В прошлой статье мы попробовали получить обычное трёхмерное пространство не как фундаментально заданную сцену, а как результат факторизации четырёхмерного евклидова прото-пространства (ПП) по замкнутой степени свободы. Регулярный изоклинный поток на $S^3_{}$ разбивает её на непересекающиеся $S^1_{}$ -фибры, а квадратичное прочтение их классов даёт плоское наблюдаемое $E^3_{}$ .

В четырёхмерном пространстве имеется шесть независимых бивекторных направлений. Для локального прочтения наблюдаемого пространства нам понадобилась только одна тройка. Что представляет собой оставшаяся?

Оказывается, здесь не требуется придумывать совершенно новую алгебру. После выбора локальной опоры шестимерный бивекторный слой естественно распадается на две тройки. Одна связана с наблюдаемыми пространственными направлениями, вторая замыкается как кватернионный сектор и непосредственно приводит к $Spin(3)\simeq SU(2)^{}_{}$ .

Причём сама идея такого разделения далеко не нова. В статье Дэвида Хестенеса «Spacetime Physics with Geometric Algebra» после выбора временного направления $\gamma_0^{}$ бивекторы STA разделяются на три относительных пространственных направления $\sigma_k=\gamma_k\gamma_0$ и три относительных бивектора $\sigma_i\sigma_j=\gamma_j\gamma_i$ . Хестенес прямо отмечает, что таким образом бивекторы пространства-времени распадаются на векторы и бивекторы относительного трёхмерного пространства. В той же геометрической алгебре спин электрона представляется уже не абстрактной матрицей, а пространственной бивекторной плоскостью.

Здесь мы попробуем сделать похожее разделение непосредственно внутри евклидовой $Cl_{(4,0)}^{}$ и состыковать его с полученной ранее фибровой картиной пространства.

Главный вопрос статьи можно сформулировать так:

Если одна половина бивекторного сектора четырёхмерного ПП получает прочтение наблюдаемого пространства, может ли вторая половина естественно нести спинорную структуру – и откуда тогда берётся характерный для спина возврат только после поворота на $4\pi$ ?

1. Шесть плоскостей четырёхмерного пространства

Рассмотрим ориентированное евклидово пространство

$V\simeq E^4$

с ортонормированным базисом

$e_0,e_1,e_2,e_3,\qquad e_\mu^2=1,$

и геометрической алгеброй

$Cl_{(4,0)}.$

Бивекторный сектор имеет размерность

$\dim\Lambda^2(E^4)=\binom42=6.$

В выбранном базисе его можно записать как

$\Lambda^2(E^4)=\operatorname{span}_{\mathbb R}\{e_{01},e_{02},e_{03},e_{23},e_{31},e_{12}\}.$

Шесть направлений здесь – это не шесть дополнительных координат. Каждый простой бивектор задаёт ориентированную двумерную плоскость вращения внутри исходного $E^4_{}$ .

До выбора какого-либо направления все шесть плоскостей находятся на равных правах.

1.1. Разложение относительно локальной опоры

Теперь выберем единичное направление

$N=e_0,\qquad N^2=1.$

Важно, что в конструкции предыдущей статьи $N^{}_{}$ не обязано быть глобально фиксированной осью всего ПП. Локально его можно связывать с касательной к выбранному замкнутому потоку. Пока нам существенно только наличие в рассматриваемой точке одного единичного направления.

Тогда

$V=\mathbb RN\oplus N^\perp,$

причём

$\dim N^\perp=3.$

Бивекторное пространство автоматически распадается:

$\boxed{\Lambda^2(E^4)=\mathcal S_N\oplus\mathcal R_N,}$

где

$\boxed{\mathcal S_N=N^\perp\wedge N=\operatorname{span}_{\mathbb R}\{e_1N,e_2N,e_3N\},}$

$\boxed{\mathcal R_N=\Lambda^2(N^\perp)=\operatorname{span}_{\mathbb R}\{e_{23},e_{31},e_{12}\}.}$

Первая тройка состоит из плоскостей, содержащих $N^{}_{}$ . Вторая – из плоскостей, целиком лежащих в ортогональном ему трёхмерном секторе.

Для краткости далее будем называть $\mathcal S_N^{}$ опоро-связанным сектором, а $\mathcal R_N^{}$ внутренним сектором.

Название «внутренний» пока не несёт отдельной физической гипотезы. Оно только подчёркивает, что эти плоскости не содержат выбранную опору.

1.2. Две тройки связаны дуальностью

Ориентацию $E^4_{}$ задаёт псевдоскаляр

$I_4=e_0e_1e_2e_3,\qquad I_4^2=1.$

Евклидова дуальность на бивекторах переводит одну тройку в другую. Например,

$(e_1N)I_4=\pm e_{23},$

с точностью до выбранного соглашения об ориентации и порядке множителей.

