Понадобилось две тысячи лет, чтобы найти причины отсутствия √7

Введение

Несколько лет назад в Интернете завирусилась эта картинка. Это очень простой сдвоенный куб с шестью отрезками. Волшебным образом оказывается, что они образуют красивую последовательность корней чисел от одного до шести. Корень единицы — это просто ребро куба. Корень двух — диагональ грани. Корень трёх — диагональ всего куба. И так далее.

Всё это замечательно, но математики склонны к жадности. Возможно, удастся удлинить эту последовательность? Давайте добавим ещё один куб.

Итак, мы получили квадратные корни 9, 10 и 11. Но у нас остались разрывы, а разрывы — это не очень хорошо. Отсутствуют семёрка и восьмёрка. Возможно, стоит добавить куб снизу.

Отлично, это уже прогресс. Мы получили корень восьми, но где же корень семи? Конечно, мы можем добавлять новые кубы и получать новые длины, но как бы мы ни старались, корня семи мы так никогда и не встретим. И общую причину отсутствия квадратного корня семи и ещё кучи других чисел определить не так-то просто. Эта одна из самых давних загадок в математике.

Вопрос о том, сколько конкретно чисел можно найти в таких составленных из кубов телах, не давал покоя математикам в течение двух тысяч лет. Благодаря ему появилась область, сегодня известная как аддитивная теория чисел. Давайте же изучим этот вопрос и узнаем, какой секрет кроется в этом сдвоенном кубе.

В чём проблема √7?

Взглянем на этот виральный сдвоенный куб под другим углом. Начнём с доказательства того, что корень семи на самом деле не может быть длиной отрезка, находящегося внутри этого или любого другого тела, составленного из единичных кубов. Но что это вообще значит? О каких отрезках мы здесь говорим? Каждый из этих шести отрезков начинается и заканчивается в вершине одного из кубов. Именно это свойство нам и нужно.

Гораздо удобнее будет рассуждать, если поместить сдвоенный куб в трёхмерную систему координат. Ключевое здесь то, что вершины единичных кубов соответствуют точкам с целочисленными координатами.

Это позволяет нам полностью отказаться от кубов и переформулировать задачу: можно ли найти две точки в трёхмерном пространстве с целочисленными координатами, расстояние между которыми равно корню из 7?

Возьмём две такие точки (они называются точками решётки) с целочисленными координатами и . Расстояние между ними определяется по этой формуле, основанной на теореме Пифагора:

Чтобы быть равным квадратному корню из 7, выражение под корнем само должно быть равно 7. А поскольку все эти разности целочисленные, можно переименовать их и переписать выражение:

То есть хоть эта задача и геометрическая по своей природе, решение мы найдём алгебраически. Чтобы исключить квадратный корень 7 как возможное расстояние между двумя точками решётки, нам достаточно доказать, что 7 не может быть записано в виде суммы квадратов трёх целых чисел.

И доказать это оказалось на удивление легко. Проще всего начать с проверки того, какие вообще квадраты возможны. Первые три — это ноль, единица и четвёрка. Пока всё в порядке. Но теперь давайте взглянем на три в квадрате. Девятка уже больше семи, поэтому для нас бесполезна. И все остальные квадраты после неё тоже больше. То есть единственные квадраты, которые можно использовать — это 0, 1 и 4.

Теперь нам нужно подобрать комбинацию из трёх этих чисел (можно с повторами), чтобы они в сумме давали семь. Возможно ли это? Во-первых, нам нужно использовать хотя бы одну четвёрку, потому что нули и единицы дадут нам максимум три. Но нельзя использовать две четвёрки, потому что это даст восемь, то есть больше, чем нужно. Значит, четвёрка должна быть ровно одна. Тогда лучшее, чего мы можем добиться — это 4 + 1 + 1, то есть 6, а этого мало. Следовательно, 7 невозможно записать в виде суммы трёх квадратов целых чисел.

