Помню, как пытался сдать ему экзамен на 1-м курсе. Завалил, потому что ещё не успел перестроиться с "попсового" изложения а-ля Садовничий и Ко на его строгий штиль. Просит дать определение градиента - и я даю "стандартное" координатное определение. Он даже обиделся: "ведь я же давал инвариантное определение, не зависящее ни от каких координат"! И только тогда я по-настоящему осознал его подходы.
Я имел в виду "у самого Зорича", а не "по учебникам". Но не суть. С вашими рекомендациями тоже не соглашусь. Хотя его учебник может быть немного сложноват для восприятия, зато он закладывает такой фундамент, имея который, уже никогда не забудешь матанализ).
Что можно интегрировать? Только дифференциальные формы!
А иначе "знание матана" с годами опускается до уровня "знаю, на какой полке справочник стоит"
Функция может быть разложена в ряд Фурье, если существует ряд Фурье, в который она может быть разложена. Это определение. Далее элементарно доказывается, что оно единственно, а потом каким-то сложным образом строится формула для коэффициентов. Не утверждается, что всякая функция разложима в ряд Фурье. Но если разложима - то это ряд Фурье, в который она разложима. Если не разложима - то не разложима. А если неразложима, то и ряд не Фурье.
Лучше иной раз что-то перепутать, чем заниматься таким словоблудием
Почему вы так решили? Потому что не встретили ничего подобного в своём книжном шкафу? Ну так я и не обязан составлять статью только лишь из цитат "учебников", согласны? А в чём, по вашему мнению, состоит понятие тейлоровости? Ведь это не то же самое, что "степенной ряд", хотя и близкое понятие. Тейлоровским ряд может быть не сам по себе (в отличие от степенного ряда), а по отношению к некоторой функции. Нельзя быть "рядом Тейлора вообще", а только "рядом Тейлора конкретной функции". Что это значит? Что ряд Тейлора порождается заданной функцией, а не является таковым "сам по себе". Для какой функции можно построить ряд Тейлора? Очевидно, для всякой такой, для которой можно написать последовательность её производных, то есть для всякой бесконечно-дифференцируемой. Но поскольку поведение полученного ряда может быть каким угодно, ничто больше не связывает полученный ряд с породившей его функцией. Поэтому нет смысла говорить о рядах Тейлора вообще в матанализе. Это понятие полностью раскрывается лишь в комплексном, вот там и есть его самое место. И оспариваю я не какое-то "утверждение", взятое "неизвестно где", я борюсь с тенденцией "вводить" понятие ряда Тейлора там, где ему места нет
По вашему мнению, Зорич "не совсем удачно" излагает матанализ? А я у него учился, и считаю, что его курс - один из лучших. И то, что вам не понравилось, как он он говорит о рядах Тейлора, на самом деле говорит о другом. Быть может, о том, что применимость понятия ряда Тейлора под вопросом в матанализе? Так именно в этом и состоит суть статьи
Ильин, Садовничий "Математический анализ". т.2 гл.2 п.7 "Разложение функций в степенные ряды"
Ну вот вам и ответ. "Степенные ряды". Где же здесь понятие ряд Тейлора?? Да, ряд Тейлора - это степенной ряд. Да, всякий сходящийся степенной ряд - это ряд Тейлора чего-то там (в статье об этом тоже прямо сказано). Но, тем не менее, эти понятия - не синонимы. Хотя разница чисто-семантическая, чтобы её понять, нужно видеть чуть дальше своего носа
Очевидно, что к научной деятельности вы не имеете отношения, не то знали бы, как оформляются ссылки на печатные издания. И что мне даёт ссылка на сотню задач? Ну есть какие-то задачи, дальше что? Разгадывать загадки нет времени, простите. А на простой вопрос - простой ответ: в заголовке нет лжи
Даже и не думал об этом. Статья - это способ донести важную информацию. Нет смысла говорить о рядах Тейлора в контексте действительного анализа. Их там действительно нет и быть не может (почему - я показал). Да, некоторые функции ВП могут быть представлены сходящимися степенными рядами, но это скорее случайность, а тейлоровость ряда - это возможность для любой бесконечно-дифференцируемой функции формально построить сходящийся к ней ряд. Таким свойством действительные функции, вообще говоря, не обладают.
