Почему вещественные числа такие странные / Комментарии / Хабр

evgenyspace 14 часов назад

Рассмотрим простое квадратное уравнение:

Его решения суть квадратичные иррациональности:

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Одно из них, кстати, является значением золотого сечения.

Теперь посмотрим на уравнение под другим углом:

$x^2=x+1 ⟹ x = \frac{x+1}{x}⟹x = 1+\frac{1}{x}$

Будем подставлять из левой части в правую. Получим такую бесконечную запись:

$x=1+\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}$

Это есть полная запись (с единицами с числителях, это важно) цепной дроби. Коротко записывается так: $[1, \hat{1}]$ .

Для квадратных уравнений с иррациональными решениями такие дроби бесконечны (более того, периодические). Для квадратных уравнений с рациональными решениями попытка приведения к цепной дроби даст конечный набор чисел. Все утверждения естественно переносятся на другие виды иррациональностей. Есть даже такие, например $\pi$ , у которых цепная дробь не периодична.
Так вот, иррациональные числа тем отличаются от рациональных, что их естественный "код", "алгоритм" в виде цепной дроби требует, как минимум, бесконечных циклов, а как максимум - программу настолько сложную, что не уместится на компьютер.
Имхо, это гораздо приятнее и проще всей это скучной формалистики.

Комментарии 2

CaptainFlint 4 часа назад

Но каким может быть пример невычислимого вещественного числа? Хороший вопрос! Одним из примеров может быть любое число, кодирующее решение проблемы остановки.

Плохой пример. Поскольку алгоритма не существует, то и числа такого нет. А предполагалось, что будет представлен пример числа, которое точно существует, но вычислимым не является.

Насколько я понимаю, здесь должна была быть константа Хайтина, определяющая вероятность того, что произвольно выбранная программа остановится.

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий