Комментарии 272
Для повышения градуса про случайные числа, начинающиеся с единицы. Если мы возьмем например базу данных высот зданий и переведем из метров в футы, то распределение сохранится.
Наверно это связано с тем, что случайные наборы данных — грубо говоря — распределены равномерно скорее на логарифмической шкале, чем на линейной.
Отсюда следует, что количество чисел между 10 и 20 ближе к количеству чисел на отрезке 50..100, чем к количеству чисел от 90 до 100.
Отсюда следует, что количество чисел между 10 и 20 ближе к количеству чисел на отрезке 50..100, чем к количеству чисел от 90 до 100.
Я полагаю, многие величины, выражаемые в неотрицательных числах, распределены по Пуассону.
В целом первые цифры чисел распределены по закону Бенфорда, который выполняется при условии что данные распределены экспоненциально.
Также по какой-то причине (которую сейчас объяснить не могу), когда мы берём «случайные» числа — т.е. не распределённые по какому-то наперед заданному закону — а из разных источников (газеты, интернет, ...) — закон Бенфорда тоже имеет место.
Про пуассоновское распределение сейчас ничего не скажу, голова едва работает и не могу понять как оно связано с экспоненциальным.
Также по какой-то причине (которую сейчас объяснить не могу), когда мы берём «случайные» числа — т.е. не распределённые по какому-то наперед заданному закону — а из разных источников (газеты, интернет, ...) — закон Бенфорда тоже имеет место.
Про пуассоновское распределение сейчас ничего не скажу, голова едва работает и не могу понять как оно связано с экспоненциальным.
Несколько другое. См. здесь пункт 6: www.pseudology.org/state/katastropha_models.htm
Есть даже целые курсы математики, обильно приправленные подобными удивительными фактами.
Одна из самых популярных серий — www.koob.ru/boss/
Одна из самых популярных серий — www.koob.ru/boss/
Во-первых, буква «e» представляет собой иррациональное число (с бесконечным количеством цифр)
Число 0.3333… тоже имеет бесконечное количество цифр, однако оно национально.
Число 0.3333… тоже имеет бесконечное количество цифр, однако оно национально.
> Число 0.3333… [...] — национально.
В смысле бутылки на троих, что ли?
В смысле бутылки на троих, что ли?
*рационально
И первый абзац — цитата была. С телефона писать неудобно.
И первый абзац — цитата была. С телефона писать неудобно.
А 0,9999(9) строго равно 1. Тоже удивительно.
Доказательство:
1 = ( 1 / 3 ) * 3 = (0.33333333333) * 3 = 0.9999999999999999
1 = ( 1 / 3 ) * 3 = (0.33333333333) * 3 = 0.9999999999999999
0.33(3) сходится к 1/3, а 0.99(9) сходится к 1, но не равно, а строго меньше.
Сколько будет один поделить на три?
1/3
Наверное, вы правы :) я не силён в математике
1/3 и 0.33(3) разве не одно и тоже?
0.33(3) воспринимается как последовательность, стремящаяся к 1/3 снизу. Ставить знак "=" между последовательностью и рациональным числом рука не поднимается. Есть статья, в которой говорится, что знак "=" принято ставить.
0.33(3) ? 1/3
Какой знак должен стоять на месте "?"? Есть варианты "->", "<", "=", из которых я согласен только на первые два.
Полностью аналогичный пример:
1/2 + 1/4 + 1/8 +… ? 1
В данном случае можно, не задумываясь, ставить "->" или "<". С 0.333… то же самое, но из-за формы записи 0.333… больше похоже на число, чем на последовательность.
0.33(3) ? 1/3
Какой знак должен стоять на месте "?"? Есть варианты "->", "<", "=", из которых я согласен только на первые два.
Полностью аналогичный пример:
1/2 + 1/4 + 1/8 +… ? 1
В данном случае можно, не задумываясь, ставить "->" или "<". С 0.333… то же самое, но из-за формы записи 0.333… больше похоже на число, чем на последовательность.