Аналогично,

$*_\delta:\mathcal S_N\longleftrightarrow\mathcal R_N.$

То есть разложение

не является произвольным разбиением шести координатных плоскостей. Обе тройки естественно спарены самой ориентированной четырёхмерной геометрией.

Уже здесь возникает интересная структура: “плоскости через $N^{}_{}$ ” $\longleftrightarrow$ “плоскости внутри $N^\perp_{}$ ”.

1.3. Почти такое же разделение у Хестенеса

У Хестенеса исходной является не евклидова $Cl_{(4,0)}$ , а STA – геометрическая алгебра пространства Минковского. После выбора временного направления $\gamma_0^{}$ он вводит относительные пространственные направления

$\sigma_k=\gamma_k\gamma_0.$

Хотя относительно трёхмерного пространства наблюдателя $\sigma_k^{}$ читаются как обычные векторы, в полной STA они являются бивекторами.

Их произведения дают вторую тройку:

$\sigma_i\sigma_j=i\sigma_k=\gamma_j\gamma_i.$

Хестенес специально обращает внимание на то, что таким образом шесть бивекторов пространства-времени распадаются на векторы и бивекторы относительного пространства $P^3_{}$ .

То есть сама структура

$\boxed{3_{\rm relative\ directions}+3_{\rm relative\ rotation\ planes}}$

является стандартной частью spacetime split в геометрической алгебре.

Наше отличие состоит в другом. Здесь обе тройки сначала рассматриваются как бивекторы исходного евклидова $E^4_{}$ , а наблюдаемое трёхмерное пространство не считается заранее данным: его глобальное происхождение связывается с факторизацией замкнутого потока.

2. Первая тройка: локальное прочтение наблюдаемого пространства

Подробно механизм построения пространства разбирался в предыдущей статье, поэтому здесь напомним только результат.

На каждой сфере

$S^3_\rho\subset E^4$

изоклинный поток разбивает точки на непересекающиеся замкнутые $S^1_{}$ -фибры:

$S^1 \hookrightarrow S^3 \longrightarrow S^2.$

После добавления радиального направления получаем

$(E^4\setminus\{0\})/S^1\simeq\mathbb R_+\times S^2\simeq E^3\setminus\{0\}.$

Наблюдаемая точка соответствует не отдельной точке ПП, а целой фибре.

2.1. Квадратичное прочтение

В кватернионной записи хопфовское отображение можно представить как

$X(q)=qJ\bar q,\qquad J^2=-1,$

где перемещение

$q\longrightarrow qe^{J\alpha}$

оставляет $X(q)^{}_{}$ неизменным:

$X(qe^{J\alpha})=qJ\bar q.$

При этом

Если обозначить

$\rho=|q|,\qquad R=\rho^2,$

то квадратичное прочтение даёт обычную радиальную координату наблюдаемого $E^3_{}$ .

2.2. Локальный касательный сектор

Глобальная факторизация имеет простой локальный аналог.

Пусть $N(q)^{}_{}$ – единичная касательная к фибре в точке $q^{}_{}$ . Тогда вертикальное направление уничтожается проекцией на пространство классов:

$d\pi(N)=0.$

Три ортогональных ему направления образуют $N^\perp$ .

Один из них является радиальным, два других – горизонтальными направлениями базы Хопфа. Вместе они дают локальное касательное пространство наблюдаемого $3D^{}_{}$ :

$T_XE^3\simeq N^\perp.$

Теперь каждому $x\in N^\perp$ поставим в соответствие опоро-связанный бивектор

$\boxed{X_N=xN.}$

Так как

получаем

Следовательно, три бивектора

$e_1N,\qquad e_2N,\qquad e_3N$

дают локальную Clifford-запись трёх пространственных направлений.

То есть результат предыдущей статьи можно сформулировать в двух взаимодополняющих формах:

$\boxed{\begin{array}{ccl}\text{глобально} &:& E^4/S^1\simeq E^3,\\\text{локально} &:& T_XE^3\simeq N^\perp\longrightarrow\mathcal S_N=N^\perp N.\end{array}}$

Первая тройка шестимерного бивекторного сектора тем самым получает понятное геометрическое прочтение.

Остаётся вторая.

3. Внутренний бивекторный сектор

Введём обозначения

$\Gamma_1=e_{23},\qquad\Gamma_2=e_{31},\qquad\Gamma_3=e_{12}.$

Для каждого из них

$\Gamma_i^2=-1.$

Кроме того, при согласованной ориентации они удовлетворяют кватернионной таблице с точностью до общего выбора знаков. Например, можно определить

$\mathbf i=-\Gamma_1,\qquad\mathbf j=-\Gamma_2,\qquad\mathbf k=-\Gamma_3,$

так что

$\mathbf i^2=\mathbf j^2=\mathbf k^2=-1,$

$\mathbf i\mathbf j=\mathbf k,\qquad\mathbf j\mathbf k=\mathbf i,\qquad\mathbf k\mathbf i=\mathbf j.$

Следовательно,

$\boxed{\operatorname{span}_{\mathbb R}\{1,\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3\}\simeq\mathbb H.}$

Внутренняя бивекторная тройка естественно несёт кватернионную структуру.

