Записки «чайника», травмированного тензорным исчислением

Тема, заявленная в названии, пожалуй, самая запутанная в тензорном исчислении. Высокоучёные авторы мудрых книг в большинстве случаев ограничиваются только формальными определениями понятий ко- и контравариантности, не опускаясь до подробного пояснения их геометрической и физической сути. Похоже, в этом вопросе они сознательно или бессознательно воспроизводят ситуацию, характерную для квантовой физики: «Не старайтесь понять, просто считайте!». Но если в квантовой физике подобный подход безальтернативен, то в данном случае – вряд ли.

Подзаголовок даже комплиментарен для меня, поскольку в своём восприятии математики я даже не «чайник», а, скорее, «валенок». По этой причине мне очень хорошо понятны проблемы «чайников», с которыми они сталкиваются в попытках постичь математические абстракции. Поэтому материал предназначен не для «продвинутых», они и без меня разберутся, а для… В общем, для таких же, как я, «задвинутых» в математике (только в ней!). При этом предполагается хотя бы «шапочное» знакомство с тензорным исчислением.

Математика остаётся непонятной для многих потому, что нам её объясняют люди, которые понимают её на интуитивном уровне, или, выражаясь более изящно, «на уровне интуитивных образов» [1-7 ≡ Л.1, с. 7]. Нам же, нематематикам, для того, чтобы что-то понять, надо это «что-то» увидеть не в абстрактном («интуитивном»), а в реальном, физически представимом пространстве (по-научному это – «визуализация») или, ещё лучше, поковырять его пальцем (научный термин пока еще не придумали. Открыт приём предложений).

В специальной (СТО) и общей (ОТО) теориях относительности широко используется понятие метрического тензора (метрики). В разных источниках можно найти несколько определений этого понятия, но все они страдают общим недостатком -- крайней математизированностью. Для людей с математическим складом мышления, уже когда-то понявшими, что такое метрический тензор, приводимые в литературе определения, вероятно, представляются ясными и очевидными. Но они не помогают, а, напротив, лишь затрудняют постижение сути этого понятия человеку с обыденным мышлением, впервые с ним столкнувшимся. Дело в том, что математические определения не раскрывают физического смысла метрического тензора, то есть, не позволяют представить его роль и место в физическом мире.

В этом тексте мы попытаемся изложить смысл метрического тензора с физической, даже обыденной точки зрения, не выходя при этом за пределы простой математики.

Цель, ради которой метрику и метрический тензор ввели в научный оборот, -- желание описать любое пространство с помощью математических формул. Как это можно сделать? Для начала представим две бесконечно близкие точки 1 и 2 в обычном евклидовом пространстве. Будем считать, что мы перемещаемся из точки 1 в точку 2 по кратчайшему пути. В таком случае расстояние между точками определяется длиной вектора ds, проведённого из точки 1 в точку 2.

В частном случае прямоугольной декартовой системы на плоскости квадрат длины вектора ds² рассчитывается по теореме Пифагора по значениям координат dx¹ и dx²: