В этой статье мы рассмотрим цепочку радиоактивного распада урана-238 и определим, сколько образуется конечного продукта - стабильного свинца через время t.
Например, рассмотрим цепочку Bi-210→Po-210→Pb-206
с T1≈5 суток и T2≈138,4 суток. Построим графики для N10=5*10^32 атома.
Анализируя графики, делаем вывод, что Bi-210 быстро распадается, Po-210 сначала накапливается, а потом медленно распадается, а стабильный Pb-206 медленно накапливается.
Теперь можно перейти к распаду урана-238: он претерпевает 8 α-распадов и 6 β-распадов. Каждый α-распад уменьшает заряд ядра на 2 единицы, а масса уменьшается на 4 атомные единицы массы. Бета-распад увеличивает заряд ядра на 1 единицу, сохраняя массу практически неизменной.
Свинец-206 — стабильный нуклид, который не подвергается дальнейшему радиоактивному распаду.
Соответствующая цепочка выглядит так:
1. U-238 (уран-238) → Th-234 (торий-234) + α-частица (α-распад, период полураспада U-238 — около 4,5 млрд лет).
2. Th-234 → Pa-234 (протактиний-234) + β-частица (β-распад).
3. Pa-234 → U-234 (уран-234) + β-частица (β-распад).
4. U-234 → Th-230 (торий-230) + α-частица (α-распад).
5. Th-230 → Ra-226 (радий-226) + α-частица (α-распад).
6. Ra-226 → Rn-222 (радон-222) + α-частица (α-распад).
7. Rn-222 → Po-218 (полоний-218) + α-частица (α-распад).
8. Po-218 → Pb-214 (свинец-214) + α-частица (α-распад).
9. Pb-214 → Bi-214 (висмут-214) + β-частица (β-распад).
10. Bi-214 → Po-214 (полоний-214) + β-частица (β-распад).
11. Po-214 → Pb-210 (свинец-210) + α-частица (α-распад).
12. Pb-210 → Bi-210 (висмут-210) + β-частица (β-распад).
13. Bi-210 → Po-210 (полоний-210) + β-частица (β-распад).
14.Po-210 → Pb-206 (свинец-206) + α-частица (α-распад).
Периоды полураспада промежуточных нуклидов в цепочке распада урана-238 (U-238) следующие:
1. U-238 (уран-238) — 4,468 × 10⁹ лет.
2. Th-234 (торий-234) — 24,1 суток.
3. Pa-234 (протактиний-234) — 6,7 часа.
4. U-234 (уран-234) — 2,455 × 10⁵ лет (245 тыс. лет).
5. Th-230 (торий-230, ионий) — 75 380 лет.
6. Ra-226 (радий-226) — 1600 лет.
7. Rn-222 (радон-222) — 3,8235 суток.
8. Po-218 (полоний-218) — 33 секунды.
9. Pb-214 (свинец-214) — 26,8 минуты.
10. Bi-214 (висмут-214) — 19,9 минуты.
11. Po-214 (полоний-214) — 1 секунда.
12. Pb-210 (свинец-210, также известен как радий D) — 22,20 года
13. Bi-210 (висмут-210) — 5,012 суток (или 120,28 часа)
14. Po-210 (полоний-210, исторически назывался радий F) — 138,376 суток (≈ 138 дней и 9 часов).
Её можно решить аналитически, но решение будет слишком громоздким, поэтому воспользуемся численными методами. Напишем на Python код для моделирования данной задачи:
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint # Параметры распада (период полураспада в годах, константа распада в год⁻¹) decay_params = [ {'name': 'U-238', 'T_half': 4.468e9, 'lambda': np.log(2) / 4.468e9}, {'name': 'Th-234', 'T_half': 24.1 / 365.25, 'lambda': np.log(2) / (24.1 / 365.25)}, {'name': 'Pa-234', 'T_half': 6.7 / (24 * 365.25), 'lambda': np.log(2) / (6.7 / (24 * 365.25))}, {'name': 'U-234', 'T_half': 2.455e5, 'lambda': np.log(2) / 2.455e5}, {'name': 'Th-230', 'T_half': 7.538e4, 'lambda': np.log(2) / 7.538e4}, {'name': 'Ra-226', 'T_half': 1.6e3, 'lambda': np.log(2) / 1.6e3}, {'name': 'Rn-222', 'T_half': 3.8235 / 365.25, 'lambda': np.log(2) / (3.8235 / 365.25)}, {'name': 'Po-218', 'T_half': 3.1e-6, 'lambda': np.log(2) / 3.1e-6}, {'name': 'Pb-214', 'T_half': 26.8 / (24 * 365.25), 'lambda': np.log(2) / (26.8 / (24 * 365.25))}, {'name': 'Bi-214', 'T_half': 19.9 / (24 * 365.25), 'lambda': np.log(2) / (19.9 / (24 * 365.25))}, {'name': 'Po-214', 'T_half': 1.64e-7, 'lambda': np.log(2) / 1.64e-7}, {'name': 'Pb-210', 'T_half': 22.2, 'lambda': np.log(2) / 22.2}, {'name': 'Bi-210', 'T_half': 5.012 / 365.25, 'lambda': np.log(2) / (5.012 / 365.25)}, {'name': 'Po-210', 'T_half': 138.376 / 365.25, 'lambda': np.log(2) / (138.376 / 365.25)}, {'name': 'Pb-206', 'T_half': np.inf, 'lambda': 0.0} # стабильный ] n_nuclides = len(decay_params) def decay_system(N, t): """Система дифференциальных уравнений для цепочки распада""" dNdt = np.zeros(n_nuclides) for i in range(n_nuclides): if i == 0: # Первый нуклид (U-238) распадается только сам dNdt[i] = -decay_params[i]['lambda'] * N[i] elif i == n_nuclides - 1: # Последний нуклид (Pb-206) — стабильный, не распадается dNdt[i] = decay_params[i-1]['lambda'] * N[i-1] else: # Промежуточные нуклиды: распад предыдущего + распад текущего dNdt[i] = (decay_params[i-1]['lambda'] * N[i-1] - decay_params[i]['lambda'] * N[i]) return dNdt # Начальные условия: только U-238 N0 = np.zeros(n_nuclides) N0[0] = 1e24 # начальное количество атомов U-238 # Временной интервал (в годах) t_max = 5e9 # 5 миллиардов лет t = np.linspace(0, t_max, 1000) # Решение системы ОДУ с обработкой возможных ошибок try: solution = odeint(decay_system, N0, t, mxstep=5000) except Exception as e: print(f"Ошибка при решении ОДУ: {e}") raise # Проверка сохранения общего числа атомов total_atoms = np.sum(solution, axis=1) conservation_error = np.max(np.abs(total_atoms - N0[0]) / N0[0]) print(f"Максимальная ошибка сохранения числа атомов: {conservation_error:.2e}") # Визуализация результатов plt.figure(figsize=(16, 10)) # График для долгоживущих нуклидов long_lived_indices = [0, 3, 4, 5, 11] # U-238, U-234, Th-230, Ra-226, Pb-210 colors = ['blue', 'green', 'orange', 'red', 'purple'] for idx, i in enumerate(long_lived_indices): plt.plot(t / 1e9, (solution[:, i] / N0[0]), label=decay_params[i]['name'], linewidth=2, color=colors[idx]) plt.xlabel('Время, млрд лет', fontsize=12) plt.ylabel('Доля от начального количества U-238', fontsize=12) plt.title('Распад U-238: накопление долгоживущих нуклидов', fontsize=14) plt.legend() plt.grid(True, alpha=0.3) plt.yscale('log') plt.ylim(1e-10, 1.1) # ограничение по y для лучшей видимости plt.tight_layout() plt.show() # График накопления Pb-206 plt.figure(figsize=(12, 6)) plt.plot(t / 1e9, solution[:, -1] / N0[0], label='Pb-206', linewidth=3, color='red') plt.xlabel('Время, млрд лет', fontsize=12) plt.ylabel('Доля Pb-206 от начального U-238', fontsize=12) plt.title('Накопление Pb-206 в цепочке распада U-238', fontsize=14) plt.legend() plt.grid(True, alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() # Вывод ключевых значений через 4.5 млрд лет (возраст Земли) earth_age_idx = np.argmin(np.abs(t - 4.5e9)) print("\nКоличество атомов через 4.5 млрд лет (возраст Земли):") print("-" * 50) for i, nuclide in enumerate(decay_params): count = solution[earth_age_idx, i] fraction = count / N0[0] print(f"{nuclide['name']}: {count:.2e} атомов ({fraction:.4f})")
Результат моделирования представлен на графиках:
Из графиков видно, что промежуточные изотопы в цепочке практически не накапливаются, накапливается в основном стабильный свинец. Это происходит в силу того, что период полураспада урана 238 несравнимо больше, чем у всех остальных изотопов. Доля даже относительно долгоживущего урана-234 составляет менее одной десятитысячной от доли всех атомов.
Таким образом, в данной статье была решена интересная задача по ядерной физике.
Список литературы:
Зельдович Я. Б., Харитон Ю. Б. «Деление и цепной распад урана». Статья опубликована в сборнике научных статей Харитона Ю. Б. (Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2003). В работе рассматриваются процессы деления урана и цепной реакции, включая анализ радиоактивных элементов, образующихся при облучении урана нейтронами.
Ган О., Штрассман Ф. Исследования продуктов распада урана. Работы этих учёных внесли значительный вклад в понимание процессов, происходящих при облучении урана нейтронами. Они обнаружили среди продуктов распада изотопы стронция и благородные газы.
Флеров Г. Н., Петржак К. А. Открытие спонтанного деления урана (1940 год). Исследователи впервые наблюдали спонтанное деление атомных ядер урана, что стало важным открытием в ядерной физике.
Черноруков Н. Г. «Уран. Прошлое, настоящее и будущее» (Нижний Новгород: Российская Федерация, 2010). Учебное пособие, в котором рассматриваются различные аспекты урана, включая его изотопы, свойства и применение.
Курчатов И. В. «Проблема урана. Часть II. Цепная ядерная реакция». Работа опубликована в издании «Курчатовский институт. История атомного проекта» (вып. 8, 1996 год). В ней обсуждаются вопросы цепной реакции в уране, включая деление урана-238 быстрыми нейтронами.
Работы по изучению сечений деления. Например, исследования С. П. Калинина и В. М. Панкратова «Сечения деления тория-232 и урана-238 на нейтронах с энергией 3–11 МэВ» (1959 год), опубликованные в сборнике трудов Второй Международной конференции по мирному использованию атомной энергии.
Исследования продуктов деления. Работы Фаулера и Додсона, Грина и Альвареса, а также Абельсона, которые изучали продукты облучения урана нейтронами и подтверждали гипотезу деления.