3.1. Что здесь связано с алгеброй Паули

Здесь полезно сделать одно уточнение, чтобы не смешивать объекты разной размерности.

Сама тройка

$\mathcal R_N=\operatorname{span}_{\mathbb R}\{\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3\}$

не является всей алгеброй Паули. У неё только три вещественные степени свободы.

Алгебра Паули как вещественная ассоциативная алгебра имеет размерность восемь:

$Cl_{(3,0)}\simeq \operatorname{Mat}_2(\mathbb C).$

Но её чётная подалгебра равна

$Cl^+_{(3,0)}=\operatorname{span}_{\mathbb R}\{1,e_{23},e_{31},e_{12}\}\simeq\mathbb H.$

Именно с ней совпадает наш внутренний роторный сектор:

$\boxed{\mathbb R\oplus\mathcal R_N\simeq Cl^+_{(3,0)}\simeq\mathbb H.}$

Единичные элементы этого сектора образуют

$Spin(3)\simeq SU(2).$

Полный изоморфизм

$Cl_{(3,0)}\simeq\operatorname{Mat}_2(\mathbb C)$

и связь с матрицами Паули мы уже подробно разбирали в предыдущей статье об алгебре Паули.

Здесь нам важна её более узкая часть: три внутренних бивектора являются ровно теми генераторами, из которых строятся пространственные роторы и $SU(2)^{}_{}$ .

3.2. Здесь Хестенес идёт ещё дальше

В «Spacetime Physics with Geometric Algebra» Хестенес использует ту же структуру не только для вращений.

После введения относительных направлений $\sigma_k^{}$ он показывает, что они генерируют всю относительную геометрическую алгебру $G_3^{}$ , то есть геометрическую форму алгебры Паули.

А в Дирак-секторе спин представляется непосредственно бивектором:

$\boxed{S=\frac{\hbar}{2}R\gamma_2\gamma_1\widetilde R.}$

Здесь $R^{}_{}$ – ротор, определяющий локальный кинематический репер, а

$\frac{\hbar}{2}\gamma_2\gamma_1$

является опорным представлением спиновой плоскости.

То есть формулировка

спин естественно живёт в бивекторном секторе геометрической алгебры

не является новой гипотезой настоящей модели. Это стандартная и физически содержательная часть подхода Хестенеса.

Новым для нашей конструкции является вопрос о происхождении самого этого сектора: можно ли понимать его как вторую, внутреннюю половину того же шестимерного пространства бивекторов евклидова ПП, первая половина которого уже получила пространственное прочтение.

4. Спинор как внутренний ротор

Общий элемент внутренней кватернионной подалгебры имеет вид

$Q=a+b_1\Gamma_1+b_2\Gamma_2+b_3\Gamma_3.$

Его реверсия:

$\widetilde Q=a-b_1\Gamma_1-b_2\Gamma_2-b_3\Gamma_3.$

Для единичного ротора

$Q\widetilde Q=1,$

то есть

Следовательно, пространство единичных внутренних роторов имеет топологию

$\boxed{S^3.}$

Одновременно

$\boxed{S^3\simeq SU(2)\simeq Spin(3).}$

Это стандартный геометрический смысл пространственного спинора.

У Хестенеса нормированный ротор также является “spinor operator”: пространственные направления и спиновая ось получаются его сэндвич-действием на фиксированный репер. Поэтому представление спинора ротором здесь не вводится специально ради модели – оно непосредственно наследуется из ГА.

4.1. Две разные 3-сферы

Разведём два разных смысла 3-сферы.

В предыдущей статье $S^3_\rho$ возникла как геометрическая сфера точек исходного четырёхмерного пространства:

$q\in E^4,\qquad |q|=\rho.$

Здесь другая $S^3_{}$ появляется как множество единичных внутренних роторов:

$Q\in\mathbb R\oplus\mathcal R_N,\qquad Q\widetilde Q=1.$

Математически обе являются трёхмерными сферами и обе допускают кватернионную запись, но это разные физические объекты.

В предлагаемой модели появляется возможность только связать их: нормированное четырёхкомпонентное состояние ПП может одновременно задавать внутренний ротор. Но именно это отождествление остаётся дополнительным шагом модели.

Для вывода спинорной геометрии нам пока достаточно самого внутреннего $S^3\simeq SU(2)^{}_{}$ .

