Действительно интересно и непривычно смотреть на анализ, построенный на пределе по Гейне. Но вообще кажется, что определение по Коши само по себе достаточно геометрическое. Нужно просто читать не посимвольно, а сразу "группами символов". Так же как, когда мы читаем текст, мы читаем его не по буквам, а целыми словами. Вместо "для любого больше нуля найдется натуральное , что для всех модуль разности и строго меньше "на самом деле написано "какой бы ширины полосу вокруг мы ни взяли, начиная с некоторого момента, все члены последовательности начнут попадать в эту полосу". И это очень понятная картинка (которая приведена в статье). И здесь просто формально записано интуитивное представление о бесконечном приближении к пределу.
Подход с точками сгущения (для меня) не интуитивен, потому что (у меня) нет интуитивного понимания, что это именно то, что я представляю в качестве предела последовательности. Если у меня бесконечно много точек вблизи единственной точки сгущения, как это противоречит тому, что они время от времени "вырываются" от этой точки сгущения? Понятно, что я могу это обосновать, что если их "вырвалось" бесконечно много, то они должны еще где-то сгуститься, но, честно говоря, я это скорее понимаю чем чувствую. Кроме того, если вы начнете формально записывать, что значит
Число a называется точкой сгущения (или частичным пределом) последовательности {xₙ}, если в любой, сколь угодно малый интервал, содержащий точку a, попадает бесконечное число членов последовательности.
у вас получится определение с кванторами и эпсилонами. И вообще у меня сложилось впечатление, что дальнейшее доказательство теорем -- это пересказ сути их стандартных доказательств. Это полезно, их действительно стоит понимать именно так, но это не связано с выбором определения. А формализм связан с желанием заранее ответить на как можно большее количество "почему". Например, в Теореме 3 пункт 5
Но раз последовательность неубывающая и "добралась" до окрестности b, то все последующие её члены будут ещё правее. Они уже никогда не смогут вернуться в окрестность a.
Здесь сразу хочется спросить, почему, если она в окрестности , то она уже не окажется в окрестности . Понятно, что это из-за того, что мы разрешаем брать сколько угодно малые окрестности. А насколько малые окрестности надо брать? Так, чтобы они не пересеклись. Например, радиуса меньше . Вот уже и вырисовывается доказательство с эпсилонами.
А еще теорема 1 так-то и не теорема, потому что вы потребовали ограниченность в определении сходящейся последовательности. Второй пункт в вашем доказательстве нужно пояснять (как раз о чем я писал выше). Если в маленьком интервале бесконечное число точек, то вне его не обязательно конечное.
Прошу прощения за такой длинный комментарий. Это не потому что что-то не понравилось, а потому что здесь частично мой внутренний диалог
Действительно интересно и непривычно смотреть на анализ, построенный на пределе по Гейне.
больше нуля найдется натуральное 
, что для всех 
модуль разности 
и 
строго меньше 
"на самом деле написано "какой бы ширины полосу вокруг 
мы ни взяли, начиная с некоторого момента, все члены последовательности начнут попадать в эту полосу". И это очень понятная картинка (которая приведена в статье). И здесь просто формально записано интуитивное представление о бесконечном приближении к пределу.
Но вообще кажется, что определение по Коши само по себе достаточно геометрическое. Нужно просто читать не посимвольно, а сразу "группами символов". Так же как, когда мы читаем текст, мы читаем его не по буквам, а целыми словами. Вместо "для любого
Подход с точками сгущения (для меня) не интуитивен, потому что (у меня) нет интуитивного понимания, что это именно то, что я представляю в качестве предела последовательности. Если у меня бесконечно много точек вблизи единственной точки сгущения, как это противоречит тому, что они время от времени "вырываются" от этой точки сгущения? Понятно, что я могу это обосновать, что если их "вырвалось" бесконечно много, то они должны еще где-то сгуститься, но, честно говоря, я это скорее понимаю чем чувствую.
Кроме того, если вы начнете формально записывать, что значит
у вас получится определение с кванторами и эпсилонами. И вообще у меня сложилось впечатление, что дальнейшее доказательство теорем -- это пересказ сути их стандартных доказательств. Это полезно, их действительно стоит понимать именно так, но это не связано с выбором определения. А
формализм связан с желанием заранее ответить на как можно большее количество "почему".
Например, в Теореме 3 пункт 5
Здесь сразу хочется спросить, почему, если она в окрестности
, то она уже не окажется в окрестности 
. Понятно, что это из-за того, что мы разрешаем брать сколько угодно малые окрестности. А насколько малые окрестности надо брать? Так, чтобы они не пересеклись. Например, радиуса меньше 
. Вот уже и вырисовывается доказательство с эпсилонами.
А еще теорема 1 так-то и не теорема, потому что вы потребовали ограниченность в определении сходящейся последовательности. Второй пункт в вашем доказательстве нужно пояснять (как раз о чем я писал выше). Если в маленьком интервале бесконечное число точек, то вне его не обязательно конечное.
Прошу прощения за такой длинный комментарий. Это не потому что что-то не понравилось, а потому что здесь частично мой внутренний диалог