А... зачем прибегать к таким дешевым приёмам для привлечения внимания?
А... О чём это вы? Можете пояснить, пожалуйста?
Противопоставление ряда Тейлора формуле Тейлора вызвало не меньшее удивление
Где же вы усмотрели противопоставление? Там, где я говорил про их различие? С таким же успехом можно обвинить меня в противопоставлении формулы Коши-Адамара и интегральной теоремы Коши с её следствиями
Вводятся в курсе анализа в разных контекстах.
Ни в одном курсе действительного анализа не "вводится" ряд Тейлора. Поймите же наконец! Их там просто нет. Эта штука из другого раздела науки
Понятия "аналитичности в точке" не существует и абсурдно: если аналитичность - это представимость степенным рядом, то в единственной точке аналитична любая функция. Она представима рядом, в котором почти все коэффициенты равны нулю (кроме коэффициента при). Говорить можно только про аналитичность в области.
Но мыслите вы верно: функция sin(1/x) не может быть представлена степенным рядом с центром в 0 по одной простой причине: она не имеет предела в 0 и, соответственно, ни одной производной. А даже для написания ряда Тейлора нам потребуются производные всех порядков.
Что за загадочный набор цифр? Похоже, нас отсылают к известному задачнику, но числа... Это номера страниц? Тогда указывайте издание. Номера задач? Тоже могут отличаться в разных редакциях. И главное - что хотел сказать автор комментария?
Следовало бы выражаться более определённо. Основная теорема алгебры не имеет "входящих параметров", она просто есть, и она выполняется (потому она и "теорема"). Выражения типа "ОТА для кватернионов" и тп. смысла не имеют. Можно говорить лишь "аналог ОТА для кватернионов". Но проще (и точнее) сказать так: "тело кватернионов не является алгебраически замкнутым". Хотя, опять же, понятие "алгебраической замкнутости" вводится только для полей, с телами всё сильно сложнее из-за некоммутативности. Например, даже обычное понятие полинома уже не так очевидно в некоммутативном случае: коэффициенты могут умножаться на степени неизвестного слева, справа, или с двух сторон. Можно говорить о "левых" и "правых" корнях и тп. Крч, уже тут начинаются "дебри". Но эта статья была немного не об алгебре)
И если Вам кажется, что неаналитические функции неинтересны
Нет, мне так не кажется. Я просто не стремлюсь охватить абсолютно все вопросы в одной маленькой статье. И не вижу смысла цепляться к словам.
Рассуждения о "красоте" - это лирика, и вообще очень субъективное понятие. Кому как.
Да, процитированные вами слова слишком размыты, чтобы делать из них какие-либо более точные выводы. Это скорее описание "ощущений", чем строгая формулировка. И всё же она имеет под собой некоторое основание. Как я ответил другому комментатору, зачастую ФКП выступает в роли "фильтра", более чётко отделяя по-настоящему "хорошие" функции от тех, которые только пытаются "притвориться" таковыми. Вовсе не имел в виду всего того, что вы за меня "додумали". А выбор задач для рассмотрения в статье всегда остаётся за автором и зависит от основной мысли публикации, которая состоит в том, что не следует рассматривать "ряды Тейлора" в контексте действительного анализа, и на этом всё.
Да, в статье может многого не хватать. Но она не имела целью "объять необъятное". Цель была простая - призвать не использовать понятие "рядов Тейлора", когда речь о действительном анализе. Хотите Тейлоровости - вот вам формула Тейлора, и на этом всё.
Помню, как пытался сдать ему экзамен на 1-м курсе. Завалил, потому что ещё не успел перестроиться с "попсового" изложения а-ля Садовничий и Ко на его строгий штиль. Просит дать определение градиента - и я даю "стандартное" координатное определение. Он даже обиделся: "ведь я же давал инвариантное определение, не зависящее ни от каких координат"! И только тогда я по-настоящему осознал его подходы.