Кстати.
С другой стороны, сумма этого ряда — 0.(1)2, но прежде чем начнутся споры о «0.(1)2 -> к 1, но не равно», предлагаю сначала разобраться-таки с 0.(0).
1/2 + 1/4 + 1/8 +… ? 1В данном случае можно, не задумываясь, ставить "=". Вам даже, простигосподи, википедия это скажет:
С другой стороны, сумма этого ряда — 0.(1)2, но прежде чем начнутся споры о «0.(1)2 -> к 1, но не равно», предлагаю сначала разобраться-таки с 0.(0).
С 1/2 + 1/4 + 1/8 +… и с e неудачные примеры. Оспаривается не тот знак равно. Чтобы опровергнуть равенство 0.99(9) и 1, нужно доказать, что 0.99(9) нужно рассматривать исключительно как последовательность, а не её (рациональную) сумму. Из этого сделать вывод, что 0.99(9) < 1, так как каждый член последовательности меньше 1. А как рассматривать 0.99(9) — вопрос соглашений.
А вдруг окажется, что 1/2+1/4+...=0.(9)? Или, например, 5*0.(9)-4? Как вы будете различать эти случаи?
А 1-1/2+1/4-1/8+… это что? 0.(6)? Или 1-0.(3)? При вашем подходе все эти объекты могут оказаться различными.
А если знак равенства ставить нельзя, любая «последовательность» индивидуальна, то непонятно, как строить математику.
А 1-1/2+1/4-1/8+… это что? 0.(6)? Или 1-0.(3)? При вашем подходе все эти объекты могут оказаться различными.
А если знак равенства ставить нельзя, любая «последовательность» индивидуальна, то непонятно, как строить математику.
Мне кажется, чтобы строить математику, достаточно пределов последовательностей, записанных в явном виде, тем более если записи вида 0.99(9) считаются другой формой записи для пределов этих последовательностей.
достаточно пределов последовательностей, записанных в явном виде
Я потерялся. Кто записан в явном виде — пределы или последовательности?
Насколько я понимаю, элементом своей конструкции вы хотите сделать сходящуюся последовательность (или не обязательно сходящуюся)? Проблема в том, что если для двух последовательностей A и B сколь угодно далеко найдутся индексы x и y такие, что A[x]<B[x], A[y]>B[y], то вам будет очень сложно сказать, какая из них больше (например, ряд 3/2-3/4+3/8-3/16+… и ряд 1+0+0+0+0+...). А если вы решите объявить их равными, но вас запутают, взяв две последовательности, равные третьей, но не равные между собой. Здесь нужен неглавный ультрафильтр, а он, к сожалению, конструктивно не строится.
Возьмите лучше упорядоченное поле рациональных функций. Там тоже есть положительные элементы, меньшие любого положительного рационального числа, но с ними всё гораздо понятнее.
0.(3) это десятичная запись числа 1/3, а не просто сходящийся ряд. Так что строго равно.
А про 0.(9) разные есть подходы. Половина учебников считает, что это альтернативная запись числа 1. А другая половина явно запрещает бесконечный хвост девяток, так что для них это вообще не число.
А про 0.(9) разные есть подходы. Половина учебников считает, что это альтернативная запись числа 1. А другая половина явно запрещает бесконечный хвост девяток, так что для них это вообще не число.
0.9999(9) не относится к рациональным числам (иначе мы априорно считаем его равным 1). С этой точки зрения, 0.9999(9) не число.
Если конвертировать 0.(9) в обыкновенную дробь с помощью геометрической прогрессии, то получится 1, как и из 0.(3) получится 1/3. Так что я не понимаю почему так делать нельзя.
www.youtube.com/watch?v=TINfzxSnnIE
Вот вам сразу пачка доказательств, правда на английском. В начале видео может показаться, что видео несерьезное, но дальше вполне валидные и строгие рассуждения.
А сам канал как раз делает то, что автору топика (и оригинала) сделать (ИМХО) не удалось — показывает математику с интересной стороны.
