Теория струн подсказала ученым решение концептуальной проблемы в алгебраической геометрии

Много лет назад смелый лауреат Филдсовской премии предложил обширную программу, которая могла бы быть использована для решения одной из основных проблем алгебраической геометрии. Другие математики сомневались в этом. Теперь он утверждает, что получил доказательство.

В августе 2025 года группа математиков опубликовала статью, где они утверждали, что решили одну из основных проблем алгебраической геометрии, используя совершенно новые методы. Статья мгновенно привлекла внимание специалистов в этой области, вызвав восторг у одних математиков и скептицизм у других.

Результат касается полиномиальных уравнений, которые сочетают в себе переменные, возведённые в степень (например, y = x или x² − 3xy = z²). Эти уравнения — одни из самых простых и распространённых в математике и сегодня они имеют фундаментальное значение для различных областей исследования. Математики хотят изучить их решения, которые могут быть представлены в виде геометрических фигур: кривых, поверхностей и объектов более высоких измерений, называемых многообразиями.

Термин «многообразие» происходит от немецкого слова Mannigfaltigkeit, которое означает «разнообразие» или «множественность».

Многообразие — это пространство, которое при увеличении любой из его точек выглядит как евклидово. Например, круг — это одномерное многообразие. Увеличьте любую его точку, и она будет выглядеть как прямая линия. Но если увеличить восьмёрку в том месте, где она пересекает сама с себя, она никогда не будет выглядеть как прямая линия. Поэтому восьмёрка не является многообразием.

Точно так же в двух измерениях поверхность сферы является многообразием; если достаточно сильно увеличить любой её участок, он будет выглядеть как двухмерная плоскость. Но поверхность двойного конуса — фигуры, состоящей из двух конусов, соединённых вершинами — не является многообразием.

Существует бесконечное множество типов полиномиальных уравнений, которые математики хотят изучить. Но все они подразделяются на две основные категории: уравнения, решения которых можно вычислить, следуя простому рецепту, и уравнения, решения которых имеют более богатую и сложную структуру. Вторые представляют наибольший интерес для математиков: именно на них они хотят сосредоточить внимание.

Но после того, как математики разделили всего несколько типов полиномов на «лёгкие» и «сложные», они застряли. В течение последних пятидесяти лет даже относительно простые на вид полиномы сопротивлялись классификации. 

Примечание

В оригинале статьи термины полином (многочлен) и полиномиальное уравнение используются как синонимы, но, вообще говоря, это разные сущности. 

Полином — это математическое выражение, состоящее из переменных и коэффициентов, которое включает лишь операции сложения, вычитания, умножения и возведения в неотрицательную целую степень и имеет конечное число членов. 

Полиномиальное уравнение — это полином, приравненный к некоторому значению. Если полином это P, то полиномиальное уравнение это P = 0.  

А затем этим летом появилось новое доказательство. Оно, как утверждалось, положило конец тупиковой ситуации, предложив интригующую концепцию классификации множества других типов полиномов, которые до сих пор казались совершенно непостижимыми.

Проблема в том, что никто в мире алгебраической геометрии не понимает этого доказательства. По крайней мере, пока. Доказательство основано на идеях, заимствованных из мира теории струн. Поэтому его методы совершенно незнакомы математикам, которые посвятили свою карьеру классификации полиномов.

Некоторые исследователи доверяют репутации одного из авторов статьи, лауреата Филдсовской премии Максима Концевича. Но Концевич также имеет склонность к смелым и провокационным заявлениям. По всему миру на математических факультетах появились группы, занимающиеся изучением и расшифровкой этого революционного результата, чтобы выяснить, верен ли он.

Этот процесс может занять годы. Но статья Концевича также возродила надежду на развитие области исследований, которая зашла в тупик. И она знаменует собой первую победу более широкой математической программы, которую Концевич отстаивает на протяжении десятилетий — программы, которая, как он надеется, построит мосты между алгеброй, геометрией и физикой.

«Общее ощущение, — сказал Паоло Стеллари, математик из Миланского университета, не участвовавший в этой работе, — заключается в том, что мы, возможно, имеем дело с частью математики будущего».

Рациональный путь

Попытка классифицировать все полиномы связана с самым древним применением математики: решением уравнений. Например, чтобы решить простое полиномиальное уравнение y = 2x, нужно просто найти значения x и y, которые удовлетворяют уравнению. У этого уравнения бесконечно много решений, таких как x = 1, y = 2. Если нанести все решения на координатную плоскость, получится прямая.

Другие уравнения сложнее решить напрямую, и их решения образуют более сложные формы в пространстве с более высокой размерностью.

Но для некоторых из этих уравнений, как оказалось, есть очень простой способ найти все возможные решения. Вместо того, чтобы ��тдельно подставлять разные числа в каждую переменную, можно получить все решения сразу, переписав переменные в терминах новой переменной t.

Рассмотрим уравнение x² + y² = 1, который определяет окружность. Теперь приравняем x к 2t/(1 + t²), а y к (1 − t²)/(1 + t²). Когда вы подставляете эти новые формулы обратно в исходное уравнение, вы получаете 1 = 1, утверждение, которое всегда верно, независимо от того, каким является t. Это означает, что, выбрав любое действительное число для t, вы мгновенно получите решение исходного уравнения. Например, если вы установите t равным 1, то получите x = 2(1)/(1 + (1)²) = 1 и y = 0. И действительно, x = 1, y = 0 является решением исходного уравнения: (1)² + (0)² = 1.

Этот простой способ формулирования всех решений называется рациональной параметризацией. Он эквивалентен отображению каждой точки на графике исходного уравнения — в данном случае окружности — в уникальную точку на прямой.

Выберите точку на окружности (синяя). Вы хотите отобразить её в уникальную точку на прямой жёлтой линии. Для этого начертите пунктирную линию между зелёной точкой в верхней части окружности и выбранной синей точкой. Затем отобразите синюю точку в любую жёлтую точку, через которую проходит эта пунктирная линия. Вы можете сделать это для любой заданной точки на окружности. (Зелёная точка в верхней части окружности отображается на особую жёлтую точку в бесконечности).

Любое полиномиальное уравнение первой степени, то есть полином, чьи члены возводятся в степень не выше первой, можно параметризовать таким образом. Неважно, сколько переменных имеет уравнение — две или 200. Как только вы выходите за пределы двух переменных, решения вашего полиномиального уравнения будут образовывать сложные формы в более высоких измерениях. Но поскольку уравнение всё ещё можно параметризовать, существует способ отобразить каждую точку вашей многомерной фигуры на точки в особенно простом пространстве с тем же количеством измерений (например, на прямой). Это даёт вам простой способ вычислить все решения уравнения.

Аналогично, любое уравнение второй степени (члены которого возведены в степень не выше второй) имеет рациональную параметризацию.

Но если степень полинома равна трём или выше, его не всегда можно параметризовать. Это зависит от того, сколько в нём независимых переменных.

Возьмем типичные уравнения третьей степени: эллиптические кривые, такие как y² = x³ + 1, которые имеют только две переменные. «Эллиптические кривые великолепны, они замечательны, но их невозможно параметризовать», — сказал Брендан Хассетт из Брауновского университета. Не существует простой формулы для x и y, которая даёт все решения эллиптической кривой, поэтому нет возможности отобразить кривую на прямую линию. «Если бы это было возможно, они не были бы такими интересными», — сказал Хассетт.

В отличие от предыдущих примеров, ваша пунктирная линия иногда отображает две разные точки на эллиптической кривой (синие) в одну и ту же точку на жёлтой линии ниже. Вы не можете найти отображение, которое бы этого избегало, а это означает, что эллиптическая кривая имеет более сложный набор решений, чем окружность или сфера.

Вместо этого, решения эллиптической кривой имеют гораздо более богатую структуру, которая на протяжении веков играла важную роль в теории чисел и которую криптографы использовали для шифрования секретных сообщений.

А как же уравнения третьей степени с большим количеством переменных? Можно ли их параметризировать, или структура их решений более интересна, как в случае с эллиптическими кривыми?

В 1866 году немецкий математик Альфред Клебш показал, что уравнения третьей степени с тремя переменными, решения которых образуют двухмерные поверхности, обычно поддаются параметризации. Более века спустя Герберт Клеменс и Филлип Гриффитс доказали, что для большинства уравнений третьей степени с четырьмя переменными верно обратное. Эти уравнения, которые образуют трёхмерные многообразия, называемые three-folds, не являются параметризуемыми: их решения не могут быть отображены в простое трёхмерное пространство.

Многие математики подозревали, что следующие полиномы, которые будет классифицированы — уравнения третьей степени с пятью переменными (образующие четырёхмерные многообразия, известные как four-folds) — также не будут параметризуемыми. Фактически, они пришли к выводу, что уравнения не могут быть параметризуемыми после определённого момента. Но методы Клеменса и Гриффитса не работали для четырёхмерных многообразий.

И так в течение десятилетий работа по классификации оставалась в состоянии застоя.

Обращение пророка

Математики были удивлены, когда на конференции в Москве летом 2019 года Максим Концевич выступил с докладом о классификации четырёхмерных многообразий.

Во-первых, Концевич известен своим высокоуровневым подходом к математике. Он предпочитает выдвигать амбициозные гипотезы и набрасывать общие программы, часто оставляя более тонкие детали и формальное доказательство другим. Концевич описал свою роль в недавнем проекте как нечто среднее между пророком и мечтателем.

Максим Концевич часто предпочитает размышлять о широких математических перспективах, а не об отдельных проблемах.

В течение последних трёх десятилетий он сосредоточился на разработке программы под названием «гомологическая зеркальная симметрия», которая имеет корни в теории струн. В 1980-х годах струнные теоретики хотели подсчитать количество кривых на многомерных многообразиях, чтобы ответить на вопросы о том, как могут вести себя строительные блоки Вселенной. Чтобы подсчитать кривые на данном многообразии, они рассмотрели его «зеркальное отражение» — другое многообразие, которое, хотя и сильно отличалось от исходного, имело схожие свойства. Они обнаружили, что алгебраический объект, связанный с зеркальным отражением, называемый структурой Ходжа, может раскрыть количество кривых на исходном многообразии. Обратное также было верно: если подсчитать кривые на зеркальном отражении, можно получить информацию о структуре Ходжа исходного многообразия.

В 1994 году Концевич набросал программу, объясняющую причину этого соответствия. Его программа также предсказывала, что это соответствие распространяется на все виды многообразий, помимо тех, которые имеют отношение к теории струн.

На данный момент никто не знает, как доказать программу зеркальной симметрии Концевича. «Это будет математика следующего века», — сказал он. Но за эти годы он добился частичного прогресса в доказательстве, одновременно исследуя потенциальные результаты программы.

В 2002 году один из друзей Концевича, Людмил Кацарков из Университета Майами, выдвинул гипотезу об одном из таких результатов: программа может иметь отношение к классификации полиномиальных уравнений.

Кацарков был знаком с доказательством Клеменса и Гриффитса 1972 года о том, что трёхмерные многообразия не поддаются параметризации. В этой работе они рассмотрели структуру Ходжа данного трёхмерного многообразия. Затем они использовали её, чтобы показать, что трёхмерное многообразие не может быть отображено в простое трёхмерное пространство. Но структуры Ходжа, связанные с четырёхмерными многообразиями, были слишком сложны для анализа с помощью тех же инструментов.

Идея Кацаркова заключалась в том, чтобы получить доступ к структуре Ходжа четырёхмерного многообразия косвенно — путём подсчёта количества кривых определённого типа, находящихся на его зеркальном образе. Обычно математики, изучающие структуры Ходжа, не задумываются о подсчёте кривых такого рода: они возникают только в, казалось бы, не связанных с этим областях математики, таких как теория струн. Но если программа зеркальной симметрии верна, то количество кривых на зеркальном образе должно пролить свет на особенности структуры Ходжа исходного четырёхмерного многообразия.

