t1geAr30 июл в 11:21

Философия комплексной плоскости: почему и зачем i2 = -1

Простой

9 мин

11K

Занимательные задачкиМатематика * Научно-популярное

Из песочницы

+21

Комментарии 21

OldFisher 30 июл в 12:54

А возможно прямо с этих же позиций перейти к чуть менее сакральному равенству $i^i \approx 0.2078796...$ или придётся позвать Эйлера?

kovserg 30 июл в 13:09

Я думаю что проще сначала рассмотреть числа вида $x=a+b\sqrt{r}$ где r=2 или 5 или другойе число их которого корень не представим в виде рационального числа, a и b это рациональные числа (дроби). Определить сопряженное $\bar{x} = a - b\sqrt{r}$ , показать что такие числа можно склыдвать (), делить( $x_3=x_1/x_2=x_1*\bar{x_2}/(x_2*\bar{x_2})$ ), умножать () и потом можно делать так что бы после вычислений b оставалось 0. Например $norm(x)=x * \bar{x}$ или $x + \bar{x}$ и т.п. В таком виде эти числа не будут вызывать не доумения и протеста.

А потом, так как результат явно не содержит $\sqrt{r}$ , то почему бы не попробывать необычного и выбрать r = -1 и посмотреть что из этого выйдет. И обнаружить что существуют скрые очень странные числа, которые назвали комплексными. Так же можно использовать матрицы типа $M=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ для демонстрации, что можно их использовать вместо чисел и они будут себя вести как мнимая единица. Так сказать добавить осизаемости.

t1geAr 31 июл в 10:53

Это один из множества способов прикоснуться к комплексным числам. Но он индуктивен, т.е. рассуждения идут от частного к общему: "а давайте рассмотрим вот такие объекты, ага, а теперь поэкспериментируем". Ничего плохого в этом нет, наоборот, открытия так и совершаются.

Смысл статьи - дедуктивное построение $\mathbb{C}$ . От стандартных требований (аксиомы поля) приходим к конкретной структуре.

Felan 30 июл в 14:45

Ну ладно. Допустим чистла у нас теперь двумерные. А как на счет трехмерных чисел? Есть какие-нибудь идеи как это можно... сделать... открыть!?

А то мало ли, может они все объяснят сразу. Ж)

OldFisher 30 июл в 15:50

С трёхмерными, похоже, не вытанцовывается. Приходится скакать сразу в 4 измерения к кватернионам.

Felan 30 июл в 17:19

Ну если я правильно понимаю то нет. Кватернион это что-то типа дважды коплексного вектора. Ну или вектор в комлексном пространстве. То, что он четырехмерный не следует, что это что то фундаментальное. Ну это как 2х, 3х... n мерные векторы. По сути это набор одномерных чисел.

Комплексные числа же вышли из мнимых, которые в свою очередь вышли из неопределенности... Может что-то подобное могло бы быть напримере с неопределенностью деления на ноль... Ну и мало ли что еще.

OldFisher 30 июл в 18:40

Комплексное число - это не набор из двух равноправных чисел: см. первый комментарий. Реальная и мнимая часть означают совершенно разное (очень огрубляя, реальная часть - смещение, мнимая - поворот). Точно так же и кватернион - не просто упиханные в один вектор четыре числа, а целая непротиворечивая система, которую не получится выстроить на тройке.

Felan 7 часов назад

Да это я понимаю. И так же понимаю, что несу странную фигню скорее всего. Но все-таки в порядке бреда, мне глючится переход от обычных чисел к комплексным был обусловлен некоей неполнотой. Ну вот надо было что-то делать с корнем из -1. Надо было это как-то определить... Вот и получилось так, что из этого получается понятие вращения. Может есть еще какая-нибудь подобная неопределенность ну типа деления на 0 которую так же можно "раскрыть" получится не знаю что...

В общем ладно. Забейте :)

dedov_aa 31 июл в 18:13

Фокус в том что C алгебраически замкнуто, тоесть нет задач решения которых надо где то еще искать) числа естественно живут в комплексной плоскости и это всегда было видно из кучи странностей в математике R. Но пока задач для выхода из C не видится, ну тоесть на примере кватернионов и прочего мы создаем системы более сложно связанные но сама потреьность в этом она не естественна)

misha_erementchouk 1 авг в 13:58

Если ограничиться рациональными числами, то можно и сколькоугодномерные построить. Из заметки это наскидку наверное непросто увидеть, но в ней это тоже есть. Трюк в том, что условие существования обратного элемента сводится к отрицательности соответствующего дискриминанта только для действительных чисел. Для рациональных чисел условие более сложно: уравнение не имеет решений когда дискриминант не является полным квадратом. Среди рациональных таких чисел и среди положительных хватает.

А если оставаться в рамках действительных чисел, то кроме комплексных (двумерных) других вариантов нет. Вот это из заметки не увидеть, потому что изложение построено на представлении об умножении как о бинарной операции (с двумя аргументами). В таком подходе самом по себе, разумеется, ничего плохого нет, но он не позволяет увидеть с частным случаем чего мы имеем дело.

Поскольку писать отдельную заметку мне не с руки, ограничусь произнесением ключевых слов. Рассмотрим полиномы с действительными коэффициентами. Произведение и сумма полиномов - снова полиномы. Т.е. мы имеем дело с тем, что называют кольцом многочленов. Оказывается, с его помощью тоже можно построить комплексные числа. Делается это так.

Введем правило упрощения полиномов. Будем считать, например, что . Т.е. когда в полиноме присутствует , мы будем его заменять на . Это правило ниоткуда не следует, просто так захотелось. Несложно увидеть, что после применения этого правила любой полином превратится в . А вот теперь забавность. Сумма и произведение таких полиномов с учетом правила упрощения снова имеет такую же форму. Получилось то, что называют факторкольцом. Причем (рекомендуется проверить) итог сложения и умножения оказывается очень похожим на комплексные числа. Т.е. мы построили комплексные числа. В научных терминах это обзывают "факторкольцо кольца $\mathbb{R}[x]$ по идеалу изоморфно полю комплексных чисел" (соответствующая статья в Википедии таким языком и написана, поэтому ссылок не даю).

Двумерность следует из того, что в результате правила упрощения полиномы характеризуются двумя числами: и .

Здесь можно смекнуть, ага, я же могу разные правила упрощения вводить. Пусть правило будет $\alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma = 0$ . Не получится ли получить более высокие размерности? Не получится. Оказывается, правила упрощения дают что-то новое только когда они не представляются в виде произведения (т.е. многочлен должен быть неприводимым). Например можно представить как $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = 0$ и это интересного расширения (поля) не даст. В данном случае получится тоже двумерное пространство, но там произведение двух ненулевых элементов может быть равно нулю (есть делители нуля), как само правило и показывает.

Поскольку мы уже знаем как устроены корни многочленов с действительными коэффициентами - они либо действительные, либо пары комплексно сопряженных - то можно сразу сказать, что любой многочлен распадается на произведение многочленов первой и второй степени. Отсюда сразу получаем, что таким образом ничего кроме поля действительных и комплексных чисел не получить (лемма Зариского).

Важно здесь то, что можно увидеть, что ограничение упирается в структуру операции умножения. Чтобы получить что-то новое нужно ломать умножение, например, сделать его некоммутативным. Тогда можно построить кватернионы и размерность будет сразу четыре (с промежуточными размерностями один и два).

atues 30 июл в 14:48

Я долго не мог "прочувствовать" комплексные числа. Нет, логически все понятно, но не было свободы когда приходилось их использовать: каждый раз наступал некоторый ступор и напряг. Пока не прочитал главу о комплексных числах из первого тома известного курса матанализа Смирнова. Там корень из -1 появляется, конечно, но далеко не сразу. Сначала идет подводка через геометрию и векторы. Вот так - мне зашло

kia_stc 30 июл в 16:48

Не понятно почему a*c превратилось сразу в ас. Кажется не хватает перехода откуда выскочило обычное умножение.

t1geAr 31 июл в 10:40

Да, переход неочевидный, комментарий я добавил. Изначально я от этой затеи отказался, т.к. сложно было ее реализовать, не прерывая повествования.

Naf2000 31 июл в 05:19

Мне кажется комплексные числа раскрывают свою силу на примерах, не связанных с ними. Когда в постановке задачи и в ее ответе нет комплексных чисел, а спрятаны они в решении.

Примеры:

Формулы для решения уравнений 3 и 4 степени.
Доказать, что неприводимым многочленами над вещественными числами являются только линейные и квадратичные.
Почему радиус сходимости ряда Тейлора функции 1/(x^2+1) в 0 равен 1?
Вычисление несобственных интегралов от минус бесконечности до плюс бесконечности.

kovserg 31 июл в 14:45

Раскрываются они во всей красе в БПФ и методе перевала из ТФКП и в физике в вынужденных колебаниях да и в оптике. Даже если просто рассмотреть гометрическу прогрессию $S_n=1+q+q^2+...+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}$ и подставить туда $q=W^k_n=e^{ \frac{2\pi i k}{n} }$ уже можно будет узреть прекрасное, особенно если объяснить область применения.

wataru 31 июл в 09:47

Или определить $\arcsin(67)$ ?