Подведём итог: мы доказали, что квадрат семи невозможно найти в подобных конструкциях из кубов. Можно было бы на этом остановиться, но как настоящий математик я хочу большего. Семь — это не сумма трёх квадратов, но в виде такой суммы можно представить числа с 1 по 6. Естественно, возникает вопрос: какие числа можно разбить на такие квадраты, а какие нельзя? Какой вид имеют эти числа? Есть ли у них паттерн или всё хаотично, как в случае с простыми числами?

На самом деле, на этот вопрос есть красивый короткий ответ, но его так сложно доказать, что он обуревал умы величайших математиков: Эйлера, Гаусса, Лежандра и Диофанта. Чтобы полностью понять его историю, нам нужно вернуться в давнее прошлое.

Античные многоугольники

Пифагорейцы считали очень важной теорию чисел и, в частности, те её части, которые связаны с геометрией. Из-за этого они начали интересоваться треугольными, квадратными и в целом многоугольными числами, получаемыми при геометрических построениях. Например, можно построить треугольник со стороной 2 всего из трёх точек. Для треугольника со стороной 3 потребуется шесть точек, потому что мы добавляем новый ряд из трёх точек, и так далее.

Именно поэтому второе треугольное число — это 3, третье — 6, а четвёртое — 10. Также мы определим первое, как 1, а нулевое, как 0. Это соответствует и нашим интуитивным представлениям. Сторона 1 означает одну точку (да, одна точка — это треугольник, и убедить меня в обратном вам не удастся). Ну а треугольник со стороной 0 — это просто отсутствие точек, потому что треугольника нет.

Аналогичным образом можно определить квадратные числа, пятиугольные числа и так далее.

Квадратные числа особенно интересны, потому что представляют собой квадраты целых чисел: 1, 4, 9, 16 и так далее. Пифагорейцы явно нашли что-то любопытное.

За годы они и многие другие математики обнаружили множество тождеств, связывающих многоугольные числа. Например, сумма двух последовательных треугольных чисел равна квадратному числу, а 8, умноженное на любое треугольное число плюс единица тоже равно квадратному числу.

Затем, уже гораздо позже, в 17-м веке, тоже увлекавшийся этой темой Клод Гаспар Баше де Мезириак подошёл к таким числам с другой стороны, придумав так называемое предположение Баше. Оно гласит следующее: для записи любого натурального числа в виде суммы квадратов требуется не более чем четыре квадрата. И это стало поворотной точкой в нашей истории.

Давайте обратим здесь внимание на число 4. Оптимально ли оно? Возможно, достаточно будет трёх квадратов? Ну, как мы уже видели, некоторые числа невозможно представить в виде суммы трёх квадратов, например, семь. Но есть ли ещё подобные числа? В третьем веке нашей эры Диофант доказал, что таких чисел бесконечно много. И доказал он это, даже к этому не стремясь.

Диофант приходит на помощь

В своей главной работе «Арифметика» Диофант решил множество задач, которые сформулировал сам. Нас же интересует задача 11 из пятой книги. Задача заключается в поиске способа разбиения числа 1 на три части, такие, что при прибавлении к ним заданного числа они становились рациональным квадратом.

При сложении этих трёх квадратов мы получим эквивалентную формулировку этой задачи: нам нужны три рациональных квадрата, каждый из которых больше , в сумме дающие .

И это уже походит на нашу исходную задачу. Решая свою задачу, Диофант частично решил и нашу. Он констатировал, что число здесь не может иметь вид . Так как квадраты целых чисел относятся к рациональным квадратам, его результат также показывает, какие из чисел невозможно записать в виде суммы трёх квадратов целых чисел. Подставив это в , мы получим, что числа вида невозможно представить в виде трёх квадратов. И это действительно так, что мы сейчас и докажем. Чтобы сделать это, нам нужен один простой инструмент — модульная арифметика. Может показаться, что это нечто запутанное, но на самом деле это всего лишь иной способ записи деления с остатком, где нам важен только сам остаток. Представим деление числа на 8 с остатком. Это записывается так:

В модульной арифметике мы бы сказали, что конгруэнтно числу по модулю 8.