5. Хопфово прочтение спинора

Выберем внутри внутреннего сектора единичный бивектор

Например,

$J=\Gamma_3.$

Для единичного ротора $Q^{}_{}$ построим

$\boxed{n(Q)=QJ\widetilde Q.}$

Так как ротор сохраняет норму,

То есть $n^{}_{}$ принадлежит двумерной сфере единичных направлений внутренней тройки.

Это обычное роторное представление направления.

5.1. Фазовая орбита

Теперь умножим $Q^{}_{}$ справа на $e^{J\alpha}$ .

Получаем

$Q_\alpha=Qe^{J\alpha}.$

Но

$\begin{aligned}n(Q_\alpha)&=Qe^{J\alpha}Je^{-J\alpha}\widetilde Q\\&=QJ\widetilde Q\\&=n(Q).\end{aligned}$

Следовательно, все состояния

$\boxed{Qe^{J\alpha}}$

задают одно и то же наблюдаемое направление $n^{}_{}$ .

Получаем знакомую структуру

$\boxed{S^1\hookrightarrow S^3\longrightarrow S^2.}$

То есть геометрия чистого спинора Паули имеет ту же топологическую форму, что и фибрация Хопфа:

$\boxed{S^3/S^1=S^2.}$

В квантовой механике тот же результат обычно читается как факторизация нормированного двухкомпонентного спинора по общей фазе с получением сферы Блоха.

Здесь эта конструкция записана непосредственно через внутренние роторы геометрической алгебры.

5.2. Что является фиброй, а что – спином

Фибра

$\{Qe^{J\alpha}\}$

сама по себе не является спином.

Единичный ротор

$Q\in S^3$

задаёт полное поднятое спинорное состояние.

Его проекция

$n=QJ\widetilde Q$

задаёт наблюдаемое направление.

А $S^1_{}$ -фибра представляет внутреннюю фазовую свободу всех поднятых состояний, которые имеют одну и ту же проекцию.

Коротко:

Объект	Геометрическое представление
внутренний спинор	$Q\in S^3\simeq SU(2)$
внутренние генераторы	$\Gamma_i\in\mathcal R_N$
фазовая орбита	$Qe^{J\alpha}$
фибра
наблюдаемое направление	$n=QJ\widetilde Q\in S^2$
группа роторов	$Spin(3)\simeq SU(2)$

Подробно

Разберём конструкцию буквально по слоям.

Начнём с единичного внутреннего ротора

$Q=a+b_1\Gamma_1+b_2\Gamma_2+b_3\Gamma_3,\qquad Q\widetilde Q=1.$

Четыре вещественных коэффициента удовлетворяют

поэтому все такие $Q^{}_{}$ образуют трёхмерную сферу

$Q\in S^3\simeq SU(2).$

Это пространство полных поднятых спинорных состояний.

Теперь выберем один единичный внутренний бивектор

Для каждого состояния $Q^{}_{}$ построим

$\boxed{n(Q)=QJ\widetilde Q.}$

Роторное сэндвич-действие сохраняет квадрат, поэтому

$n^2=QJ^2\widetilde Q=-1.$

Следовательно, $n^{}_{}$ является единичным направлением во внутреннем трёхмерном бивекторном пространстве. Множество всех таких направлений образует сферу

Если добавить физическую калибровку величины спина, то соответствующий спиновый бивектор можно записать

$S=\frac{\hbar}{2}n=\frac{\hbar}{2}QJ\widetilde Q.$

Таким образом, $Q^{}_{}$ и $n^{}_{}$ – разные объекты:

$\boxed{Q\in S^3\quad\longrightarrow\quad n(Q)\in S^2.}$

$Q^{}_{}$ содержит полное спинорное состояние, а $n^{}_{}$ – только его наблюдаемое направление.

Фибра через одну точку Q

Теперь зафиксируем $Q^{}_{}$ и будем умножать его справа на элементы однопараметрической подгруппы, порождённой тем же $J^{}_{}$ :

$Q(\alpha)=Qe^{J\alpha}.$

Поскольку

$e^{J\alpha}=\cos\alpha+J\sin\alpha,$

можно раскрыть:

$\boxed{Q(\alpha)=Q\cos\alpha+QJ\sin\alpha.}$

$Q^{}_{}$ и $QJ^{}_{}$ являются двумя ортогональными единичными направлениями в четырёхмерном пространстве коэффициентов ротора. Поэтому при изменении $\alpha^{}_{}$ точка $Q(\alpha)^{}_{}$ движется в фиксированной двумерной плоскости

$\operatorname{span}\{Q,QJ\}$

и остаётся на единичной $S^3_{}$ .

Следовательно,

$\boxed{\{Qe^{J\alpha}\mid0\leq\alpha<2\pi\}}$

является большой окружностью на $S^3_{}$ .

Это и есть хопфовская фибра, проходящая через $Q^{}_{}$ .

На ней удобно отметить четыре точки:

$\begin{array}{ccl}\alpha=0&:&Q(0)=Q,\\\alpha=\dfrac{\pi}{2}&:&Q\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=QJ,\\\alpha=\pi&:&Q(\pi)=-Q,\\\alpha=\dfrac{3\pi}{2}&:&Q\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-QJ,\\\alpha=2\pi&:&Q(2\pi)=Q.\end{array}$

То есть $Q^{}_{}$ и $-Q^{}_{}$ находятся на противоположных сторонах одной и той же фибры.

Почему вся окружность соответствует одному направлению спина

Теперь посмотрим, что происходит с $n^{}_{}$ при движении по этой окружности.

Для произвольного $\alpha^{}_{}$ :

$\begin{aligned}n(Q(\alpha))&=Qe^{J\alpha}J\widetilde{Qe^{J\alpha}}\\&=Qe^{J\alpha}Je^{-J\alpha}\widetilde Q.\end{aligned}$

Но $J^{}_{}$ коммутирует с любой функцией самого себя, поэтому

$e^{J\alpha}Je^{-J\alpha}=J.$

Следовательно,

$\boxed{n(Q(\alpha))=QJ\widetilde Q=n(Q).}$

Таким образом, при движении по всей окружности $S^1_{}$ полное состояние $Q(\alpha)^{}_{}$ меняется, но его проекция $n^{}_{}$ остаётся одной и той же.

Именно поэтому фибра не является траекторией спина по наблюдаемой сфере.

Напротив:

фибра представляет множество спинорных состояний с одним и тем же наблюдаемым направлением спина.

Поэтому хопфовское отображение буквально факторизует фазовую окружность:

$\boxed{S^3/S^1\simeq S^2.}$

Что означает здесь слово «фаза»

В обычной двухкомпонентной записи спинора Паули умножение всего спинора на общую комплексную фазу

$\psi\longrightarrow e^{i\alpha}\psi$

не меняет соответствующую точку сферы Блоха.

В роторной записи ту же роль выполняет

$Q\longrightarrow Qe^{J\alpha}.$

Поэтому $S^1_{}$ -координату $\alpha^{}_{}$ можно читать как внутреннюю фазовую степень свободы поднятого состояния.

Станем, однако, различать две формулировки.

Стандартный математический факт состоит в том, что

$Q\quad \text{и}\quad Qe^{J\alpha}$

имеют одну и ту же проекцию $n^{}_{}$ .

Дополнительным физическим шагом настоящей модели было бы утверждение, что эта фазовая окружность представляет не только абстрактную $U(1)^{}_{}$ -свободу спинора, но и реальный замкнутый внутренний поток ПП.

Само геометрическое построение этого пока не требует.

Почему состояния и всё же нельзя просто склеить

Особенно интересны две антиподальные точки

$Q\quad\text{и}\quad-Q.$

Обе дают одно направление:

$(-Q)J(-\widetilde Q)=QJ\widetilde Q.$

Поэтому если измеряется только направление спина, различить их невозможно.

Но как поднятые спинорные состояния они различаются знаком:

$Q\neq-Q.$

Этот знак может проявиться при сравнении двух когерентных путей, потому что физически значимой становится уже не абсолютная, а относительная фаза.

Именно поэтому $Q^{}_{}$ и $-Q^{}_{}$ нельзя заранее отождествить как одну и ту же точку полного пространства спинорных состояний.

На сфере $S^3_{}$ это действительно две разные точки – причём противоположные точки одной фибры.

Итого

Получается три уровня одной конструкции:

Уровень	Объект	Смысл
поднятое состояние	$Q\in S^3$	полный нормированный спинор
фазовая свобода	$Qe^{J\alpha}$	движение вдоль -фибры
проекция	$n=QJ\widetilde Q\in S^2$	наблюдаемое направление спина

Иными словами,

$\boxed{\text{спинор}\neq\text{фибра}\neq\text{направление спина}.}$

Спинор – это конкретная точка $Q^{}_{}$ на $S^3_{}$ .

Фибра – вся большая окружность

$\{Qe^{J\alpha}\},$

проходящая через эту точку.

Наблюдаемое направление спина – одна точка

$n=QJ\widetilde Q$

на $S^2_{}$ , общая для всей этой окружности.

Именно эта геометрия понадобится в следующем разделе: при пространственном вращении на $2\pi$ наблюдаемое направление уже возвращается к себе, тогда как поднятое состояние проходит только половину своей внутренней фазовой окружности и оказывается в антиподальной точке $-Q^{}_{}$ .

6. Откуда берётся половинный угол

Теперь можно перейти к главной особенности спинора.

Пусть наблюдаемое направление

$n=QJ\widetilde Q.$

Рассмотрим физическое вращение вокруг этой же оси на угол $\theta^{}_{}$ .

Соответствующий ротор имеет вид

$R_n(\theta)=e^{n\theta/2}.$

Используя

$n=QJ\widetilde Q,$

получаем

$R_n(\theta)=Qe^{J\theta/2}\widetilde Q.$

Теперь подействуем этим ротором на спинорное состояние:

$Q'=R_n(\theta)Q.$

Пояснение

$Q^{}_{}$ сам является ротором.

Допустим, фиксированный внутренний репер содержит $J^{}_{}$ , а текущее состояние определяется $Q^{}_{}$ :

$n=QJ\widetilde Q.$

То есть $Q^{}_{}$ отвечает на вопрос:

каким ротором нужно повернуть опорное состояние $J^{}_{}$ , чтобы получить физическое состояние $n^{}_{}$ ?

Теперь дополнительно повернём всю физическую конфигурацию ротором $R^{}_{}$ .

Тогда новое $n'^{}_{}$ должно быть

$n'=Rn\widetilde R.$

Подставим исходное выражение для $n^{}_{}$ :

$n'=R(QJ\widetilde Q)\widetilde R.$

Сгруппируем множители:

$n'=(RQ)J(\widetilde Q\widetilde R).$

Но

$\widetilde{RQ}=\widetilde Q\widetilde R.$

Поэтому

$n'=(RQ)J\widetilde{(RQ)}.$

Значит, новый спинорный ротор имеет вид

$\boxed{Q'=RQ.}$

Вот откуда возникает одностороннее действие ротора на спинор.

Тогда

$\begin{aligned}Q'&=Qe^{J\theta/2}\widetilde Q Q\\&=Qe^{J\theta/2}.\end{aligned}$

Следовательно,

$\boxed{\alpha_{\rm fibre}=\frac{\theta_{\rm spatial}}{2}.}$

Пространственный угол и внутренняя фазовая координата входят с коэффициентом два.

Это не отдельный квантовый постулат. Половинный угол появляется из самого роторного представления $Spin(3)\to SO(3)^{}_{}$ .

6.1. Поворот на 2 пи

Положим

$\theta=2\pi.$

Тогда

$\alpha=\pi$

$Q'=Qe^{J\pi}=-Q.$

Получаем

$\boxed{2\pi:\qquad Q\longrightarrow -Q.}$

Но наблюдаемое направление при этом уже вернулось в исходное состояние:

$\begin{aligned}n(-Q)&=(-Q)J(-\widetilde Q)\\&=QJ\widetilde Q\\&=n(Q).\end{aligned}$

То есть

$\boxed{2\pi:\qquad n\longrightarrow n,\qquad Q\longrightarrow -Q.}$

Внутреннее поднятое состояние перешло в антиподальную точку $S^3_{}$ , хотя его проекция на $S^2_{}$ уже совпала с исходной.

6.2. Полный возврат после 4 пи

Теперь

$\theta=4\pi$

даёт

$\alpha=2\pi.$

Поэтому

$Q'=Qe^{2\pi J}=Q.$

Итак,

$\boxed{4\pi_{\rm spatial}\longrightarrow 2\pi_{\rm fibre}\longrightarrow Q.}$

В таком виде известная $4 \pi^{}_{}$ -периодичность спин- получает совершенно геометрическую запись.

После пространственного оборота на $2 \pi^{}_{}$ состояние оказывается в антиподальной точке поднятого $S^3_{}$ . Только второй оборот завершает полный замкнутый цикл.

6.3. Уточнение: не всякий поворот идёт вдоль одной хопфовской фибры

Вывод выше специально использовал вращение вокруг самого направления $n^{}_{}$ .

Для произвольной оси пространственный поворот действует на $Q^{}_{}$ левым умножением другим ротором, и траектория на $S^3_{}$ в общем случае не обязана совпадать с одной фиксированной хопфовской фиброй.

Однако топологический результат остаётся тем же:

$Spin(3)\simeq SU(2)$

является двойным накрытием

Поэтому любой замкнутый путь в $SO(3)^{}_{}$ , соответствующий одному полному $2 \pi^{}_{}$ -обороту, поднимается в $SU(2)^{}_{}$ в путь от $Q^{}_{}$ к $-Q^{}_{}$ .

И только два таких оборота дают замкнутый путь в самом $SU(2)^{}_{}$ .

Хопфовская фибра здесь даёт особенно наглядное представление половинного угла для вращения вокруг собственной спиновой оси, а общая $4 \pi^{}_{}$ -периодичность является свойством двойного накрытия $Spin(3)\to SO(3)^{}_{}$ .

7. Почему это называется спином 1/2

До сих пор мы получили половинный угол, но ещё не ввели физическую размерность углового момента.

У Хестенеса спиновый бивектор записывается как

$S=\frac{\hbar}{2}R\gamma_2\gamma_1\widetilde R.$

Единичный бивектор

$R\gamma_2\gamma_1\widetilde R$

задаёт ориентированную спиновую плоскость, а коэффициент

$\frac{\hbar}{2}$

задаёт физическую магнитуду.

В нашей внутренней записи естественный аналог имеет вид

$\boxed{S=\frac{\hbar}{2}QJ\widetilde Q.}$

Тогда

$|S|=\frac{\hbar}{2}.$

Таким образом, здесь полезно разделить две вещи:

спинорная геометрия и половинный угол следуют из $Spin(3)\simeq SU(2)^{}_{}$ ;
физическая величина углового момента требует калибровки масштабом $\hbar/2$ .

То есть топология объясняет, почему состояние преобразуется как спин-, а постоянная Планка задаёт размерность и физическую величину спина.

Никакого вывода численного значения $\hbar$ из геометрии здесь пока нет.

8. Пространство и спин как две половины бивекторного слоя

Теперь можно собрать конструкцию целиком.

После выбора локальной опоры

$\Lambda^2(E^4)=\mathcal S_N \oplus \mathcal R_N.$

Первая половина:

$\boxed{\mathcal S_N= N^\perp\wedge N}$

получает локальное пространственное прочтение:

$x\in N^\perp \longrightarrow xN\in\mathcal S_N.$

Глобально этому соответствует построенная ранее факторизация

$E^4 / S^1 \simeq E^3.$

Вторая половина:

$\boxed{\mathcal R_N = \Lambda^2(N^\perp)}$

является сектором внутренних пространственных вращений.

После добавления скаляра она образует

$\boxed{ \mathbb R\oplus\mathcal R_N \simeq Cl^+_{(3,0)} \simeq \mathbb H,}$

а её единичные элементы –

$\boxed{Spin(3)\simeq SU(2).}$

Именно здесь живёт роторное представление спинора.

Получается схема

$\boxed{\Lambda^2(E^4)=3_{\rm spatial}+3_{\rm internal}.}$

Но теперь это уже не простое совпадение числа компонент.

Опоро-связанный сектор представляет направления наблюдаемого пространства, а внутренний сектор представляет плоскости вращения этого относительного трёхмерного слоя.

Такое сопряжение очень близко к “spacetime split” Хестенеса: у него три относительных направления $\sigma_k^{}$ и три относительных бивектора $\sigma_i\sigma_j^{}$ вместе составляют шестимерный бивекторный сектор STA. Спин при этом является именно бивекторной величиной.

Поэтому саму идею

пространство и спин связаны с двумя взаимодополнительными тройками единого четырёхмерного бивекторного сектора

не обязательно подавать как произвольную гипотезу.

Строго у Hestenes показана соответствующая структура в STA. В настоящей модели новым является её перенос в евклидово ПП и связывание первой тройки с ранее построенной Хопф-факторизацией пространства.

8.1. Евклидова дуальность снова связывает две стороны

Напомним:

$*_\delta:\mathcal S_N\longleftrightarrow\mathcal R_N.$

Поэтому пространственная и внутренняя тройки не только имеют одинаковую размерность, но и непосредственно переходят друг в друга под действием четырёхмерной дуальности.

Можно представить это схематически:

$\boxed{\begin{array}{ccc}\mathcal S_N&\xleftrightarrow{\quad *_\delta\quad}&\mathcal R_N\\\text{пространственные плоскости}&&\text{внутренние плоскости вращения}\\E^3&&Spin(3)\simeq SU(2).\end{array}}$

В этой форме связь между пространством и спином уже не требует введения отдельного абстрактного внутреннего трёхмерного пространства: необходимые три генератора присутствуют во второй половине того же $\Lambda^2(E^4)^{}_{}$ .

При этом из одной только алгебры ещё не следует, что любой физический спин обязан быть буквально движением фундаментальной точки по этому внутреннему сектору. Алгебра говорит более строго: нужный носитель $Spin(3)^{}_{}$ уже существует внутри геометрии и имеет именно ту структуру, которая используется для спинора.

9. Две фибрации с одной и той же геометрией?

Здесь возникает ещё одно любопытное совпадение.

В предыдущей статье хопфовская структура появилась как геометрическая факторизация нормированной $S^3_{}$ исходного ПП:

$S^1\hookrightarrow S^3_{\rm proto}\longrightarrow S^2_{\rm space}.$

Теперь точно такая же топология возникает для единичных внутренних роторов:

$S^1\hookrightarrow S^3_{\rm spinor}\longrightarrow S^2_{\rm spin}.$

В первом случае факторизация уменьшает фундаментальную размерность и даёт направление наблюдаемого пространства.

Во втором общая фаза спинора факторизуется и остаётся наблюдаемое направление спина.

Схематически:

$\boxed{\begin{array}{ccccc}S^3_{\rm proto}&/&S^1&=&S^2_{\rm space},\\S^3_{\rm spinor}&/&S^1&=&S^2_{\rm spin}.\end{array}}$

Математическая форма одинакова.

Нужно ли считать эти две $S^3_{}$ физически одним и тем же объектом – отдельный вопрос. Пока достаточно более осторожного результата: геометрия ПП и геометрия спинора Паули используют один и тот же хопфовский механизм.

Это даёт естественное направление дальнейшей работы: проверить, можно ли связать внутреннюю фазу замкнутого прото-потока с фазой внутреннего ротора без дополнительного дублирования степеней свободы.

10. Что здесь является известной математикой, а что добавляет модель

Чтобы не смешивать разные уровни утверждений, подведём границу.

К стандартной геометрической алгебре относятся:

шестимерность $\Lambda^2(E^4)^{}_{}$ ;
разложение относительно выбранного $N^{}_{}$ на три плоскости, содержащие $N^{}_{}$ , и три плоскости внутри $N^\perp$ ;
кватернионная структура $\mathbb R\oplus\Lambda^2(N^\perp)$ ;
изоморфизмы

$Cl^+_{(3,0)}\simeq\mathbb H,\qquad Spin(3)\simeq SU(2);$

представление нормированного пространственного спинора ротором;
двойное накрытие

$Spin(3)\rightarrow SO(3);$

переход

$Q\rightarrow -Q$

после подъёма одного $2 \pi^{}_{}$ -оборота;

полный возврат после $4 \pi^{}_{}$ .

Отдельно работа Хестенеса даёт нам уже физически интерпретированную связь между relative space, Pauli algebra и спиновым бивектором. В частности, в STA три относительных направления и три относительных бивектора являются двумя частями одного бивекторного сектора, а спин задаётся ориентированной бивекторной плоскостью.

К специфическим предположениям настоящей модели относятся:

фундаментальность плоского евклидова $E^4_{}$ как прото-пространства;
получение физического $E^3_{}$ через факторизацию замкнутого потока;
интерпретация $\mathcal S_N^{}$ как локального бивекторного образа именно этого эмергентного пространства;
интерпретация второй евклидовой тройки $\mathcal R_N^{}$ как физического внутреннего носителя спинорного состояния;
возможное отождествление геометрической $S^3_{}$ прото-потока с $S^3\simeq SU(2)^{}_{}$ внутреннего ротора.

Последний пункт особенно важен: математически обе структуры существуют, но их физическая идентификация требует дополнительного механизма.

11. Промежуточный итог

Начав с бивекторного слоя четырёхмерного евклидова пространства,

$\Lambda^2(E^4),$

после выбора локальной опоры мы получили естественное разложение

$\boxed{\Lambda^2(E^4)=\mathcal S_N\oplus\mathcal R_N.}$

Первая тройка связана с локальным представлением наблюдаемого пространства:

$\boxed{\mathcal S_N\longrightarrow E^3.}$

Вторая образует кватернионный роторный сектор:

$\boxed{\mathbb R\oplus\mathcal R_N\simeq\mathbb H\simeq Cl^+_{(3,0)},}$

а значит,

$\boxed{Spin(3)\simeq SU(2).}$

Нормированный внутренний ротор

$Q\in S^3$

задаёт спинорное состояние, а его проекция

$n=QJ\widetilde Q$

лежит на $S^2_{}$ .

При вращении вокруг собственной спиновой оси пространственный угол и внутренняя фазовая координата связаны как

$\boxed{\alpha=\frac{\theta}{2}.}$

Поэтому

$\boxed{2\pi:\quad Q\rightarrow -Q,}$

$\boxed{4\pi:\quad Q\rightarrow Q.}$

Половинный спин здесь не вводится как необычное правило поведения трёхмерного вектора. Он является следствием того, что физическое вращение действует на поднятое -состояние, а не непосредственно на его -проекцию.

Полученная картина позволяет читать две половины бивекторного сектора как две тесно связанные структуры:

$\boxed{\text{пространственное прочтение}\quad+\quad\text{внутреннее роторное прочтение}.}$

Причём аналог такого разделения уже присутствует в STA Хестенеса; предлагаемая здесь часть состоит прежде всего в попытке получить обе стороны из одной евклидовой геометрии ПП и связать пространственную половину с Хопф-факторизацией замкнутого потока.

Литература и предыдущие части

David Hestenes, Spacetime Physics with Geometric Algebra, American Journal of Physics, 71, 691–714 (2003).
Garret Sobczyk, Spinors in Spacetime Algebra and Euclidean 4-Space, 2017.
Заметки на полях: геометрия замкнутых потоков – предыдущая часть о факторизации и появлении наблюдаемого $3D^{}_{}$ .
Предыдущая статья об алгебре Паули – изоморфизм $Cl_{(3,0)}\simeq\operatorname{Mat}_2(\mathbb C)$ и опоро-зависимое прочтение Pauli algebra.

Заметки на полях: геометрия спина