Какие проблемы? Когда ввели комплексные числа, уже получается sin(π/2+ln(67 + 8√70)i) = 67

Есть пара тривиальных вопросов в том, что возможных значений у arcsin много, ну так и на вещественных числах там такая же проблема. Только надо ввести дополнительные правила на комплексную часть ответа. Ну и область определения arcsin похоже будет не вся комплексная плоскость, но все вещественные положительные числа там точно есть.

t1geAr 31 июл в 11:09

Согласен, не самый удачный пример, т.к. через арксинус можно к тем же комплексным числам прийти :). Но мысль он иллюстрирует: корень из отрицательного числа - затея бессмысленная (в рамках действительных чисел), но она такая не единственная. А пользы приносит много.

domix32 31 июл в 10:21

Вы переизобрели геометрическую алгебру. Только сильно не до конца. И почему у вас по всей статье оно у вас записывает i2 или даже , но не использует общепринятный формат i^2 ну или хотя бы по питоньи i**2.

Кто хочет нормальное интро в ГА и понимает английский советую посмотреть серию от All Angless.

t1geAr 31 июл в 11:22

Про геометрическую алгебру почитаю, спасибо. Я сам учусь, на экспертность не претендую :). Статья - мои собственные наблюдения.

Насчет форматирования - у меня везде, кроме заголовка, отображается с надстрочной двойкой. Заголовок тут не форматируется.

Bedal 31 июл в 12:10

Не споря с основным текстом статьи, укажу на некорректность базового утверждения.

Рациональные числа позволили работать с частями целого, отрицательные — вычитать,

Неверно. Для вычитания отрицательные числа вовсе не обязательны. Можно даже утверждать, что вычитание освоили задолго до введения понятия "отрицательное число". Операция вычитания большего числа из меньшего имела результат "невозможно". Ровно так же невозможна мнимая единица. Никакой разницы. Введение отрицательных чисел даёт возможность решать уравнения, неразрешимые в натуральных числах, открывает новые горизонты в описании реальности, новую физику и так далее, тем же словами, что и введение мнимых чисел.

Далее да, можно идти по тексту статьи.

Что мы знаем об умножении векторов? На ум приходят две операции: скалярное произведение и векторное произведение.
Проблема скалярного произведения кроется в названии: его результат — число, а не вектор $(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}).$ Умножение же должно быть замкнутым, то есть отображать два двумерных вектора в третий двумерный вектор $(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2).$ Векторное произведение тоже не подойдет, так как дает трехмерный вектор $(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3).$
Стало быть, нам придется изобрести свое умножение , обладающее всеми "полевыми" свойствами:

Если читатель легко, по одному упоминанию, понял, что такое скалярное произведение и почему векторное даёт трёхмерный вектор, то дальнейший текст непонятно для чего, читатель знает и это.

ShaltaiBoltai 19 часов назад

Статья очень хорошая. Она полезна таким, как я, кто подобным вопросом мучился, но был ленив для того, чтобы искать ответ самостоятельно. Ибо вопрос, хоть и любопытный, но не настолько уж жизненно важный. А вопрос у меня был такой: «Почему, если определить i² = -1, то свойства получившихся чисел (комплексных чисел) полностью совпадают со свойствами двухмерного пространства (плоскости)? Это случайно так совпало или же здесь есть прямая связь?» Насколько я понимаю (но лень копать самостоятельно), Уильям Гамильнтон тоже задавался таким вопросом и пытался по той же аналогии придумать такие числа, которые бы повторяли свойства трехмерного пространства. Убил на это несколько лет, пока его не осенило, что для трехмерного пространства такое нельзя получить принципиально, нужны 4 компонента. Только тогда получается построить работающее умножение.

Поэтому хотелось бы либо статью от автора, либо, может, кто подскажет, где можно в популярном виде (ролик на YouTube, например) узнать, почему с двухмерным пространством получается построить систему чисел, а с трехмерным нет.

Путь размышления такой. У нас есть пространство с N измерениями. Для него определены N базисных векторов: v₁, v₂, v₃, v₄, …. Вектор Q в таком пространстве можно определить, как сумму: Q = a*v₁ + b*v₂ + c*v₃ + d*v₄ + … Можно ли оперировать с векторами в таком пространстве, как с числами – складывать их, умножать, возводить в степень и т.д.?

Вот задался автор (или какой-то другой абстрактный математик) целью построить такую систему, в которой Q₁ * Q₂ = Q₃, где Q – это объект (вектор) в пространстве размерностью N. Для двухмерного пространства у него такое с легкостью получилось, а если такое же построить для трехмерного пространства? (Спойлер: низя.) Для 1 можно, для 2 можно, для 4 можно, а для 3, 5 и кучи других нельзя? Чего ж так?

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий