Этот текст родился благодаря отзывам о предыдущей моей статье «Осень. Срочно дайте телефон Перельмана — я доказал гипотезу Римана». Выявлено, что там «ни… чего не понятно, но о-очень интересно»
В моей интерпретации простые числа — это независимые оси многомерного пространства, а составные — адреса, возникающие из произведений по этим осям. На числовой прямой такие произведения образуют покрытие: составные адреса заняты, а в пределах доказанной безопасной границы пустоты соответствуют простым. Каждое новое простое добавляет ось и расширяет возможности покрытия.
Миры. Это миры, в которых есть только ограниченный, конечный набор чисел — и простых, и составных. В привычном нам натуральном ряду конца нет: за любым N следует N + 1. А здесь у каждого мира есть граница. Последнее простое в его проверенной границе становится опорой следующего мира — тоже конечного, но уже с новой границей. В основной статье миры сильно упрощались: из них выкидывалась ось двойки, то есть рассматривались только нечётные числа. Было и ещё более сильное упрощение: из описания убирались уже учтённые векторы простых из предыдущих миров, если их тени в рассматриваемом окне уже были покрыты другими. Само покрытие при этом сохранялось. Это облегчает рассмотрение конкретного мира и понимание его границ.
(Многомерные) миры-вспышки — это способ продвигаться по простым числам крупными шагами. Из известного простого строится мир с заранее обоснованной границей: произведения известных простых закрывают составные адреса, а оставшиеся пустоты в этой области соответствуют новым простым. Находим крайнее из них, подтверждаем составность всех чисел справа до границы и используем найденное простое как опору следующего мира. Такой переход перескакивает через промежуточные опоры — отсюда «вспышка».
Промежуточные опоры — это простые числа между текущей опорой и выбранным крайним простым в окне. Каждое могло бы стать началом следующего мира, но метод вспышек перескакивает сразу к крайнему, не строя отдельный мир для каждого промежуточного простого.
Миры-вспышки организуют это расширение крупными шагами находим крайнее простое внутри неё, подтверждаем отсутствие простых справа до границы и от найденной опоры строим новый мир. Вместе они образуют цепочку проверяемых переходов крупными шагами. Это геометрический способ представить устройство и поиск простых чисел.
Что именно мы предсказываем. Из опоры 673 (простое) заранее получаем безопасную границу 2023 (составное). Но число 2017 (простое) ещё нужно найти: проверить кандидатов или построить покрытие. Сертификаты затем доказывают, что справа до границы других простых нет. Это точный поиск в заранее обоснованной области, а не получение адреса простого непосредственно из формулы границы.
Другие методы тоже умеют точно находить новые простые из известных. Если известны все простые до B, вычёркивание их кратных позволяет точно определить простые вплоть до B2: у любого составного в этом диапазоне есть простой делитель не больше B. Этот принцип используется в сегментных решетах. .
На нашем примере:
конечный мир с ограничением множителя m ≤ B гарантирует покрытие до 2023;
известные простые до 673 позволяют классическим способом классифицировать числа до 452 929.
Это сравнение дальности гарантированной классификации, не скорости: обрабатывать большой диапазон целиком может быть совершенно невыгодно.
Где тогда преимущество нашей связки? В стоимости конкретной задачи: найти крайнее простое в заданном окне, сохранить проверяемые свидетельства справа и перейти дальше, не перечисляя все промежуточные простые. Именно здесь нужны сравнения времени, памяти и объёма проверок при одинаковом результате.
Поэтому сейчас корректно говорить: «точный метод переходов между опорами с сертификатами». А «самый сильный метод предсказания простых» — пока нет.
Но не всё так печально! Наш метод заранее определяет область точного поиска, но не выдаёт адрес следующего простого без вычислений. Например, опора 673 задаёт безопасную границу 2023; простое 2017 внутри неё ещё нужно найти, а составность оставшихся чисел справа — подтвердить.