Вот вам сразу пачка доказательств, правда на английском. В начале видео может показаться, что видео несерьезное, но дальше вполне валидные и строгие рассуждения.
А сам канал как раз делает то, что автору топика (и оригинала) сделать (ИМХО) не удалось — показывает математику с интересной стороны.
Спасибо за канал!
Оказалось, что в Youtube полно видео, доказывающих что 0.9999=1 и наоборот. Опровержения собраны и на этом канале: www.youtube.com/watch?v=wsOXvQn3JuE
Я теперь вижу, что тема сложная и в ней просто запутаться. Теперь я склоняюсь к тому, что с одной стороны равенства число, а с другой стороны не число, а предел последовательности (0.9, 0.99, 0.999, ...). Если обобщить этот вопрос, то он будет звучать так: можно ли считать периодические десятичные дроби считать числами и считать их равными рациональным числам, к которым они стремятся?
Оказалось, что в Youtube полно видео, доказывающих что 0.9999=1 и наоборот. Опровержения собраны и на этом канале: www.youtube.com/watch?v=wsOXvQn3JuE
Я теперь вижу, что тема сложная и в ней просто запутаться. Теперь я склоняюсь к тому, что с одной стороны равенства число, а с другой стороны не число, а предел последовательности (0.9, 0.99, 0.999, ...). Если обобщить этот вопрос, то он будет звучать так: можно ли считать периодические десятичные дроби считать числами и считать их равными рациональным числам, к которым они стремятся?
Видео по ссылке — первоапрельская шутка =)
Можно считать и нужно. Очень просто доказывается, что любая периодическая дробь — рациональное число. Числа никуда не стремятся, и бесконечные десятичные дроби не определяются как пределы таких последовательностей (хотя конечно пределы им равны).
Можно считать и нужно. Очень просто доказывается, что любая периодическая дробь — рациональное число. Числа никуда не стремятся, и бесконечные десятичные дроби не определяются как пределы таких последовательностей (хотя конечно пределы им равны).
Очень просто доказывается, что любая периодическая дробь — рациональное число.Я представляю, как доказать, что последовательность, образованная любой периодической дробью, стремится к рациональному числу. Но поставить между периодической дробью и рациональным числом знак равенства не решаюсь. Если это сделать, то дальше можно ничего не доказывать.
Если каждому элементу одного множества (периодические дроби) можно сопоставить элемент из другого множества (рациональные числа) и наоборот, из этого нельзя взять и сделать вывод, что множества совпадают, а соответствующие элементы равны. То есть, нужно отдельно это место прорабатывать или принимать на веру, что не принято делать в науке, так как по вопросам веры может не быть единого мнения. Недаром
Половина учебников считает, что это альтернативная запись числа 1. А другая половина явно запрещает бесконечный хвост девяток, так что для них это вообще не число.
Все доказательства того 0.9999(9) = 1, которые я за сегодня видел, включают принятие на веру не менее неочевидных вещей. Например, что 8.999(9)1 = 9 (см. ниже) или что периодические дроби можно считать рациональными числами. Когда доказывают теорему Пифагора через теорему косинусов, возникает похожее чувство, но там хоть ясно, в чём подвох. А с вопросом 0.9999(9) =/< 1 так и не разобрались.
8.999(9)1Вон из класса. Откуда единица после бесконечного числа девяток? Где вообще это «после»? Для единицы в этом числе разряда не существует.
Подробнее алгебраическое доказательство:
x = .(9)Обе части равенства умножаем на 10
10x = 10*.(9) 10x = 10*.9(9) 10x = 9.(9)Вычитаем из обеих частей равенства x
10x - x = 9.(9) - x 9x = 9.(9) - .(9) 9x = 9Делим обе части равенства на 9
x = 1 .(9) = 1Где вообще это «после»? Для единицы в этом числе разряда не существует.
Вы сомневаетесь в существовании ординала ω? Можно написать и 0.((9))1, тогда единица будет в позиции ω2 :)
8.999(9)1Согласен, запись бессмысленная. Если заменить на 8.9999(9), то это всё равно не 9. 1 была дописана как результат умножения, чтобы объяснить, почему там не будет 9.
В переходе
9x = 9.(9) - .(9)
9x = 9было допущено, что множества периодических чисел и рациональных чисел совпадают (а иначе как число из одного класса перешло в другой?). Как я писал, в этом-то и состоит (для меня, по крайней мере) вся проблема.Если каждому элементу одного множества (периодические дроби) можно сопоставить элемент из другого множества (рациональные числа) и наоборот, из этого нельзя взять и сделать вывод, что множества совпадают, а соответствующие элементы равны.Таким образом, этот переход будет некорректным, пока не будет доказано, что множества совпадают (точнее, что периодические дроби можно относить к рациональным числам).
Если это доказано или принято на веру, то остальное доказывается в два счёта.
Правильно я понимаю, что для вас эти две проблемы равнозначны?
1. Равно ли 0.9999999(9) числу 1
2. Равно ли 1.00000000(0) числу 1
1. Равно ли 0.9999999(9) числу 1
2. Равно ли 1.00000000(0) числу 1
Да
То есть при каких-то условиях 0.000000000000000000(0) может не равняться нулю?
Да. Это те самые условия, при которых 0.999(9) может не равняться 1.
И какие это условия?
Если вкратце, это будут условия, при которых периодические дроби отождествляют с рациональными числами (получается тавтология).
Ну, как раз при таком отождествлении-то как раз 0.(9)=1. В комментариях же доказали. (Как раз они отождествляются.)
Вот если периодические десятичные дроби и рациональные числа — разные объекты (очень сложно рассуждать на эту тему, честное слово), я не уверен. Но в этом случае вообще придётся дать новое определение вещественному числу.
Вот если периодические десятичные дроби и рациональные числа — разные объекты (очень сложно рассуждать на эту тему, честное слово), я не уверен. Но в этом случае вообще придётся дать новое определение вещественному числу.
Ничего не надо допускать,
9.(9) = 9 + .(9) = 9 + .9 + .0(9) = ... по логике вещей.Во многих курсах матана вещественные числа определяются как бесконечные десятичные дроби (с определёнными правилами арифметических операций и сравнения). И там не нужно говорить, что «последовательность стремится к рациональному числу» — к этому моменту ещё даже не определено понятие предела, оно появляется позже. Просто эта запись — и есть число. И можно доказать, что оно рационально: 0.(B) = B/(10^n-1), где n — число цифр; десятичные записи этих цифр совпадают, а значит, совпадают и числа.
Там, где вещественные числа вводятся через множества рациональных, дела обстоят хуже — десятичную запись приходится явно определять, после чего доказывать, что получилась биекция множества действительных чисел и множества десятичных записей (опять же, с точностью до хвостов девяток, которые всегда оговариваются особо).
А для объектов вроде 0.(0)1 есть разные варианты развития нестандартного анализа, гипердействительных чисел, и прочей прелести — там, по слухам, всё гораздо более строго. (TODO: заглянуть туда и узнать, при чём же там ультрафильтры).
Там, где вещественные числа вводятся через множества рациональных, дела обстоят хуже — десятичную запись приходится явно определять, после чего доказывать, что получилась биекция множества действительных чисел и множества десятичных записей (опять же, с точностью до хвостов девяток, которые всегда оговариваются особо).
А для объектов вроде 0.(0)1 есть разные варианты развития нестандартного анализа, гипердействительных чисел, и прочей прелести — там, по слухам, всё гораздо более строго. (TODO: заглянуть туда и узнать, при чём же там ультрафильтры).
Мои комментарии можно свести к следующему. Если поставить знак равенства между периодическими и рациональными числами (а также вещественными), то его нужно будет поставить и между 0.999(9) и 1. «Доказательства» равенства 0.999(9) и 1 в той или иной форме опираются на равенство множеств периодических и рациональных чисел, поэтому без доказательства или принятия на веру равенства этих классов чисел доказательства равенства 0.999(9) и 1 не могут быть приняты.
Правильно ли я понимаю, что вы и между e и 2.71… (бесконечная десятичная запись) знака равенства не признаете? Ну как же, второе — предел, а первое — число…
Расскажите тогда, какие по вашему операции можно делать над числами с бесконечным хвостом? Сравнивать можно? Складывать, делить, умножать? Если все можно, то несложно проверить, что все эти операции согласованы с соответствующими операциями в вещественных числах. Кроме того, несложно убедиться, что каждому «бесконечно-хвостовому» числу соответствует ровно одна точка на вещественной оси. И для каждой точки есть по крайней мере одно «бесконечно хвостовое число». А то, что запись числа единственна вам никто не обещал (вы же не возмущаетесь, что 2/4 = 1/2?). Вы можете сколько угодно говорить, что это разные пространства, но зачем плодить сущности?
Расскажите тогда, какие по вашему операции можно делать над числами с бесконечным хвостом? Сравнивать можно? Складывать, делить, умножать? Если все можно, то несложно проверить, что все эти операции согласованы с соответствующими операциями в вещественных числах. Кроме того, несложно убедиться, что каждому «бесконечно-хвостовому» числу соответствует ровно одна точка на вещественной оси. И для каждой точки есть по крайней мере одно «бесконечно хвостовое число». А то, что запись числа единственна вам никто не обещал (вы же не возмущаетесь, что 2/4 = 1/2?). Вы можете сколько угодно говорить, что это разные пространства, но зачем плодить сущности?
вы и между e и 2.71… (бесконечная десятичная запись) знака равенства не признаете?Да.
Расскажите тогда, какие по вашему операции можно делать над числами с бесконечным хвостом?<, >, ->.
Число e даже лучше иллюстрирует это, чем периодические дроби вроде 0.999(9). Допустим, мы определили 1 знак e после запятой:
e ≈ 2.7
Из этого можно сделать вывод: 2.7 < e < 2.8
Далее, мы определили 2 знака после запятой: 2.71 < e < 2.72
Мы можем определять сколько угодно знаков после запятой, то есть «зажимать» e в более узкий интервал, но знака "=" поставить никогда не сможем.
Для вычислений над e этих < и > вполне хватает.
Как, к примеру, можно определить число 2e?
Операция возведения в степень очевидно определяется для целых и рациональных чисел, но для иррациональных её можно определить как раз или через < и > с любой точностью:
(если x = 2e, то 22.7 < x < 22.8, 22.71 < x < 22.72, ...)
или через предел, что по сути то же и включает в себя < и >.
Теперь вернёмся к 0.99(9). Произведём те же действия, что для e.
0.9 < 0.99(9) < 1
0.99 < 0.99(9) < 1
0.999 < 0.99(9) < 1
Видим знак < перед 1. То есть, если строить аналогию на числе e, то 0.99(9) < 1. В крайнем случае, там будет стоять <=. Но никак не =.
Вы не путайте
а) бесконечные периодические десятичные дроби и непериодические (первые представляют рациональные числа, вторые — иррациональные)
б) запись е = 2.718281828… и е ≈ 2.718281828 (первое — точное значение е в виде бесконечной дроби — невозможно записать все цифры числа е, поэтому используем многоточие —, второе — приближённое значение его же, но уже в виде конечной дроби)
а) бесконечные периодические десятичные дроби и непериодические (первые представляют рациональные числа, вторые — иррациональные)
б) запись е = 2.718281828… и е ≈ 2.718281828 (первое — точное значение е в виде бесконечной дроби — невозможно записать все цифры числа е, поэтому используем многоточие —, второе — приближённое значение его же, но уже в виде конечной дроби)
а) число e привели как пример, поэтому я его обсудил.
б) запись е = 2.718281828… так же не даёт числа, как и 0.999(9). е = 2.718281828… (в предположении, что любой знак e можно рассчитать аналогично любому знаку 0.99(9)) дает возможность написать неравенство вида 2.71 < e < 2.72 для сколь угодно большого числа знаков после запятой. Но это будет всё равно неравенство, перейти от такого неравенства к равенству е = 2.718281828… — то же, что перейти от
0.9 < 0.99(9) < 1
0.99 < 0.99(9) < 1
0.999 < 0.99(9) < 1
к 0.99(9) = 1.
Кстати, что делать с тем, что если расписывать неравенства для 0.999(9), то получается 0.99(9) < 1, что противоречит 0.99(9) = 1?
б) запись е = 2.718281828… так же не даёт числа, как и 0.999(9). е = 2.718281828… (в предположении, что любой знак e можно рассчитать аналогично любому знаку 0.99(9)) дает возможность написать неравенство вида 2.71 < e < 2.72 для сколь угодно большого числа знаков после запятой. Но это будет всё равно неравенство, перейти от такого неравенства к равенству е = 2.718281828… — то же, что перейти от
0.9 < 0.99(9) < 1
0.99 < 0.99(9) < 1
0.999 < 0.99(9) < 1
к 0.99(9) = 1.
Кстати, что делать с тем, что если расписывать неравенства для 0.999(9), то получается 0.99(9) < 1, что противоречит 0.99(9) = 1?
Если предположить, что 0 = 0.(0) — это не верное равенство, то чему в такой системе исчисления равно выражение
0 минус 0.(0)?
0 минус 0.(0)?
-0.(0)
Отлично. А чему будет равно 0.(9) плюс 0.(0)?
Неизвестно. Чему равно inf-inf? Чему равно inf/inf? Ваш вопрос отличается тем, что вместо бесконечно большого числа используется бесконечно малое число.
Хорошо, тогда по-другому: сколько будет 0.(0) + 0.(0)? С операцией сложения, вроде бы, не должно возникнуть таких проблем, как с операциями вычитания и деления.
Как же неизвестно? Вы же определяете 0.(9) как число, на 0.(0) меньшее 1, а в матанализе нет неопределённости вида 0-0. Значит, 0.(9) + 0.(0) = 1.
Получается, в вашей системе операция сложения не имеет смысла? Т.е. результат любого сложения неизвестен.
Даже более интересен вопрос, чему будет равно 0.(0) плюс 0.(0)
0.(0) + 0.(0) = 0.(0) плюс 0.(0) = 0.(0)
Аналогично: inf+inf = inf
0.000(0) не обычное число, как и inf. И 0.999(9) тоже.
Аналогично: inf+inf = inf
0.000(0) не обычное число, как и inf. И 0.999(9) тоже.
То есть мы не можем складывать, вычитать, умножать и делить эти «не совсем обычные» числа между собой?
А также: если это верно:
а также верно то, что 0 — это число, которое при добавлении к любому числу, не изменяет это число, то
0.(0) плюс 0.(0) = 0.(0) плюс 0
что эквивалентно
0.(0) + 0.(0) — 0.(0) = 0.(0) — 0.(0) + 0
что эквивалентно
0.(0) = 0
Но это не так. Значит неверно как минимум одно из двух:
1. 0.(0) + 0.(0) = 0.(0) (чему же тогда оно равно? Выходит, 0.(0) + 0.(0) > 0.(0), т.к. 0.(0) >0)
2. добавление 0 к числу все-таки каким-то образом меняет это число. Но тогда чему равно 0.(0) + 0?
0.(0) + 0.(0) = 0.(0) плюс 0.(0) = 0.(0)
а также верно то, что 0 — это число, которое при добавлении к любому числу, не изменяет это число, то
0.(0) плюс 0.(0) = 0.(0) плюс 0
что эквивалентно
0.(0) + 0.(0) — 0.(0) = 0.(0) — 0.(0) + 0
что эквивалентно
0.(0) = 0
Но это не так. Значит неверно как минимум одно из двух:
1. 0.(0) + 0.(0) = 0.(0) (чему же тогда оно равно? Выходит, 0.(0) + 0.(0) > 0.(0), т.к. 0.(0) >0)
2. добавление 0 к числу все-таки каким-то образом меняет это число. Но тогда чему равно 0.(0) + 0?
