Эффект бабочки на комплексной плоскости / Хабр

Часть III: топологическая теория Галуа. Единство алгебры и анализа

В прошлых главах мы увидели, как геометрия помогает алгебре: обычный обход вокруг особых точек заставляет корни многочлена путаться и меняться местами, из-за чего уравнение пятой степени становится невозможно решить с помощью формул. Но работает ли этот принцип дальше, когда мы переходим от обычных уравнений к дифференциальным?
В этой части мы покажем, что топология управляет и миром производных. Оказывается, то, возьмется ли интеграл, зависит не от нашей изобретательности, а от устройства всё той же группы обходов. Опираясь на топологическую теорию Галуа А. Г. Хованского, мы увидим, как обычная геометрия петель на комплексной плоскости ставит окончательный запрет на существование явных формул для целых классов дифференциальных систем.

Пролог. Одно слово для двух разных миров

До сих пор понятие разрешимости применялось нами исключительно в контексте алгебраических уравнений и означало разрешимость в радикалах. Нетрудно догадаться, что оно имеет смысл и в математическом анализе. Примечательно, что это понятие мы будем вводить по той же схеме, что и в предыдущих частях.

Эту схему придумал Лиувилль. Чтобы говорить о явной разрешимости уравнения, необходимо явно указать класс функций, в котором ищется решение. Класс задаётся списком базовых функций и списком допустимых операций; он определяется как множество всех функций, получаемых из базовых конечным числом применений допустимых операций. Понятно, что различные классы функций отвечают различным понятиям разрешимости в конечном виде.

Далее нас будут интересовать три основных класса.

Класс радикальных выражений - это множество математических формул, состоящих из чисел и букв, соединенных знаками сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня (радикала) целой степени. Основные элементы этого класса включают арифметические корни, целые и дробные степени, а также комбинации из них.

Класс элементарных функций. К предыдущим базовым функциям добавляются экспонента и логарифм, а допустимые операции - арифметические действия и композиция. Сюда попадают синус, косинус, арктангенс (все они выражаются через экспоненту и логарифм в комплексной области).

Класс функций, представимых квадратурами. К допустимым операциям добавляется взятие неопределённого интеграла. Слово "квадратура" - это исторический термин, означающий именно интегрирование. Разрешить уравнение в квадратурах значит выразить его решение через конечное число интегралов от элементарных функций.

Класс функций, представимых обобщёнными квадратурами. К допустимым операциям добавляются произвольные алгебраические функции, то есть решения любых алгебраических уравнений. Отличие от предыдущего класса выглядит незначительным, но именно оно определит вид критерия разрешимости в третьей части.

Работать с понятием разрешимости в контексте функций, представимых квадратурами, как кажется автору, достаточно непривычно, поэтому предлагается начать с примеров, чтобы освоиться.

Пример 1. Интеграл $\displaystyle\int \frac{dx}{x}$ не принадлежит классу рациональных функций: он равен $\ln x.$

Расширив класс радикальных выражений логарифмом, мы получаем возможность его выразить.

Пример 2. Интеграл $\displaystyle\int e^{-x^2}\,dx$ , как известно, не является элементарной функцией.

Современные системы компьютерной алгебры выражают его через специально введённую функцию ошибок:

$\int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x).$

Аналогично $\displaystyle\int \frac{e^x}{x}\,dx = \operatorname{Ei}(x)$ . Интегральная экспонента, также не элементарная.

Мы сталкиваемся с парадоксом, когда визуально простейшие аналитические выражения невозможно записать через привычный школьный набор функций, и математикам приходится искусственно изобретать новые обозначения типа $\text{erf}(x)$ или $\text{Ei}(x)$ , просто чтобы зафиксировать ответ. Возникает теоретический тупик: как узнать, обусловлена ли невозможность взять интеграл нашей личной изобретательностью и нехваткой хитрых замен переменных, или же перед нами своеобразный внутренний запрет, заложенный в структуре функции, который делает поиск явной формулы бессмысленным?

Далее мы покажем, что все подобные утверждения: и об алгебраических уравнениях, и о дифференциальных - это проявление одного топологического принципа.

Часть 1. Монодромия как общий язык

Определение и простейшие примеры

Пусть - многозначная аналитическая функция комплексного переменного, определённая всюду на плоскости, кроме конечного набора особых точек $a_1,\dots,a_k$ . Зафиксируем точку , отличную от особых, и одно из значений . Будем непрерывно продолжать это значение вдоль замкнутого пути, выходящего из и в него возвращающегося. По возвращении мы получим, вообще говоря, другое значение функции в той же точке.

Визуализация явления монодромии вдоль пути

Возникающее преобразование множества значений называется монодромией вдоль данного пути. Совокупность всех таких преобразований образует группу - группу монодромии функции .

Пример 3. Для $f(z)=\sqrt[n]{z}$ единственная особая точка на конечной плоскости - это начало координат. Записав $z=re^{i\varphi}$ , получаем

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\;e^{i\varphi/n}$ .

Обход вокруг нуля увеличивает $\varphi$ на $2\pi$ и умножает значение на $\zeta_n=e^{2\pi i/n}$ . Повторные обходы дают степени $\zeta_n$ . Получается, что группа монодромии - это циклическая группа $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ порядка .

Пример 4. Для $f(z)=\ln z$ единственной особой точкой в $\mathbb{C}$ также является нуль. Понятно, что $\ln z=\ln r+i\varphi$ , и обход вокруг нуля увеличивает значение на $2\pi i$ :
$\ln z\longmapsto \ln z+2\pi i$ .
Группа монодромии для этого примера - это бесконечная циклическая группа $\mathbb{Z}$ , порожденная сдвигом на $2\pi i$ .

Различие между примерами 3 и 4 отлично можно представить геометрически. Риманова поверхность функции $\sqrt[n]{z}$ состоит из листов, циклически склеенных так, что после обходов мы возвращаемся на исходный лист. Риманова поверхность логарифма состоит из бесконечного числа листов, склеенных в бесконечную винтовую лестницу, при этом возврата на исходный лист не происходит никогда.

Геометрическое представление функций корня и логарифма

Теорема Жордана об изоморфизме

Мы привели примеры для совершенно конкретных функций, пришло время для обобщения.

Теорема Жордана об изоморфизме. Группа Галуа алгебраического уравнения над полем рациональных функций нескольких комплексных переменных изоморфна группе монодромии многозначной алгебраической функции, определяемой этим уравнением.

Доказательство теоремы можно прочесть тут.

Содержание теоремы состоит в следующем. Группа Галуа определяется алгебраически - как группа перестановок корней, сохраняющих все рациональные соотношения между ними. Группа монодромии определяется топологически - как группа перестановок, порождаемых обходами. Теорема Жордана утверждает, что эти группы естественно изоморфны. Из этого следует, что за представимость алгебраической функции радикалами отвечает группа монодромии.

Топологическое доказательство неразрешимости

Из теоремы об изоморфизме и разобранных примеров вытекает топологическая версия классического результата о неразрешимости уравнений в радикалах. Приведём это рассуждение в сжатом виде. Оно взято из работы А. Г. Хованского 1971 года и содержит, по его собственному замечанию, зародыш всей последующей теории.

Пусть функция представима радикалами. Каждая операция извлечения корня степени вносит, как в примере 3, циклическую монодромию $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . При выполнении арифметических операций над функциями их новые группы монодромии вкладываются в подгруппы прямых произведений исходных групп. Поскольку прямые произведения и подгруппы разрешимых групп остаются разрешимыми, итоговая группа монодромии функции, представимой радикалами, обязана быть разрешимой, то есть допускать цепочку подгрупп с абелевыми факторами.

Для общего уравнения пятой степени, рассматриваемого как многозначная функция на пространстве его комплексных коэффициентов, группа монодромии является полной симметрической группой $S_{5}$ . Она неразрешима, поскольку её подгруппа - это знакопеременная группа $A_{5}$ порядка 60, которая является простой неабелевой группой. Полученное противоречие строго доказывает непредставимость решения в радикалах.

Обратим внимание на структуру вывода: внутреннее алгебраическое свойство группы, а именно разрешимость, выступает своеобразным топологическим препятствием к принадлежности функции определенному классу радикальных выражений. Далее мы увидим, что эта же структура сохраняется при переходе к дифференциальным уравнениям. Изменится лишь класс функций и природа группы.

Часть 2. Дифференциальные уравнения

Квадратуры

Обратимся к линейным дифференциальным уравнениям вида

$A_{n}(x)\,y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\dots +a_{1}(x)\,y^{\prime }+a_{0}(x)\,y=0,$

где коэффициенты - это рациональные функции комплексного переменного, а нули старшего коэффициента задают особые точки уравнения.

