Comments / Profile of pavelgein / Habr

@pavelgein

User

ProfileArticlesPostsNewsComments3

Аналитика vs моделирование. Задача по теории вероятностей

pavelgein Aug 27 2021 at 08:47

Спасибо, вы правы!

Я неправильно преобразовал последнюю сумму.

Правильно вот так:

$\sum\limits_{k=1}^{n - 2} (2 \cdot (1 - p)p^k + (n -k -1)(1 - p)^2 p^k) + 2(1 - p)p^{n - 1} + p^n = n (1 - p) p + p^2 - 2 p^{n - 1} + p^n + 2(1 - p)p^{n - 1} + p^n = n(1 - p)p + p^2 - 2p^{n-1} + p^n + 2p^{n - 1} - 2p^n + p^n = n(1 - p)p + p^2$

Разница в слагаемом p^2. В случае автора — $\left(\frac{2}{7}\right)^2 \approx 0.08.$ Осталось найти несоответствие в рассуждениях.

Look

Аналитика vs моделирование. Задача по теории вероятностей

pavelgein Aug 27 2021 at 08:00

Он вносит вклад 0 в матожидание, поэтому его можно не учитывать. Но вы правы, для полноты стоит этот момент добавить

Look

Аналитика vs моделирование. Задача по теории вероятностей

pavelgein Aug 27 2021 at 07:39

Могу предложить другое решение.

Пусть $\xi$ — случайная величина, равная числу белых пулов. Требуется найти математическое ожидание этой случайной величины. Обозначим его через $M\xi.$

Обозначим вероятность вытащить белый шар через

Рассмотрим всевозможные белые пулы и перенумеруем их каким-нибудь образом. Пусть всего их тогда через $\xi_i$ обозначим случайную величину, которая равна 1, если этот белый пул реализовался при извлечении шаров, и 0 в противном случае. Ясно, что $\xi = \sum\limits_{i = 0}^N \xi_i.$

Воспользуемся линейностью математического ожидания: $M\xi = \sum\limits_{i=0}^{N} M\xi_i.$

Теперь осталось вычислить $M\xi_i.$ Пусть $\xi_i$ отвечает за пул длины Рассмотрим случаи

$1 \leqslant k \leqslant n - 2.$ Возможно два случая: если пул стоит с краю, то чтобы он реализовался, достаточно чтобы только один из соседей был черным. Это происходит с вероятностью и возможно два таких случая (с одного и другого края). Если пул стоит в середине, то его местоположение можно выбрать способов, оба его соседа должны быть черными, это реализуется с вероятностью
В этом случае есть два способа выбрать белый пул, а оставшийся шар должен быть черным. Это реализуется с вероятностью $(1 - p)p^{n-1}.$
В этом случае все шары белые, это возможно в единственном случае, который реализуется с вероятностью

Суммируя, получаем математическое ожидание, $M\xi = \sum_{k=1}^{n - 2}(2(1- p)p^k + (n - k - 1)(1 - p)^2p^k)+ 2(1 - p)p^{n - 1} + p^n = -2p^{n - 1} + p^n + n(1 - p)p + p^2 + 2(1 - p)p^{n - 1} + p^n = n(1 - p)p.$

В случае автора, как раз получается $20 \cdot \frac{5}{7}\frac{2}{7} = \frac{200}{49}.$

Look