Зрительно похожи, но атом — это, все-таки, гораздо более простая система. Это интегрируемая система (если считать, что электроны между собой не отталкиваются), ее двумерный аналог — стоячие волны на круглой пластинке. Вот атом в магнитном поле уже хаотическая система.
Насколько я знаю, если шарик не попадет ни на одну периодическую орбиту, то его траектория заметет все точки бильярда (это называется топологическим перемешиванием). Вопрос в том, какова вероятность этого попадания.
Периодические орбиты и все остальные траектории соотносятся примерно как рациональные и иррациональные числа: хотя рациональных чисел бесконечно много и они образуют плотное множество, при выборе случайной точки на координатной прямой мы попадем в рациональное число с вероятностью 0 и в иррациональное с вероятностью 1. Потому что иррациональных чисел все равно в бесконечное число раз больше.
И с траекториями так же: запуская шарик из случайной точки под случайным углом, с вероятностью 1 мы получим «хаотическую» траекторию, на которой шарик рано или поздно посетит все точки бильярда.
Получается, хаотические бильярды можно разделить на две группы — облигатно хаотические (при любом направлении импульса) и факультативно хаотические
Мне кажется, все бильярды факультативно хаотические, на всех так или иначе существуют периодические орбиты. Впрочем, я здесь не специалист, могу ошибаться.
Да я тоже так раньше думал: песчинки скапливаются на узловых линиях, потому что с других точек их просто сбрасывает колебаниями. И, скорее всего, в вакууме так и будет. Но в воздухе, судя по всему, воздушные потоки тоже играют не последнюю роль.
Вообще, надо подумать над теоремой Карно в случае несжимаемого тела, потому что здесь правда есть проблема. Она заключается в том, что КПД цикла Брайтона в этом случае становится равен 1-p2/p1, а КПД цикла Карно 1-T(V2)/T(V1) (уравнение состояния несжимаемого вещества можно записать как T = T(V), поскольку давление объем зависит только от температуры, но не от давления).
Здесь ничто не мешает сделать КПД цикла выше предела Карно. С другой стороны, сам цикл Карно в этом случае вырождается в линию, потому что для несжимаемого вещества изотерма, адиабата и изохора совпадают. Поэтому КПД цикла Карно — это, фактически, 0/0 — нулевая работа, поделенная на нулевой приток теплоты, и формула 1-T(V2)/T(V1) может не иметь особого смысла.
По-моему, оно становится правильным, если материал мы считаем несжимаемым, и при этом, действительно, КПД можно устремить к единице. Но только КПД цикла Карно тоже будет стремиться к единице, причем быстрее.
Или так можно объяснить: пусть мы хотим устремить КПД цикла Брайтона слабо сжимаемого вещества (p1 — p2)/p1 к единице, оставляя при этом КПД Карно (T1 — T2)/T1 постоянным, чтобы нарушить теорему Карно. В этом случае нам нужно делать p1 — p2 как можно больше, т.е. вытягивать цикл вертикально, по оси p. А разницу температур T1 — T2 нужно оставлять постоянной, а это значит, нужно оставлять постоянной разницу V1 — V2 (в несжимаемом веществе T зависит только от V). Но при таком вытянутом цикле большую роль будет играть отклонение адиабаты от вертикальной изохоры, т.е. даже слабая сжимаемость вещества, приводящая к этому отклонению, будет давать заметный эффект, и ей нельзя пренебрегать при расчете КПД.
Да вроде теорема Карно работает при любой сжимаемости материала. Можно считать, что несжимаемый материал — это материал с показателем адиабаты, стремящимся к бесконечности, тогда КПД цикла Брайтона будет 1 — p2/p1, где p1 и p2 — давления на верхней и нижней изобарах. А КПД Карно при этих же условиях будет 1 — T2/T1 = 1 — (p2/p1)(V2/V1), где V1 и V2 — объемы на правой и левой изохорах. Так как V2 < V1, КПД Карно будет больше.
При «неправильном» расчете, кстати, КПД тоже будет равен 1 — p2/p1, как и при правильном (в пределе несжимаемого вещества), так что в этом пределе действительно пропадает разница между двумя расчетами.
Теорема Карно должна быть справедлива для любых циклов и любых рабочих тел, если T_1 понимать как максимальную достигаемую во всем цикле температуру, а T_2 как минимальную.
Насчет цикла я подумал и, кажется, все понял: если заменить шарик сосудом с газом, то g будет аналогом давления, а высота центра масс шарика Y будет аналогом объема. Поэтому правильный цикл будет похож на цикл Брайтона:
1) Нагреваем шарик при g = const (аналог изобары), при этом его центр масс поднимается (аналог увеличения объема газа).
2) Меняем величину g (перевешиваем шарик), это будет адиабатический процесс.
3) Отводим от шарика тепло при g = const (но уже меньшей по величине), это будет вторая «изобара».
4) Возвращаем g к прежнему значению (отцепляем шарик от нитки и кладем на стол), это вторая адиабата.
КПД такого цикла, как и следует, не превышает КПД цикла Карно. А вот если мы будем следовать логике неправильного решения, то нам нужно «срезать» адиабаты, заменив стадии 2 и 4 изохорами: мы предполагаем, что, пока мы меняем g (перевешиваем шарик), он у нас не деформируется, т.е. величина Y (аналог объема) постоянна. Если посчитать КПД такого процесса, то он сможет и превышать КПД цикла Карно.
Ошибка здесь в том, что:
А) Либо мы должны считать процесс перевешивания адиабатическим, и тогда две адиабаты дадут свой вклад в работу.
Б) Либо мы считаем процесс перевешивания изохорным, но тогда нужно учитывать при этом процессы передачи тепла.
При неправильном решении учитываемая в расчете КПД передача тепла берется из варианта Б, а совершаемая системой работа берется из варианта А, эта непоследовательность приводит к нарушению теоремы Карно.
Подумал над стержнем с зубчатым колесом: мне кажется, задача принципиально не отличается. Формула для КПД при «наивном» рассмотрении будет такой же, если заменить MgR на FL — произведение силы, сопротивляющейся расширению стержня, на длину этого стержня.
Здесь тоже можно устремить КПД к единице, делая стержень тонким. И тот же фактор упускается при «наивном» рассмотрении: под нагрузкой у стержня теплоемкость будет меняться.
Ну так в любом термодинамическом цикле система в каждый момент времени находится в равновесии с окружением, только это состояние равновесия бесконечно медленно изменяется (квазистатический процесс). Так потихоньку работа и совершается. Здесь нужно придумать что-то похожее, чтобы поднятый в конце шарик не упал вниз, после того, как мы отцепим его от подвеса, а медленно опустился, совершив при этом работу.
Формулу для КПД прилагаю, там C_0 — теплоемкость шарика, M — его масса, R — радиус.
Можете по этой ссылке попробовать скачать: https://arxiv.org/abs/1502.01337
У рабочего тела (шарика) внутреннее состояние вполне себе замыкается в цикл, нужно просто подумать над таким механизмом передачи работы от шарика к внешней системе, чтобы в каждый момент времени все находилось в состоянии термодинамического равновесия.
Да, лучше, конечно, сравнивать величины одинаковых размерностей. Это жаргон теоретиков — при неправильном решении эффект первого порядка малости по ангармонизму, при правильном — уже второго порядка.
T*α — это процентное изменение размера тела при нагреве от абсолютного нуля до комнатной температуры (для стали, например, это порядка 0.004), а величина T*(∂α/∂T)/α уже, вроде бы, побольше (порядка 0.15), если судить по этим графикам:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b2/Coefficient_dilatation_lineique_aciers.svg
Все расчеты есть же в статье, на которую дана ссылка. КПД дается формулой (5), видно, что если R растет, то КПД стремится к 100%.
Про цикл — вопрос интересный. В переменных (g,T) это будет прямоугольник, но для замыкания цикла нужно как-то модифицировать модель, введя внешнюю систему, над которой шарик будет совершать работу.
Вообще-то, возбудится суперпозиция разных фононов. А если взять, например, суперпозицию колебания типа «всестороннее расширение-сжатие» и дипольного колебания, то она уже приведет к колебаниям центра масс с суммарной и разностной частотами. Сами же фононы за счет ангармонизма будут распадаться на фононы меньших энергий, пока вся система не термализуется.
Да, такое сейчас сплошь и рядом — поверхностные теоретические работы, не имеющие с реальным экспериментом ничего общего. Но и точные решения с 10 приближениями тоже иногда оказываются важны, например, точное решение уравнений Эйнштейна для черной дыры или решения Фридмана для расширяющейся Вселенной.
Ну здесь разница в том, что молекула водорода своим ударом может вызвать колебания формы шариков и раскачать их. Колебания формы потом затухнут и их энергия все равно перейдет в тепло. Раскачивание шариков тоже, так или иначе, затухнет, отдав свою энергию частично шарику, частично поверхности стола или веревке. Это уже сложнее оценить, куда пойдет сколько энергии, зависит от того, в какое именно место шарика молекула ударит.
1) Ну я видел разные варианты формулировок, и «находящиеся при одинаковой температуре», и «имеющие одинаковую температуру». Согласен, что второй вариант более удачный и однозначно интерпретируемый.
2) По умолчанию положительный, как для большинства материалов, но это уже школьник должен додумывать сам.
3) Если шарик абсолютно твердый, то и расширяться и деформироваться не будет. Не очень понятно, как вообще скрестить абсолютную твердость и тепловые процессы, может возникнуть много противоречий.
Периодические орбиты и все остальные траектории соотносятся примерно как рациональные и иррациональные числа: хотя рациональных чисел бесконечно много и они образуют плотное множество, при выборе случайной точки на координатной прямой мы попадем в рациональное число с вероятностью 0 и в иррациональное с вероятностью 1. Потому что иррациональных чисел все равно в бесконечное число раз больше.
И с траекториями так же: запуская шарик из случайной точки под случайным углом, с вероятностью 1 мы получим «хаотическую» траекторию, на которой шарик рано или поздно посетит все точки бильярда.
Мне кажется, все бильярды факультативно хаотические, на всех так или иначе существуют периодические орбиты. Впрочем, я здесь не специалист, могу ошибаться.
Здесь ничто не мешает сделать КПД цикла выше предела Карно. С другой стороны, сам цикл Карно в этом случае вырождается в линию, потому что для несжимаемого вещества изотерма, адиабата и изохора совпадают. Поэтому КПД цикла Карно — это, фактически, 0/0 — нулевая работа, поделенная на нулевой приток теплоты, и формула 1-T(V2)/T(V1) может не иметь особого смысла.
Или так можно объяснить: пусть мы хотим устремить КПД цикла Брайтона слабо сжимаемого вещества (p1 — p2)/p1 к единице, оставляя при этом КПД Карно (T1 — T2)/T1 постоянным, чтобы нарушить теорему Карно. В этом случае нам нужно делать p1 — p2 как можно больше, т.е. вытягивать цикл вертикально, по оси p. А разницу температур T1 — T2 нужно оставлять постоянной, а это значит, нужно оставлять постоянной разницу V1 — V2 (в несжимаемом веществе T зависит только от V). Но при таком вытянутом цикле большую роль будет играть отклонение адиабаты от вертикальной изохоры, т.е. даже слабая сжимаемость вещества, приводящая к этому отклонению, будет давать заметный эффект, и ей нельзя пренебрегать при расчете КПД.
При «неправильном» расчете, кстати, КПД тоже будет равен 1 — p2/p1, как и при правильном (в пределе несжимаемого вещества), так что в этом пределе действительно пропадает разница между двумя расчетами.
Насчет цикла я подумал и, кажется, все понял: если заменить шарик сосудом с газом, то g будет аналогом давления, а высота центра масс шарика Y будет аналогом объема. Поэтому правильный цикл будет похож на цикл Брайтона:
1) Нагреваем шарик при g = const (аналог изобары), при этом его центр масс поднимается (аналог увеличения объема газа).
2) Меняем величину g (перевешиваем шарик), это будет адиабатический процесс.
3) Отводим от шарика тепло при g = const (но уже меньшей по величине), это будет вторая «изобара».
4) Возвращаем g к прежнему значению (отцепляем шарик от нитки и кладем на стол), это вторая адиабата.
КПД такого цикла, как и следует, не превышает КПД цикла Карно. А вот если мы будем следовать логике неправильного решения, то нам нужно «срезать» адиабаты, заменив стадии 2 и 4 изохорами: мы предполагаем, что, пока мы меняем g (перевешиваем шарик), он у нас не деформируется, т.е. величина Y (аналог объема) постоянна. Если посчитать КПД такого процесса, то он сможет и превышать КПД цикла Карно.
Ошибка здесь в том, что:
А) Либо мы должны считать процесс перевешивания адиабатическим, и тогда две адиабаты дадут свой вклад в работу.
Б) Либо мы считаем процесс перевешивания изохорным, но тогда нужно учитывать при этом процессы передачи тепла.
При неправильном решении учитываемая в расчете КПД передача тепла берется из варианта Б, а совершаемая системой работа берется из варианта А, эта непоследовательность приводит к нарушению теоремы Карно.
Здесь тоже можно устремить КПД к единице, делая стержень тонким. И тот же фактор упускается при «наивном» рассмотрении: под нагрузкой у стержня теплоемкость будет меняться.
Формулу для КПД прилагаю, там C_0 — теплоемкость шарика, M — его масса, R — радиус.
Можете по этой ссылке попробовать скачать:
https://arxiv.org/abs/1502.01337
T*α — это процентное изменение размера тела при нагреве от абсолютного нуля до комнатной температуры (для стали, например, это порядка 0.004), а величина T*(∂α/∂T)/α уже, вроде бы, побольше (порядка 0.15), если судить по этим графикам:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b2/Coefficient_dilatation_lineique_aciers.svg
Про цикл — вопрос интересный. В переменных (g,T) это будет прямоугольник, но для замыкания цикла нужно как-то модифицировать модель, введя внешнюю систему, над которой шарик будет совершать работу.
А здесь ирония в том, что авторы задачи, вроде как, особого подвоха не задумывали, но он сам возник без их ведома. :)
2) По умолчанию положительный, как для большинства материалов, но это уже школьник должен додумывать сам.
3) Если шарик абсолютно твердый, то и расширяться и деформироваться не будет. Не очень понятно, как вообще скрестить абсолютную твердость и тепловые процессы, может возникнуть много противоречий.