Рассмотрим простейший случай. Уравнение решается понятным образом:

$y=\int f(x)\,dx$ .

Решение получено одной операцией интегрирования или одной квадратурой. Уравнение считается разрешимым в квадратурах, если его решения выражаются через коэффициенты конечным числом арифметических операций, композиций с элементарными функциями и взятий интеграла.

Пример 5. Уравнение имеет решение $y=Ce^{x}$ . Уравнение элементарно, так как решение лежит в классе элементарных функций, а значит представимо квадратурами.

Пример 6. Уравнение Эйлера. Прочитать про них можно тут. А мы рассмотрим

Его общее решение имеет вид

$y=\frac{C_1+C_2\ln x}{x}$ .

Видно, что уравнение разрешимо явно.

Этот пример заслуживает более внимательного разбора, поскольку на нём чрезвычайно удобно продемонстрировать, как вычисляется монодромия дифференциального уравнения.

Монодромия дифференциального уравнения

Решения линейного уравнения порядка образуют -мерное векторное пространство. Продолжая базис решений вдоль замкнутого пути, обходящего особую точку коэффициентов, мы получим базис решений того же пространства, то есть некоторое линейное преобразование, задаваемое матрицей $n\times n$ . Совокупность таких матриц образует группу монодромии уравнения, а она, в свою очередь, является подгруппой $GL_n(\mathbb{C})$ .

Вычислим её для примера 6. Базис решений: , $y_2=\ln x/x$ . Обход вокруг нуля оставляет на месте, но, как в примере 4, увеличивает $\ln x$ на $2\pi i$ . Следовательно,

$y_1\longmapsto y_1,\qquad y_2=\frac{\ln x}{x}\longmapsto \frac{\ln x+2\pi i}{x}=y_2+2\pi i\,y_1 .$

В базисе матрица монодромии равна

$M=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2\pi i& 1\end{pmatrix}$ .

Эта матрица треугольная. Группа, порождённая нижнетреугольными матрицами, разрешима, и уравнение, как мы видели, действительно разрешимо в квадратурах. Далее предлагаю разобраться, случайность ли это.

Пример 7. Уравнение Эйри. Уравнение

не имеет решений, выражающихся через элементарные функции. Его решения - это специальные функции Эйри $\mathrm{Ai}(x)$ и $\mathrm{Bi}(x)$ , введённые именно для этой цели. Любопытно, что на конечной плоскости это уравнение не имеет особых точек, и его классическая группа монодромии тривиальна. Препятствие к разрешимости здесь лежит несколько глубже: оно обнаруживается в дифференциальной теории Галуа (теории Пикара - Вессио). Связанная с уравнением Эйри дифференциальная группа Галуа составляет $SL_2(\mathbb{C})$ (это специальная линейная группа степени 2 над полем комплексных чисел $\mathbb{C}$ . Она состоит из всех квадратных матриц размера $2\times 2$ с комплексными элементами, у которых определитель равен единице), она неразрешима, что и накладывает ограничения на квадратуры. Особая точка здесь расположена на бесконечности и является иррегулярной, что выводит систему за рамки регулярного класса Фукса, о котором мы поговорим чуть позже.

Пример 8. Уравнение Бесселя. Уравнение

$x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)\,y=0$

демонстрирует зависимость разрешимости от параметра. При $\nu=\tfrac12$ решения элементарны и выражаются через тригонометрические функции:

$\nu=0$

Однако при $\nu=0$ функция Бесселя принципиально не выражается через элементарные функции или квадратуры над полем рациональных функций. Тот факт, что один и тот же класс уравнений кардинально меняет свойства разрешимости при варьировании числового параметра, требует обоснования, которое мы и обсудим в следующей главе.

Часть 3. Дифференциальная теория Галуа

Группа Галуа дифференциального уравнения

Параллель с алгебраическим случаем была замечена довольно давно, но её реализация потребовала нового аппарата. Теория, известная как теория Пикара-Вессио, была создана Э. Пикаром и Э. Вессио в период приблизительно с 1883 по 1904 год, а строгие определения и полное доказательство основного результата принадлежат Э. Колчину (1946–1948).

Конструкция теории такова. Пусть - базовое дифференциальное поле, например, поле рациональных функций комплексного переменного $\mathbb{C}(x)$ . Линейному уравнению сопоставляется расширение Пикара-Вессио - минимальное дифференциальное поле $K \supset F$ , порождённое всеми решениями этого уравнения, при условии, что поле констант в не расширяется и совпадает с полем констант поля , в нашем случае - полем комплексных чисел $\mathbb{C}$ . Дифференциальной группой Галуа называется группа всех дифференциальных автоморфизмов поля , которые коммутируют с операцией дифференцирования и оставляют элементы базового поля тождественно неподвижными.

Отличие от классического случая заключается в следующем: если группа Галуа алгебраического уравнения всегда конечна, то есть вкладывается в симметрическую группу $S_{n}$ , то дифференциальная группа Галуа является линейной алгебраической группой над полем констант, то есть, вообще говоря, непрерывной. Само понятие разрешимости переносится на неё дословно, ведь тут та же цепочка вложенных подгрупп с абелевыми факторами, и на первый взгляд уточнять нечего.

Уточнение тем не менее понадобится, и вот по какой причине. В прологе мы ввели два близких класса: квадратуры и обобщённые квадратуры, различающиеся тем, разрешено ли пользоваться произвольными алгебраическими функциями. Этим двум классам отвечают два разных критерия, и во втором из них участвует не вся группа, а только её непрерывная часть.

Опишем это. Алгебраическая группа по определению задаётся системой полиномиальных уравнений на матричные элементы, и естественная топология здесь - это топология Зарисского, в которой замкнутыми объявляются множества нулей систем многочленов. Тут есть существенный для нас факт: в этой топологии алгебраическая группа распадается на конечное число связных кусков. Тот из них, который содержит единицу, обозначается $G^{0}$ и называется связной компонентой единицы; это нормальная подгруппа, а фактор-группа конечна и как раз нумерует остальные куски.

Теперь становится понятно, откуда берётся различие между двумя классами. Конечная фактор-группа - это то, что привозносится алгебраическими функциями: разрешив свободное использование радикалов, мы перестаём замечать конечную кусочность группы. Поэтому в обобщённых квадратурах препятствие сосредоточено целиком в непрерывной связной части $G^{0}$ , тогда как в обычных квадратурах под запрет попадает неразрешимость всей группы .

Теорема Пикар - Вессио - Колчина. Пусть поле констант алгебраически замкнуто. Линейное дифференциальное уравнение разрешимо в обобщённых квадратурах тогда и только тогда, когда связная компонента единицы $G^{0}$ его дифференциальной группы Галуа разрешима. Оно разрешимо в обычных квадратурах (без привлечения алгебраических функций) тогда и только тогда, когда разрешима вся группа , а её фактор-группа абелева.

Доказательство можно прочитать тут.

По сути своей формулировка теоремы концептуально повторяет классическую теорему Галуа для многочленов: та же идея разрешимости группы, но применённая к её связной компоненте. Стоит отметить, что в исторических работах Пикара и Вессио само понятие разрешимости в квадратурах не было формализовано алгебраически с достаточной строгостью, и именно введение Колчиным требования неизменности алгебраически замкнутого поля констант сделало эту теорему строгой.

Связь с треугольностью

Практическое содержание критерия Пикара - Вессио становится понятным благодаря некоторым результатам теории линейных алгебраических групп.

Теорема Ли - Колчина. Любая связная разрешимая линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем сопряжена подгруппе группы треугольных матриц.

Доказательство можно прочитать тут.

Из этой теоремы вытекает красивое и наглядное следствие для дифференциальных уравнений. Разрешимость ДУ в квадратурах равносильна тому, что его дифференциальная группа Галуа состоит из матриц, которые можно одновременно привести к треугольному виду в некотором постоянном комплексном базисе.

Из дифференциальной алгебры следует, что в этом случае и саму исходную систему линейных дифференциальных уравнений можно переписать в треугольном виде с помощью замены переменных. Такая треугольная система легко распутывается последовательно, шаг за шагом, где на каждом этапе нам требуется выполнить взятие интеграла.

Предлагаю проверить согласованность с нашими примерами. Матрица монодромии в примере 6 (уравнение Эйлера) изначально оказалась треугольной, и её группа разрешима, что соответствует факту интегрируемости уравнения. Пример 8 при $\nu=0$ демонстрирует противоположную ситуацию: дифференциальная группа Галуа уравнения Бесселя нулевого порядка изоморфна всей группе $SL_2(\mathbb{C})$ . Эта группа не является разрешимой и никак не приводится к треугольному виду, что и составляет доказательство невозможности выразить функцию через квадратуры над полем рациональных функций.

