Божечки-кошечки. Посмотрел Шарыгина и должен с вами согласиться, это действительно плохой подход, с которым стоило бы что-то сделать. Остальные учебники посмотрю чуть позже.
Ну я посмотрел Атанасяна, там вообще не увидел доказательства теоремы Пифагора через подобие (может, в задачах для самостоятельного решения, но не в основной программе). Перебирать все учебники в поисках мне откровенно неохота, поэтому я попросил вас как человека погружённого в тему подсказать мне конкретный.
Ну я, возможно, недостаточно проникся вашей парадигмой, но в доказательстве через наклоны я не вижу естественного использования симметрии и движений. Чего-то, что проясняет природу и свойства симметрии и движений, и их связь с теоремой Пифагора. Я вижу доказательство в стиле "несколько штук неочевидных дополнительных построений, потом ещё несколько строк вычислений".
Я не очень могу себе представить склад ума, при котором перед тобой ставится задача — доказать, что квадрат гипотенузы равен сумму квадратов катетов, и ты такой - ммм, ОЧЕВИДНО, надо провести ЗЕРКАЛО, и далее по тексту.
Зато всё становится намного естественнее, если рассмотреть это как метазадачу — а как бы мне ЛЮБОЙ ЦЕНОЙ использовать симметрию для доказательства теоремы Пифагора. При таком подходе да, появление "зеркала" становится естественным и объяснимым. Но это подход для математических этюдов, а не для школьного любого систематического курса математики.
Как мы выяснили, он основывается на той же теореме Фалеса. Можно рассматривать его только для рационального наклона, ну так и подобие можно рассматривать только для рационального коэффициента подобия. Для доказательства теоремы Пифагора одинаково недостаточно и рационального коэффициента подобия, и рационального наклона. Если наклоны вводятся раньше, но при этом нестрого — это звучит как повод НЕ использовать их в доказательстве теоремы, на которой потом будет основана половина геометрии.
При этом, насколько я помню (могу ошибаться, давно не смотрел, что там со школьной программой) доказательство теоремы Пифагора через подобие вводится именно для того, чтобы показать возможности подобия. На этапе, когда теорема Пифагора уже доказана другими средствами. Это доказательство тренирует полезные навыки. А ваше доказательство через наклоны мне видится скорее трюкачеством. Прикольно, но я не вижу сходу примеров, где приобретённые навыки можно использовать дальше.
Что именно другой вопрос? Я не понимаю ваше возражение. Вы предлагаете неинтуитивное доказательство на основании "простого" свойства, которое по факту имеет сложное обоснование. Если пользоваться такими путями, то можно теорему Пифагора ввести как аксиому, ещё проще будет.
Ну, как я написал в другой ветке, это базируется на том, что существует некий общий наклон, независимый от масштаба. И дальнейшее ваше доказательство на этом основывается, когда вы этот повернутый треугольник приводите к другому масштабу. По сути, кстати, после этого получается в точности та же картинка, что в доказательстве через подобие.
Так это как раз общий случай теоремы Фалеса. Тот самый, для которого дедекиндовы сечения и всё такое, и использование которого вам не нравится а школьном доказательстве теоремы Пифагора черед подобие. А здесь, когда она запрятана так глубоко, что сразу и не поймёшь, вам, значит, нравится)
Я тут подумал ещё пять минут и осознал, что понятие углового коэффициента использует подобие даже не доказательства каких-то своих свойств, а просто чтобы существовать. Мы говорим, что если увеличить икс на некую величину L, то игрек увеличится на kL, и это будет справедливо для любого L. Но это равносильно утверждению, что треугольники, ограниченные прямой, осью X и различными перпендикулярами к оси Х, будут подобны друг другу. Или, если зайти с другой стороны: без подобия мы вообще не можем доказать, что график функции y = ax + b будет прямой.
А раз так, то доказательство через угловой коэффициент эпистемологически ничем не лучше, чем доказательство напрямую через подобие, которое вы считаете худшим в учебниках.
Я наконец внимательно и вдумчиво прочитал статью. Я не читал все 700 комментариев, и есть основание опасаться, что и мой комментарий среди них потеряется. И всё же я удовлетворю свою потребность в самовыражении и напишу мини-рецензию.
1. Доказательство теоремы Пифагора на основе движений. С одной стороны, это прикольная штука. С другой стороны, я не уверен, что оно проясняет прям что-то очень глубокое о теореме Пифагора. Все равновеликие многоугольники равносоставны, и я думаю, что для любой теоремы о площадях можно придумать какое-нибудь fancy доказательство с движениями, аффинными сдвигами и вот этим вот всем. Но я не вижу, почему такое доказательство обязательно будет лучше. 2. Соображение про теорему Фалеса для несоизмеримых отрезков для меня было самой интересной частью статьи. Действительно, никогда об этом не задумывался, а стоило бы. 3. "Доказательство" теоремы Пифагора через угловые коэффициенты я, честно говоря, не могу написать без кавычек. Может быть, оно действительно строгое и не содержит порочного круга. Но если так, мне это глубоко неочевидно. Я подумал об этом 10 минут, и выглядит так, будто утверждение об угловых коэффициентах равносильно утверждению о подобии треугольников, и тут мы аналогично пользуемся теоремой Фалеса, и в чём профит — непонятно 4. Если говорить о посыле статьи в целом: говорить о том, какое доказательство в рамках школьной программы лучше или хуже, имеет смысл только если зафиксировать конечную цель. Если конечная цель — вырастить профессионального математика, то, возможно, имеет смысл изменить подход, использовать доказательство теоремы Пифагора для пропедевтики каких-то более глубинных вещей. Если же конечная цель — вырастить юношу, который имеет представление о математики в рамках школьной программы, то такая пропедевтика может быть избыточной. А она не бесплатна. Она займёт больше времени, потратит больше ресурсов ученика и учителя. Я сам хоть и несостоявшийся, но педагог, проходил практику, занимался репетиторством. Я знаю, что ученики, которые, скажем так, не блистательны, обычно туго воспринимают подходы, которые профессиональному математику кажутся очень изящными и далеко идущими.
Можно, конечно, сказать, что эти ученики плохие, потому что испорчены плохой системой образования. Но такое утверждение требует доказательств, и доказательств не в формате "а вот так мне кажется красивше".
"Редко" вполне достаточно. Сервис пропускает хартбит => видишь большую синхронную операцию с данными, запрошенными из базы => понимаешь, что там N^2 вместо N log N => понимаешь жизнь.
Не знаю, не знаю. Без понимания алгоритмической сложности как только понадобится самостоятельно написать хоть какой-то алгоритм сложнее перекладывания полей из одной джсонки в другую, и как только в этот алгоритм попадёт крупный кусок данных, проблемы обязательно вылезут. Как будто бы этого можно избежать, только если заниматься исключительно крудошлёпством на фреймворках.
"Напишу рекурсию, которая проверит все пути и выберет лучший".
Прошу прощения за снобизм, но это первая реакция человека, которому рановато называться разработчиком.
Ну то есть, это надо было вообще ни разу в жизни не упереться в производительность алгоритма. Не убить процесс, который завис на неожиданно долгих вычислениях. Не писать в универе лабу по динамическому программированию, наконец. По-моему звучит скорее как джун-вкатун.
Божечки-кошечки. Посмотрел Шарыгина и должен с вами согласиться, это действительно плохой подход, с которым стоило бы что-то сделать. Остальные учебники посмотрю чуть позже.
Во-первых, именно этот смысл из вашего доказательства совершенно не виден.
Во-вторых, сфера или плоскость Лобачевского симметричны относительно тех же преобразований, но теорема Пифагора на них не работает.