Это был далёкий 1995-й год
То есть, обобщение "типового примера" вы всё-таки проигнорировали? Я так и знал. И после этого именно я "не умею читать". Ну-ну.
Я имел в виду "у самого Зорича", а не "по учебникам". Но не суть. С вашими рекомендациями тоже не соглашусь. Хотя его учебник может быть немного сложноват для восприятия, зато он закладывает такой фундамент, имея который, уже никогда не забудешь матанализ).
Что можно интегрировать? Только дифференциальные формы!
А иначе "знание матана" с годами опускается до уровня "знаю, на какой полке справочник стоит"
Функция может быть разложена в ряд Фурье, если существует ряд Фурье, в который она может быть разложена. Это определение. Далее элементарно доказывается, что оно единственно, а потом каким-то сложным образом строится формула для коэффициентов. Не утверждается, что всякая функция разложима в ряд Фурье. Но если разложима - то это ряд Фурье, в который она разложима. Если не разложима - то не разложима. А если неразложима, то и ряд не Фурье.
Лучше иной раз что-то перепутать, чем заниматься таким словоблудием
Почему вы так решили? Потому что не встретили ничего подобного в своём книжном шкафу? Ну так я и не обязан составлять статью только лишь из цитат "учебников", согласны? А в чём, по вашему мнению, состоит понятие тейлоровости? Ведь это не то же самое, что "степенной ряд", хотя и близкое понятие. Тейлоровским ряд может быть не сам по себе (в отличие от степенного ряда), а по отношению к некоторой функции. Нельзя быть "рядом Тейлора вообще", а только "рядом Тейлора конкретной функции". Что это значит? Что ряд Тейлора порождается заданной функцией, а не является таковым "сам по себе". Для какой функции можно построить ряд Тейлора? Очевидно, для всякой такой, для которой можно написать последовательность её производных, то есть для всякой бесконечно-дифференцируемой. Но поскольку поведение полученного ряда может быть каким угодно, ничто больше не связывает полученный ряд с породившей его функцией. Поэтому нет смысла говорить о рядах Тейлора вообще в матанализе. Это понятие полностью раскрывается лишь в комплексном, вот там и есть его самое место. И оспариваю я не какое-то "утверждение", взятое "неизвестно где", я борюсь с тенденцией "вводить" понятие ряда Тейлора там, где ему места нет
По вашему мнению, Зорич "не совсем удачно" излагает матанализ? А я у него учился, и считаю, что его курс - один из лучших. И то, что вам не понравилось, как он он говорит о рядах Тейлора, на самом деле говорит о другом. Быть может, о том, что применимость понятия ряда Тейлора под вопросом в матанализе? Так именно в этом и состоит суть статьи
Ещё раз. Какое такое "это" понятие? "Ряд Тейлора"? Нет. Степенные ряды - да, никто и не утверждал, что их не существует в действительном анализе
Ну вот вам и ответ. "Степенные ряды". Где же здесь понятие ряд Тейлора??
Да, ряд Тейлора - это степенной ряд. Да, всякий сходящийся степенной ряд - это ряд Тейлора чего-то там (в статье об этом тоже прямо сказано). Но, тем не менее, эти понятия - не синонимы. Хотя разница чисто-семантическая, чтобы её понять, нужно видеть чуть дальше своего носа
Кстати, раз уж вы упомянули Демидовича, скажите, есть ли в задачнике раздел "ряды Тейлора". Как вы думаете, почему нет?
Очевидно, что к научной деятельности вы не имеете отношения, не то знали бы, как оформляются ссылки на печатные издания. И что мне даёт ссылка на сотню задач? Ну есть какие-то задачи, дальше что? Разгадывать загадки нет времени, простите. А на простой вопрос - простой ответ: в заголовке нет лжи
В моей статье приведено несколько примеров, какой из них вы имеете в виду?
Где-то в тексте вы нашли восклицание "ага"?
Я разве где-то утверждал, что сделал новое научное открытие?
Именно так и есть (в определённом контексте)
Даже и не думал об этом. Статья - это способ донести важную информацию. Нет смысла говорить о рядах Тейлора в контексте действительного анализа. Их там действительно нет и быть не может (почему - я показал). Да, некоторые функции ВП могут быть представлены сходящимися степенными рядами, но это скорее случайность, а тейлоровость ряда - это возможность для любой бесконечно-дифференцируемой функции формально построить сходящийся к ней ряд. Таким свойством действительные функции, вообще говоря, не обладают.
А... О чём это вы? Можете пояснить, пожалуйста?
Где же вы усмотрели противопоставление? Там, где я говорил про их различие? С таким же успехом можно обвинить меня в противопоставлении формулы Коши-Адамара и интегральной теоремы Коши с её следствиями
Ни в одном курсе действительного анализа не "вводится" ряд Тейлора. Поймите же наконец! Их там просто нет. Эта штука из другого раздела науки
Понятия "аналитичности в точке" не существует и абсурдно: если аналитичность - это представимость степенным рядом, то в единственной точке аналитична любая функция. Она представима рядом, в котором почти все коэффициенты равны нулю (кроме коэффициента при
). Говорить можно только про аналитичность в области.
Но мыслите вы верно: функция sin(1/x) не может быть представлена степенным рядом с центром в 0 по одной простой причине: она не имеет предела в 0 и, соответственно, ни одной производной. А даже для написания ряда Тейлора нам потребуются производные всех порядков.
Я бы предложил "отказаться" от понятия сходимости, но вряд ли меня в этом поддержат
Что за загадочный набор цифр? Похоже, нас отсылают к известному задачнику, но числа... Это номера страниц? Тогда указывайте издание. Номера задач? Тоже могут отличаться в разных редакциях. И главное - что хотел сказать автор комментария?
Докажите
Следовало бы выражаться более определённо. Основная теорема алгебры не имеет "входящих параметров", она просто есть, и она выполняется (потому она и "теорема").
Выражения типа "ОТА для кватернионов" и тп. смысла не имеют. Можно говорить лишь "аналог ОТА для кватернионов". Но проще (и точнее) сказать так: "тело кватернионов не является алгебраически замкнутым". Хотя, опять же, понятие "алгебраической замкнутости" вводится только для полей, с телами всё сильно сложнее из-за некоммутативности. Например, даже обычное понятие полинома уже не так очевидно в некоммутативном случае: коэффициенты могут умножаться на степени неизвестного слева, справа, или с двух сторон. Можно говорить о "левых" и "правых" корнях и тп. Крч, уже тут начинаются "дебри". Но эта статья была немного не об алгебре)
Нет, мне так не кажется. Я просто не стремлюсь охватить абсолютно все вопросы в одной маленькой статье. И не вижу смысла цепляться к словам.
Рассуждения о "красоте" - это лирика, и вообще очень субъективное понятие. Кому как.
Да, процитированные вами слова слишком размыты, чтобы делать из них какие-либо более точные выводы. Это скорее описание "ощущений", чем строгая формулировка. И всё же она имеет под собой некоторое основание. Как я ответил другому комментатору, зачастую ФКП выступает в роли "фильтра", более чётко отделяя по-настоящему "хорошие" функции от тех, которые только пытаются "притвориться" таковыми. Вовсе не имел в виду всего того, что вы за меня "додумали". А выбор задач для рассмотрения в статье всегда остаётся за автором и зависит от основной мысли публикации, которая состоит в том, что не следует рассматривать "ряды Тейлора" в контексте действительного анализа, и на этом всё.
Благодарю за позитивный отзыв.
Да, в статье может многого не хватать. Но она не имела целью "объять необъятное". Цель была простая - призвать не использовать понятие "рядов Тейлора", когда речь о действительном анализе. Хотите Тейлоровости - вот вам формула Тейлора, и на этом всё.