Часть 4. Топологический синтез: теория Хованского

В чем вопрос?

Теория Пикара - Вессио исчерпывающе отвечает на вопрос о разрешимости линейных дифференциальных уравнений, однако она обладает двумя важными особенностями. Во-первых, её алгебраический аппарат относительно тяжелый технически. Во-вторых, дифференциальная группа Галуа определяется абстрактно через автоморфизмы полей. Она оторвана от классической топологии исходной комплексной плоскости и не поддается непосредственному вычислению через обходы путей.

Появляется вопрос: нельзя ли и здесь, как в случае алгебраических уравнений, заменить сложную, чисто алгебраическую группу Галуа на наглядную, топологически определённую группу монодромии?

Ответ оказывается утвердительным для фундаментального класса систем, а именно для линейных уравнений с регулярными особыми точками (они же фуксовы точки). Прорыв в этой области, совершенный А. Г. Хованским, показал, что для таких систем топология накрытий не просто иллюстрирует алгебру Пикара - Вессио, а берет на себя её функции, превращая геометрические свойства путей в строгие критерии неразрешимости ДУ в квадратурах.

Строгое доказательство вы можете прочитать в работе Хованского, которая полностью посвящена топологической теории Галуа.

Фуксовы уравнения

Уравнение называется фуксовым (или уравнением с регулярными особыми точками), если все его особые точки регулярны. Геометрически это означает, что при приближении к любой особой точке решения растут не быстрее некоторой степени расстояния до неё. Уравнение Эйлера из примера 6 фуксово, а уравнение Эйри из примера 7 - нет.

Для фуксовых уравнений топологическая группа монодромии несёт в себе исчерпывающую информацию о дифференциальной группе Галуа. Математически это связано с помощью теоремы Хованского - Ильяшенко: дифференциальная группа Галуа регулярной системы совпадает с замыканием её группы монодромии в топологии Зарисского.

Это означает, что если мы возьмем непрерывную группу Галуа и попытаемся описать её с помощью алгебраических уравнений, то минимальным подходящим объектом окажется именно группа монодромии, дополненная своими предельными положениями. Простыми словами, все скрытые симметрии дифференциального уравнения полностью предопределены геометрией обычных обходов вокруг его особых точек.

Поскольку операция алгебраического замыкания сохраняет свойство разрешимости, справедлив следующий критерий.

Теорема. Топологический критерий разрешимости ДУ. Линейное дифференциальное уравнение фуксова типа (или система таких уравнений) разрешимо в квадратурах тогда и только тогда, когда связная компонента единицы замыкания Зарисского его группы монодромии является разрешимой. В частности, если сама группа монодромии разрешима, то уравнение разрешимо в квадратурах.

Доказательство этой теоремы все так же находится в фундаментальной работе Хованского.

Если перевести этот алгебраический критерий на язык чуть более простой, мы получим удивительно простое правило: чтобы узнать, решается ли уравнение через интегралы, достаточно изучить форму его римановой поверхности.

Группа монодромии - это дискретный скелет уравнения, который показывает, как переставляются листы его решений при обходе опасных точек. Замыкание Зарисского просто наращивает на этот скелет непрерывную оболочку, превращая набор отдельных шагов в плавные геометрические траектории.

Следствие из этой теоремы дает нам два важных практических правила:

Прямое правило о поиске решений: Если мы посчитали обходы путей, и получившаяся группа матриц оказалась разрешимой (то есть её можно привести к треугольному виду), мы можем гарантировать: уравнение точно решается по шагам через обычные интегралы.
Обратное правило: Если геометрия обходов заставляет листы решений перепутываться слишком сложно и хаотично, выдавая неразрешимую структуру вроде группы $S_{5}$ ), то между листами римановой поверхности возникают такие топологические узлы, которые в принципе невозможно распутать никаким числом интегралов.

Самое прекрасное здесь то, что нам больше не нужно пытаться угадывать хитрые замены переменных или искать формулы. Топология путей вокруг особых точек сама выносит уравнению вердикт: либо перед нами послушная цепочка интегралов, либо абсолютно неприступное математическое препятствия.

Тем самым для регулярных уравнений вопрос об алгебраической разрешимости в квадратурах полностью сводится к вычислению группы монодромии - объекта чисто топологического, определяемого исключительно геометрией обходов вокруг особых точек.