Другие методы тоже позволяют точно находить новые простые по уже известным. Поэтому практическое преимущество не в обещании «предсказывать лучше всех», а в стоимости конкретной задачи.
И здесь у нас уже есть измеренный результат. Мы сравнили наш кандидатный поиск с сегментным решетом на одном маршруте: 28 переходов между опорами, 31 короткое окно, каждое — не более 15 нечётных адресов. Задача одинакова: найти крайнее простое и подтвердить отсутствие простых справа до границы окна. Наш вариант дополнительно сохраняет конкретные делители составных чисел.
Медианное время всего маршрута по 12 запускам каждого алгоритма:
Алгоритм | Первый опыт, мс | Повторный опыт, мс |
|---|---|---|
Наш кандидатный поиск candidate_prime | 263,506 | 294,488 |
Сегментное решето segmented | 713,200 | 826,170 |
Миллер—Рабин с 12 фиксированными основаниями mr12_candidates | 2,035 | 2,219 |
В парном сравнении наш поиск оказался быстрее включённого сегментного решета примерно в 2,8 раза: медианы отношений времени — 2,788 и 2,760. Здесь сначала сравнивались времена внутри каждого раунда, затем бралась медиана этих отношений.
Но третий участник — Миллер—Рабин — оказался значительно быстрее обоих. В проверенном диапазоне меньше 264 использованный вариант является точным, а не вероятностной уступкой ради скорости.
Таким образом, выигрыш установлен для конкретной Python-реализации сегментного решета и конкретной задачи на коротких окнах. Оба движка работают под одним контроллером переходов между мирами. Это не сравнение со всеми решётами и не доказательство превосходства над оптимизированными C/C+±библиотеками.
Программное обеспечение и исходники · Подробный протокол, результаты и команды воспроизведения.
Авторская геометрическая интерпретация распределения простых через модель покрытия и комплексную траекторию их накопления
Слева показано устройство покрытия: произведения известных простых осей занимают составные адреса — зелёные клетки. В пределах проверенной границы незанятые места, выделенные синими кружками, соответствуют простым числам.
В центре показано накопление простых по мирам. Одна ступень — переход к следующему миру, а её высота — количество простых, добавившихся за этот переход. Поэтому ступени неодинаковы: в показанном примере прибавляется 2, затем 5, 12 и 27 простых.
Справа те же простые представлены направленными векторами. Каждый новый мир добавляет суммарный вклад своей новой части, продолжая синюю комплексную траекторию. Рядом проходит оранжевая кривая: гладкое накопление по логарифмической плотности с тем же правилом взвешивания.
Это три связанных представления: где остаются простые, сколько их прибавляется с ростом миров и какую общую траекторию создают их вклады. Близость двух кривых показывает согласование накоплений, но не их точное равенство.
Эта конструкция позволяет точно описать и результат замены гладкого эталона. Обозначим через H(N) накопленное число сертифицированных пустот между 3 и N, учитывая каждый адрес только один раз. Если в сравнении, связанном с RH, поставить этот геометрический счётчик вместо логарифмического интеграла, остаток становится тождественно нулевым:
![[\pi(N)-\pi(3)]-H(N)=0.](https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/e/e3/e39/e39ca57469e46968ce5c4ee3495245d7.svg)
Это равенство следует из доказанного соответствия пустот простым: геометрическое покрытие и арифметический счёт дают один и тот же результат. Мы получаем точное дискретное представление, а не приближение гладкой линией.
Однако замена эталона меняет само условие сравнения. Нулевой остаток между двумя точными счётчиками не оценивает их отклонение от логарифмического интеграла — именно такой контроль требуется для классической RH. Поэтому результат подстановки — доказанное тождество для геометрического счётчика, но не доказательство RH
Основная статья: «Осень. Срочно дайте телефон Перельмана — я доказал гипотезу Римана».
