Заметки на полях: изоморфизм геометрических алгебр

[qweqweqweqweqweqweqweqwe]

Если всю это логику применить к уравнения Дирака и его частному случаю уравнению Шрёдингера, то волновая функция перестает быть комплексной, а состоит из скаляра, бивекторов и псевдоскаляра. Мнимая единица i заменяется на 3D-псевдоскаляр e1e2e3 (проверка производится возведением в квадрат).

Garret Sobczyk курит какую-то редкую траву?

тоже покурил немного

1. Математическая структура 3D-кубита

Кубит Ψ живет в четной подалгебре, то есть состоит только из скаляра и бивекторов: Ψ=a+be12+ce23+de31​ где a,b,c,d — обычные вещественные числа.

2. Математическая структура 4D-спинора

В 4-мерном пространстве (будь то евклидово Cl(4,0)​ или пространство-время Cl(1,3) максимальный грейд равен 4. Поскольку 4 — число четное, псевдоскаляр входит в четную подалгебру, он отвечает за киральность (правовинтовость или левовинтовость) фермиона.. Спинор Дирака ΨDirac​ записывается как линейная комбинация скаляра, бивекторов и псевдоскаляра.

[BuddhaSugata]

Garret Sobczyk насколько мне известно защитил PhD году в 1971 под руководством Хестенеса. Цитируемая статья 2017-го года. Подозреваю, в промежутке была академическая карьера с уклоном в математику (судя по стилю цитируемой статьи). Скорее всего, он много чего "курил" за это время.

Уравнение Диркака пока не разбирал глубоко, но оно релятивистское, а изоморфизм статичен. Между наблюдаемым пространством-временем и 4D евклидовым "прото-пространством", на котором вводится Кл(4,0), кроме самого алгебраического изоморфизма есть ещё как минимум нелинейное преобразование углов из-за СТО. Его учёт в динамике, возможно, должен производится не после алгебраической трансляции, а вместе в ней.

Насчёт кубита всё так: кубит = чётная подалгебра Кл(4,0) = кватернионы.

Со спинорами я пока только разбираюсь.

Но направление верное - достаточно много материалов в последне годы выходит по теме использования алгебр Клиффорда в КМ. Возможной причиной тому Хестенес, который, кажется, и вывел ту формулу уравнений Максвелла для STA, используемую в статье, а также в девяностых описал модель электрона:
https://davidhestenes.net/geocalc/pdf/ZBW_I_QM.pdf

[netricks]

Прикольно. Я уже видел этот фокус. При моделирование пространства комплексных чисел через i = e1*e2. Но тут оно поднято на гораздо более высокий уровень.

[BuddhaSugata]

Фокус с i=e1*e2 - это чётная подалгебра. По простому говоря, берём, например, Кл(2,0), в ней два генератора, значит, получается один бивектор, два вектора и скаляр. Векторы со скалярами не дают алгебры (как если бы это была Кл(1,0)), потому что произведение не замыкается, а вот скаляр с бивектором дают замыкание по умножению, получается Кл(2,0)^+.

По этой же аналогии получается алгебра кватернионов из Кл(4,0)^+, из скаляра и трёх бивекторов вида е1е2, е2е3, е3е1.

Ну и, например, Кл(3,0) как алгебра над полем вещественных чисел изоморфна алгебре матриц Паули (единичная матрица + 3 матрицы Паули), что в свете представленного в статье изоморфизма (на мой взляд) играет новыми красками, потому что Кл(3,0) можно рассматривать как вложенную в Кл(4,0), если опорный генератор выбран/"исключён". У меня есть эта часть оформленная, следующей статьёй выложу.

[alexshvets]

Вы в ответе выше точно нащупали суть — что между статичным изоморфизмом и динамикой СТО сидит «нелинейное преобразование углов», и что учитывать его, возможно, надо вместе с трансляцией, а не после. Это можно сделать точным, и форма получается резкая.

Посмотрите, куда ваше отображение кладёт генераторы группы Лоренца. Генератор пространственного поворота остаётся бивектором — то есть переезжает в евклидову картину тем же грейдом. А генератор буста падает на грейд вниз, в вектор. То есть шестимерная алгебра Лоренца под вашим отображением расщепляется неравноправно: повороты живут среди бивекторов, бусты — среди векторов. И композиция двух опорных отражений относительно разных опор всегда даёт только поворот — буст она не порождает в принципе.

Вот это, по-моему, и есть точный механизм той самой «нелинейности углов»: буст оказывается единственным преобразованием Лоренца, которое в евклидовой картине нельзя записать как поворот, потому что отображение опускает его на грейд ниже. Опорное отражение красиво закрывает реверсию, грейд-инволюцию и комплексную структуру — но смена наблюдателя расслаивается, и буст-сектор выпадает из той же логики. Похоже, именно его и придётся разбирать отдельно, ровно как вы и предположили.

[BuddhaSugata]

Насчёт композиции двух отражений - спасибо, я даже как-то внимание не обратил, что получается в общем случае только ротация. Любопытно.

Но буст как "смена опоры" остаётся реализуемым в алгебре на паравекторном преобразовании, где вместо стандартного роторного v' = RvR^{-1} будет похожий v' = LvL, а L = cosh (\xi /2) + e_i sinh (\xi /2), где кси - не рапидность, а её евклидов "дублёр", потому что время требует перепараметризации.

Здесь https://zenodo.org/records/18094315, начиная с 4.4 расписано.

Удобной конической перепараметризацией на евклидовой стороне получается d\eta = d\theta / \cos 2\theta => \eta = \Int_0^\vartheta (d \theta / sqrt{\cos 2\theta}) = artanh(tan(\vartheta)), то есть скорость объекта в единицах скорости света = tanh \eta = tan \vartheta.

Альтернативный (и, думаю, правильный) вариант через гудерманиан: tanh \eta = sin \vartheta.

Проблема только в проверке - если 4д и реально, то ненаблюдаемо напрямую, то есть нужно найти явление, которое можно было бы использовать для косвенной проверки модели, и я подозреваю большинство таких явлений в КМ.

СТО, накладываемое сверху будет работать для всех элементов, описываемых матрицами Паули - они "пространственны", то есть изменение их опоры действует на всё их пространство "как в учебнике".

На адроны - аналогично, они уже уравновешенная "сборка", а вот кварки/глюоны и их СУ(3) можно попробовать "перенести" в 4д (здесь конструкция: https://arxiv.org/pdf/2202.06733) - матрицы 2,5,7 Гелл-Манна получаются напрямую индуцированы постранственным вращением, 1,4,6 - с измененим опоры - то есть фактически меняется их мнимая единица и приведение к предыдущей опоре в общем случае неоднозначно - есть бесконечное количество способов повернуть базис.

А диагональные 3 и 8 вроде получаются замкнутой петлёй опорной оси. То есть, например, 1 и 2 дают 3, но сами при этом возвращаются "в ноль". А так как угол нелинеен, по часам наблюдателя в STA набегает неустранимая фаза.

Только я далёк от экспериментальной КМ - не знаю в каком виде существуют данные. Пока разбираюсь, выкладываю вот интересное, что нахожу - может, ещё кто заинтересуется :-)