Почему вещественные числа такие странные

[evgenyspace]

Рассмотрим простое квадратное уравнение:

Его решения суть квадратичные иррациональности:

Одно из них, кстати, является значением золотого сечения.

Теперь посмотрим на уравнение под другим углом:

Будем подставлять из левой части в правую. Получим такую бесконечную запись:

Это есть полная запись (с единицами с числителях, это важно) цепной дроби. Коротко записывается так: .

Для квадратных уравнений с иррациональными решениями такие дроби бесконечны (более того, периодические). Для квадратных уравнений с рациональными решениями попытка приведения к цепной дроби даст конечный набор чисел. Все утверждения естественно переносятся на другие виды иррациональностей. Есть даже такие, например , у которых цепная дробь не периодична.
Так вот, иррациональные числа тем отличаются от рациональных, что их естественный "код", "алгоритм" в виде цепной дроби требует, как минимум, бесконечных циклов, а как максимум - программу настолько сложную, что не уместится на компьютер.
Имхо, это гораздо приятнее и проще всей это скучной формалистики.

[CaptainFlint]

Но каким может быть пример невычислимого вещественного числа? Хороший вопрос! Одним из примеров может быть любое число, кодирующее решение проблемы остановки.

Плохой пример. Поскольку алгоритма не существует, то и числа такого нет. А предполагалось, что будет представлен пример числа, которое точно существует, но вычислимым не является.

Насколько я понимаю, здесь должна была быть константа Хайтина, определяющая вероятность того, что произвольно выбранная программа остановится.

[sheshanaag]

Неожиданное следствие из этого заключается в том, что кардинальность ℝ, чем у ℕ.

Имелось ввиду выше, чем у ℕ?

[enemigo]

Работая над каталогом фотографий, я столкнулся с интересным наблюдением. В таблице у меня два числовых столбца: id, который создаётся AUTOINCREMENT и идёт строго по порядку (0,1,2,3…), и randomId, который генерируется случайным образом. randomId я использую для того, чтобы прокручивать фотографии на рабочем столе в произвольном порядке. Получается любопытная картина: последовательный генератор делал Пеано и как следствие он даёт упорядоченное множество, а случайный — тот же набор чисел, но без структуры, то есть он получается ближе к понятию «множества» как простого набора. И вот вопрос: можно ли вообще построить модель чисел, которая не опирается на порядок или иерархию, а рассматривает их как чистые метки? Ведь тогда арифметика выглядела бы не как движение по последовательности, а как операции над множеством.