В общем-то, да. Считать или не считать нуль натуральным числом — на самом деле, вопрос традиций. Во всяких америках считают, у нас чаще всего нет. Слегка меняется вторая аксиома и вторые свойства сложения-умножения.
Точнее, я хотел сказать следующее: определение умножения через сложение избыточно. Таблица умножения всё равно учится наизусть, а из неё и из правил умножения можно вывести связь со сложением.
Интересный вопрос. Умножение определяется как много сложений, однако в дальнейшем это практически не используется. Что ж, если таблица умножения выводится из сложения, то доказательство будет очень коротким: 2 x 2 = 2 + 2 = 4.
Зависит от того, как это понимать. Непротиворечивость её вроде как доказана. С другой стороны, не любое арифметическое утверждение можно доказать, исходя из аксиом Пеано. Это следует из теоремы Гёделя о неполноте.
Счётная аддитивность, говорите? Вот, например, интересный момент: единичный куб состоит из множества точек, у которых хотя бы одна координата 1/2 (давайте уже назовём его как-нибудь. например, 0.5-множество) и континуума кубиков нулевого объёма.
С этим определением, насколько я помню, возникали всякие странные проблемы. Я не могу вспомнить их навскидку, прямо сейчас, но что-то там было очень грустно и неприятно.
Конечно, незачем так злиться. Но вы пишете странные вещи. Напомню: вероятностное пространство суть некое несущее множество (множество элементарных событий), сигма-алгебра его подмножеств (событий) и конечная счётно-аддитивная мера, которая и определяет вероятность.
В нашем случае несущее множество — это счётномерный единичный куб. Точка в нём — это элементарное событие. Каждая координата точки соответствует результату ломания одной соответствующей спички.
Событие «хотя бы одна спичка сломалась пополам» соответствует подмножеству точек, у которых хотя бы одна координата равна 0.5. Значит, нам нужна сигма-алгебра, включающая это подмножество, и мера на ней. В частности, нам нужно научиться находить меру этого подмножества.
Меру множества точек, у которых хотя бы одна из координат 1/2. Вероятность того, что наугад выбранная точка из куба попадёт в это множество, равна мере этого множества. Что с вами? Вы нездоровы?
Смущает нестрогость. У вас же, по сути, получается совсем другое вероятностное пространство, в котором элементарное событие — выбор некоторого подмножества, а случайное событие — выбор некоторого подмножества из некоторого подмножества подмножеств (например, среди подмножеств, содержащих точку 0.5). Всё это кажется мне… скажем так, требующим более детального исследования и соответствующего формального обоснования.
Что-что, простите?
Ещё и в карму кто-то напыщил… забавные люди.
Я пока напишу на специализированный форум. Может, там подскажут что-нибудь дельное.
С этим определением, насколько я помню, возникали всякие странные проблемы. Я не могу вспомнить их навскидку, прямо сейчас, но что-то там было очень грустно и неприятно.
В нашем случае несущее множество — это счётномерный единичный куб. Точка в нём — это элементарное событие. Каждая координата точки соответствует результату ломания одной соответствующей спички.
Событие «хотя бы одна спичка сломалась пополам» соответствует подмножеству точек, у которых хотя бы одна координата равна 0.5. Значит, нам нужна сигма-алгебра, включающая это подмножество, и мера на ней. В частности, нам нужно научиться находить меру этого подмножества.
А где разница? Мера и вероятность — он как Ленин и партия. Говорим одно — автоматически подразумеваем другое.