Ну чтобы читать "Introduction to Linear Algebra" требуется намного более высокий начальный уровень подготовки, чем чтобы эту статью читать. Поэтому на эту книгу совсем нет никакого смысла ориентироваться, всё-таки это принципиально иной уровень сложности - там вузовская программа, а здесь лишь школьная планиметрия и алгебра.
Преимущество определения через косинус в том, что оно очень наглядное, хорошо заходит детям в 8-м классе. А через сумму координат как-то слишком абстрактно.
Да, это мой релиз от мая 2025. Я этих релизов с лета 2024го написал очень много и продолжаю писать по работе, сюда по одному в день выкладываю свои, и до выкладывания того, что пишу непосредственно, дойду где-то к февралю.
Каждый месяц пишу по 10 штук новых релизов в среднем.
Да, целиком мультивектор на мультивектор - вычислительно затратно. Нужно разбивать на подвиды и искать наиболее оптимальные представления.
В поиске оптимальных вычислений очень много нюансов.
Например, 2 комплексных числа умножить - достаточно 3 умножения вещественных использовать вместо 4, это серьезный выигрыш в производительности.
Я имею в виду
А еще оптимальность формул зависит от таких мелочей, например, как использование битового сдвига для умножения на степень двойки, а также того, числа там целые или вещественные используются.
Зависит от угла между векторами. Если угол между ними есть рациональная часть окружности, то они дадут конечное число отражений, если иррациональная - бесконечное.
Кватернионы дают только повороты в 3D. Тут не только повороты описываются, но и произвольные движения, в том числе несобственные, а формулы совершенно одинаково в общей форме пишутся в любой размерности пространства.
Кроме того, можно метрику изменить (например, пространство Минковского рассмотреть) и нет никакой проблемы те же бусты Лоренца описывать, и тому подобное.
Наконец, если изменить формулу скалярного произведения, можно описывать это всё в пространствах с произвольными квадратичными формами, не только диагональными.
Есть книга Иванов М. Г. Как понимать квантовую механику, в интернете легко находится. Там он посвящает много внимания всем эти вопросам. В первую очередь - вопросу о линейности квантовой механики.
Если мультивектор состоит из слагаемых одного ранга, то обратный элемент как раз так и находится (плюс минус сам элемент делить на его квадрат). А в общем случае мультивектора его может вообще не быть. В этой алгебре есть делители нуля.
Очень хороший комментарий. Учту. Но я пока решил заняться переделкой и доделкой темы своей статьи про ОТО на хабре. Напишу отдельную статью про символы Кристоффеля - несколько разных выводов, смыслы и полное описание в ГА. Потом про тензор Римана. Затем третью про Риччи и Эйнштейна.
Я вроде про псевдоскаляр давно дописал. Но пока что мой наскок на кванты и ОТО получился далеко не таким хорошим, как должен быть. У Хестенеса там тоже далеко от идеала вышло.
Да, хорошее сравнение. Можно ещё вспомнить, например, что сила реакции опоры стола из принципе неопределённости Гейзенберга на самом деле выводится (если описывать вещество как множество зарядов двух знаков, без квантовой теории, только электромагнетизм, никаких твёрдых тел не может быть). Но при расчётах с ней достаточно механики Ньютона, или даже статики, которая была и до Ньютона.
Ну тут еще речь о том, что есть разного рода философия вокруг вариационного принципа, что он имеет фундаментальных смысл, а не технический, тот же интеграл по путям Фейнмана рассматривают как основу интерпретаций квантовой механики.
Понижение ранга делается с помощью внутреннего произведения. Но что нужно получить здесь?
Давайте попробуем получить то же самое. Например, пусть эти A - это базисные векторы. Тогда просто нужно слева умножить на сумму базисных векторов с помощью. внутреннего произведения. А поскольку любое внешнее произведение векторов в ГА - это определитель умножить на произведение базисных векторов, то можно это использовать, чтобы определить дальше. К сожалению, так не работает в произвольном случае.
Подход должен быть другим. Вы сами эти А должны определить как базисные векторы. Алгебра Клиффорда такое позволяет - скалярное произведение можно иначе определить.
Ну чтобы читать "Introduction to Linear Algebra" требуется намного более высокий начальный уровень подготовки, чем чтобы эту статью читать. Поэтому на эту книгу совсем нет никакого смысла ориентироваться, всё-таки это принципиально иной уровень сложности - там вузовская программа, а здесь лишь школьная планиметрия и алгебра.
Преимущество определения через косинус в том, что оно очень наглядное, хорошо заходит детям в 8-м классе. А через сумму координат как-то слишком абстрактно.
Да, это мой релиз от мая 2025. Я этих релизов с лета 2024го написал очень много и продолжаю писать по работе, сюда по одному в день выкладываю свои, и до выкладывания того, что пишу непосредственно, дойду где-то к февралю.
