Соленоид без иллюзий: считаем поле честно и визуализируем результат / Хабр

Рассмотрим следующую задачу: Пусть соленоид имеет следующие размеры:высота 2h, внешний радиус R2, внутренний R1<R2.В полость вставлен цилиндрический стальной сердечник радиуса R1, высоты 2h.На него равномерно, очень плотно и под прямым углом намотана медная проволока круглого сечения диаметра d, причём d очень мало по сравнению с размерами соленоида. По обмотке течёт постоянный ток I(рассмотреть возможность переменного тока I(t)), направленный по часовой стрелке. Требуется определить магнитное поле B (x,y,z, t) внутри, снаружи соленоида и в сердечнике.

Решение:Поместим начало O декартовой прямоугольной ортогональной системы координат с правой ориентацией базисных векторов XOYZ в центр цилиндра.Сделаем рисунок:

Перейдём к цилиндрической системе координат:Пусть орт i

направлен по направлению к проекции точки на плоскость XOY,

орт j по часовой стрелке перпендикулярно i в плоскости XOY а орт k

по положительному направлению оси OZ.В таком случае орты образуют правую тройку.

Закон Био-Савара-Лапласа для единичного витка — Закон Био‑Савара‑Лапласа для единичного витка

Внутри сердечника(r0<R1 и ‑h<z0<h) μ=μстали, внутри соленоида(R1<r0<R2 и ‑h<z0<h) μ=μмеди,вне сердечника и соленоида (r0>R2 или z0<‑h или z0>h) μ=μвоздуха.

Магнитное поле примерно прямо пропорционально 1/d^3, то есть

чем меньше толщина проволоки, тем сильнее магнитное поле(растёт примерно по кубическому закону).

Если ток переменный, то есть I=I(t), то B(t) будет пропорционально I(t).

Напишем код на Python для компьютерной визуализации магнитного поля соленоида (помогала нейросеть):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm

# Физические константы
mu0 = 4 * np.pi * 1e-7  # Тл·м/А

# Параметры соленоида
R1 = 0.01  # внутренний радиус (м)
R2 = 0.02  # внешний радиус (м)
h = 0.04  # половина высоты (м)
d = 0.005  # диаметр провода (м)
I = 0.001  # сила тока (А)


# Функция для численного интегрирования
def calculate_B(r0, z0):
    # Константа для расчетов
    const = mu0 * I / (np.pi * d ** 2)

    # Пределы интегрирования
    r_min = R1 - d / 2
    r_max = R2 + d / 2

    # Интеграл I1
    I1 = 0
    for r in np.linspace(r_min, r_max, 100):
        for z in np.linspace(-h, h, 100):
            denom = ((r - r0) ** 2 + (z - z0) ** 2) ** 1.5
            I1 += r * (z0 - z) / denom

    # Интеграл I2
    I2 = 0
    for r in np.linspace(r_min, r_max, 100):
        for z in np.linspace(-h, h, 100):
            denom = ((r - r0) ** 2 + (z - z0) ** 2) ** 1.5
            I2 += r * (r - r0) / denom

    # Компоненты поля
    Br = const * I1
    Bz = const * I2
    return Br, Bz


# Создаем сетку для визуализации
r = np.linspace(0, 2 * R2, 50)
z = np.linspace(-2 * h, 2 * h, 50)
R_grid, Z_grid = np.meshgrid(r, z)

# Рассчитываем поле
Br_grid = np.zeros_like(R_grid)
Bz_grid = np.zeros_like(Z_grid)

for i in range(R_grid.shape[0]):
    for j in range(R_grid.shape[1]):
        Br_grid[i, j], Bz_grid[i, j] = calculate_B(R_grid[i, j], Z_grid[i, j])

# Визуализация
fig = plt.figure(figsize=(14, 8))

# Радиальная компонента
plt.subplot(121)
plt.pcolormesh(R_grid, Z_grid, Br_grid, cmap=cm.coolwarm)
plt.colorbar(label='Br (Тл)')
plt.title('Радиальная компонента магнитного поля')
plt.xlabel('r (м)')
plt.ylabel('z (м)')
plt.axis('equal')

# Осевая компонента
plt.subplot(122)
plt.pcolormesh(R_grid, Z_grid, Bz_grid, cmap=cm.coolwarm)
plt.colorbar(label='Bz (Тл)')
plt.title('Осевая компонента магнитного поля')
plt.xlabel('r (м)')
plt.ylabel('z (м)')
plt.axis('equal')

plt.tight_layout()
plt.show()

Видно, что в сердечнике магнитное поле может достигать больших значений, а снаружи оно очень маленькое.

Таким образом, в этой работе было получено аналитическое выражение для магнитного поля соленоида с постоянным и переменным током путём вычисления магнитного поля одного витка и суммирования по всем виткам, а также предложена программа для компьютерной визуализации полученного результата.

Литература:

Л.Д.Ландау, Е. М. Лифшиц т. II Теория поля,1967 г.
Слесарев Ю. Н., Малышев Б. В., Борисова А. А., Воронцов А. А. «Математическое моделирование магнитных полей постоянных магнитов цилиндрической формы и эквивалентных им соленоидов» // «Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе». — 2016. — № 4 (20). — С. 150–157.
Слесарев Ю. Н., Воронцов А. А. “Исследование магнитных полей постоянных магнитов цилиндрической формы и соленоидов и сравнение полученных результатов” // «XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс». — 2016. — № 6 (34). — С. 110–115.
РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ СИСТЕМЫ СОЛЕНОИДОВ Е. С. Семенов, А. Д. Юнаковский Институт прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород, Россия
https://kapitza.ras.ru/arhiv/lib/ebm/5/195.pdf
https://www.dvfu.ru/upload/medialibrary/4c1/wofvrgfscigmva4ublkftv7sb3gu1em1/Терлецкий\_Магнитное поле соленоида.pdf
https://docs.yandex.ru/docs/view?tm=1784634361&tld=ru&lang=ru&name=lek9.pdf&text=расчет магнитного поля соленоида&url=https%3A%2F%2Fportal.tpu.ru %2FSHARED%2Fr%2FREDHG%2Facademic%2FDis2%2FTab1%2Flek9.pdf&lr=20683&mime=pdf&l10n=ru&sign=42610c61468a3c1d38c95f113a53ce11&keyno=0&nosw=1&serpParams=tm%3D1784634361%26tld%3Dru%26lang%3Dru%26name%3Dlek9.pdf%26text%3D%25D1%2580%25D0%25B0%25D1%2581%25D1%2587%25D0%25B5%25D1%2582%2B%25D0%25BC%25D0%25B0%25D0%25B3%25D0%25BD%25D0%25B8%25D1%2582%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B3%25D0%25BE%2B%25D0%25BF%25D0%25BE%25D0%25BB%25D1%258F%2B%25D1%2581%25D0%25BE%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B8%25D0%25B4%25D0%25B0%26url%3Dhttps%253A%2F%2Fportal.tpu.ru %2FSHARED%2Fr%2FREDHG%2Facademic%2FDis2%2FTab1%2Flek9.pdf%26lr%3D20683%26mime%3Dpdf%26l10n%3Dru%26sign%3D42610c61468a3c1d38c95f113a53ce11%26keyno%3D0%26nosw%3D1
Д.Е. Корытчинков, А.А. Трубицын, А.А. Дягилев ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА Вестник РГРТУ. № 3 (выпуск 25). Рязань, 2008
Математическое моделирование квазибессиловых соленоидов для получения сильных магнитных полей Лобачев Максим Игоревич Кандидатская диссертация.
https://docs.yandex.ru/docs/view?tm=1784634535&tld=ru&lang=ru&name=MU\_LZ\_1\_Modelirovanie\_v\_materialovedenii.pdf&text=моделирование магнитного поля соленоида&url=https%3A%2F%2Fswsu.ru %2Fsveden%2Ffiles%2FMU_LZ_1_Modelirovanie_v_materialovedenii.pdf&lr=20683&mime=pdf&l10n=ru&sign=4873319048da81b44aeea275cd6c8054&keyno=0&nosw=1&serpParams=tm%3D1784634535%26tld%3Dru%26lang%3Dru%26name%3DMU_LZ_1_Modelirovanie_v_materialovedenii.pdf%26text%3D%25D0%25BC%25D0%25BE%25D0%25B4%25D0%25B5%25D0%25BB%25D0%25B8%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25B2%25D0%25B0%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25B5%2B%25D0%25BC%25D0%25B0%25D0%25B3%25D0%25BD%25D0%25B8%25D1%2582%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B3%25D0%25BE%2B%25D0%25BF%25D0%25BE%25D0%25BB%25D1%258F%2B%25D1%2581%25D0%25BE%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B8%25D0%25B4%25D0%25B0%26url%3Dhttps%253A%2F%2Fswsu.ru %2Fsveden%2Ffiles%2FMU_LZ_1_Modelirovanie_v_materialovedenii.pdf%26lr%3D20683%26mime%3Dpdf%26l10n%3Dru%26sign%3D4873319048da81b44aeea275cd6c8054%26keyno%3D0%26nosw%3D1
https://www.simscale.com/simulations/solenoid‑simulation‑software/
https://codingace.net/physics/solenoid_magnetic_field.html