Принцип наименьшего действия. Часть 1



    Когда я впервые узнал об этом принципе, у меня возникло ощущение какой-то мистики. Такое впечатление, что природа таинственным образом перебирает все возможные пути движения системы и выбирает из них самый лучший.

    Сегодня я хочу немного рассказать об одном из самых замечательных физических принципов – принципе наименьшего действия.

    Предыстория


    Со времен Галилея было известно, что тела, на которые не действуют никакие силы, двигаются по прямым линиям, то есть по кратчайшему пути. По прямым линиям распространяются и световые лучи.

    При отражении свет также двигается таким образом, чтобы добраться из одной точки в другую кратчайшим путем. На картинке кратчайшим будет зеленый путь, при котором угол падения равен углу отражения. Любой другой путь, например, красный, окажется длиннее.


    Это несложно доказать, просто отразив пути лучей на противоположную сторону от зеркала. На картинке они показаны пунктиром.


    Видно, что зеленый путь ACB превращается в прямую ACB’. А красный путь превращается в изломанную линию ADB’, которая, конечно длиннее зеленой.

    В 1662 Пьер Ферма предположил, что скорость света в плотном веществе, например, в стекле, меньше, чем в воздухе. До этого общепринятой была версия Декарта, согласно которой скорость света в веществе должна быть больше, чем в воздухе, чтобы получался правильный закон преломления. Для Ферма предположение, что свет может двигаться в более плотной среде быстрее, чем в разреженной казалось противоестественным. Поэтому он предположил, что все в точности наоборот и доказал удивительную вещь – при таком предположении свет преломляется так, чтобы достичь место назначения за минимальное время.


    На рисунке опять, зеленым цветом показан путь, по которому в действительности двигается световой луч. Путь, отмеченный красным цветом, является кратчайшим, но не самым быстрым, потому что свету приходится больший путь проходить в стекле, а в нем его скорость меньше. Самым быстрым является именно реальный путь прохождения светового луча.

    Все эти факты наводили на мысль, что природа действует каким-то рациональным образом, свет и тела двигаются наиболее оптимально, затрачивая как можно меньше усилий. Но что это за усилия, и как их посчитать оставалось загадкой.

    В 1744 Мопертюи вводит понятие «действия» и формулирует принцип, согласно которому истинная траектория частицы отличается от любой другой тем, что действие для неё является минимальным. Однако сам Мопертюи, так и не смог дать четкого определения чему равно это действие. Строгая математическая формулировка принципа наименьшего действия была разработана уже другими математиками – Эйлером, Лагранжем, и окончательно была дана Уильямом Гамильтоном:


    На математическом языке принцип наименьшего действия формулируется достаточно кратко, однако не для всех читателей может быть понятен смысл используемых обозначений. Я хочу попытаться объяснить этот принцип более наглядно и простыми словами.

    Свободное тело


    Итак, представьте, что вы сидите в машине в точке $A$ и в момент времени $t_A$ вам дана простая задача: к моменту времени $t_B$ вам нужно доехать на машине до точки $B$.


    Топливо для машины дорого стоит и, конечно, вам хочется потратить его как можно меньше. Машина у вас сделана по новейшим супер-технологиям и может разгоняться или тормозить как угодно быстро. Однако, устроена она так, что чем быстрее она едет, тем больше потребляет топлива. Причем потребление топлива пропорционально квадрату скорости. Если вы едете в два раза быстрее, то за тот же промежуток времени потребляете в 4 раза больше топлива. Кроме скорости, на потребление топлива, конечно же влияет и масса автомобиля. Чем тяжелее наш автомобиль, тем больше топлива он потребляет. У нашего автомобиля потребление топлива в каждый момент времени равно $mv^2/2$, т.е. в точности равно кинетической энергии автомобиля.

    Так как же нужно ехать, чтобы добраться к пункту $B$ к точно назначенному времени и израсходовать топлива как можно меньше? Ясно, что ехать нужно по прямой. При увеличении проезжаемого расстояния топлива израсходуется точно не меньше. А дальше можно избрать разные тактики. Например, можно быстро приехать в пункт $B$ заранее и просто посидеть, подождать, когда наступит время $t_B$. Скорость езды, а значит и потребление топлива в каждый момент времени при этом получится большой, но ведь и время езды сократится. Возможно, общий расход топлива при этом будет не так уж и велик. Или можно ехать равномерно, с одной и той же скоростью, такой, чтобы, не торопясь, точно приехать в момент времени $t_B$. Или часть пути проехать быстро, а часть медленнее. Как же лучше ехать?

    Оказывается, что самый оптимальный, самый экономный способ езды – это ехать с постоянной скоростью, такой, чтобы оказаться в пункте $B$ в точно назначенное время $t_B$. При любом другом варианте топлива израсходуется больше. Можете сами проверить на нескольких примерах. Причина в том, что потребление топлива возрастает пропорционально квадрату скорости. Поэтому при увеличении скорости потребление топлива возрастает быстрее, чем сокращается время езды, и общий расход топлива также возрастает.

    Итак, мы выяснили, что если автомобиль в каждый момент времени потребляет топливо пропорционально своей кинетической энергии, то самый экономный способ добраться из точки $A$ в точку $B$ к точно назначенному времени – это ехать равномерно и прямолинейно, точно так, как двигается тело в отсутствие действующих на него сил. Любой другой способ движения приведет к большему общему расходу топлива.

    В поле тяжести


    Теперь давайте немного усовершенствуем наш автомобиль. Давайте приделаем к нему реактивные двигатели, чтобы он мог свободно летать в любом направлении. В целом конструкция осталась той же, поэтому расход топлива опять остался строго пропорционален кинетической энергии автомобиля. Если теперь дано задание вылететь из точки $A$ в момент времени $t_A$ и прилететь в точку $B$ к моменту времени $t_B$, то наиболее экономичный способ, как и прежде, конечно, будет лететь равномерно и прямолинейно, чтобы оказаться в точке $В$ в точно назначенное время $t_B$. Это опять соответствует свободному движению тела в трехмерном пространстве.


    Однако, в последнюю модель автомобиля установили необычный аппарат. Данный аппарат умеет вырабатывать топливо буквально из ничего. Но конструкция такова, что чем выше находится автомобиль, тем больше топлива в каждый момент времени вырабатывает аппарат. Выработка топлива прямо пропорциональна высоте $h$, на которой в данный момент находится автомобиль. Также, чем тяжелее автомобиль, тем более мощный аппарат на нем установлен и тем больше топлива он вырабатывает, и выработка прямо пропорциональна массе автомобиля $m$. Аппарат получился таким, что выработка топлива точно равна $mgh$ (где $g$ – ускорение свободного падения), т.е. потенциальной энергии автомобиля.

    Потребление топлива в каждый момент времени получается равным кинетической энергии минус потенциальной энергии автомобиля (минус потенциальной энергии, потому что установленный аппарат вырабатывает топливо, а не тратит). Теперь наша задача наиболее экономного движения автомобиля между пунктами $A$ и $B$ становится сложнее. Прямолинейное равномерное движение оказывается в данном случае не самым эффективным. Оказывается, более оптимально — немного набрать высоты, какое-то время там задержаться, выработав побольше топлива, а затем уже спуститься в точку $B$. При правильной траектории полета общая выработка топлива за счет набора высоты перекроет дополнительные расходы топлива на увеличение длины пути и увеличения скорости. Если аккуратно посчитать, то самым экономным способом для автомобиля будет лететь по параболе, точно по такой траектории и с точно такой скоростью, с какой летел бы камень в поле тяжести Земли.


    Здесь стоит сделать разъяснение. Конечно, можно из точки $А$ кинуть камень многими разными способами так, чтобы он попал в точку $B$. Но кидать его нужно так, чтобы он, вылетев из точки $А$ в момент времени $t_A$, попал в точку $B$ точно в момент времени $t_B$. Именно это движение будет самым экономным для нашего автомобиля.

    Функция Лагранжа и принцип наименьшего действия


    Теперь мы можем перенести эту аналогию на реальные физические тела. Аналог интенсивности потребления топлива для тел называют функцией Лагранжа или Лагранжианом (в честь Лагранжа) и обозначают буквой $L$. Лагранжиан показывает насколько много «топлива» потребляет тело в данный момент времени. Для тела, движущегося в потенциальном поле, Лагранжиан равен его кинетической энергии минус потенциальной энергии.

    Аналог общего количества израсходованного топлива за все время движения, т.е. значение Лагранжиана, накопленное за все время движения, называется «действием».

    Принцип наименьшего действия состоит в том, что тело двигается таким образом, чтобы действие (которое зависит от траектории движения) было минимальным. При этом не нужно забывать, что заданы начальное и конечное условия, т.е. где тело находится в момент времени $t_A$ и в момент времени $t_B$.

    При этом тело не обязательно должно двигаться в однородном поле тяготения, которое мы рассматривали для нашего автомобиля. Можно рассматривать совершенно другие ситуации. Тело может колебаться на резинке, качаться на маятнике или летать вокруг Солнца, во всех этих случаях оно движется так, чтобы минимизировать «общий расход топлива» т.е. действие.

    Если система состоит из нескольких тел, то Лагранжиан такой системы будет равен суммарной кинетической энергии всех тел минус суммарной потенциальной энергии всех тел. И опять, все тела будут согласованно двигаться так, чтобы действие всей системы при таком движении было минимальным.

    Не все так просто


    На самом деле я немного обманул, сказав, что тела всегда двигаются так, чтобы минимизировать действие. Хотя в очень многих случаях это действительно так, можно придумать ситуации, в которых действие явно не минимально.

    Например, возьмем шарик и поместим его в пустое пространство. На некотором отдалении от него поставим упругую стенку. Допустим, мы хотим, чтобы через некоторое время шарик оказался в том же самом месте. При таких заданных условиях шарик может двигаться двумя разными способами. Во-первых, он может просто оставаться на месте. Во-вторых, можно его толкнуть по направлению к стенке. Шарик долетит до стенки, отскочит от нее и вернется обратно. Понятно, что можно толкнуть его с такой скоростью, чтобы он вернулся в точно нужное время.


    Оба варианта движения шарика возможны, но действие во втором случае получится больше, потому что все это время шарик будет двигаться с ненулевой кинетической энергией.

    Как же спасти принцип наименьшего действия, чтобы он был справедлив и в таких ситуациях? Об этом мы поговорим в следующий раз.
    Поделиться публикацией
    Комментарии 181
      0
      но действие во втором случае получится больше, потому что все это время шарик будет двигаться с ненулевой кинетической энергией

      Как это? В момент максимального сжатия пружина скорость шарика будет равна нулю, соответственно и кинетическая энергия тоже.

      Если же Вы имеете в виду абсолютно упругий удар, то как это Вы так лихо применяете интегральный принцип к разрывной функции? Функция Лагранжа в этому случае терпит разрыв в момент упругого удара, так как вектор скорости резко меняет свое направление
        0
        а почему резко? Там же вроде как работает упругость шарика (по закону Гука), и вектор скорости спокойно и без разрывов переходит через 0.
          0
          Это первая половина сообщения maisvendoo. В случае абсолютно упругого удара таки да, будет разрыв.
          +1
          Если быть точным, то maisvendoo, конечно, прав. В момент максимального сжатия пружины кинетическая энергия шарика будет равна нулю. Поэтому правильно сказать, что «все это время шарик будет двигаться с ненулевой кинетической энергией, за исключением одного мгновения, в момент максимального сжатия пружины». Но я в данном случае не стремился к абсолютной строгости. Если шарик достаточно далеко расположен от пружины, то основная часть действия накапливается во время его свободного полета от начального положения до пружины и обратно. Поэтому, при достаточном удалении шарика от пружины, действие при таком движении будет заведомо больше, чем при состоянии покоя. Собственно, это я и хотел сказать.
            +1
            Стоп-стоп-стоп. Приводя последнюю задачу в качестве примера, Вы поступаете некорректно во всех случаях. Если считать стенку линейно упругой, поместить начало координат на стенку, а ось х выпустить влево по нормали к ней, то тогда можно записать потенциальную энергию шарика

            \Pi(x) = \begin{cases}\cfrac{c\,x^2}{2}, \quad x <=0\\0,\quad x> 0\end{cases}

            Тогда функция Лагранжа

            L(x, \dot x) = T(\dot x) - \Pi(x) = \cfrac{m\,\dot x^2}{2} - \Pi(x)

            имеет разрыв первого рода. Эта система не относится к консервативным, о каком применении принципа наименьшего действия для анализа её движения может идти речь, когда получение уравнений движения путем минимизации функционала действия справедливо лишь для консервативных систем?
              +1

              Не очень понял, а где разрыв? Вроде функция получилась везде непрерывной, и даже непрерывно дифференцируемой.

                +5
                Эта функция кусочно-непрерывна, но уже первая её производная по x имеет особую точку x = 0, а вторая производная — имеет разрыв второго рода в этой точке.

                Ну да бог с ним, хорошо. Ваша ошибка гораздо более фундаментальна, чем я писал ранее. Вы пытаетесь ловить блох там где их нет, решая давно решенную задачу. Вот смотрите, задача отыскания траектории движения сводится к вариационной задаче отыскания экстремали для функционала действия

                S = \int\limits_{t_1}^{t_2}L(x(t), \dot x(t)) dt \to \min

                Так эта задача уже давно имеет общее решение, которое выглядит так

                \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0

                с последующим отысканием x(t) путем решения данного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях

                при этом, постановке любой вариационной задачи сопутствует задание краевых условий на искомую функцию, в рамках которой она и решается. Вы этот факт напрочь игнорируете, рассуждая о том, что при действие при изначально покоящемся шарике меньше, чем действие в случае его движения в сторону стены с последующим отскоком.

                Говоря так, вы рассматриваете две различных вариационных задачи! В обоих случаях действие по Гамильтону будет минимально, с учетом начальных условий на фазовую траекторию шарика

                x(t_1) = x_0,\quad \dot x(t_1) = v_0

                Так что противоречие, которое Вы намерены решать во второй части, при всём уважении, Вам приснилось. Пытаясь объяснять на пальцах вариационные принципы механики вы до конца не понимаете лежащий в основе математический аппарат
                  0

                  Дело в том, что в ПНД в краевых условиях не фигурируют скорости. Нужно только, чтобы правильными были начальное и конечное положение шарика. А они в обоих случаях совпадают.
                  Дело не в этом. Сам принцип ПНД нужно немного уточнить, что я и сделаю во 2-й части. Так что никакого противоречия не будет.

                    0
                    Нужно только, чтобы правильными были начальное и конечное положение шарика

                    Откуда мы знаем конечное положение шарика, если мы не знаем интегралов движения? И в случае отскока в пустой, как вы пишете, среде шарик не остановится в своем начальном положении а проследует его с постоянной скоростью, равной скорости отскока.

                    В данном случае, правильнее говорить, что у нас наложено одно краевое условие на начальную точку фазовой траектории, определяемой в пространстве двух параметров — координаты и её производной по времени.

                    Ещё раз говорю, что нет никакого тут противоречия, Вы его придумывате — действие достигает минимума в случае с отскоком, на всем множестве виртуальных траекторий при заданных начальных условиях
                      0
                      И вообще, где написано, что точки фазовой траектории фиксированы? Речь идет об изохронных вариациях и соответственно лишь о фиксированных моментах времени t1 и t2

                      Читаем, например вот эту книгу со страницы 91 и далее
                        0
                        У вас лагранжиан зависит от двух независимых переменных — обобщенных координаты и скорости, соответсвенно, если скорости разные в начальный момент времени, то это разные действительно вариацонные задачи.
                          0
                          И я о том же толкую. Вариации обобщенных координат и обобщенных скоростей есть независимые вариации. И теперь заинтригован, о чем же будет вторая статья.

                          Одно дело популярно излагать для понимания зубодробительную математику, а другое — паразитировать на этом процессе, придумывая сущности и превозмогая трудности, которых в реальности нет. В целом статья была бы хороша, если бы ни этот пунктик автора с загадкой, которую он планирует разгадать в следующей статье. Хотя на самом деле, загадки никакой и нет
                            +2
                            Автор все равно молодец. И обсуждение поднял и сам в итоге разберется.
                              +1
                              Автор все равно молодец

                              С эти не спорю
                                0
                                Возможно, я не очень хорошо объяснил, давайте попробую еще раз.

                                Давайте разберем сначала простейший случай — шарик, свободно двигающийся в пространстве. Для него заданы следующие условия:
                                1. в момент времени tA он вылетел из точки A.
                                2. в момент времени tB он прилетел в точку B.

                                Все, больше никаких условий, никаких начальных или конечных скоростей, ничего задавать не нужно. Из ПНД в данном случае однозначно определяется траектория движения шарика. Его траектория оказывается такова, что действие при такой траектории минимально по сравнению с действием при любой другой траектории. Можно взять любые траектории движения, с какими угодно скоростями, лишь бы выполнялись условия 1 и 2. При всех траекториях действие будет больше, чем при истинной траектории движения шарика.

                                Скорость не ЗАДАЕТСЯ, она в любой момент времени ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ принципом наименьшего действия (поскольку наименьшим действием обладает прямолинейная траектория с постоянной скоростью, то скорость для этой траектории оказывается равна расстоянию от A до B деленной на tB-tA).
                                  0
                                  Для движения шарика в поле тяжести все то же самое. Просто Лагранжиан зависит не только от кинетической энергии (скорости шарика), но и от потенциальной (положения шарика). Если для шарика заданы условия:

                                  1. в момент времени tA он вылетел из точки A.
                                  2. в момент времени tB он прилетел в точку B.

                                  То опять его траектория, в том числе начальная скорость однозначно ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПНД. Кроме условий 1 и 2 никаких других условий не нужно. И именно зафиксировав только эти условия и нужно сравнивать различные траектории.
                                    0
                                    2. в момент времени tB он прилетел в точку B.

                                    Кто Вам сказал, что в момент времени tB шарик будет именно в точке B? В соответсвии с ПНД фиксирован только момент времени tB, а фазовые координаты могут быть любыми! Не путайте пожалуйста ПНД с задачей о стрельбе.

                                    Почитайте в конце концов книги по аналитической механике

                                    Скорость не ЗАДАЕТСЯ, она в любой момент времени ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ принципом наименьшего действия


                                    Вы понимаете что мелете вообще? Если вы не зададите начальных условий вообще, то решая задачу минимизации функционала действия вы получаете не одну траекторию, а бесконечное их множество, задаваемое областью значений констант интегрирования, которых 2*s, где s — число степеней свободы системы.

                                    И все, абсолютно все траектории из полученного множества будут доставлять функционалу действия минимум! Только фактическое значение этого минимума будет различаться, в зависимости от конкретных начальных условий.

                                    Черт возьми, прекратите изображать из себя Петрушку и учите матчасть!
                                      +1
                                      Кто Вам сказал, что в момент времени tB шарик будет именно в точке B?

                                      Именно так формулируются граничные условия для ПНД.

                                      Могу только сослаться на упоминавшегося Ландау-Лившица.



                                      Как видите, задаются только координаты в моменты времени t1 и t2. Никаких заданных начальных скоростей в ПНД нет.
                                        0
                                        Да, когда мы вычисляем действие, по известной траектории движения, мы знаем положения точки в указанные моменты времени.

                                        Когда мы решаем вариационную задачу по минимизации действия, мы работаем с бесконечно малыми изохронными вариациями фазовых координат.

                                        Я вам о том и толкую, что рассматривая покоящийся шарик вы рассматриваете одну траекторию доставляющую минимум функционалу действия, а рассматривая шарик, отскакивающий от стенки — вы рассматриваете другую траекторию, доставляющую минимум функционалу действия.

                                        Вы сравниваете два минимума функционала действия в разных задачах, Вы понимаете это или нет?

                                        Пока я вижу, что вы в корне неверно понимаете ПНД. Покоящийся шарик именно потому и покоится, что данное его кинематическое состояние доставляет минимум действию по Гамильтону, среди множества других гипотетически возможных в данной ситуации кинематических состояний. Вникните в эту фразу, пожалуйста.
                                          0
                                          Давайте двигаться постепенно. Вы для свободного шара со мной согласны?

                                          Что если него заданы следующие условия:
                                          1. в момент времени tA он вылетел из точки A.
                                          2. в момент времени tB он прилетел в точку B.

                                          То из ПНД в данном случае однозначно определяется траектория движения шарика.
                                            0
                                            Почему Вы упорно пытаетесь сравнивать действие на двух действительных траекториях шарика? Действительная траектория как раз и доставляет минимум функционалу действия. Больше этой величины может быть только действие на любой другой физически невозможной траектории при данных начальных условиях.
                                        0
                                        Кто Вам сказал, что в момент времени tB шарик будет именно в точке B? В соответсвии с ПНД фиксирован только момент времени tB, а фазовые координаты могут быть любыми! Не путайте пожалуйста ПНД с задачей о стрельбе.

                                        Если вы не зададите начальных условий

                                        Вообще-то в ПНД ставится не задача Коши, а краевая задача. Так что автор прав, а вы нет.
                                          0
                                          Автор пишет охинею! Откройте учебник по аналитической механике и прочтите внимательно параграф о ПНД. В этой краевой задаче «края» подвижны, и в этих краях условия налагаются не на обобщенные координаты а на их вариации в заданные моменты времени. И результат решения этой вариационной задачи не одна кривая траектории, а множество траекторий, каждая из которых доставляет минимум исследуемому функционалу.

                                          Краевая задача для ОДУ, и задача поиска эктремали для заданного функционала — это две разные задачи. Решение первой дает на выходе одну единственную траекторию, определяемую краевыми условиями. Вторая на выходе дает дифференциальное уравнение, решая которое мы находим интегралы движения, то есть семейство траекторий. Вы понимаете разницу?

                                          Короче говоря, учебник теормеха и вариационного исчисления проштудировать не помешает, ни Вам, ни автору
                                            0
                                            Автор пишет охинею! Откройте учебник по аналитической механике и прочтите внимательно параграф о ПНД. В этой краевой задаче «края» подвижны, и в этих краях условия налагаются не на обобщенные координаты а на их вариации в заданные моменты времени.

                                            Открыл "лекции по аналитической механике" Гантмахера, края фиксированы.

                                              0
                                              края фиксированы

                                              В краях задана функция q(t), то есть существует действительный закон движения. Значения q(t1) и q(t2) могут быть любыми, удовлетворяющими многообразию траекторий, вытекающему из уравнений движения. А вот вариации q(t) в краях как раз таки фиксированы, что допускает наличие существование окольных движений везде, кроме краев при t1 и t2. Еще раз для тех кто в танке — это не краевая задача для ОДУ, это вариационная задача!

                                              Кто-то из комментаторов выше понимает разницу между приращением обобщенной координаты и её вариацией? Между функцией и функционалом?
                                                +1
                                                Еще раз для тех кто в танке — это не краевая задача для ОДУ, это вариационная задача!

                                                Ну да, пнд ставит вариационную задачу, и края в этой задаче фиксированы. Это же вы сами краевую откуда-то и вытащили, а теперь себя же и объявили залезшим в танк, таким образом. Вылазьте.

                                                  0
                                                  Мне кажется, спорить с maisvendoo — занятие бессмысленное. Степень его понимания предмета и уровень аргументации легко видны из его комментариев.
                                                    0
                                                    Конечно бессмысленно, когда Вы упорно настаиваете на своем неверном понимании ПНД. Вы тычете в белое и упорно говорите что оно черное, о каком конструктивном споре тут может идти речь?
                                                      +1
                                                      Конечно бессмысленно, когда Вы упорно настаиваете на своем неверном понимании ПНД.

                                                      Давайте по порядку: ПНД — это вариационный принцип, который позволяет найти конкретную траекторию при известных заданных начальной и конечной точке. Так написано в Ландавшице, так у Гантмахера в аналитической механике.
                                                      Никакого движения краев и прочей чепухи, которую. вы выдумали, там нет. Это вам понятно?

                                                        0
                                                        Мне понятно, что конкретные значения начальной и конечной координаты в этой задаче не заданы, и при решении используется параметризированное относительно этих параметров действие. Читайте внимательно Л&Л и Гантмахера
                                                          +1
                                                          Мне понятно, что конкретные значения начальной и конечной координаты в этой задаче не заданы

                                                          Они заданы. Откройте уже учебник и прекратите дезинформировать читателей. Вам сверху даже скриншот из Ландавшица привели, но вам и тут лень полстраницы прочитать.

                                                            0

                                                            Прекратите путать читателей. Бывают задачи на граничные условия а бывают на начальные. Граничная задача в отличие от задачи Коши может иметь несколько решений.

                                                              0
                                                              Граничная задача в отличие от задачи Коши может иметь несколько решений

                                                              Гениально! А без Вас я этого не знал, спасибо, просветили
                                                                0

                                                                Не за что всегда рад помочь. Но Почему Вы пытаетесь навязать задачу о начальных условиях?

                                          0
                                          А можете вывести скорость как функцию времени исходя только из ПНД и начальных координат? Это бы остановило все вопросы…
                                            0
                                            Согласен, коллега. Аналитику в студию!
                                              +1
                                              Для нахождения траектории с минимальным действием используются уравнения Эйлера-Лагранжа. Например, в случае свободного шара они приводят к уравнению V=константа.

                                              Константа находится из граничных условий:
                                              1. в момент времени tA он вылетел из точки A.
                                              2. в момент времени tB он прилетел в точку B.

                                              т.е. V = (B-A)/(tB-tA).
                                                0
                                                Во-первых, уравнения Эйлера-Лагранжа выводятся из ПНД, а не используются для его формулировки, не путайте пожалуйста причину и следствие.
                                                Во-вторых, не пропускайте выкладки. Давайте начнем с записи лагранжиана и потом уравнений движения для свободного шара и только потом будем выписывать решение.
                                                Подсказка — там будет вторая производная по времени — ускорение.
                                                  0
                                                  Автор напрашивается на то, чтобы его публично натыкали носом в лужу, как паршивого котенка. Я могу это устроить, учитывая его твердолобость в отстаивании своей блажи открыть загадку в очевидном.
                                                    0
                                                    del
                                                      0
                                                      Сообществу интересно, но в заключении статьи имеется глупая посылка с намеком на продолжение. Я, на всякий случай сделал скрин этого места и буду писать опровержение. Взялся объяснять на пальцах сложные вещи — будь добр разобраться в них на сложном уровне, а не измышлять. Автору похоже не доходит, что он сравнивает действие на двух действительных траекториях и пытается наскрести на этом какой-то материал. Я за чистоту материалов, по крайней мере в хабе «Математика»
                                                      0
                                                      Зачем? Давайте лучше вместе разберемся, смотрите сколько комментариев к статье, сообществу явно интересно. Хотя я вас понимаю :)
                                                      Есть кстати более тонкий вопрос, не затронутый автором: почему лагранжиан зависит только от нулевой и первой производной обобщенных координат и не зависит от производных высших порядков?

                                                      P.S. какой-то треш с уровнями комментариев…
                                                        0
                                                        Есть кстати более тонкий вопрос, не затронутый автором: почему лагранжиан зависит только от нулевой и первой производной обобщенных координат и не зависит от производных высших порядков?

                                                        Потому что в природе нет активных сил, зависящих от ускорения и его производных.

                                                        Даже то что я сказал выше избыточно — лагранжиан определяется кинетической и потенциальной энергией системы. Кинетическая энергия по определению зависит от обобщенных координат и скоростей, а потенциальная потому и потенциальная, что определяется только положением системы, определяемым вектором обобщенных координат
                                                          0
                                                          Я знаю, что вы знаете
                                                            0
                                                            Дедушка Эйнштейн, с вами не согласился бы. У него нет потенциальной энергии.
                                                            Как возникает там кинетическая энергия. Исследуем функцию Лагранжа в инерциальных системах. То есть она однородна и изотропна. То есть функция Лагранжа для инерциальной системы может быть выражена как L(v^2). Для малых скоростей L(v^2) ~ v^2/2 = mv^2/2
                                                            Тогда мы можем попытаться найти вид функции Лагранжа L(q, q', t) = L(q'^2) — U(q). Функцию времени можем исключить, так как функция Лагранжа определена с точностью до функции времени.
                                                            Ищем с минусом, чтоб получить некий физический уже известный смысл этой функции. Чтоб получилось уравнение Ньютона. Можно искать с плюсом, тогда нужно будет придумывать некую обратную потенциальную энергию. То есть ваше утверждение
                                                            лагранжиан определяется кинетической и потенциальной энергией системы

                                                            Не верно в общем виде. Принцип наименьшего действия работает и при скоростях близких к скорости света.
                                                            L = m*c^2/sqrt(1-v^2/c^2) А потенциальной и кинетической энергии нету.
                                                              0
                                                              Мы говорим о классической механике. Об общих видах тут речи не идет, тут бы с частным примером разобраться кое-кому
                                                          0
                                                          К сожалению, у нас с вами не получается конструктивно го диалога. Хорошо, давайте останемся каждый при своём мнении.
                                                            0
                                                            не получается конструктивно го диалога

                                                            … по причине того, что в область, где работает чистая математика, примешиваются умозрительные рассуждения основанные на в корне неверных исходных посылках. В таких ситуациях помогает холодный душ, который я Вам с удовольствием пропишу
                                                              0
                                                              По настоящему конструктивным такой диалог может быть только с формулами.
                                                                0

                                                                Формул на хабре в комментах нету.

                                                                  0
                                                                  Ну, если очень хочется, то есть
                                                                    0

                                                                    Нужно как на Stackexchange. Иначе многим день их копировать и получается не конструктивный диалог.

                                                0
                                                Вариации обобщенных координат и обобщенных скоростей есть независимые вариации


                                                Строго говоря, нет. Если вы варьируете их независимо, т.е. посути варьируете координату и импульс — то это уже не лагранжев формализм, а гамильтонов.
                                                Суть в том, что действие есть функционал от траектории q[t], и варьируете вы только обощенную переменную. Ибо больше нечего варьировать :-)
                                                  0
                                                  Вариации обобщенных координат и обобщенных скоростей есть независимые вариации.

                                                  Как раз нет. Это в Гамильтониане вариации скоростей и ипульсов не зависимы. А в Лагражиане скорость это производная координаты. Меняете \delta q и автоматически меняется d/dt \delta q.

                                                    0
                                                    Как раз нет. Это в Гамильтониане вариации скоростей и ипульсов не зависимы. А в Лагражиане скорость это производная координаты

                                                    Да, тут Вы правы
                                                      0

                                                      А это уже до меня сказали.

                                      0
                                      Спасибо! Наконец-то понял, что такое этот лагранжиан. Принцип наименьшего действия, вот в чём он зарыт!
                                        +5
                                        Прекрасная статья, из которой следует всем известный закон: лень — движитель прогресса!
                                          +1
                                          А нельзя ли использовать эту способность природы извлекать из ниоткуда сразу оптимальное решение? Например, чем решать задачу коммивояжёра алгоритмическими методами, просто изготовить физическую модель задачи, после чего сразу, мгновенно, получить решение прямым измерением?
                                            +3
                                            Можно. Квантовый компьютер её использует — из всего богатства выбора отсекает все неоптимальные варианты. Ричард Фейнман первый пришёл к этой мысли (и потому считается прародителем квантовых вычислений).
                                            www.mathnet.ru/into214 и ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_Гровера, например. Берегите мозг.
                                              0
                                              И будете городить физическую модель под каждую задачу? Компьютеры тогда зачем изобрели? Находите лагражиан, втыкаете его в уравнение Эйлера-Лагранжа, решаете и получаете траекторию.
                                                0

                                                К сожалению, не все так просто, как вы описали… Есть сложные системы, где такой подход почти невозможен и используются более экзотические… Правда вот делать под них физические модели тоже может оказаться трудным делом.

                                                  0
                                                  разумеется. В этом и смысл — иногда проще считать через обычный второй закон Ньютона, иногда через лагранжиан иногда через гамильтониан. В квантовой механике например рулит гамильтонова интерпретация. Физическое моделирование имеет смысл если вы делаете некий прототип и на нем проверяете. Типа как модели в аэродинамической трубе.
                                                +1

                                                В Советском Союзе на таком "физическом компьютере" решали дифуры 4-го порядка. Гидравлический интегратор Лукьянова.

                                                  0
                                                  Можно, на аналоговых компьютерах вначале так делали. Но цифровые их обошли по универсальности, точности и устойчивости к ошибкам. Да и по скорости во многом догнали. Но физическое моделирование и сейчас применяется, хоть зачастую уже как дополнение к цифровым расчётам — аэродинамическая труба в авиастроении, как пример.
                                                  0
                                                  ПНД действует не только в случае движения тел. Например, если разрывать ткань, то разрыв пойдёт вдоль основы или утка (если она новая и качественная — если, например, гнилая, то пожет пойти как угодно).
                                                    0
                                                    сли, например, гнилая, то пожет пойти как угодно
                                                    Не как «угодно», а в соответствии с ПНД. Просто если ткань гнилая, то она, скорее всего, неоднородная — и получается как в случае с преломлением: идти по кратчайшей траектории — невыгодно.
                                                      0
                                                      Есть еще одно определение «траектория движения воды», которая показывает что многие системы в природе не способны «работать в кредит» ради уменьшения общих итоговых затрат. К примеру та же вода. Или луч, не способный обойти препятствие. Все далеко не так магически, как хотелось бы.
                                                        0
                                                        Вода иногда умеет, только ей внешнее давление нужно и хороший кредитный план сифон.
                                                        0
                                                        … идти по кратчайшей траектории — невыгодно.

                                                        Я про кратчайшую траекторию ничего не писал. Вы не на то возражаете.
                                                        … в соответствии с ПНД.

                                                        Вот именно.
                                                      0

                                                      С функциии Лагранжа и принципа наименьшего действия начинается первый том "Механика" учебника теоретической физики Ландау и Лифшица.
                                                      Понять это в формальных определениях без опыта нереально, принять как есть или перескочить первую же главу довольно сложно.
                                                      Я думаю это одна из причин, по которым теорфиз и даже теормех считается жестиловом, а ландафшиц слишком сложным. Нужен какой-то переходный учебник для учеников/студентов, освоивших общефиз, но ещё не знакомых с теорфизом.

                                                        0
                                                        ЛЛ даже не для студентов это для продвинутых которые хотят пролвинутся дальше. Лагранжева и гамильтонова механика неплохо описаны в первом томе Сасскинда Теоретическмй минимум.
                                                          +1
                                                          Но нельзя не заметить что многие вещи у Л&Л очень виртуозно описаны, читаешь как хороший роман. Именно из за этого ощущения «математического волшебства» очень рекомендую Л&Л даже для начинающих.
                                                            0
                                                            Вот только начинающие вряд ли владеют матапаратом на таком уровне
                                                        0
                                                        Считать ЛЛ учебником можно только с большой натяжкой. Читать его желательно, только уже имея базовое понимание того, о чём собираешься читать. Вот такой парадокс.

                                                        Это библия, которая доходит не с первого, не со второго и даже не с третьего раза. ЛЛ можно открывать, уже повзрослел, и находить там новые нюансы, мимо которых проходила мимо в студенческие.
                                                        +4
                                                        Мне кажется, что совершенно не правильно стараться объяснять физические явления через макро-аналогии (например движение света через движение автомобиля). На то есть 2 причины —
                                                        1. Это всё равно не даёт человеку понять суть события.
                                                        2. Это приводит к искажению смысла. (как было с «Эффектом наблюдателя», который многие понимают как некий «мистический» как раз из-за неудачного названия и неуместных аналогий)
                                                        P.S. Не могу не вспомнить и про «Теорию относительности», которую большенство (!) населения планеты считают постулирующей ни что иное, как — «Всё в мире относительно». )))
                                                          0
                                                          Согласна. Нам то сразу понятно откуда «растут колёса» у машины с расходом топлива как квадрат скорости. Но вряд ли такая аналогия упрощает понимание тому, кто впервые слышит о ПНД.

                                                          ПНД удивителен, поэтому я разделяю стремление автора поделиться этим чудом с другими. У самой руки чешутся. Но в итоге понимаю, что лучше чем Фейнман в «Лекциях» не напишешь.
                                                          +1
                                                          А вот интересно если взять две соеклянные пластинки с разным кожффициетом преломления и сложить их. Свет пойдет преломлятся по очереди или будет какаято общая оптимальная траектрия в которой углы преломления будут не такие как в пластинках по отдельности?
                                                            +1
                                                            Свет пойдет преломляться по очереди, что и будет общей оптимальной траекторией.
                                                              0
                                                              почему то казалось что при наличии второй пластинки угол преломления на первой изменится для получения какой то общей более оптимальной траектории
                                                            +1
                                                            Природа, конечно же не знает ни о каких принципах. Это мы пытаемся сформулировать достаточно простой и доходчивый для нашего ограниченного понимания принцип, чтобы описать то, что мы наблюдаем вокруг себя, в нашей системе условностей.
                                                              0
                                                              Именно так!
                                                              +4
                                                              А откуда луч света знает конечную точку назначения, чтобы «оптимально» ней стремиться? По-моему тут перепутаны причина и следствие: свет достигает какой-то точки, потому что пошёл именно этим путём, а не выбирает путь, чтобы достичь именно этой точки.
                                                                0
                                                                Он не знает, у него нечем знать и ничего не выбирает, так как выбирать не из чего. Он движется по единственно возможному пути. Все остальные для него более затратные.
                                                                Собственно, перемещение эл.маг. волн можно упрощенно рассматривать как следствие перемещения заряда (т.е. электрического тока), который движется по пути с наименьшим сопротивлением из-за того, что на всех остальных направлениях нет разности потенциала с движущимся зарядом (они равны по величине и по знаку, и поэтому отталкиваются друг от друга).
                                                                  +2

                                                                  По своему единственно возможному пути он и достигает некоей единственно возможной точки, а вовсе не заданной "точки Б".
                                                                  А дальше остаётся либо поставить эту самую точку в то место, куда достиг свет.
                                                                  Либо начать шерудить источником так, чтобы он попал в нужную нам точку.
                                                                  Либо если ничего из этого невозможно, сперва рассчитать траекторию с помощью формул, и настроить источник, чтобы пустить луч именно в рассчитанное направление.

                                                                    0

                                                                    я думаю, читать автора надо так: "Свет вышел из точки А и попал в точку Б. Давайте подумаем по какой траектории он двигался".

                                                                  –1
                                                                  Что бы что то пройти, нужно время. А у фотона его нет.
                                                                  Значит для него это мгновенное перемещение.
                                                                  Значит конечная и начальная точки равны.
                                                                  Путь фотона — это что то виртуальное, «перенос» энергии с задержкой зависимой от минимального расстояния между точками.
                                                                    +4
                                                                    так и есть. Электрон испуская фотон передает энергию. виртуальному квантовому осциллятору в вакууме а тот передает его другому электрону через какое то время. То есть фотон не то что никуда не летит — по сути то виртуальное понятие — мы не можем наблюдать движущийся фотон.
                                                                    0
                                                                    вот и вопрос — почему именно этим и каждый раз именно этим
                                                                      0
                                                                      А чего ему вообще как-то по разному в стабильной среде двигаться то?) Мне кажется тут что-то не верно в статье объяснено. При прямолинейном движении в своей среде, луч в точку А не может попасть по другому пути в принципе. Картинка вообще вносит путаницу, нарисован красный луч с тем подтекстом, что если убрать стекло, то луч сам по себе пойдет по красной линии так как она в данном случае короче, но это же не так, он пойдет по зеленой, но не преломится и пойдет дальше. И каким образом эта картинка показывает оптимальную траекторию… Луч пришел в точку А, мы нарисовали до нее прямую красную, назвали ее оптимальной, хотя свет по ней не направлен и в принципе не пойдет хоть есть стекло хоть нету.
                                                                        0
                                                                        Хотя если посмотреть на это с чуть более другой стороны. Из мира квантовой физики. То у фотона есть точка начала пути и точка конца пути и потом он уже ищет траекторию среди миллионов самых разных траекторию. С этой точки зрения, красная линия и правда валидная траектория и самая короткая с геометрической точки зрения.
                                                                        Это как в анекдоте из ТБВ
                                                                        Изо дня в день физик приходит в кафе и заказывает 2 порции мороженного, одну для себя, вторую ставит напротив. Спустя несколько дней официант не выдерживает и спрашивает
                                                                        -Что вы делаете?
                                                                        -Понимаете, я физик, и с точки зрения квантовой механики, есть вероятность что воздух над этим стулом преобразуется в прекрасную девушку, она полюбит меня и мы будем счастливы.
                                                                        -Но тут полно одиноких девушек, почему бы вам не угостить одну из них порцией мороженного, и возможно из этого что-то выйдет.
                                                                        -Да, но какова вероятность?
                                                                    0
                                                                    По пути наименьшего сопротивления(с) всплыло сразу в голове.
                                                                      0
                                                                      ПНД разве не одна из интерпретаций закона сохранения энергии? Т.е. в буквальном смысле это один из способов математической записи этого закона. Вроде бы этот основополагающий вопрос не раскрыт.
                                                                        0
                                                                        ПНД не один из способов математической записи закона сохранения энергии. Например, если внешнее поле меняется со временем, то полная энергия тела в этом поле может не сохраняться, тем не менее, двигаться оно будет в соответствии с ПНД.
                                                                        Хотя, действительно, есть очень тесная связь между ПНД и законом сохранения энергии, которую я здесь не раскрывал совершенно. Оставил это для будущих частей.
                                                                          0
                                                                          Есть мнение, что незнание закона не исключает его действия.
                                                                          0
                                                                          скорее интерпретация закона сохранения импульса. закон сохранения энергии демонстрируется в гамильтоновой версии механики
                                                                            0
                                                                            Это только в случае, если в вашей вселенной закон сохранения импульса существует отдельно от закона сохранения энергии. Для справки: wp.wiki-wiki.ru/wp/index.php/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0#.D0.97.D0.B0.D0.BA.D0.BE.D0.BD_.D1.81.D0.BE.D1.85.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D1.8D.D0.BD.D0.B5.D1.80.D0.B3.D0.B8.D0.B8
                                                                              0
                                                                              закон сохранения энергии напрямую никак не связан с законом сохранения импульса. Закон сохранения энергии математически вытекает из глобальной симметрии по времени а закон сохранения импульса из симметрии по координатам. Ну или как сказно по ссылке, изотропности.
                                                                                0
                                                                                Отсутствие прямой связи предполагает возможность несохранения энергии при сохранении импульса и наоборот.
                                                                                  0
                                                                                  так и было бы в случае неизотропности пространства или времени. Но изотропность пространства не связана напрямую с изотропностью времени.
                                                                                  кроме того законы сохранения импульса и энергии нарушаются например при неопределенности Гейзенберга. Причем каждый по отдельности потому как опять же энергия связана с временем а импульс с координатами.
                                                                            +1
                                                                            ПНД не является законом сохранения ни энергии, ни импульса, ни чего бы то ни было другого, ни по форме, ни по смыслу тчк
                                                                            0
                                                                            Из ПНД следует закон сохранения энергии, при условии, что функция Лагранжа не зависит от времени. Если функция не зависит от координаты следует закон сохранения импульса. А если функция изотропна, то есть не зависит от направления, то следует закон сохранения момента импульса. Это более мощное утверждение, чем закон сохранения энергии.
                                                                            0
                                                                            Такое впечатление, что природа таинственным образом перебирает все возможные пути движения системы и выбирает из них самый лучший

                                                                            А нет ли более материалистического объяснения вышеизложенного принципа?
                                                                              +1
                                                                              это принцип квантово механики. А там нет ничего материалистичного в смысле привычных нам из повседневного опыта понятий
                                                                                0
                                                                                Не путайте людей. ПНД был сформулирован задолго до квантовой механики.
                                                                                  0
                                                                                  да, но движение по многим траекториям хорошо наблюдается именно в квантовой механике. В первую очередь в эксперименте с двумя щелями. в случае макрообьектов траектории практически сливаются.
                                                                                    0
                                                                                    Никогда ещё вы не были так близки к открытию феймановской формулировки квантовой механики.
                                                                                0
                                                                                Это не принцип, а впечатление конкретного человека. Принципа такого нет и объяснять здесь нечего.
                                                                                0

                                                                                Я вообще ничего не понял.


                                                                                1. Почему угол отражения равен углу падения. Что за бред про свет, который знает куда ему нужно попасть и заранее выбирает направление?
                                                                                2. Почему расход топлива зависит от скорости?
                                                                                3. Какое применение эта машинка имеет в реальном мире
                                                                                  0
                                                                                  Что за бред про свет, который знает куда ему нужно попасть и заранее выбирает направление?


                                                                                  Свет не знает куда надо попасть. Ему все равно. Он просто распостраняется в соответствии с законами физики. А вот место куда он попадает — автоматически и оказывается «куда надо». Просто мы видим «задачу задом наперед» — мы видим что происходит в реальном мире, а теперь пытаемся найти строгое математическое и логическое обоснование того, почему оно происходит так, а не иначе.

                                                                                  Почему расход топлива зависит от скорости?

                                                                                  Если теория относительности не врет, то E=mc2. Поскольку скорость есть, разновидность энергии, то с увеличением скорости масса тела возрастает. Для дальнейшего изменения скорости(или поддержания скорости при наличии сопротивления среды, которая стремится уменьшить скорость тела) нужна энергия. Чем больше масса тела, тем больше энергии нужно чтоб его еще ускорить. т.е. чем выше скорость, тем больше энергии нужно(выше расход топлива), чтоб она стала еще больше. Вот и выходит в итоге, что расход зависит от скорости в общем случае.
                                                                                    0
                                                                                    Лагранжиан не учитывает релятивистские эффекты, поэтому пример с ростом массы от скорости неуместен в принципе.
                                                                                      0
                                                                                      Что мешает записать другой лагранжиан, релятивистский!?
                                                                                        0
                                                                                        Вы правы, речь не о применимости лагранжиана к релятивистскому случаю, а о применимости релятивистского случая для иллюстрации зависимости энергии от квадрата скорости в классическом случае.
                                                                                  0

                                                                                  Ну мне кажется с фонариком правильнее будет вот так. Наблюдатели в точках X и Y тоже его увидят. Миллион лучей выглядят уже не так таинственно)


                                                                                    +2
                                                                                    Таинственным выглядит то, что миллион наблюдателей увидят только те фотоны от источника А, которые до них дошли в соответствии с принципом ПНД.
                                                                                      +1
                                                                                      Ну так это потому что другие фотоны в другую сторону летят, разве нет? Я говорил не про миллион наблюдателей, а про миллион лучей, хоть один да пойдет в сторону наблюдателя. ПНД это следствие, а не причина.
                                                                                        0

                                                                                        Вот тут и я согласен. Фонарь не выпускает один фотон, чтобы он попал в наблюдателя. Он выпускает их очень много, в разные стороны. А вот почему они летят прямолинейно — это уже другой вопрос. У меня есть мнение, что это из-за их нулевой массы (хотя некоторые считают что она не нулевая), просто согласно формуле F=ma. Другие силы просто не могут на них действовать.

                                                                                          0
                                                                                          А вот почему они летят прямолинейно — это уже другой вопрос.


                                                                                          Ну они летят не то чтобы «прямолинейно». Траектория их движения соответствует геодезическим линиям пространства. В условиях сильной гравитации (см. гравитационное линзирование) их траектория может быть весьма причудлива. Хотя по «их собственному мнению» да, они будут двигаться «по прямой». Но так и время их жизни, «по собственному мнению», равно нулю, в силу того, что двигаются со скоростью «c». А если говорить еще обстоятельней, то говорить о конкретной траектории движения элементарных частиц можно с некоторой натяжкой. Есть менее, и более вероятные пути их движения, которые в момент наблюдения просто коллапсируют в конкретные значения. Что позволяет считать, что они движутся по всем возможным путям причем одновременно (см. интеграл по траекториям, сформулированный Р. Фейнманом).
                                                                                            0

                                                                                            А вот мне тоже интересно, как это так "свет идёт именно этим (кратчайшим) путём а не любым другим".


                                                                                            • Фотоны выпускаются во все стороны
                                                                                            • Фотоны летят во все стороны с постоянной (для среды) скоростью
                                                                                            • К некоторой точке фотоны летевшие путём A долетают быстрее
                                                                                            • К этой же точке чуть позже прилетают другие фотоны летевшие путём B.

                                                                                            То есть если закрыть путь A, то свет всё-равно появится в точке. И если будут открыты оба — суммарно там будет светлее.
                                                                                            Почему же всё-таки говорится, что "выбирает кратчайший путь?" Выбирает все пути, просто по какому-то (очевидно, кратчайшему) долетает быстрее.
                                                                                            Так в чём же тут мистика?

                                                                                              0
                                                                                              То есть если закрыть путь A, то свет всё-равно появится в точке.
                                                                                              Вы когда-нибудь солнечные зонтики видели? В том-то и дело, что он не появится.
                                                                                                0

                                                                                                Он — кто? Конкретный пучок фотонов или свет в принципе? Отражённый от других предметов разве не появится?

                                                                                                  0
                                                                                                  Свет от конкретного источника. Да, если есть другие предметы, то что-то может и дойти. Он может вообще двигаться по очень разным путям. Может даже дойти несколько лучей от одного источника к одному приёмнику. Но они всегда будут двигаться по траектории, соответствующей ПНД.
                                                                                              0
                                                                                              Проблема с нулевой массой как раз легко обходится той же самой формулой, но в импульсной форме, т.е. F=dp/dt. А с импульсом у фотона все ОК.
                                                                                            0
                                                                                            Если бы фотон отражался не по принципу «угол падения равен углу отражения», то он все равно прошел бы минимально возможный путь, но оказался бы в другом месте. А в указанных точках оказались бы другие фотоны.
                                                                                          0
                                                                                          Аппарат получился таким, что выработка топлива точно равна mgh

                                                                                          Вопрос к знающим людям. Говорят, что при падении потенциальная энергия переходит в кинетическую, и закон сохранения энергии не нарушается.


                                                                                          Какова потенциальная энергия у этого камня? Не может же у него быть 2 потенциальных энергии. Откуда при падении берется кинетическая энергия? Как здесь правильно рассуждать?


                                                                                            –1
                                                                                            Я считаю, что у этого шарика потенциальная энергия 77. На самом деле это не важно какая именно. Важно, что она сохраняется.
                                                                                              0
                                                                                              потенциальная энергия — это всегда разность. Понятие потенциала в какой то точке не имеет смысла.
                                                                                                0
                                                                                                Можно так трактовать: потенциально получаемая кинетическая энергия. Энергия, которая может быть получена в результате воздействия на тело действующих на него в этой точке пространства сил. Она относительна. Кинетическая энергия это опять же работа, которую совершает тело до полной (относительно начала координат скорости) остановки. Конечно присутствует некий элемент диалектики.
                                                                                                  0
                                                                                                  Потенциальный значит возможный.
                                                                                                  Потенциальная энергия — такое количество энергии, которое возможно преобразовать, например, в кинетическую.
                                                                                                  Т.о. потенциальная энергия просто алгебраическая абстракция, помогающая получить более конкретные показатели, например скорость в точке, если тело массой m упадет с высоты h

                                                                                                  Возвращаясь к вашему вопросу. Если вы ставите 2 задачи возможного (потенциального) падения, то и потенциальных энергий у тела будет 2.
                                                                                                    0
                                                                                                    А откуда берется реальная кинетическая энергия, которая делает работу?
                                                                                                      –1
                                                                                                      Гравитация. А откуда берется гравитация на сегодняшний день, надо полагать, не знает никто.
                                                                                                        0
                                                                                                        Если под «от куда берется» вы имеете ввиду вид формулы — она выводится из второго закона Ньютона
                                                                                                        Если под «от куда берется» вы имеете ввиду некий механизм преобразования одной энергии в другую то боюсь его, как такового, нет. Кинетическая энергия это энергия движущегося тела. Количество энергии есть величина относительная, показывающая разницу двух состояний(скоростей). Это можно понять как «Что бы тело массой m разогнать от 0 до скорости V, необходимо ему сообщить K энергии, тогда мы можем говорить что тело обладает K кинетической энергии». В рассматриваемой задаче свободного падения силой которая сообщает телу энергию есть сила свободного падения в результате действия гравитации.
                                                                                                      0
                                                                                                      Правильно рассуждать так: Потенциальная энергия существует только в каком-то поле.

                                                                                                      Если этот камень находится где-то в глубинах космоса, то у него её просто нет.
                                                                                                      Если же на Земле — то разница между координатами камня и центра Земли.
                                                                                                        0
                                                                                                        Допустим, он прилетел из глубин космоса в поле Земли и упал на нее. Откуда у него взялась энергия, которая произвела разрушения в месте падения?
                                                                                                          0
                                                                                                          Все эти ответы есть в определении потенциальной энергии.

                                                                                                          >Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, представляющая собой часть полной механической энергии системы, находящейся в поле консервативных сил. Зависит от положения материальных точек, составляющих систему, и характеризует работу, совершаемую полем при их перемещении.

                                                                                                          Камень перемещается в гравитационном поле Земли — значит теряет потенциальную энергию, которая превращается в кинетическую.

                                                                                                          Попробую объяснить с лифтом. Когда человек стоит на земле, он уже обладает потенциальной энергией (т.к. находится на расстоянии 6000 км от гравитационного центра системы). Но примем это нулем, как нашу точку отсчета.

                                                                                                          Человек заходит в лифт и едет на 10-ть этажей вверх. Лифт совершает работу по перемещению груза в гравитационном поле, а значит увеличивает потенциальную энергию. На 10-м этаже у человека есть некоторое количество потенциальной энергии.
                                                                                                          Она называется потенциальной потому что ее наличие не видно сразу в нашем человеческом смысле. Чтобы ее увидеть, надо выйти в окно, и вот тогда потенциальная энергия начнет быстро превращаться в кинетическую.

                                                                                                          Тут есть несколько уловок, чтобы упростить формулы. Потенциальная энергия бесконечно удаленных тел считается равна нулю. Поэтому пока камень находится очень далеко от Земли — у него нет потенциальной энергии (в системе Земля-камень). Когда он приближается, его потенциальная энергия растет. (Тут правда другая проблема, когда центры масс Земли и камня совпадут, потенциальная энергия станет бесконечной :).
                                                                                                          Но т.к. нас всегда интересует не само значение потенциальной энергии, а разница между двумя разными значениями, то все это не имеет значения.
                                                                                                          Объект поменял свое положение в системе — изменилась его потенциальная энергия.
                                                                                                            0
                                                                                                            Когда он приближается, его потенциальная энергия растет

                                                                                                            Но когда он падает с горы, он тоже приближается, но потенциальная энергия падает. Тут какое-то противоречие.

                                                                                                              0

                                                                                                              Когда бесконечно удаленный камень приближается, то его энергия не растет, т.к. на камень не действуют никакие силы. Сколько бы вы ни приближали бесконечно удаленный камень, он так и останется бесконечно удаленным :)

                                                                                                                0

                                                                                                                Бесконечно удаленных камней в природе не бывает. Да и спрашивал я не про них.

                                                                                                                  0
                                                                                                                  Да и спрашивал я не про них.

                                                                                                                  Именно про них испрашивали. Вас же смутило, что при приближении "бесконечно удаленного" камня энергия растет — так она не растет, автор предыдущего поста несколько неточно высказался. По-этому ваш вопрос автоматически снимается.

                                                                                                                0
                                                                                                                Тут противоречие в том что мы используем разные формулы.
                                                                                                                Вы используете упрощенную формулу в поле тяготения Земли вблизи поверхности.
                                                                                                                Та самая Е=mgh. По ней в центре Земли энергия будет ноль, на бесконечном расстоянии — бесконечность.
                                                                                                                Эта формула удобна для расчетов на Земле, компактна и красива.

                                                                                                                Я-же пользуюсь формулой гравитационного потенциала для точечной массы и произвольного тела. И вот там все наоборот — на бесконечности ноль, в центре масс — бесконечность.

                                                                                                                Но т.к. абсолютное значение потенциальной энергии никого не интересует, а интересует только разность энергии при перемещении между двумя точками — обе формулы дадут одинаковое число для этой самой разности.
                                                                                                                  0
                                                                                                                  Я-же пользуюсь формулой гравитационного потенциала для точечной массы и произвольного тела.

                                                                                                                  Так вы зачем потенциал поля путаете с потенциальной энергией? Это же вещи разные.


                                                                                                                  обе формулы дадут одинаковое число для этой самой разности.

                                                                                                                  Очевидно, что не дадут. Вы попробуйте посчитать.

                                                                                                          0
                                                                                                          Какова потенциальная энергия у этого камня?

                                                                                                          Ноль.


                                                                                                          Не может же у него быть 2 потенциальных энергии.

                                                                                                          Не может, просто ноль и все.


                                                                                                          Откуда при падении берется кинетическая энергия?

                                                                                                          Ниоткуда, ведь шарик на месте стоит, а не падает.

                                                                                                            0
                                                                                                            Шарик при падении не падает?) Ну ок.
                                                                                                              0

                                                                                                              Так на картинке нет никакого падения :)
                                                                                                              Он просто стоит на связи и не двигается.
                                                                                                              Вот если вы добавите еще какие-нибудь силы (например, от какого-то бокового ветра) то будет уже другой разговор.

                                                                                                                0
                                                                                                                На статической картинке его и не может быть, падение описано словами в сопровождающей фразе.
                                                                                                                Ну допустим я его переместил горизонтально на несколько сантиметров. А дальше что, откуда реальная энергия берется?
                                                                                                                  0
                                                                                                                  Ну допустим я его переместил горизонтально на несколько сантиметров. А дальше что, откуда реальная энергия берется?

                                                                                                                  Если передвинете — то будет энергия 0, при падении камня она начнет уменьшаться до, например, -42 (когда камень упал на дно).
                                                                                                                  При этом сама по себе отрицательная потенциальная энергия не является какой-либо проблемой (с физико-математической точки зрения), но обычно это просто неудобно. По-этому мы уровень дна примем за 0, а тот уровень, на котором камень был изначально — станет, с-но, 42.


                                                                                                                  Иными словами — чтобы определить потенциальную энергию состояния системы вам надо сперва выбрать некоторое состояние и объявить его нулевым. До тех пор — потенциальная энергия не определена.
                                                                                                                  Как выбирается нулевое состояние? Абсолютно произвольно. Как вам удобно в данной задаче — так и выбираете. Этот выбор ровным счетом ни на что не влияет кроме вашего удобства, никакого физического смысла за ним не стоит.

                                                                                                                    0

                                                                                                                    Ну я спрашиваю про сами физические процессы, а не про их обозначения. Что там реально происходит, вплоть до отдельных частиц и квантов энергии. Кинетическая энергия падающего камня это объективная вещь, которая производит объективные изменения. Объективные вещи не появляются из произвольных обозначений.

                                                                                                                      0
                                                                                                                      Кинетическая энергия падающего камня это объективная вещь, которая производит объективные изменения.

                                                                                                                      Нет, конечно. Энергия — это просто математическая абстракция, никакой универсальной физической интерпретации она не имеет. Вот летит мимо вас камень — в вашей ИСО у него ненулевая кинетическая энергия. А в своей ИСО — нулевая, зато ненулевая — у вас, т.к. с точки зрения камня это вы летите мимо него.

                                                                                                            0
                                                                                                            На данном рисунке потенциальная энергия равно 0, кинетическая тоже 0. Так как на камень действует сила реакции опоры. Камень покоиться на вершине. Если он начнет падать, то на него будет действовать сила mg. m*a = mg = F.
                                                                                                            m*dv/dt = F
                                                                                                            Если мы домножим уравнение справа и слева на пройденный путь падения
                                                                                                            m*dv *dl/d*t = F*dl
                                                                                                            dl/dt = v
                                                                                                            то получим m*v *(dv) = F*dl

                                                                                                            далее m*d(v^2/2) = F*dl
                                                                                                            Обзовем левую часть кинетической энергией, правую элементарной работой
                                                                                                            Зная пройденное расстояние камня, мы можем посчитать как изменится кинетическая энергии
                                                                                                            dT = A
                                                                                                            Работа — это изменение кинетической энергии камня
                                                                                                            Зачем это все нужно? Уравнения движения — это дифференциальные уравнения. Вводя понятия потенциальной и кинетической энергии мы переходим от дифференциальных к алгебраическим уравнениям.
                                                                                                            Далее развиваем мысль. Что работа A состоит из двух частей, работы центральных сил, Aц + работа не центральных (а ля трения) Aнц
                                                                                                            Работа центральный сил — это и есть обратное изменения потенциальной энергии
                                                                                                            Aц = -dU
                                                                                                            dT = -dU + Aнц
                                                                                                            dT + dU = Aнц
                                                                                                            d(T + U) = Aнц
                                                                                                            T+U — сумма потенциальной и кинетической энергии — полная энергия системы
                                                                                                            Изменение полной энергии идет на работу нецентральных сил
                                                                                                            Соответственно, если в системе нет нецентральных сил, то разница полной энергии системы равно 0. Это закон сохранения энергии.
                                                                                                            Зачем отделять центральную от нецентральной силы. Ответ простой, что для центральной силы сумма F(l) *dl равна разнице некой функции U(l) — U(l + dl). Для гравитации -(m*g*l — m*g*(l + dl)) мы можем выделить функцию U(l) = -m*g*l
                                                                                                            в итоге получаем, закон сохранения энергии
                                                                                                            d(m*v^2/2 — m*g*l) = работе нецентральных сил = 0
                                                                                                            А это уже легко можно применять для решения практических задач
                                                                                                            Посчитать с какой скоростью упадет камень справа с высоты h2 и слева c высоты h1
                                                                                                              0
                                                                                                              На данном рисунке потенциальная энергия равно 0, кинетическая тоже 0. Так как на камень действует сила реакции опоры.

                                                                                                              Разве потенциальная энергия появляется только когда камень начинает падать? Это как-то странно. Он может например почву продавливать, пока лежит, то есть тоже совершает работу, значит возможность для ее совершения создается постоянно.


                                                                                                              С рисунком я начинаю понимать, там одна высота h от центра Земли. Но пока непонятно, как это связать с равномерно летящим в космосе камнем.


                                                                                                              Правильно ли говорить, что энергию камню сообщает поле?

                                                                                                                +1
                                                                                                                Я выше описал. Что потенциальной энергией не камень обладает — это правило вычисления работы центральных сил. В нашем случае гравитации. Если центральная сила не перемещает предмет, то его работа равна нулю. То что говорят, что предмет обладает потенциальной энергией — это удобный жаргонизм. Чтоб рассматривать замкнутую систему камня (T + U), которая сохраняется в отсутствии нецентральных сил. Оно с одной стороны упрощает (позволяет решать типовые задачи не думая), а с дугой запутывает. Основная цель всего этого — это перевести дифференциальные уравнения в алгебраические. И считать это все на коленках.
                                                                                                                Если камень продавливает землю, то работу совершает сила гравитации и она равна mg*dl, где dl — это глубина продавливания. Если на момент начала наблюдения и конца, скорость лежащего камня равна нулю или ей можно пренебречь, то можно сказать, что вся работа гравитации ушла на преодоление работы силы трения почвы. И эта работа равна mg*dl
                                                                                                                Правильно ли говорить, что энергию камню сообщает поле?

                                                                                                                Что такое поле — это функция силы F(q) в некоторой точке q действующей на тело. Fg ~ m1*m2/r^2, где r — это расстояние между центрами масс двух тел. Для удобства можно слабо меняющуюся часть обозначить Eg = G*M/R^2, тогда другое мелкое тело на поверхности большого будет испытывать на себе силу Fg = m*Eg. Eg — мы знаем просто как g, ускорение свободного падения.
                                                                                                                А что такое сила? А сила — это есть скорость изменения количества движения (импульса). Это определение. Это не закон. То есть поле — это как меняется импульс тела в единицу времени в заданной точке пространства. Если импульс (количество движения) не меняется, то на тело не действует сила.
                                                                                                                Энергия это способность изменять движение тела, поле это сила (тоже способность менять движения тела) действующая на тело. Поэтому фраза
                                                                                                                энергию камню сообщает поле
                                                                                                                — это масло масленое. Говорить правильно, но это ничего не дает.
                                                                                                                Более точное выражение, что поле (нечто создающее силу в точке пространства) совершает работу над телом. И эта работа заключается в изменении кинетической энергии тела. Таких нечто известно не так много, всего 4 штуки. Вот как они это делают, это загадка природы. Гравитация и кулоновская — это центральные силы (зависят от расстояния между телами).
                                                                                                                Можно подойти к задачи с другого бока и сказать, что нет никаких полей, а тела искривляют пространство, делают вмятины в которых сами находятся, и затягивают другие тела. По принципу матраса, если на него положить большой камень, то будет большая вмятина, и если класть рядом мелкие камни, то они будут в эту вмятину скатываться. И можно сказать что большой камень притягивает мелкий. Но это тоже не отвечает на вопрос, как камень создает вмятины в пространстве. Но если знать, что один и тот же камень создает одинаковую вмятину, то эту абстракцию можно также использовать для расчета движения траектории более мелкого камня. И тогда к задаче можно подойти сугубо геометрически.
                                                                                                                  0
                                                                                                                  >С рисунком я начинаю понимать, там одна высота h от центра Земли. Но пока непонятно, как это связать с равномерно летящим в космосе камнем.

                                                                                                                  А это нельзя связывать. E=mgh работает только на Земле (в пределах атмосферы), и то приближенно.
                                                                                                                  У равномерно летящего в космосе камня совсем другие формулы.
                                                                                                                  Причем если он летит совсем в пустоте, то у него и потенциальной энергии нет. Нет поля, нет энергии.
                                                                                                                  Если мимо планеты пролетает или звезды, то смотрим формулу гравитационного потенциала.

                                                                                                                  Если хотите нормально понять про потециальную энергию, то не стоит смотреть про гравитацию. Там слишком много костылей еще со времен Аристотеля и Ньютона, об которые вы спотыкаетесь)
                                                                                                                  Посмотрите на потенциальную энергию электростатического поля. Там все уже достаточно стройно с самого начала.
                                                                                                              +1
                                                                                                              Когда участвовал в MiniAICup №2 с амебами, то попытался применить ПНД в этой игре. Почитал про задачу наискорейшего спуска, понял, что такое этот Лагранжиан и попытался применить эти знания на практике. Всего-лишь найти минимальную по времени траекторию, которая позволит амебе съесть еду на карте. Для одной точки еды вроде-бы еще что-то получалось, но когда еды много, уравнения получались совершенно неописуемыми.
                                                                                                              Сделал вывод, что Лагранжиан применим только для расчета простых теоретических задач, а прикладные им не решаются.
                                                                                                              Может, я что-то делал не так?
                                                                                                                +1
                                                                                                                Прошло 20 лет после написания рассказа «История твоей жизни» (англ. Story of Your Life) американским писателем Тедом Чаном.
                                                                                                                Повесть рассказывает о женщине-лингвисте, изучающей язык пришельцев и благодаря проникновению в их картину мира построенной на базе того что в математике и физике основополагающим для них является принципа Ферма, она понимает, что мышление пришельцев устроено принципиально иначе. Для них не существует свободы выбора и причинно-следственной связи, поскольку они воспринимают историю не как последовательность, а в целостности, как совокупность всех уже бывших и ещё только предстоящих фактов. Изучив этот язык Она осознает всю свою жизнь целиком.
                                                                                                                В 2016 на экраны выходит снятый по этом рассказу научно-фантастический фильм «Прибытие».
                                                                                                                В 2018 на Хабре появляется статья.
                                                                                                                  0
                                                                                                                  Я эту историю воспринял как описание информационной атаки инопланетян, которые скинули наивным землянам комплекс подчиняюще-программирующих мемов под видом языка и свалили в туман, потирая щупальца.
                                                                                                                    0

                                                                                                                    Прекрасная идея для 2 части.
                                                                                                                    Через N лет просветленое человечество, знающее свою судьбу, принимает приход щупалец и делает осознанный выбор о необходимости, например, самовыпилиться. Лишь дебилы с линейно-квантовым мышлением могут противостоять судьбе и физике. :)

                                                                                                                    0
                                                                                                                    А в итоге в фильме слили идею и превратили в твист «передача информации из будущего в прошлое» и добровольный выбор страданий дочери. В оригинале же героиня видела свой будущий выбор. Именно свой выбор. Она не могла выбрать что-то другое.
                                                                                                                    П.С. часть рассказа посвящена именно сабжу
                                                                                                                    –2
                                                                                                                    Со времен Галилея было известно, что тела, на которые не действуют никакие силы, двигаются по прямым линиям, то есть по кратчайшему пути.

                                                                                                                    Если на тела не действуют никакие силы, то тела вообще ни по какому пути не двигаются.
                                                                                                                      +2

                                                                                                                      Это вам к Аристотелю.

                                                                                                                        0
                                                                                                                        Равномерное и прямолиненйное движение по геодезическим линиям(движение по инерции) пространства не в счет?
                                                                                                                          0
                                                                                                                          В счет :) только оно неотличимо от состояния покоя…
                                                                                                                          sarcasm>Может это и имелось ввиду?</sarcasm
                                                                                                                          0
                                                                                                                          Если на тела не действуют никакие силы, то тела вообще ни по какому пути не двигаются.


                                                                                                                          А как же вариант, когда они исходя из начальных условий имеют скорость?)
                                                                                                                          0
                                                                                                                          Например, возьмем шарик и поместим его в пустое пространство. На некотором отдалении от него поставим упругую стенку. Допустим, мы хотим, чтобы через некоторое время шарик оказался в том же самом месте.


                                                                                                                          Наверное, все-таки не в в пустое, а в некоторое пространство с постоянным сопротивлением среды в любой точке независимо от направления. Иначе какая-то энергия, переданной шарику, давже в случае не идеально упругого удара о станку так и останется с ним, и никаких причин останавливаться в начальной точке у него не будет в этой вселенной.
                                                                                                                            0

                                                                                                                            А он и не должен останавливаться в конечной точке. Он должен там оказаться в конечный момент времени, т. е. пролететь через конечную точку в нужный момент времени. А дальше пусть себе летит.

                                                                                                                            0

                                                                                                                            Плчему тогда самолеты летают по дуге, а не по прямой? Я имею в виду не высоту, а маршрут.

                                                                                                                              0

                                                                                                                              Там дело в том, что земля сферическая (с натяжкой).
                                                                                                                              Простой ответ — почему земля круглая, а карта прямоугольная?)

                                                                                                                                0
                                                                                                                                Потому что на поверхности шара кратчайшее расстояние — это геодезическая линия. Прямой она будет выглядеть, только если смотреть на неё из плоскости, задаваемой точками А, Б (начало и конец маршрута), и О — центром шара. Со всех остальных точек — дуга.
                                                                                                                                0
                                                                                                                                Наверно придираюсь к словам, но… Статья называется «Принцип наименьшего действия», а рассматриваемые случаи скорее относятся к «принципам бездействия движущихся тел в инерциальных системах отсчета». Угол падения равен углу отражения работает для «сферических коней в вакууме», бросьте кубик в стену — угол отражения будет зависеть от ориентации кубика в момент касания стены, от шероховатости стены, от коэффициента скольжения и т.д.
                                                                                                                                  0
                                                                                                                                  Тоже размышлял насчет принципа.
                                                                                                                                  Насколько я помню/понимаю, теорема Нетёр выводится именно из этого принципа. Но говорит ли это что-нибудь о природе/происхождении принципа?
                                                                                                                                    0
                                                                                                                                    Принцип наименьшего действия выполняется, потому, что мы искуственно называем «действием», то, что будет принимать наименьшее значение, если будет подчиняться к примеру «законам Ньютона».
                                                                                                                                    В частности эта подгонка видна в задаче про автомобиль «Выработка топлива прямо пропорциональна высоте, на которой в данный момент находится автомобиль.» -а не постоянна? Потому, что мы специально подгоняем условия, так чтобы работал принцип наименьшего действия.
                                                                                                                                    Так что по мне — данный принцип это удобный математический аппарат, но не попытка (в отличие от законов Ньютона) объяснения «как всё устроено».
                                                                                                                                      0
                                                                                                                                      Ох…

                                                                                                                                      Мне кажется, вы только сильнее запутаете людей, которые не знают что такое ПНД. Все примеры, кроме первого, мне кажутся крайне неудачными, поскольку сформилированы в терминах задачи на оптимальное управление. И неудивительно, что вы используете именно их, т.к. и оптимальное управление, и ПНД формулируются в одинаковых математических терминах, а именно как задачи на вариации функционалов и поиска экстремумов. Заметьте, вы специально подбираете параметры «машины» так, чтобы функционал качества для задачи оптимального управления соответствовал функционалу действия. Что, как мне кажется, не сильно упрощает понятие ПНД.

                                                                                                                                      Хотите объяснить «на пальцах» — начните с того, как из ПНД вывести первый закон Ньютона. Это просто, наглядно и требует абсолютного минимума математики.
                                                                                                                                        0
                                                                                                                                        Статья капец какая вредная, потому что за счет использования неправильных слов делает всё только непонятнее, чем было. Моей работой является придумывать понятные объяснения, поэтому мой мозг взрывается в ярости каждый раз, когда я такое читаю (это мои извинения автору, авансом). Взять хотя бы вот эту картинку.

                                                                                                                                        image

                                                                                                                                        Автор говорит здесь про «световой луч», и у читающего возникает впечатление, что начальная траектория луча якобы магическим образом зависит от того, есть там стекло или нет, и где расположен детектор. Но разумеется, это полный бред, как и в случае с зеркалом выше. Начальная траектория луча (не трогаем квантовую механику и волновую функцию) зависит только и единственно от того, в каком направлении излучает фотоны фонарик.
                                                                                                                                        Тут объяснять надо было совсем по-другому. Надо было спросить — если фонарик излучает фотоны во все стороны, то по какой траектории пройдет тот фотон, который попадет в детектор? И тогда уже показать, что это будет зеленая траектория, а не красная, и объяснять, почему.

                                                                                                                                        О фразах вида «оказывается, более оптимально — немного набрать высоты, какое-то время там задержаться, выработав побольше топлива, а затем уже спуститься в точку В» я даже говорить не хочу.
                                                                                                                                          +1
                                                                                                                                          Насчёт второй части — про летающую машинку — действительно чуть запутанно. Если мы хотим переместить железный жарик с одного конца стола в другой, то самое оптимальное это его катнуть, но никак не подбрасывать в воздух. Это подсказывает здравый смысл. А вот если в столе «вырыть ямку» как раз с параболическим профилем, то шарик и толкать не надо. Достаточно подвести его к краю ямки и он сам докатиться до другого конца под действием силы тяжести.
                                                                                                                                            0
                                                                                                                                            Картинка вообще странная. Где точка входа луча в лист стекла и где точка выхода? Или у нас стекло нулевой толщины? Или точка В в толще стекла расположена? Так тогда красного луча вообще быть не может, переломится и не попадет в точку В.
                                                                                                                                            0
                                                                                                                                            Разве не это, лучшая иллюстрация к статье?)
                                                                                                                                            image
                                                                                                                                              0
                                                                                                                                              Общий смысл таков. Однако это частный случай с движением по проводникам (трубопроводам, желобам и т.д.) К распространению света от точечного источника (начало статьи с картинками) он не вполне подходит.
                                                                                                                                              0
                                                                                                                                              Путь ADB существовать не может, т.к. в указанной картинке угол падения не равен углу отражения, он пройдёт мимо приёмника по пути ADE. То есть из излучателя он выйдет, но отразится иначе и именно поэтому не попадёт в приёмник. Однако стоит сделать зеркало изогнутым (например параболическим) и тот же луч пройдет в приёмник, несмотря на большую траекторию.

                                                                                                                                              Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                                                                                                              Самое читаемое