеспечить сходимость последовательностей из аргументов к этой точке.
И нам давали два, и их эквивалентность. И потому непонятна идея противопоставления. Кого удобнее, того и применяем. Нам вообще читали с ходу пределы по базе, и ничего, знаете, никто не умер. Интересно, как из этого вырастают все другие конструкции, хотя конечно, исторически, высшие абстракции всегда вырастают из более ранних.
Мы показали, что определения по Коши и по Гейне эквивалентны друг другу, и теперь в случае необходимости будем пользоваться тем или другим. Как правило, если нам нужно доказать, что предел чему-то равен, мы будем пользоваться определением по Коши. Определение по Гейне удобно там, где нужно доказывать противоположное утверждение (что предел чему-то не равен, или вообще не существует), а также в некоторых теоретических построениях.
В выделенной вами цитате правильно написано, и выше мне уже приходилось говорить то же. В перенесенном тексте скрина определение неверно (третий раз повторюсь), и как следствие, у вас тоже. Элементы последовательности берут не совпадающие с предельной точкой, чтобы не говорить более сложных слов - что начиная с некоторого номера таких совпадений не случается. Контрпример, почему это неверно, вам уже привели. Возьмите любую функцию с устранимым разрывом в точке A и последовательность, к примеру, стационарную, равную А.
Сходимость последовательности в одной точке не означает, что функция на её основе будет сходиться (x+3). "
Означает. Это определение предела функции по Гейне.
Нет, это не определение. Потому что нужно рассматривать все возможные последовательности сходящиеся к точке и не принимающие это значение. Все, а не одну. И когда предел нетривиален, по сути, вы сперва займетесь вычислением предела функции (безо всякого определения). А потом будете туда подставлять последовательность. Используя тем самым теорему о пределе сложной функции, для которой уже нужно существование предела функции и его значение.
Если вдруг непонятно, о чем я говорю, посмотрите на вычисление предела по Гейне первого замечательного предела. И прямо по Гейне его и сосчитайте.
Проще, значит. Хорошо, покажите, что это проще. Докажите равномерную непрерывность на области определения. По Гейне. Интересно посмотреть на эту простоту.
Нет, не определяют. Обычно, определяя предел функции, подчеркивают, что на его значение влияет лишь поведение функции именно в проколотой окрестности точки. В самой точке функция может быть какой угодно, в том числе может быть не определена. Вы в своих рассуждениях действительно неявно для самого себя используете непрерывность + теорему о пределе сложной функции, а не предел по Гейне, в котором последовательность не просто любая, а любая не принимающая значение своего предела.
Не вижу я, чтобы проще. Я знаю, как исходя из определения Коши доказывать. Это само по себе просто. И не нужны навороты от противного (то что вы привели), так как раз контринтуитивно и ничего не видно. Вполне доказывается напрямую. А вот как по Гейне напрямую, чтобы ничего не упустить - не видно.
Больное место с рассуждениями по Гейне в начинающейся стандартной подмене понятий. Первый курс так пределы считает, раз икс стремится к трем, то икс минус 3 к нулю. У вас то же самое - раз x_n к трем, то x_n минус три к нулю. То есть просто берем и подставляем.
Не замечая, кстати, что ваше определение в текущем виде содержит ошибку и так как есть работает только для непрерывных функций. Потому что требуется не просто любая последовательность, а любая из проколотой окрестности своего предела.
Проще не будет, будут незаметнее ошибки в логике.
У Гейне есть своя область применения - доказательства от противного или например доказательства, что предел не существует. И тому подобное.
Да, есть гораздо более прозрачные доказательства теоремы Кантора. И возможно, многие бы разделили вашу неприязнь к плохо приготовленному эпсилон дельта, если не некоторые но. Как вы будете доказывать Кантора, пользуясь Гейне? определения равномерной непрерывности по Гейне нет. Как и равномерной сходимости. Как и многих других определений, которые нужны, вон, уже устойчивость вспомнили.
Извините, у вас опечатка. Этот предел равен 1, а не e.
И еще раз: не путайте предел с непрерывностью.
Вы повторяете одну и ту же ошибку. Предел функции в точке не имеет никакого отношения к значению функции в этой точке. И это досадно, что вы повторяете. Пределы вычисляются только в предельных точках множества (точках сгущения, по-вашему), потому у Ф. так и написано.
Изолированная точка или неизолированная (предельная) важно только для определения непрерывности. Тривиальный случай непрерывности возникает в изолированной точке. Там все равно какая функция, лишь бы точка лежала в области определения. Это все не по Иванову, а по Зоричу, с которым, возможно, Иванов согласен. Главное, что это вырожденный случай, который не дает никакой информации о поведении функции в точке.
А если бы он (Ф.) использовал предел по Гейне, то, что точка предельная для множества пришлось бы упоминать тоже, потому что вам нужно обеспечить сходимость последовательностей из аргументов к этой точке.
... Никому не запретишь изобретать велосипед.
И нам давали два, и их эквивалентность. И потому непонятна идея противопоставления. Кого удобнее, того и применяем. Нам вообще читали с ходу пределы по базе, и ничего, знаете, никто не умер. Интересно, как из этого вырастают все другие конструкции, хотя конечно, исторически, высшие абстракции всегда вырастают из более ранних.
В выделенной вами цитате правильно написано, и выше мне уже приходилось говорить то же.
В перенесенном тексте скрина определение неверно (третий раз повторюсь), и как следствие, у вас тоже. Элементы последовательности берут не совпадающие с предельной точкой, чтобы не говорить более сложных слов - что начиная с некоторого номера таких совпадений не случается. Контрпример, почему это неверно, вам уже привели. Возьмите любую функцию с устранимым разрывом в точке A и последовательность, к примеру, стационарную, равную А.
Нет, это не определение. Потому что нужно рассматривать все возможные последовательности сходящиеся к точке и не принимающие это значение. Все, а не одну. И когда предел нетривиален, по сути, вы сперва займетесь вычислением предела функции (безо всякого определения). А потом будете туда подставлять последовательность. Используя тем самым теорему о пределе сложной функции, для которой уже нужно существование предела функции и его значение.
Если вдруг непонятно, о чем я говорю, посмотрите на вычисление предела по Гейне первого замечательного предела. И прямо по Гейне его и сосчитайте.
Проще, значит. Хорошо, покажите, что это проще. Докажите равномерную непрерывность
на области определения. По Гейне. Интересно посмотреть на эту простоту.
Нет, не определяют. Обычно, определяя предел функции, подчеркивают, что на его значение влияет лишь поведение функции именно в проколотой окрестности точки. В самой точке функция может быть какой угодно, в том числе может быть не определена. Вы в своих рассуждениях действительно неявно для самого себя используете непрерывность + теорему о пределе сложной функции, а не предел по Гейне, в котором последовательность не просто любая, а любая не принимающая значение своего предела.
Не вижу я, чтобы проще. Я знаю, как исходя из определения Коши доказывать. Это само по себе просто. И не нужны навороты от противного (то что вы привели), так как раз контринтуитивно и ничего не видно. Вполне доказывается напрямую. А вот как по Гейне напрямую, чтобы ничего не упустить - не видно.
Больное место с рассуждениями по Гейне в начинающейся стандартной подмене понятий. Первый курс так пределы считает, раз икс стремится к трем, то икс минус 3 к нулю. У вас то же самое - раз x_n к трем, то x_n минус три к нулю. То есть просто берем и подставляем.
Не замечая, кстати, что ваше определение в текущем виде содержит ошибку и так как есть работает только для непрерывных функций. Потому что требуется не просто любая последовательность, а любая из проколотой окрестности своего предела.
Проще не будет, будут незаметнее ошибки в логике.
У Гейне есть своя область применения - доказательства от противного или например доказательства, что предел не существует. И тому подобное.
Да, есть гораздо более прозрачные доказательства теоремы Кантора. И возможно, многие бы разделили вашу неприязнь к плохо приготовленному эпсилон дельта, если не некоторые но. Как вы будете доказывать Кантора, пользуясь Гейне? определения равномерной непрерывности по Гейне нет. Как и равномерной сходимости. Как и многих других определений, которые нужны, вон, уже устойчивость вспомнили.