Каждый месяц пишу по 10 штук новых релизов в среднем.
Параллельная, но я собираюсь с ними впервые связаться в ближайшие пару недель для одной совместной активности внутри ВШЭ.
Так что была параллельная, но в этом месяце начнем пересекаться.
Да, целиком мультивектор на мультивектор - вычислительно затратно. Нужно разбивать на подвиды и искать наиболее оптимальные представления.
В поиске оптимальных вычислений очень много нюансов.
Например, 2 комплексных числа умножить - достаточно 3 умножения вещественных использовать вместо 4, это серьезный выигрыш в производительности.
Я имею в виду
А еще оптимальность формул зависит от таких мелочей, например, как использование битового сдвига для умножения на степень двойки, а также того, числа там целые или вещественные используются.
Зависит от угла между векторами. Если угол между ними есть рациональная часть окружности, то они дадут конечное число отражений, если иррациональная - бесконечное.
Да, не оценивает и не гарантирует.
Кстати по ссылке на публикацию там разместили неверный DOI для ссылки на англоязычную версию статью. Вот правильная ссылка на англоязычную версию Sample Size Determination: Likelihood Bootstrapping | Computational Mathematics and Mathematical Physics
Я сейчас также прикрепил ее ссылкой к слову "журнал" в первом абзаце.
Они всё выложили на гитхабе в открытом доступе https://github.com/kisnikser/Likelihood-Bootstrapping?tab=readme-ov-file
Кватернионы дают только повороты в 3D. Тут не только повороты описываются, но и произвольные движения, в том числе несобственные, а формулы совершенно одинаково в общей форме пишутся в любой размерности пространства.
Кроме того, можно метрику изменить (например, пространство Минковского рассмотреть) и нет никакой проблемы те же бусты Лоренца описывать, и тому подобное.
Наконец, если изменить формулу скалярного произведения, можно описывать это всё в пространствах с произвольными квадратичными формами, не только диагональными.
Есть книга Иванов М. Г. Как понимать квантовую механику, в интернете легко находится. Там он посвящает много внимания всем эти вопросам. В первую очередь - вопросу о линейности квантовой механики.
Если мультивектор состоит из слагаемых одного ранга, то обратный элемент как раз так и находится (плюс минус сам элемент делить на его квадрат). А в общем случае мультивектора его может вообще не быть. В этой алгебре есть делители нуля.
Очень хороший комментарий. Учту. Но я пока решил заняться переделкой и доделкой темы своей статьи про ОТО на хабре. Напишу отдельную статью про символы Кристоффеля - несколько разных выводов, смыслы и полное описание в ГА. Потом про тензор Римана. Затем третью про Риччи и Эйнштейна.
Я вроде про псевдоскаляр давно дописал. Но пока что мой наскок на кванты и ОТО получился далеко не таким хорошим, как должен быть. У Хестенеса там тоже далеко от идеала вышло.
Да, хорошее сравнение. Можно ещё вспомнить, например, что сила реакции опоры стола из принципе неопределённости Гейзенберга на самом деле выводится (если описывать вещество как множество зарядов двух знаков, без квантовой теории, только электромагнетизм, никаких твёрдых тел не может быть). Но при расчётах с ней достаточно механики Ньютона, или даже статики, которая была и до Ньютона.
Да, статья требует подробной расшифровки. А у Хестенеса очень длинно, но все равно не очень ясно.
Видимо, нужно цикл статей писать.
Ну тут еще речь о том, что есть разного рода философия вокруг вариационного принципа, что он имеет фундаментальных смысл, а не технический, тот же интеграл по путям Фейнмана рассматривают как основу интерпретаций квантовой механики.
Понижение ранга делается с помощью внутреннего произведения. Но что нужно получить здесь?
Давайте попробуем получить то же самое. Например, пусть эти A - это базисные векторы. Тогда просто нужно слева умножить на сумму базисных векторов с помощью. внутреннего произведения. А поскольку любое внешнее произведение векторов в ГА - это определитель умножить на произведение базисных векторов, то можно это использовать, чтобы определить дальше. К сожалению, так не работает в произвольном случае.
Подход должен быть другим. Вы сами эти А должны определить как базисные векторы. Алгебра Клиффорда такое позволяет - скалярное произведение можно иначе определить.
Потому что это разные корни из минус единицы. В другой статье написано про e12 в Cl(3,0), а тут e1234 в Cl(3,1).
Я придумал излагать через идею "а давайте попробуем ввести обратимое умножение, квадрат которого дает длину вектора". Вторая идея - это зеркала.
Обычно везде, где видел, излагают куда абстрактнее, и сходу непонятно. что это.
Если перпендикулярный, то получатся отражения Хаусхолдера известные. Они потом вводятся все же, через минус (а на практике используют мнимую единицу).
Суть то в том. что зеркало к вектору и под углом можно поставить.