Должен заметить, что строгого разделения на data-сообщения и notification-сообщения нет. В консоли Firebase при создании нового сообщения можно задать пользовательские данные, которые передаются как data в дополнение к notification. Через API также можно отправлять сообщение с data и notification одновременно.
Однако убрать notification при отправке через консоль все равно пока нельзя
По поводу смены иконки: насколько я понял, параметр icon в API аналогичен setSmallIcon в Notification.Builder, и какого-либо способа задать LargeIcon нет. Однако я также обнаружил, что если в запросе к API нет объекта notification, то onMessageReceived срабатывает даже если приложение находится в фоне
Однако убрать notification при отправке через консоль все равно пока нельзя