Людмил Кацарков на протяжении десятилетий утверждал, что зеркальная симметрия, амбициозная математическая программа, вдохновлённая физикой, является ключом к решению одной из основных открытых проблем алгебраической геометрии.

В частности, Кацарков хотел разбить количество кривых зеркального образа на части, а затем использовать программу зеркальной симметрии, чтобы показать, что существует соответствующий способ разбить структуру Ходжа четырёхмерного многообразия. Затем он мог бы работать с этими частями структуры Ходжа, а не со всей структурой целиком, чтобы показать, что четырёхмерные пространства не могут быть параметризованы. Если бы хотя бы одна из частей не могла быть отображена в простое четырёхмерное пространство, он получил бы своё доказательство.

Но эта линия рассуждений зависела от предположения, что программа зеркальной симметрии Концевича верна для четырёхмерных пространств. «Было ясно, что это должно быть верно, но у меня не было технических возможностей понять, как решить эту проблему», — сказал Кацарков.

Однако он знал человека, который обладал такими способностями: самого Концевича.

Но его друг не был заинтересован.

Углубляясь в проблему

В течение многих лет Кацарков пытался убедить Концевича применить его исследования по зеркальной симметрии к классификации полиномов, но безрезультатно. Концевич хотел сосредоточиться на всей программе, а не на этой конкретной задаче. Затем, в 2018 году, они вдвоём, вместе с Тони Пантевым из Пенсильванского университета, работали над другой проблемой. Она заключалась в разбиении структур Ходжа и процесса подсчёта кривых на части. Это убедило Концевича выслушать Кацаркова.

Кацарков снова изложил ему свою идею. Концевич сразу же обнаружил альтернативный путь, который Кацарков долго искал, но так и не нашёл: черпать вдохновение из зеркальной симметрии, не полагаясь на неё. «После того, как ты годами думал об этом, ты видишь, как твой коллега решил проблему за секунды, — сказал Кацарков. — Это потрясающий момент».

Тони Пантев изучает структуру многообразий, держа их перед математическим зеркалом.

Концевич утверждал, что для разбиения структуры Ходжа можно использовать количество кривых четырёхмерного многообразия, а не его зеркального образа. Им нужно ��ыло только понять, как связать эти два элемента так, чтобы получить нужные им части. Тогда они смогли бы сосредоточиться на каждой части (или «атоме», как они это называли) структуры Ходжа по отдельности.

Такой план Концевич изложил своей аудитории на конференции в Москве в 2019 году. Некоторым математикам показалось, что строгое доказательство уже не за горами. Математики — консервативная группа, они часто ждут абсолютной уверенности, прежде чем представлять новые идеи. Но Концевич всегда был немного смелее. «Он очень открыт в своих идеях и очень дальновиден», — сказал Даниэль Померлеано, математик из Массачусетского университета в Бостоне, который изучает зеркальную симметрию.

Концевич предупредил, что была одна важная компонента, с которой они всё ещё не знали, как справиться: формула того, как каждый атом будет изменяться, когда математики попытаются отобразить четырёхмерное многообразие на новые пространства. Только с такой формулой в руках они могли бы доказать, что некоторые атомы никогда не достигнут состояния, соответствующего правильно «упрощённому» четырёхмерному многообразию. Это означало бы, что четырёхмерные многообразия не поддаются параметризации, а их решения богаты и сложны. «Но люди почему-то решили, что он сказал, что дело сделано», — сказал Померлеано, и они ожидали, что доказательство появится в ближайшее время.

Когда этого не произошло, некоторые математики начали сомневаться, что у него есть реальное решение. Тем временем к команде присоединился Тони Ю Ю, который тогда работал во Французском Национальном Центре Научных Исследований. По словам Концевича, свежие идеи Ю и его скрупулёзный стиль доказательств оказались решающими для проекта.

