Оказывается, мой вопрос о необходимых и достаточных условиях существования симплекса в евклидовом пространстве по матрице расстояний между его вершинами подробно рассмотрен в книге М. Берже «Геометрия», 1984 (теорема 9.7.3.4 и замечание 9.7.3.5). Действительно, определитель Кэли — Менгера должен быть ненулевым и иметь нужный знак в зависимости от числа вершин симплекса. Причем ничего больше проверять не надо, ни симметричность матрицы, ни неотрицательность ее элементов, ни неравенство треугольника. Я-то ожидал несколько по-другому. Доказательство, может быть, и несложно, но лишь для тех, кто в теме, а не просто так погулять вышел. ))
А как это доказывается? И почему об этом ни слова в Википедии?
«Я под правильным симплексом тут понимаю такой, квадрат объема которого является положительным числом.» Что же, объем «неправильного» симплекса может быть неположительным?
Нет, симплекс любой, не обязательно правильный. Т.е. имеем произвольную матрицу с указанными свойствами, выписываем по ней полный грамиан, его определитель оказывается отрицательным — и что, достаточно этого, чтобы наша матрица была матрицей расстояний между вершинами некоторого симплекса, тем более правильного?
Другими словами, мне хочется знать, каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы (произвольно взятая) матрица была матрицей расстояний для некоторого симплекса.
Возьмем симплекс в евклидовом пространстве и выпишем матрицу расстояний между его вершинами, свойства которой очевидны: она симметрична и ее элементы, положительные или — на главной диагонали — нулевые, удовлетворяют неравенству треугольника. Это необходимые свойства. Спрашивается, чего недостает, чтобы матрица с такими свойствами была матрицей расстояний между вершинами некоторого симплекса в евклидовом пространстве?
Возьмем, например, тетраэдр и уменьшим его высоту до нуля. Тогда указанные свойства будут иметь место, но это не симплекс.
«Я под правильным симплексом тут понимаю такой, квадрат объема которого является положительным числом.» Что же, объем «неправильного» симплекса может быть неположительным?
Другими словами, мне хочется знать, каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы (произвольно взятая) матрица была матрицей расстояний для некоторого симплекса.
Возьмем симплекс в евклидовом пространстве и выпишем матрицу расстояний между его вершинами, свойства которой очевидны: она симметрична и ее элементы, положительные или — на главной диагонали — нулевые, удовлетворяют неравенству треугольника. Это необходимые свойства. Спрашивается, чего недостает, чтобы матрица с такими свойствами была матрицей расстояний между вершинами некоторого симплекса в евклидовом пространстве?
Возьмем, например, тетраэдр и уменьшим его высоту до нуля. Тогда указанные свойства будут иметь место, но это не симплекс.