Наши числа имеют вид , то есть при делении их всех на 8 получается остаток 7. Иными словами, конгруэнтно числу 7 по модулю 8. Для нас это означает, что если бы такое число было суммой трёх квадратов, то сумма тоже должна быть конгруэнтной 7 по модулю 8. И здесь начинается интересное: помните наше доказательство, что 7 нельзя представить в виде суммы трёх квадратов? Почти такие же рассуждения используются и здесь. Необходимо отметить, что квадрат целого числа по модулю 8 может быть конгруэнтным только 0, 1 или 4.

Возьмём любой квадрат, обозначим его . Поделим на 8 с остатком, чтобы превратился в . Раскроем скобки и сгруппируем всё, что делится на 8.

Эти сгруппированные члены теряются по модулю 8, что оставляет нам , конгруэнтное только .

Отлично. Теперь нам нужно лишь проверить разные остатки от деления на 8. Их всего восемь: это целые числа от 0 до 7. При делении их всех по модулю 8 мы получим именно то, что я и обещал: каждый квадрат целого числа, вне зависимости от его величины, при делении на 8 даёт остаток 0, 1 или 4.

Теперь возьмём любые три квадрата и сложим их. Остаток суммы зависит только от остатков частей, и каждый из них равен 0, 1 или 4

То есть нам достаточно проверить, можно ли получить из них 7 по модулю 8. Наибольшая возможная сумма здесь равна 4 + 4 + 4, то есть 12. Следующее число, дающее остаток 7 — это 15, то есть больше, чем нужно. Единственный способ получить остаток 7 — попасть непосредственно в число 7. Но именно это мы исключили выше. Значит, сумма трёх квадратов просто не может давать остаток 7 при делении на 8. Но каждое число вида как раз и даёт такой остаток. Следовательно, мы пришли к противоречию. Диофант действительно был прав.

На самом деле, это доказательство демонстрирует нечто большее: обратите внимание, что мы так ни разу и не использовали число 3, которое прячется внутри 24. То есть число 24 в полученном Диофантом результате можно заменить на 8, и всё по-прежнему будет работать. Следовательно, ни одно число вида не является суммой трёх квадратов.

Это заметил Декарт много лет спустя после публикации результатов Диофанта. А Баше де Мезириак (да, тот самый, придумавший предположение Баше), заметил, что даже условия Декарта недостаточно, поскольку числа вида тоже нельзя представить как сумму трёх квадратов.

Но даже оба семейства чисел не раскрывают здесь полной картины. Есть гораздо больше натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы трёх квадратов. И первым заметившим это был Ферма.

Ферма и его чёртовы поля

Пьер Ферма — один из тех математиков, которые занимались множеством разных тем и сформулировали множество гипотез (одна из них известна нам, как великая теорема Ферма). И задача о трёх квадратах не стала исключением. Но, что необычно для него, здесь он внёс достаточно масштабный вклад.

Ферма заметил нечто потрясающее. Два семейства, о которых мы только что говорили, декартово Декарта и Баше де Мезириака, тайно связаны. Второе — это всего лишь первое, умноженное на 4. Ферма заявил, что можно умножать не только на 4, но и на любую степень четвёрки, и свойство при этом всё равно сохраняется. По сути, это следует из одного очень простого утверждения: если разбивается на три квадрата, то тоже. Чтобы доказать это, воспользуемся теми же трюками модульной арифметики, что и выше, только теперь с 4 вместо 8. Чётное число в квадрате равно , поэтому при делении на 4 оно даёт остаток 0. Нечётное число в квадрате равно .

То есть оно даёт остаток 1, и это единственные варианты, а значит, на этот раз остаток зависит только от чётности возводимого в квадрат числа.

Предположим, что можно разбить на три квадрата:

Левая часть делится на 4, поэтому три остатка справа должны в сумме давать число, кратное 4. Из всех нулей и единиц единственный способ достичь этого — выбрать все три нуля, а это значит, что все три квадрата чётные. А значит, можно записать их в таком виде:

Затем мы делим всё на 4, получая таким образом представление .

Импликация устроена так, что можно просто прочитать её в обратном направлении. Но при этом нужно всё инвертировать.

То есть если нельзя записать в виде суммы трёх квадратов, то тоже нельзя. И это означает, что это невозможно для , и так далее.

А поскольку числа нельзя записать как сумму трёх квадратов, нельзя это сделать и для чисел вида

Благодаря этому простому наблюдению Ферма обобщил эти два результата на целое семейство чисел, которые невозможно записать в виде суммы трёх квадратов, и заявил, что это единственное такое семейство. Проблема в том, что Ферма — это Ферма. Он любил давать пустые обещания и, как можно догадаться, он не доказал этого полностью, доказав только уже описанную нами часть. Ферма так и не смог определить, почему все остальные числа, не относящиеся к этому семейству, можно представить в виде трёх квадратов. И, откровенно говоря, меня это совершенно не удивляет: не потому, что Ферма любил жаловаться на слишком узкие поля книги, а потому, что даже простейшее доказательство этой теоремы безумно сложно понять. Исходное доказательство, полученное в 18-м веке, поглотило умы всех великих математиков той эпохи.

Лучшие из лучших

Эта гипотеза, сформулированная Ферма в 1636 году, привлекла умы величайших математиков 17-го и 18-го веков. Декарт и Лагранж решили её частные случаи, а Эйлер проделал огромный объём работы по этой теме. Например, он обнаружил связь между случаем 8m + 3 и треугольными числами, которой, к сожалению, не смог воспользоваться. Спустя 66 лет после Эйлера он доказал теорему Ферма для треугольных чисел. Эйлер также переписывался с Лагранжем и Гольдбахом, и совместно они сильно приблизились к окончательному доказательству. Но пересёк финишную черту Лежандр, при помощи методики перебора наконец-то доказав теорему о трёх квадратах. Именно поэтому мы теперь называем эту теорему его именем.

Этот результат стал кульминацией более чем двух тысяч лет упорного труда, проделанного сотнями, если не тысячами математиков. Это прекрасная история, но в ней есть и место для грусти, ведь модульная арифметика ещё далека от финального решения: всё проделанное нами выше может лишь исключать числа, но не создавать представление.

А прекрасна она потому, что уточнённое доказательство, которым математики пользуются сегодня и которое было опубликовано Дирихле в 1850 году, использует невероятно изящные механизмы.

Первый его ингредиент — это теорема, знаменитая тем, что была доказана более чем 240 разными способами: квадратичный закон взаимности.

Второй ингредиент, понадобившийся Дирихле — это его собственная теорема об арифметических прогрессиях, гласящая, что если у и нет общих делителей, то последовательность для бесконечного количества содержит бесконечное количество простых чисел. Третьим и последним ингредиентом стали трёхчленные квадратичные формы и вся построенная на них теория.

Каждый из ингредиентов сложнодоказуем, но такой была цена доказательства теоремы Лежандра о трёх квадратах. Поэтому, к сожалению, я не смогу показать в статье полное доказательство, иначе её чтение растянулось бы на несколько часов. Однако это не значит, что мы уже закончили.

Эврика

Как ни удивительно, теорема о трёх квадратах — не последняя глава этой истории. Последней будет теорема Ферма о многоугольных числах. Для понимания контекста нам нужно вернуться к Баше де Мезириаку, который, как мы говорили выше, предположил, что любое число можно записать в виде суммы четырёх квадратов. Ранее я намеренно опустил одну подробность: Ферма ухватился за его результат и сформулировал гораздо более общую гипотезу. Цитата: «Я первым обнаружил очень красивую и абсолютно обобщённую теорему: о том, что любое число представляет собой сумму не более чем трёх треугольных чисел, любое число — это сумма не более чем четырёх квадратов, любое число — это сумма не более чем пяти пятиугольных чисел и так далее, до бесконечности». Но потом он оставил забавную приписку: «Я не могу предоставить вам здесь доказательства, потому что оно зависит от множества загадочных свойств чисел, которым я намереваюсь посвятить целую книгу». Спойлер: он так этого и не сделал, и завершать эту работу пришлось другим математикам.

Мы начнём с конца. Проблему пятиугольных чисел и чисел более высокой «угольности» решил в 1813 году великий Коши. Случай с четырьмя квадратами разрешил в 1770 году Лагранж. Но нас интересует доказательство о трёх треугольных числах. Напомню, что мы хотим доказать, что любое натуральное число можно представить в виде трёх треугольных чисел. Мы сформулировали это в начале статьи, но алгебраического определения я так и не дал. n-ное треугольное число — это количество точек в треугольнике со стороной , то есть 1 + 2 + 3 и так далее до последнего ряда из точек.

Согласно одной из историй, Гаусс в детстве сказал, что для нахождения формулы суммы нужно просто удвоить её и суммировать в обратном порядке.

Как мы видим, сумма каждого столбца здесь равна , и таких столбцов ровно . То есть общая сумма равна . А поскольку мы вычислили двойную сумму, нужно просто поделить её на 2.

Это и есть алгебраическое определение n-ного треугольного числа.

Первым, кто доказал, что любое число можно записать как сумму трёх треугольных чисел, был сам Гаусс (кто же ещё?). И мы с вами отследим последовательность его рассуждений. Всё сводится к тому, что доказательство возможности представления числа трём треугольными числами эквивалентно тому, что мы уже знаем. Запишем в виде суммы трёх треугольных чисел:

Дальше нам нужно сделать кое-что довольно непривычное: умножить обе части на 8, а затем прибавить 3. Слева это просто тройка, но справа мы разобьём её на единицы и распределим по членам. И вот тут возникает тот момент озарения («Эврика!»), который возник у Гаусса при создании этого доказательства. Эти три выражения представляют собой квадраты целых чисел, что связывает их с теоремой о трёх квадратах Лежандра.

Более того, это работает и в обратную сторону: помните, что квадрат при делении на 4 может давать остаток лишь 0 и 1? Ну а даёт остаток 3. И единственный способ получить тройку из нулей и единиц — это . То есть во всех представлениях в виде суммы трёх квадратов все три квадрата нечётные, а значит, мы всегда можем записать их в виде , и , а затем выполнить все вычисления в обратном порядке.

Следовательно, натуральное число является суммой трёх треугольных чисел тогда и только тогда, когда можно записать в виде трёх квадратов целых чисел.

И это означает, что мы можем на этом закончить: теорема Лежандра о трёх квадратах говорит нам, что единственные числа, для которых такое представление отсутствует, имеют вид , а никогда не будет одним из них. То есть всегда можно разбить на три квадрата, а всегда разбивается на три треугольных числа.

В этом и заключается теорема Гаусса. И на этом заканчивается история подготовки к доказательству теоремы Ферма о многоугольных числах.

Конец (?)

На этом наше путешествие завершается... Или нет? В основном мы говорили о случае с тремя квадратами, но как насчёт двух или четырёх квадратов? Как подойти к решению этих задач? Кроме того, представление целых чисел в виде сумм многоугольных чисел — классическая задача аддитивной теории чисел, а это отдельная область математики, полная потрясающих результатов. Даже моё собственное будущее связано с ней, потому что в октябре я начинаю заниматься докторской по теме, в которой постоянно использую теорему Лежандра о трёх квадратах. И это хорошая иллюстрация того, что путь далеко не закончен. Кто бы мог подумать, что дурацкая картинка из Интернета может скрывать в себе столько математики?