Сталкивался с почтовым клиентом на iOS. Стоит сертификату на сервере просрочится, телефон начинает каждые 5 секунд выводить уведомление о ненадёжном сервере, и ничего с этим не получалось сделать, кроме как отключить временно аккаунт. Иначе телефоном невозможно пользоваться.
Ну в целом висит сессия между телефоном и сервисом, потому что сервер гугла не может так напрямую что-то вам послать. Ваш телефон держит сессию, а вот по ней сервер может уведомить. И точно также для корпоративной почты возможно настроить, но для Dovecot-а это нужно ручками настроить.
В настройках мобильного почтового клиента для каждого аккаунта есть возможность настроить частоту обновления (Setting -> Выбираете аккаунт -> Data usage — Sync Frequency. Там есть возможность выбрать Automatic (Push). Он у вас стоит на джмейл аккаунте, но не на IMAP. Кроме мобильного клиента, это должен поддерживать MDA (агент доставки почты, который на сервере). Если у вас это не сработало после того, как вы настроили на телефоне, то, скорее всего, это не настроено на сервере.
Насчёт батареи точно сказать не могу, но не думаю, что открытая сессия с сервером будет сильно есть батарею, там мизерная передача данных, это не такой ресурсоёмкий процесс.
Насчёт батареи точно сказать не могу, но не думаю, что открытая сессия с сервером будет сильно есть батарею, там мизерная передача данных, это не такой ресурсоёмкий процесс.