Считаю, все ли дети дома? Один, два, три. Так, общее количество — приблизительно 3!
Если вы измеряете наполненность дома своими детьми, то ребёнок, высунувшись в окно, может быть дома на любую дробную часть.
Хотя в вычислительной технике существуют понятия «одинарная точность», «двойная точность» и т.д., качественно характеризующие конкретные форматы представления чисел в компьютере.
Не качественно, а количественно. В формате флоат можно представить точно до 7 значащих десятичных цифр.
Нет. Никакое количество десятичных цифр в дробной части нельзя представить в двоичном виде точно, о чём Вы сами же и пишете. Можно говорить о том, что погрешность представления чисел в компьютерной арифметике одинарной точности не превышает их погрешности при записи в десятичной системе с 6 значащими цифрами.
Я же выше говорил только о том, что “одинарная точность” и “двойная точность” – это некое условное обозначение форматов представления чисел, а не то, что есть некая формальная метрика “точность”, различающаяся ровно в два раза.
Тут не написано, что операции с числами в Экселе соответствуют стандарту IEEE 754. Написано, что Эксель спроектирован где-то вокруг этого стандарта (даже не знаю, как корректно перевести это бессмысленное маркетинговое утверждение).
Я свои примеры даю на языке Си с использованием арифметики IEEE 754.
Когда вы говорите о своих детях, то это их нумерация натуральными числами в вашем списке детей, а не измерение количества, поэтому в данном случае говорить о погрешности не приходится.
Что касается точности, то в инженерном деле стараются не использовать этот термин, если стремятся к строгости терминологии. Хотя в вычислительной технике существуют понятия «одинарная точность», «двойная точность» и т.д., качественно характеризующие конкретные форматы представления чисел в компьютере.
Так вы сначала в аналитической теории разберитесь, что и как вы хотите посчитать. А если вы считаете конечную запись десятичного числа за абсолютно точное значение, то дальше уже из этой ложной предпосылки можно сделать какие угодно выводы.
3 плюс-минус немножко, конечно. Пока вы отнимаете яблоки, они истираются, или, наоборот, что-нибудь с рук на них налипает. Проще заметить, вычитая 2 тонны яблок из 5 тонн.
(Говоря о единичных яблоках, это, в практических целях, 5.0 и 2.0. Половину яблока ещё различаем при подсчёте количества, а 0.05 – уже нет.).
То, что вы и ваш калькулятор при вычитании 105.32 в столбик получаете ответ 0.0056, говорит только о том, что вы с калькулятором не учитываете погрешность вычислений, то есть считаете метрологически неверно. Инженеров, как правило, отучают вычитать 105.32 из 105.3256 ещё на первом курсе.
Если уж мы говорим о погрешностях, давайте изъясняться метрологически корректно. Может быть, в идеальном платоновском мире и существуют точные числа, но в реальности каждое значение имеет погрешность, связанную с различными причинами. В частности, всякое число, записанное в позиционной системе счисления, имеет погрешность представления, равную половине цены младшего разряда. Для числа 105.3256 абсолютная погрешность представления равна 0.00005, для числа 105.32 – 0.005. Разность этих чисел равняется 0.01 с погрешностью 0.00505, равной сумме погрешностей операндов.
Предполагая, что вместо второго числа Вы подразумевали 105.3200, можно заметить, что его абсолютная погрешность равна 0.00005, а разность чисел равна 0.0056 с абсолютной погрешностью 0.0001. Так как сама величина разности мала по абсолютной величине, то относительная погрешность разности оказывается велика, 0.0001/0.0056 = 0.0179.
Заметьте, это всё чисто аналитические выкладки, не имеющие пока никакого отношения к компьютеру и его представлению вещественных чисел.
Чисто формально, абсолютная погрешность разности равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого, и это никак не связано со способом вычислений и представления чисел. Относительная погрешность может получиться какая угодно, в зависимости от соотношения порядков результата и операндов.
Если бы в длину мантиссы по количеству знаков не уложились, то да. Но короткие шестнадцатиричные дроби кодируются точно, в отличие от некоторых десятичных, вроде 0.2.
Часть проблем автора поста связаны с тем, что не все конечные десятичные дроби имеют конечное двоичное представление.
Зачем вам в жизни вещественные числа? В типичном случае, компьютер получает информацию от датчиков в двоичной форме, обрабатывает её в двоичной форме и выдаёт на исполнительные механизмы тоже в двоичной форме. А выдача человеку на экран носит чисто справочный характер.
В Вашем примере с ядерной установкой, десятичной системе просто неоткуда взяться.
Так компьютер-то работает с двоичными числами. Вся проблема, в данном случае, оттого, что Вы зачем-то записываете двоичные, по своей технической природе, числа в приближённой десятичной форме.
Причём, так как изначально практически все источники вещественных цифровых значений в современном мире имеют двоичную природу, то представление чисел в десятичной системе их только портит.
Рано или поздно человечество перейдёт к шестнадцатиричной в быту.
Каких именно принципах? Практика программирования показала, что точное представление десятичных чисел никому не нужно, кроме бухгалтеров, которым достаточно целых копеек. Поэтому от десятичных дробей в современных широко распространённых системах программирования отказались. Остальные вещественные числа – это приближения иррациональных значений (так как мощность множества иррациональных чисел бесконечно больше мощности множества рациональных, то вероятность точно попасть в рациональное значение равна нулю).
Ну берите какой-нибудь язык PL/I и тип decimal fixed, если вас интересует точное представление десятичных чисел. Как верно указано в соседней ветке, настоящие физические параметры не имеют точного представления ни в одной системе счисления, поэтому совершенно неважно, как их записывать. Главное, чтобы погрешность алгоритма соответствовала требованиям решаемой задачи.
Если Вы имеете в виду свой комментарий “Вот программка, которую по моей просьбе написал Дмитрий Пикулик”, то в этой программе:
1) отсутствует определение переменной x, поэтому она не может быть скомпилирована;
2) после вставки определения “double x;”, результат, выдаваемый программой, соответствует теоретическому с точностью до 16 десятичных цифр, что отвечает точности формата double.
Если вы измеряете наполненность дома своими детьми, то ребёнок, высунувшись в окно, может быть дома на любую дробную часть.
Нет. Никакое количество десятичных цифр в дробной части нельзя представить в двоичном виде точно, о чём Вы сами же и пишете. Можно говорить о том, что погрешность представления чисел в компьютерной арифметике одинарной точности не превышает их погрешности при записи в десятичной системе с 6 значащими цифрами.
Я же выше говорил только о том, что “одинарная точность” и “двойная точность” – это некое условное обозначение форматов представления чисел, а не то, что есть некая формальная метрика “точность”, различающаяся ровно в два раза.
Я свои примеры даю на языке Си с использованием арифметики IEEE 754.
Что касается точности, то в инженерном деле стараются не использовать этот термин, если стремятся к строгости терминологии. Хотя в вычислительной технике существуют понятия «одинарная точность», «двойная точность» и т.д., качественно характеризующие конкретные форматы представления чисел в компьютере.
(Говоря о единичных яблоках, это, в практических целях, 5.0 и 2.0. Половину яблока ещё различаем при подсчёте количества, а 0.05 – уже нет.).
То, что вы и ваш калькулятор при вычитании 105.32 в столбик получаете ответ 0.0056, говорит только о том, что вы с калькулятором не учитываете погрешность вычислений, то есть считаете метрологически неверно. Инженеров, как правило, отучают вычитать 105.32 из 105.3256 ещё на первом курсе.
Предполагая, что вместо второго числа Вы подразумевали 105.3200, можно заметить, что его абсолютная погрешность равна 0.00005, а разность чисел равна 0.0056 с абсолютной погрешностью 0.0001. Так как сама величина разности мала по абсолютной величине, то относительная погрешность разности оказывается велика, 0.0001/0.0056 = 0.0179.
Заметьте, это всё чисто аналитические выкладки, не имеющие пока никакого отношения к компьютеру и его представлению вещественных чисел.
Часть проблем автора поста связаны с тем, что не все конечные десятичные дроби имеют конечное двоичное представление.
В Вашем примере с ядерной установкой, десятичной системе просто неоткуда взяться.
Рано или поздно человечество перейдёт к шестнадцатиричной в быту.
1) отсутствует определение переменной x, поэтому она не может быть скомпилирована;
2) после вставки определения “double x;”, результат, выдаваемый программой, соответствует теоретическому с точностью до 16 десятичных цифр, что отвечает точности формата double.
printf («a = %.15lf\n», a);
a = 0.789012345005176
Кто вам сказал, что Эксель работает с числами в формате double и в соответствии с IEEE 754?