А следовательно не существует соответствия, и одна безконечность, внезапно, может быть больше другой безконечности. Как минимум на один элемент.
Бесконечность плюс один все еще равняется бесконечности. Но тогда имеет место
Бесконечность = бесконечность + один
откуда
0 = 1.
Вроде все сделал, как автор предлагает, что-то несусветица вышла.
«Опровержение» теоремы Кантора, конечно, «шедеврально». В комментариях выше автор говорил, дескать, нет построения биекции в доказательстве, проводимом Кантором.
Вот только это построение и не нужно, доказательство, по своему построению, применимо для любой предполагаемой биекции из N в R. Не буду говорить и о проблемах с аксиомой выбора.
1. Говорят о какой-то площади под кривой при том, что читатель ни сном, ни духом не задумывался о площади, тем более под кривой и какой-то связи этой площади с универсальной идеей суммирования переменных величин
и
2. Без интуитивного подведения читателя через сложение и умножение чисел, основательного разъяснения связи …. сразу бросаются к определению интеграла через предел римановской суммы
Автор явно сконструировал два взаимоисключащих параграфа. Площадь криволинейной трапеции (т.е. площадь под кривой) и есть наилучшее возможное, если не считать, конечно, восстановления пути материальной точки по ее скорости, интуитивное обоснование интеграла. Если, конечно, автор предложит более простую в построении и наглядную мотивацию для интеграла, то я немедленно сниму шляпу и посыплю голову пеплом.
Далее пункт третий.
Забывают рассказать о историческом процессе развития математики (зачем ввели интеграл, какие открытия этому предшествовали, что подвело к этому, как считали интегральные суммы до этого, как Ньютон и Лейбниц считали интегралы и т.д.)
Но ведь человеку, которому нужны примеры и практическое применение это все и не нужно! Зачем школьнику знать о основах дифференциального исчисления и как его строили Ньютон и Лейбниц? Оно и математику не всегда нужно. В общеобразовательном плане, конечно, полезно, да и с точки зрения философии математики и создания общей картины, оно, действительно нужно, но как средство изложения интеграла и объяснения его? Не думаю, что поможет, лишь займет время и отвлечет от поставленной задачи.
4. Не считают нужным или не хотят привести пару тройку простых примеров интегрирования из прикладных наук
Наверное самый резонный пункт, но: если человек учит математику (pure math), то ему примеры особо и не нужны, ему достаточно самого концепта. С точки же зрения прикладной математики: ну извините, либо опять к пункту первому, либо сталкиваемся с тем, что примеры интегрирования, которые используются активно требуют все же знания самого интеграла и возвращаемся к тому, что надо сначала сам интеграл ввести. К тому же, если человек добрался до интеграла, то скорее всего он уже прошел неопределенный интеграл (первообразную) и дифференциалы и имеет представление об интеграле как об обратной операции.
5. Сыпят доказательствами утверждений, которые новичку покажутся неуместными или второстепенными
Автор хочет, чтобы все утверждения вводились только непосредственно перед использованием? Извините, так не выйдет. Лучше ввести пару «бесмысленных» лемм сейчас, которые потом своими следствиями намного все облегчают, чем верстать доказательства основных теорем на несколько страниц мелким шрифтом. К тому же в математике многие теоремы и утверждения интересны даже не в связи с остальными, а сами по себе. И в конце концов, это полезное интеллектуальное упражнение. Читать доказательство, знаете ли, тоже искусство.
Забывают напомнить выводы, обозначения и утверждения, использованные или доказанные ранее
Если автор считает, что читатель не способен запомнить обозначения введенные пару страниц ранее (если эти обозначения используются сквозь всю книгу, то они должны быть в памяти уже) и перелистать (с учетом того, что сейчас все утверждения нумеруются), то это ставит под вопрос состоятельность читателя как такового и нужно ли ему это.
Единственное с чем согласен, это с 7 пунктом и то лишь частично.
В качестве книг по математике я бы порекомедовал В. Зорича «Математический анализ» (в 2-х частях) и Bernst Schroder «Mathematical Analysis: A Concise Introduction». Матанал у них покрыт, по меньшей мере, не слабее, чем у Фихтенгольца, а изложение гораздо более современное.
Бесконечность плюс один все еще равняется бесконечности. Но тогда имеет место
Бесконечность = бесконечность + один
откуда
0 = 1.
Вроде все сделал, как автор предлагает, что-то несусветица вышла.
«Опровержение» теоремы Кантора, конечно, «шедеврально». В комментариях выше автор говорил, дескать, нет построения биекции в доказательстве, проводимом Кантором.
Вот только это построение и не нужно, доказательство, по своему построению, применимо для любой предполагаемой биекции из N в R. Не буду говорить и о проблемах с аксиомой выбора.
и
Автор явно сконструировал два взаимоисключащих параграфа. Площадь криволинейной трапеции (т.е. площадь под кривой) и есть наилучшее возможное, если не считать, конечно, восстановления пути материальной точки по ее скорости, интуитивное обоснование интеграла. Если, конечно, автор предложит более простую в построении и наглядную мотивацию для интеграла, то я немедленно сниму шляпу и посыплю голову пеплом.
Далее пункт третий.
Но ведь человеку, которому нужны примеры и практическое применение это все и не нужно! Зачем школьнику знать о основах дифференциального исчисления и как его строили Ньютон и Лейбниц? Оно и математику не всегда нужно. В общеобразовательном плане, конечно, полезно, да и с точки зрения философии математики и создания общей картины, оно, действительно нужно, но как средство изложения интеграла и объяснения его? Не думаю, что поможет, лишь займет время и отвлечет от поставленной задачи.
Наверное самый резонный пункт, но: если человек учит математику (pure math), то ему примеры особо и не нужны, ему достаточно самого концепта. С точки же зрения прикладной математики: ну извините, либо опять к пункту первому, либо сталкиваемся с тем, что примеры интегрирования, которые используются активно требуют все же знания самого интеграла и возвращаемся к тому, что надо сначала сам интеграл ввести. К тому же, если человек добрался до интеграла, то скорее всего он уже прошел неопределенный интеграл (первообразную) и дифференциалы и имеет представление об интеграле как об обратной операции.
Автор хочет, чтобы все утверждения вводились только непосредственно перед использованием? Извините, так не выйдет. Лучше ввести пару «бесмысленных» лемм сейчас, которые потом своими следствиями намного все облегчают, чем верстать доказательства основных теорем на несколько страниц мелким шрифтом. К тому же в математике многие теоремы и утверждения интересны даже не в связи с остальными, а сами по себе. И в конце концов, это полезное интеллектуальное упражнение. Читать доказательство, знаете ли, тоже искусство.
Если автор считает, что читатель не способен запомнить обозначения введенные пару страниц ранее (если эти обозначения используются сквозь всю книгу, то они должны быть в памяти уже) и перелистать (с учетом того, что сейчас все утверждения нумеруются), то это ставит под вопрос состоятельность читателя как такового и нужно ли ему это.
Единственное с чем согласен, это с 7 пунктом и то лишь частично.