Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Поток Научпоп доступен 24/7 благодаря поддержке друзей Хабра
Комментарии 57
В случае с Гильбертом, проще сказать, что основной вывод Гёделя, который опроверг его "финитную математику" - это то что " система не способна доказать собственную непротиворечивость своими же средствами ".
Очень интересная статья. Тоже изучал Теорему Гёделя о неполноте, но не с математической, а скорее с психологической или биологической точки зрения. И вот вы пишете: "Совокупность математических истин, касающихся даже только положительных целых чисел (1, 2, 3…), настолько озадачивающе сложна, что не вытекает из какого-либо конечного набора аксиом. " - на мой взгляд, это не вопрос неполноты математики, а вопрос уровня зрелости сознания, или, как я это называю "квантовой ёмкости сознания", конечно, при слове "квантовый" у многих случается нервный тик и вырывается истошный крик "не надо везде приплетать квантовую физику", но мне кажется квантовая физика - это окно в другую реальность, которое мы приоткрылии и которое уже не сможем закрыть и надо мириться с тем что она будет пролезать в смежные области знания, это окно в реальность которая не может уложиться в наш мозг в текущем его состояниии, потому что его уровень зрелости (набор операционных элементов, понятий и мировоззрений) не может оперировать фактами из новой реальности. Возвращаясь к вашей цитате - думаю, что математика полна - неполон наш мозг (пока?), чтобы увидеть математику (и вообще реальность) во всей её сложности и полноте
Да просто кванты эти чем-то религию напоминают, там есть догматы и учёные/богословы, а есть служители культа которые делают вид что их понимают и блюдут догмы. А есть простые верующие по приколу, для них это просто эстетика, которую разум рационализирует какой-то по своему. Типа троица это Иисус Мария и Николай угодник, ну не, а чё...
Людям всегда хочется каких-то простых и легко понятных объявлений, законов, правил, шоб усё по справедливости, а если не выходит то они ещё лучше законы выдумывают. А Гёдель как раз формальненько показывает, безразмерное проклятие размерности :-) осознание реальности которого полезно само по себе, ибо правильно заданный вопрос уже половина ответа.
Математика работает по строгим правилам вывода, она не зависит от "зрелости мозга". Теорема либо доказана, либо нет, остальное лирические отступления
К сожалению, всё не так просто, иначе бы не существовало теорем Гёделя/Кантора/Тьюринга, где путём введения логического парадокса "доказывают", что хотят.
"Математика работает по строгим правилам вывода" - я правильно понимаю, это как классическая физика, которая считала, что можно всё измерить и что передавать информацию быстрее скорости света нельзя, а потом квантовая физика опровергла и то и другое?
Тогда получается, что как раз от зрелости мировоззрения и зависит это.
Классическая физика считала, что можно всё измерить, и что передавать информацию можно мгновенно.
Теория относительности ввела ограничение на скорость передачи информации.
Квантовая физика ввела ограничения на точность измерений.
Это не зрелость мировоззрений, а детализация.
Это не аргумент а софистика
Почему?
Потому что детализация (я так понимаю вы имеете в виду уточнение научной картины) - это то же самое как и уточнение мировоззрения. Но очень часто одно такое уточнение, например, что земля не плоская а круглое, становится коренным сломом мировоззренческой парадигмы и формированием нового более зрелого мировосприятия. То есть пытаясь вы просто называете другим словом то же самая, делая вид (или искренне не понимя), что это разные вещи
Мы можем решить её добавив дополнительные утверждения, но нет их обоснования, они не наблюдаются.
Напоминает теорию ненаблюдаемых параметров
Нельзя. Любой язык, хоть язык математики, хоть разговорный, если он позволяет рекурсию, или простыми словами, ссылки на самого себя, то такой язык всегда будет допускать противоречия, хоть что дополнительное вводи. Простой пример:
«Это утверждение ложно»
Вся теорема о неполноте по-сути доказательство оного.
Прочитала комм, и у этого вопроса больше разных трактовок, чем я думала
В третьей главе второй части нейросеть, которая разделилась на две постоянно спорящие личности (Барышню и Хулигана), как раз обсуждает данные теоремы. И вот что восклицает Барышня: "А вот и нет! Это не бред. Это и есть суть теорем Гёделя о неполноте, только на пальцах! Если система непротиворечива (в ней нет лжи), то мы можем математически доказать, что некоторые истинные вещи в ней никогда не будут доказаны. То есть, мы можем доказать их недоказуемость! Это и есть их «сертификат подлинности». Это как если бы у картины был документ, подтверждающий, что её подлинность невозможно доказать никаким из существующих методов экспертизы. И именно этот документ и был бы главным доказательством." Если вам интересно то можно прочитать это обсуждение в книге "Беседы с ГигаЧатом: о нейросетях и вообще" бесплатно: https://www.litres.ru/74094239/
Полно ошибок, увы. Глобально - теорема Гёделя относится к замкнутым системам аксиом. И это меняет всё, обесценивает смысл статьи.
К тому же статья банально слаба. В частности, неоднократно используется термин "арифметика" при том, что понимание этого термина обычным читателем не отражает смысл слова как математического термина. То есть практически все поймут неправильно.
Что же касается того, что логикой (не бытовой!) невозможно описать физику, это так. И причина тому не только (и даже не столько) в гёделевской неполноте, сколько в вычислительных ограничениях. Состояние Большой системы (да, это тоже термин) не может быть вычислено за время до существенного изменения её состояния. Другими словами, поскольку информация вполне соответствует энергии, нет энергии, достаточной для расчёта состояния системы.
Почему-то при обсуждении теорем Гёделя забывают про Герхарда Генцена. Как пишут, Генцен доказал непротиворечивость арифметики и тем самым завершил программу Гильберта. Я сам не математик, поэтому ничего не могу сказать, но было бы интересно найти обсуждение Гёделя в свете работа Генцена.
Наверно потому что идея взять последний элемент бесконечного множества и прибавить к нему единицу звучит довольно бредово, как ни крути.
Почему? Вы знаете другой способ построения континуума?
Потому что у бесконечного множества нет конца по определению..
Если я вас правильно понимаю, вы отвергаете понятие мощность множества. Что тогда это означает при сравнении множество натуральных чисел и множества вещественных чисел?
Задача, которую решали математики достаточно простая. Они хотели сопоставить число каждой точке числовой оси. Каково ваше решение в этом отношении?
Это уже другой вопрос, но тоже бредовый: чей конец больше, у невидимого розового единорога или у летающего макаронного монстра?
Понятно. С вашей точки зрения современная математика - это полный бред. По всей видимости вы плохо представляете зависимость современных технологий от современной математики.
Где вы там нашли бесконечности в современных технологиях, ума не приложу.
Баги)
Например, возьмите ряды Фурье. Попробуйте провести доказательство правильности их использования без бесконечностей.
В мат анализе бесконечности нигде не фигурируют как объекты. Ряды Фурье тут не исключение.
Давайте рассмотрим уравнение Эйлера exp(i π) = -1. Как вы считаете, оно выполняется точно или приближенно. И если вдруг точно, то связано ли доказательство с бесконечностями или нет?
В том же матанализме еще в 19-м веке математики нашли странные объекты - функции, которые непрерывны, но у которых не существует производной ни в одной точке. Могут ли существовать такие функции без использования бесконечностей?
Я останавливаюсь, поскольку если у вас есть своя альтернативная математика и вы с ней счастливы, то не буду мешать.
Ну да, ну да, такие как вы тянут актуальную бесконечность в математику, и получают кучу парадоксов, а альтернативная математика - это у меня, ага.
Я говорю про современную математику, которая не может существовать без теории множеств. А про какую математику говорите вы? Пожалуйста, приведите ссылочки.
С моей стороны могу привести книгу, в которой неплохо рассказывается, как математики дошли до такой жизни и зачем все это нужно:
John Stillwell, The Story of Proof: Logic and the History of Mathematics, 2022
Давайте лучше вы глянете видео про кризис оснований математики:
А вот и инквизиция подъехала...
- Некоторые математики утверждают чушь
- Ну все, вы полный отрицальщик всей математики
Что характерно, инквизиторам молиться не нужно ("Я сам не математик.."), можно просто обвинять от лица организации
Что тогда это означает при сравнении множество натуральных чисел и множества вещественных чисел?
А зачем? С какой целью? Что это даст? И вообще - является ли такая постановка задачи корректной? Может ли существовать “не подвисающий” алгоритм сравнения бесконечных множеств?
Они хотели сопоставить число каждой точке числовой оси. Каково ваше решение в этом отношении?
В современной математике довольно часто делаются утверждения, скажем так, без учёта особенностей используемых понятий. “Точка”, “прямая”, “точка на прямой” - это неопределяемые понятия! Т.е. попытайтесь осознать это простой факт: этих понятий нет даже аксиоматически! Это просто слова которые напрямую берутся из “нечёткого” “обычного” языка.
Потому задача “сопоставить число каждой точке числовой оси” может пониматься по-разному: в зависимости от разного понимания этих базовых понятий. Это как раз то о чём говорят теоремы Гёделя. Это “граница математики”.
Можно, например, легко “доказать” что это невозможно: как бы вы не сопоставляли - на прямую всегда по “бесконечному отелю” можно вставить ещё одну несопосталенную точку.
А можно “доказать” что “бесконечный отель невозможен” (т.к. только Чак Норрис может досчитать до бесконечности, но больше никто).
В общем в математике - весело. И не всё так однозначно - Гёдель по сути был “первой пташкой” такого вот.
Теория множеств возникла при рассмотрении вопроса, что такое доказательство. Ваш ответ также показывает, что вы не знакомы с аксиоматикой в математике. Аксиома не является определением понятия, значение понятия следует из набора аксиом. Посмотрите, например, Успенского:
'Попытаемся выписать основные свойства этих понятий, а именно те свойства, на которые будем опираться в наших рассуждениях. Дадим себе обещание не использовать в рассуждениях никаких иных свойств, кроме тех, которые внесены нами в список основных свойств. Каждый отдельный элемент списка, в котором фиксированы какие-то определённые свойства рассматриваемых понятий, будем называть аксиомой, сам же список – системой аксиом.'
Успенский приводит такой пример:
'(1) Для каждых двух куздр существует бокр, которого они будлают.
(2) Две различные куздры не могут будлать вместе более одного бокра.
(3) Существуют три куздры, для которых нет такого бокра, которого все они будлают.
(4) Каждого бокра будлают по меньшей мере две куздры.'
'Что такое куздры, бокры, будлать, оставляется неразъяснённым. Оказывается, однако, что разъяснения и не требуются для выведения из этих утверждений определённых заключений, т. е. таких, которые непременно являются истинными при условии истинности всех четырёх исходных посылок. Убедимся, например, что (5) два различных бокра не могут одновременно быть будлаемы более чем одной куздрой. В самом деле, если бы таких куздр было две, то они совместно будлали бы двух наших бокров, что запрещено утверждением (2). Для собственного развлечения читатель может доказать, например, такой факт: (6) для каждых двух куздр найдётся такая третья куздра, что нет бокра, которого будлали бы все эти три куздры.'
Вот ни разу ни одного доказательства, даже самого простого (вроде теоремы Пифагора) не видел такой вот “росписи до куздр”. Несмотря на существование аксиоматики Евклида.
Про современную математику с актуальными бесконечностями и w+2 я вообще молчу. Там всерьёз заморачиваются аксиомами только когда у математиков шары удваиваться начинают. И опять-таки, насколько я знаю, чёткого разделения теорем по ZFC и ZFD (либо “работают” оба) так и нет. Как это было сделанно с геометриями - Евклида/Лобачевского (Римана и т.п.). А ведь ZF - это тоже далеко не единственный вариант!
В математике есть свои внутренние проблемы, а также действительно невозможно переложить серьезное доказательство полностью на язык формальной логики. См. например, статью про определение единицы по Бурбаки - Единица по Бурбаки. Красота запредельной абстрактности. Уже тут потребуется для полной записи, как пишут, более 4 триллионов символов. См.
Mathias, Adrian RD. “A Term of Length 4 523 659 424 929.” Synthese 133, no. 1 (2002): 75-86.
Это однако не снимает с повестки вопрос о сравнении множеств натуральных и вещественных чисел. Критиковать со стороны легко, гораздо сложнее предложить альтернативные решения.
Это однако не снимает с повестки вопрос о сравнении множеств натуральных и вещественных чисел.
Вы так и не ответили о корректности этого вопроса.
Т.е., например, вопрос о том чтобы пронумеровать все вещественные числа - это нормальный вопрос. И ответ на него “нельзя” - тоже нормальный.
Но вот “больше”, “меньше” - это уже другой вопрос. Просто для постановки которого требуется дописывания ещё пары строк (а то и пары десятков строк) к тем самым “куздрам”.
Я не понимаю вашего вопроса. Вы считате, что теория множеств является ошибочной? Тогда, пожалуйста, ссылочки на статьи, в которых доказана ошибочность теории множеств.
С моей стороны могу привести книгу, в которой неплохо рассказывается, как математики дошли до такой жизни и зачем все это нужно:
John Stillwell, The Story of Proof: Logic and the History of Mathematics, 2022
Очень странно что вы не понимаете. Вроде должны разбираться. Для множества определно отношение равенства. Для множеств определено отношение множество-подмножество. Но для мнжество не определены отношения больше-меньше. Даже для конечных.
Что больше множество вон тех 12 поломанных стульев в углу или множество 10 самых лучших песен 2025 по версии Ретро ФМ? Этот вопрос лишён смысла - как математического так и любого другого.
Потому если вы справшиваете: “что больше - множеество натуральных или вещественных чисел?” - вы сначала должны дать дополнительные определения. И алеф-исчесления эти определения вроде как и дают. Но при этом и отвечая на вопрос. Что порождает ощущение какой-то логической рекурсии.
Для множеств определено понятие мощность множества. При этом для мощности множества имеются понятия: «равенство», «больше», «меньше». Мощность множества из двенадцати элементов равна 12. Мощность множества из десяти элементов равна 10. 12 больше 10, таким образом мощность множества из двенадцати элементов больше мощность множества из десяти элементов. В чем вы видите проблему?
Бесконечные множества работают по своим математическим правилам. Понятие "последний элемент" там в принципе не применимо
Вы не поверите: https://www.youtube.com/watch?v=O97xUyMUkJE
Мне кажется, что теоремы Геделя это как раз про гармонию науки и религии. У Уильяма Хэтчера в его работе "Минимализм" это хорошо описано. Есть введение на русском https://chupin.ru/bahai.ru.library/library/Works/Minimalism/Minimalism.html
В реальных вычислительных системах мы упираемся в нехватку памяти и переполнение типов данных гораздо раньше, чем успеваем добраться до философских парадоксов полноты
Теорема о неполноте в приложении к реальному миру означает, что невозможно объективно и непротиворечиво объяснить окружающую Вселенную, находясь внутри этой Вселенной и используя инструменты и понятия этой Вселенной. Объясню на пальцах: допустим, мы изобрели флэшку, на которую можно записать всё текущее состояние Вселенной. Ну взяли и записали. А штука в том, что текущее состояние немедленно изменилось. Ну потомушта флэшка.