Попытка визуализации топологического критерия разрешимости ДУ

Топологический подход

Для полноценного обзора темы не могу не привести основной результат одномерной топологической теории Галуа, который состоит из утверждения куда более сильного, чем ранее приведённый критерий. Он касается не просто группы монодромии как абстрактного алгебраического объекта, но и самой геометрии разветвленного накрытия римановой поверхности функции над комплексной прямой.

Основной принцип топологической теории Галуа. Топология накрытия римановой поверхности функции над комплексной прямой может служить неустранимым препятствием к представимости этой функции в конечном виде - радикалами, элементарными функциями, квадратурами или обобщёнными квадратурами. Это не только объясняет, почему многие алгебраические и дифференциальные уравнения неразрешимы в конечном виде, но и даёт сделать выводы об их глобальной неразрешимости.

Причина превосходства топологического подхода заключается в следующем. Классические результаты, такие как теоремы Лиувилля или Пикара - Вессио, устанавливают неразрешимость функции в рамках строго фиксированного класса. Топологический метод Хованского же накладывает ограничения на любую аналитическую функцию с заданной топологией ветвления, независимо от того, каким именно уравнением она задана и из какого функционального класса берется её аналитическое выражение.

Ярким примером является знаменитый интеграла ошибок

$y = \int e^{-x^2} dx$ .

Теорема Лиувилля доказывает, что этот интеграл нельзя взять в элементарных функциях. Но что, если мы попытаемся выразить его как-то иначе? Например, разрешим себе использовать в формуле не только школьные функции, но и решения уравнения Бесселя, гипергеометрические функции или любые другие сложные конструкции, которые физики изобрели для решения своих задач?

Традиционный алгебраический подход Пикара - Вессио здесь не срабатывает, ведь чтобы проверить, можно ли выразить наш интеграл через некоторую новую физическую функцию , нам пришлось бы заново строить огромные расширения дифференциальных полей, искать их группы Галуа и каждый раз доказывать теорему с нуля для каждого нового класса функций.

Топологический подход Хованского решает эту задачу в разы быстрее. Мы смотрим не на

формулу $\int e^{-x^2} dx$ ,

а на её риманову поверхность. Группа монодромии этого накрытия - это бесконечная циклическая группа $\mathbb{Z}$ .

Теорема Хованского утверждает: геометрия этого накрытия настолько проста, что её в принципе можно распутать квадратурами. Но она же накладывает запрет на обратное. Если какая-то другая, пусть даже самая экзотическая и сложная функция , имеет неразрешимую группу монодромии (например, её листы переставляются как элементы группы $S_{5}$ ), то её невозможно выразить через наш интеграл ошибок, логарифмы или любые их комбинации. Топология накрытия функции физически сложнее и запутаннее, чем топология интеграла ошибок, и никакие алгебраические манипуляции, замены переменных или введения новых спецфункций не смогут распутать эти геометрические узлы.

Границы применимости

Важно обозначить границы применимости подхода.

Наглядное топологическое объяснение критерия разрешимости, через простые обходы путей, работает в полной мере для регулярных уравнений. Однако в общем случае, для уравнений с иррегулярными особыми точками, к которым относится, например, уравнение Эйри из примера 7, классической монодромии становится недостаточно. В окрестности иррегулярной бесконечности геометрия ветвления усложняется феноменом Стокса: решения ДУ меняют свое асимптотическое поведение в разных секторах комплексной плоскости. Чтобы восстановить топологический контроль над группой Галуа в иррегулярном случае, математикам приходится привлекать куда более изощренный аппарат, а именно так называемую дикую монодромию, учитывающую матрицы стоксовских переходов между секторами, что лишает метод первоначальной геометрической наглядности.

Кроме того, многомерная версия теории, распространяющая эти результаты на функции нескольких комплексных переменных, хоть и построена в фундаментальных работах А. Г. Хованского, требует привлечения аппарата современной алгебраической топологии и многомерного комплексного анализа. Все топологические конструкции и доказательства в многомерном пространстве становятся существенно сложнее одномерных.

Эпилог

Исходный исторический вопрос о разрешимости уравнения пятой степени в радикалах был решён в первой части средствами теории групп: препятствием к существованию формулы оказалась простота знакопеременной группы $A_{5}$ . Во второй части то же самое препятствие получило наглядное геометрическое выражение: неразрешимость проявилась как невозможность распутать петли накрытия, порождающие монодромию вокруг точек ветвления. Теорема об изоморфизме показывает, что эти два описания не просто согласуются, а структурно тождественны: группа Галуа и группа монодромии алгебраического уравнения изоморфны друг другу.