Когда во время пандемии ковида начались карантинные ограничения, Ю посетил Концевича в расположенном неподалёку Французском Институте Передовых Научных Исследований (IHES). Они наслаждались тишиной пустынного института и проводили часы в лекционных залах.

Регулярно встречаясь с Пантевым и Кацарковым через Zoom, они быстро завершили первую часть своего доказательства, точно выяснив, как использовать количество кривых на данном четырёхмерном многообразии, чтобы разбить его структуру Ходжа на атомы. Но им было трудно найти формулу, описывающую, как эти атомы могут быть затем преобразованы.

Они не знали, что математик, посетивший лекцию Концевича в Москве, — Хироши Иритани из Киотского университета — также начал поиски такой формулы. «Он был очарован моей гипотезой, — сказал Концевич. — Я не знал, но он начал над ней работать».

В июле 2023 года Иритани доказал формулу, описывающую, как атомы будут изменяться при отображении четырёхмерных многообразий в новые пространства. Она не давала столько информации, сколько нужно было Концевичу и его коллегам, но в течение следующих двух лет они выяснили, как её усовершенствовать. Затем они использовали свою новую формулу, чтобы показать, что четырёхмерные многообразия всегда будут иметь по крайней мере один атом, который не может быть преобразован в простое четырёхмерное пространство. Четырёхмерные многообразия не поддавались параметризации.

Все ещё в процессе

Когда в августе команда опубликовала своё доказательство, многие математики были в восторге. Это был самый большой прорыв в проекте классификации за последние десятилетия, который мог помочь найти новый способ решения задачи классификации полиномиальных уравнений, выходящий далеко за пределы четырёхмерных многообразий. 

По мнению его коллег, тщательное внимание Тони Юэ Ю к деталям и свежие идеи сыграли важную роль в решении важного вопроса о полиномиальных уравнениях.

Но другие математики не были так уверены. Прошло шесть лет с момента лекции в Москве. Концевич наконец-то выполнил своё обещание, или ещё остались неясные моменты?

И как они могли развеять свои сомнения, когда методы доказательства были настолько незнакомы — это было из области теории струн, а не классификации многочленов? «Они говорят: “Это чёрная магия, что это за механизм?”» — сказал Концевич.

«Внезапно они пришли с этим совершенно новым подходом, используя инструменты, которые ранее, по общему мнению, не имели никакого отношения к этой теме», — сказал Шаоюнь Бай из Массачусетского технологического института. «Люди, знакомые с этой проблемой, не понимают этих инструментов».

Бай — один из нескольких математиков, которые сейчас пытаются преодолеть этот разрыв в понимании. В течение последних нескольких месяцев он был соорганизатором «читательского семинара», в котором участвовали аспиранты, постдоки и профессора, надеющиеся разобраться в новой статье. Каждую неделю новый математик изучает какой-то аспект доказательства и представляет его остальным участникам группы.

Но даже сейчас, после 11 таких 90-минутных сессий, участники все ещё чувствуют себя потерянными, когда речь заходит о важных деталях доказательства. «Статья содержит блестящие оригинальные идеи», — сказал Бай, — «которые требуют значительного времени для усвоения».

Хассетт сравнивает это с доказательством Григорием Перельманом гипотезы Пуанкаре в 2003 году, в котором также использовались совершенно новые методы для решения известной проблемы. Только после того, как другие математики воспроизвели доказательство Перельмана с помощью более традиционных инструментов, сообщество действительно приняло его.

«Со стороны сообщества есть сопротивление, — сказал Кацарков, — но мы проделали большую работу, и я уверен, что она верна». Он и Концевич также считают это важной победой для программы зеркальной симметрии: хотя они не приблизились к её доказательству, результат позволяет осторожно говорить о её верности.

«Я очень стар и очень устал, — сказал Кацарков. — Но я готов развивать эту теорию, пока я жив».

Автор перевода @arielf

---

НЛО прилетело и оставило здесь промокод для читателей нашего блога:
— 15% на заказ любого VDS (кроме тарифа Прогрев) — HABRFIRSTVDS.