в любой формальной системе математики, достаточно богатой для выражения арифметики, будут существовать утверждения, которые одновременно являются истинными и недоказуемыми
Но если утверждение уже является истинным, ему не требуется доказательство. Доказательства требуются утверждениям, истинность которых под вопросом (не определена). Нужно ли доказывать, что красный цвет является красным? Не напоминает ли это попытку барона Мюнхгаузена вытащить себя за волосы из болота?
Такое вот сомнение дилетанта, в чем он неправ?
Скорее наоборот: нельзя что-то считать истинным, пока истинность не доказана.
Возможно, но тогда фраза "утверждения, которые одновременно являются истинными и недоказуемыми" некорректна.
В теореме Гёделя “истинность” - это внутренее свойство неизвестного абстрактного утверждения.
Т.е. этот вывод можно сформулировать так:
“Если разбить все утверждения на две части: истнинные и ложные, то среди истинных окажутся те, которые недоказуемы”.
Или ещё проще:
“Из недоказуемости НЕ следует ложность”.
Так что фраза вполне корретна.
На самом деле теорему Геделя можно понять и представить иначе.
На рисунке выше, G это какое-то скрытое пространство с наблюдаемыми состояниями размером N.
Например, если пространство G имеет 1000 состояний, то проекция двух таких пространств в третье G3 даёт нам 1000*1000 разных комбинаций состояний. А если таких проекций не 2 а больше, то все это уже очень быстро стремиться к бесконечности.
Поэтому любая система G, вынуждена обобщать наблюдения, потому что кол-во ее состояний ограничено ее размерностью. Так как G3 имеет например размерность 100 и тогда она не может описать проекцию в него всех состояний G1 и G2.
Обобщение приводит к тому, что система вынуждена обобщать устойчивые закономерности, образуя цепи Маркова.
Но цепи Маркова тоже имеют ограниченную длину, когда вероятность траектории цепи становиться ниже порога разрешения системы.
Это приводит к тому, что система G вынуждена строить иерархию цепей Маркова со скрытыми состояниями.
Как итог, пространство G3, которое наблюдает проекцию в него состояний G1 и G2, вынуждена обобщать, балансируя между устойчивыми состояниями и многообразием системы (энтропией), из вариационного принципа.
Это значит, что наши наблюдения всегда ограничены нашей разрешающей способностью и вместимостью нашей системы из которой мы наблюдаем внешнюю динамику.
Можно предположить, что если мы бесконечно будем увеличивать размерность G, то сможем описать все. Но это не так. Дело в том, что у какой то момент, при увеличении размерности N мы уже не лучшим наше понимание. Система выходит на плато. Это связано с тем, что мы не можем различить некоторые проекции.
Например, представьте себе что у вам поступает на вход текст, по которому мы собираем статистику.
Некоторые фрагменты встречаются уникальное кол-во раз, например "ова" обозначим А, но есть фрагменты которые встречаются одинаковое кол-во раз "ыро" и "пьо" у них одинаковая статистика, в текстах они встречаются только 1 раз обозначим B.
Мы наблюдаем только A->B. И по этому наблюдению мы не можем сказать это "ова"->"ыро" или это "ова"->"пьо". Для нас как наблюдателя истинная природа B скрыта, поэтому мы теряем инфорамация о том, что такое B. Мы наблюдаем только не обобщение. Если мы не можем наблюдать конечно исходные системы G.
Поэтому невозможно построить систему, которая объясняет все. Просто потому что информация может теряться при проекции.
Не важно, это текст или это звук со светом. Для нас как наблюдателя доступна только возможность, анализа динамики и ее статистика.
Каким бы не был наш язык описания системы (нашего пространства G), он всегда будет ограничен размерностью самой системой и потерей части информации при ее наблюдении, даже если мы бесконечно будем увеличивать его размерность.
Все немного сложнее, но надеюсь объяснил понятно.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Что на самом деле означают теоремы Гёделя о неполноте?