Эта работа показывает, что тот же самый фундаментальный принцип действует далеко за пределами чистой алгебры. Для линейных дифференциальных уравнений разрешимость в квадратурах определяется разрешимостью их дифференциальной группы Галуа, а для регулярных фуксовых уравнений структурой и разрешимостью алгебраического замыкания их группы монодромии, объекта чисто топологического. Более того, топологический подход дает результаты, недостижимые классическими алгебраическими средствами: универсальным препятствием к существованию явного ответа выступает сама топология разветвленного накрытия римановой поверхности решения над комплексной плоскостью.

Интересно заметить, каким образом на протяжении этого пути менялось само понятие разрешимости. Оно ни разу не было абсолютным: всякий раз речь шла о принадлежности решения строго определённому классу функций: радикальных выражений, элементарных функций или функций, представимых квадратурами. Разные классы дают разные ответы, и вопрос о разрешимости уравнения без указания этого контекста полностью лишён математического смысла.

Заметим в заключение, что разрешимость в конечном виде - это свойство чрезвычайно редкое. Общее уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, общий интеграл не берется в элементарных функциях, а случайное линейное дифференциальное уравнение неразрешимо в квадратурах. Явно решаемые случаи, которыми заполнены университетские учебники - редчайшие исключения, и мера их исключительности во всех перечисленных ситуациях измеряется одной и той же фундаментальной величиной, а именно топологическим устройством группы монодромии.

Использованная литература

Хованский А. Г. Топологическая теория Галуа. Разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде. — М.: МЦНМО, 2008. — 296 с.
Khovanskii A. Topological Galois Theory: Solvability and Unsolvability of Equations in Finite Terms. — Heidelberg: Springer Monographs in Mathematics, 2014. — 307 p.
Khovanskii A. Comments on J. F. Ritt's book "Integration in Finite Terms" // arXiv preprint arXiv:1908.02048. — 2019.
Ritt J. F. Integration in Finite Terms: Liouville's Theory of Elementary Methods. — New York: Columbia University Press, 1948. — 100 p.
Хованский А. Г. О разрешимости и неразрешимости уравнений в явном виде // Успехи математических наук. — 2004. — Т. 59, № 4(358). — С. 69–144. (В исходном тексте ошибочно указаны сквозные страницы сборника 661–736).
Picard É. Sur les groupes de transformations des équations différentielles linéaires // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. — 1883. — Vol. 96. — P. 1131–1134.
Vessiot E. Sur l'intégration des équations différentielles linéaires // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 1892. — Vol. 9. — P. 197–280.
Kolchin E. R. Algebraic matric groups and the Picard–Vessiot theory of homogeneous linear ordinary differential equations // Annals of Mathematics. — 1948. — Vol. 49, No. 1. — P. 1–42.
Crespo T., Hajto Z. Algebraic Groups and Differential Galois Theory. — Providence: American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 122, 2011. — 309 p.
Khovanskii A. G. Solvability of Equations by Quadratures and Newton's Theorem // Arnold Mathematical Journal. — 2018. — Vol. 4, No. 2. — P. 185–203. (arXiv:1808.06328).
Khovanskii A. G. Multidimensional topological Galois theory // arXiv preprint arXiv:1904.07228. — 2019.
Ильяшенко Ю. С., Хованский А. Г. Теория Галуа систем дифференциальных уравнений типа Фукса с малыми коэффициентами. — М.: Препринт ИПМ АН СССР, № 117, 1974. — 44 с.
Ильяшенко Ю. С., Хованский А. Г. Галуа-соответствие для систем линейных дифференциальных уравнений с регулярными особыми точками // Функциональный анализ и его приложения. — 1990. — Т. 24, вып. 4. — С. 91–92.
Gontsov R., Vyugin I. Solvability of linear differential systems with small exponents in the Liouvillian sense // Arnold Mathematical Journal. — 2015. — Vol. 1, No. 4. — P. 445–471. (arXiv:1312.2518).
Вьюгин И. В., Гонцов Р. Р. О размерности подпространства лиувиллевых решений фуксовой системы // Сибирский математический журнал. — 2017. — Т. 58, № 3. — С. 544–555.

Эффект бабочки на комплексной плоскости