Ну я посмотрел Атанасяна, там вообще не увидел доказательства теоремы Пифагора через подобие (может, в задачах для самостоятельного решения, но не в основной программе). Перебирать все учебники в поисках мне откровенно неохота, поэтому я попросил вас как человека погружённого в тему подсказать мне конкретный.
Можно подробнее? Точнее даже так — о каком учебнике идёт речь? Я скачаю и ознакомлюсь
Ну я, возможно, недостаточно проникся вашей парадигмой, но в доказательстве через наклоны я не вижу естественного использования симметрии и движений. Чего-то, что проясняет природу и свойства симметрии и движений, и их связь с теоремой Пифагора. Я вижу доказательство в стиле "несколько штук неочевидных дополнительных построений, потом ещё несколько строк вычислений".
Я не очень могу себе представить склад ума, при котором перед тобой ставится задача — доказать, что квадрат гипотенузы равен сумму квадратов катетов, и ты такой - ммм, ОЧЕВИДНО, надо провести ЗЕРКАЛО, и далее по тексту.
Зато всё становится намного естественнее, если рассмотреть это как метазадачу — а как бы мне ЛЮБОЙ ЦЕНОЙ использовать симметрию для доказательства теоремы Пифагора. При таком подходе да, появление "зеркала" становится естественным и объяснимым. Но это подход для математических этюдов, а не для
школьноголюбого систематического курса математики.Как мы выяснили, он основывается на той же теореме Фалеса. Можно рассматривать его только для рационального наклона, ну так и подобие можно рассматривать только для рационального коэффициента подобия. Для доказательства теоремы Пифагора одинаково недостаточно и рационального коэффициента подобия, и рационального наклона. Если наклоны вводятся раньше, но при этом нестрого — это звучит как повод НЕ использовать их в доказательстве теоремы, на которой потом будет основана половина геометрии.
При этом, насколько я помню (могу ошибаться, давно не смотрел, что там со школьной программой) доказательство теоремы Пифагора через подобие вводится именно для того, чтобы показать возможности подобия. На этапе, когда теорема Пифагора уже доказана другими средствами. Это доказательство тренирует полезные навыки. А ваше доказательство через наклоны мне видится скорее трюкачеством. Прикольно, но я не вижу сходу примеров, где приобретённые навыки можно использовать дальше.
Что именно другой вопрос? Я не понимаю ваше возражение. Вы предлагаете неинтуитивное доказательство на основании "простого" свойства, которое по факту имеет сложное обоснование. Если пользоваться такими путями, то можно теорему Пифагора ввести как аксиому, ещё проще будет.
Проще и нагляднее — через "смотри". Минимум когнитивной нагрузки + кросивое. Какие-то другие доказательства имеют смысл только в плане пропедевтики.
А вы посчитайте, какой будет наклон у вашего "зеркала" при x=3 y=4 =)
Ну, как я написал в другой ветке, это базируется на том, что существует некий общий наклон, независимый от масштаба. И дальнейшее ваше доказательство на этом основывается, когда вы этот повернутый треугольник приводите к другому масштабу. По сути, кстати, после этого получается в точности та же картинка, что в доказательстве через подобие.
Так это как раз общий случай теоремы Фалеса. Тот самый, для которого дедекиндовы сечения и всё такое, и использование которого вам не нравится а школьном доказательстве теоремы Пифагора черед подобие. А здесь, когда она запрятана так глубоко, что сразу и не поймёшь, вам, значит, нравится)
Я тут подумал ещё пять минут и осознал, что понятие углового коэффициента использует подобие даже не доказательства каких-то своих свойств, а просто чтобы существовать. Мы говорим, что если увеличить икс на некую величину L, то игрек увеличится на kL, и это будет справедливо для любого L. Но это равносильно утверждению, что треугольники, ограниченные прямой, осью X и различными перпендикулярами к оси Х, будут подобны друг другу. Или, если зайти с другой стороны: без подобия мы вообще не можем доказать, что график функции y = ax + b будет прямой.
А раз так, то доказательство через угловой коэффициент эпистемологически ничем не лучше, чем доказательство напрямую через подобие, которое вы считаете худшим в учебниках.
В школьной программе много утверждений, которые должным образом не обоснованы. Вы сами в статье привели пример такого)
А вас не затруднило бы выписать это доказательство?
Я наконец внимательно и вдумчиво прочитал статью. Я не читал все 700 комментариев, и есть основание опасаться, что и мой комментарий среди них потеряется. И всё же я удовлетворю свою потребность в самовыражении и напишу мини-рецензию.
1. Доказательство теоремы Пифагора на основе движений. С одной стороны, это прикольная штука. С другой стороны, я не уверен, что оно проясняет прям что-то очень глубокое о теореме Пифагора. Все равновеликие многоугольники равносоставны, и я думаю, что для любой теоремы о площадях можно придумать какое-нибудь fancy доказательство с движениями, аффинными сдвигами и вот этим вот всем. Но я не вижу, почему такое доказательство обязательно будет лучше.
2. Соображение про теорему Фалеса для несоизмеримых отрезков для меня было самой интересной частью статьи. Действительно, никогда об этом не задумывался, а стоило бы.
3. "Доказательство" теоремы Пифагора через угловые коэффициенты я, честно говоря, не могу написать без кавычек. Может быть, оно действительно строгое и не содержит порочного круга. Но если так, мне это глубоко неочевидно. Я подумал об этом 10 минут, и выглядит так, будто утверждение об угловых коэффициентах равносильно утверждению о подобии треугольников, и тут мы аналогично пользуемся теоремой Фалеса, и в чём профит — непонятно
4. Если говорить о посыле статьи в целом: говорить о том, какое доказательство в рамках школьной программы лучше или хуже, имеет смысл только если зафиксировать конечную цель. Если конечная цель — вырастить профессионального математика, то, возможно, имеет смысл изменить подход, использовать доказательство теоремы Пифагора для пропедевтики каких-то более глубинных вещей. Если же конечная цель — вырастить юношу, который имеет представление о математики в рамках школьной программы, то такая пропедевтика может быть избыточной. А она не бесплатна. Она займёт больше времени, потратит больше ресурсов ученика и учителя. Я сам хоть и несостоявшийся, но педагог, проходил практику, занимался репетиторством. Я знаю, что ученики, которые, скажем так, не блистательны, обычно туго воспринимают подходы, которые профессиональному математику кажутся очень изящными и далеко идущими.
Можно, конечно, сказать, что эти ученики плохие, потому что испорчены плохой системой образования. Но такое утверждение требует доказательств, и доказательств не в формате "а вот так мне кажется красивше".
совсем никуда
Зато факториал удачный пример, если рассказывать про оптимизацию хвостовой рекурсии
"Редко" вполне достаточно. Сервис пропускает хартбит => видишь большую синхронную операцию с данными, запрошенными из базы => понимаешь, что там N^2 вместо N log N => понимаешь жизнь.
Не знаю, не знаю. Без понимания алгоритмической сложности как только понадобится самостоятельно написать хоть какой-то алгоритм сложнее перекладывания полей из одной джсонки в другую, и как только в этот алгоритм попадёт крупный кусок данных, проблемы обязательно вылезут. Как будто бы этого можно избежать, только если заниматься исключительно крудошлёпством на фреймворках.
Понимание, что опорожнение кишечника и снимание штанов не коммутативны, нынче высокая планка?)
Прошу прощения за снобизм, но это первая реакция человека, которому рановато называться разработчиком.
Ну то есть, это надо было вообще ни разу в жизни не упереться в производительность алгоритма. Не убить процесс, который завис на неожиданно долгих вычислениях. Не писать в универе лабу по динамическому программированию, наконец. По-моему звучит скорее как джун-вкатун.
Так в том-то и дело, что доказательство, которое нравится автору, нельзя назвать более наглядным.