0.000(0) — это ноль в системе бесконечных бесятичных дробей. Вектор (0, 0) — это ноль в системе векторов из двух элементов, но из этого не следует, что (0, 0) = 0 (где 0 — это рацональное число). Поэтому противоречия нет.
Похоже, что пришла пора определяться со знаком равенства. В каком случае между двумя выражениями можно ставить знак равенства?
Есть много определений (и уже поэтому до истины не докопаться). Мне нравятся следующие:
1. Если применение любой функции к выражениям даст равный результат (рекурсивно получилось).
2. Если они (множества) состоят из одного набора элементов. Элементы сравнивать не нужно, они должны быть идентичны, поэтому это определение хотя бы не рекурсивно.
Может быть наложено дополнительное требование идентичности типа для равенства объектов. Тогда 0.99(9) и 1 сразу не равны, так как первое бесконечная десятичная дробь, а второеконечная рациональное число. Но это «чит», ведь таким способом и неравенство 0 и 0.0 можно доказывать (хотя можно было бы возразить, что между ними есть очевидное преобразование...). Попробую обойтись без требования равенства типов.
По определению 1 можно привести довод с делением. По определению 2 число 0.999(9) представляет собой последовательность, которая много чисел включает (0.9, 0.99 и т.д.), но не включает 1, так что опять получается, что неравны.
1. Если применение любой функции к выражениям даст равный результат (рекурсивно получилось).
2. Если они (множества) состоят из одного набора элементов. Элементы сравнивать не нужно, они должны быть идентичны, поэтому это определение хотя бы не рекурсивно.
Может быть наложено дополнительное требование идентичности типа для равенства объектов. Тогда 0.99(9) и 1 сразу не равны, так как первое бесконечная десятичная дробь, а второе
По определению 1 можно привести довод с делением. По определению 2 число 0.999(9) представляет собой последовательность, которая много чисел включает (0.9, 0.99 и т.д.), но не включает 1, так что опять получается, что неравны.
2. Если они (множества) состоят из одного набора элементов. Элементы сравнивать не нужно, они должны быть идентичны, поэтому это определение хотя бы не рекурсивно.
Какие вдруг множества? Вроде как, сравниваем числа?
число 0.999(9) представляет собой последовательность, которая много чисел включает (0.9, 0.99 и т.д.)
По определению действительного числа 0.(9) — это предел последовательности чисел вида 0.9, 0.99, 0.999 и т.д. Поэтому число 0.999(9) — это не последовательность, а именно число.
По определению действительного числа 0.(9) — это предел последовательности чисел вида 0.9, 0.99, 0.999 и т.д. Поэтому число 0.999(9) — это не последовательность, а именно число.Если 0.99(9) считать пределом, то равно.
Если 0.99(9) считать пределом
Как это, «если считать пределом»? Раз уж рассматриваем действительные числа, то и строгое определение их нужно брать из математики. А там действительное число как раз и определяется как предел такой последовательности.
P.S.: да, существует несколько определений вещественных чисел, но про них доказана эквивалентность — поэтому можно использовать то, которое удобно в конкретной ситуации.
Под «считать пределом» я имел в виду положить равным собственному пределу (в данном случае 1).
Можно другим путём пойти: сначала разрешить строгое равенство только между элементами счётных множеств. Для остальных (иррациональных чисел, к примеру) остается только < и >. Если неверно a < b и неверно b < a, то считать такие элементы равными. (Так можно доказать равенство e=e.) Значит, задача сводится к доказательству того, что 0.99(9) принадлежит множеству рациональных чисел (с чего мы и начинали) или доказательству, что 0.99(9) не меньше, чем 1 (доказательство того, что 0.99(9) не больше, чем 1, не требуется в силу очевидности). Моей первой фразой было 0.99(9) < 1.
Можно другим путём пойти: сначала разрешить строгое равенство только между элементами счётных множеств. Для остальных (иррациональных чисел, к примеру) остается только < и >. Если неверно a < b и неверно b < a, то считать такие элементы равными. (Так можно доказать равенство e=e.) Значит, задача сводится к доказательству того, что 0.99(9) принадлежит множеству рациональных чисел (с чего мы и начинали) или доказательству, что 0.99(9) не меньше, чем 1 (доказательство того, что 0.99(9) не больше, чем 1, не требуется в силу очевидности). Моей первой фразой было 0.99(9) < 1.
Под «считать пределом» я имел в виду положить равным собственному пределу (в данном случае 1).
Действительное число как раз и считается равным именно такому пределу (по определению).
Можно другим путём пойти ...
Можно, кто же спорит. Только вот и получится какой-то другой объект, не совпадающий с тем, что математики называют действительным числом (или если совпадающий, то эквивалентность нужно доказать отдельно).
Вот именно. Ваше доказательство неравности 0.(9) и 1 строится на том же самом, что и доказательство их равности. Если требуется идентичность записи, то они не равны. Если не требуется, то они равны. Отсюда и вопрос: требуется ли идентичность записи? И в зависимости от этого будет дан ответ на вопрос «0.(9) и 1 — это одно и то же?»
Но в этом случае житейский вопрос: о чем спор?
Но в этом случае житейский вопрос: о чем спор?
И тут Вы правы.
Спор ни о чем, до истины не докопались. Видимо, место для ведения спора было выбрано не самое подходящее. Но для меня он был познавательным, поэтому я говорю всем участникам спасибо.
Если требуется идентичность записи, то они равны. Если не требуется, то они не равны.Только наоборот.
Спор ни о чем, до истины не докопались. Видимо, место для ведения спора было выбрано не самое подходящее. Но для меня он был познавательным, поэтому я говорю всем участникам спасибо.
Вообще-то равно:
9,(9)=10х
— 0.(9)=х
— 9=9х
х=1
И одно число не может в принципе сходится.
9,(9)=10х
— 0.(9)=х
— 9=9х
х=1
И одно число не может в принципе сходится.
Сходиться может последовательность чисел. 0.9999(9) это не число, а предел последовательности 0.9, 0.99, 0.999,…
Ваше доказательство (0.999(9) * 9 = 9 = 9 * 1) содержит неточность: 0.999(9) * 9 не равно 9, так как 0.999(9) * 9 меньше 9. Действительно, предел соответствующей последовательности равен 9 снизу, но любой её член меньше 9. Другими словами, сколько бы девяток мы не приписали, будет получаться 8.999(9)1, а не 9. Если постановить, что 8.999(9)1 = 9, то это то же, что постановить, что 0.999(9) = 1. Другими словами, это не доказательство.
Посмотрел видео из предыдущего комментария и понял, что на эту тему сломано много копий.
В видео www.youtube.com/watch?v=mUGl_rtCjMI мужчина пытается опровергнуть Ваше доказательство.
Ваше доказательство (0.999(9) * 9 = 9 = 9 * 1) содержит неточность: 0.999(9) * 9 не равно 9, так как 0.999(9) * 9 меньше 9. Действительно, предел соответствующей последовательности равен 9 снизу, но любой её член меньше 9. Другими словами, сколько бы девяток мы не приписали, будет получаться 8.999(9)1, а не 9. Если постановить, что 8.999(9)1 = 9, то это то же, что постановить, что 0.999(9) = 1. Другими словами, это не доказательство.
Посмотрел видео из предыдущего комментария и понял, что на эту тему сломано много копий.
В видео www.youtube.com/watch?v=mUGl_rtCjMI мужчина пытается опровергнуть Ваше доказательство.
Там нет умножения на 9. Там есть умножение на 10. Полагаем, что .(9)=х. х умноженное на 10 будет 10х. .(9) умноженное на 10 будет 9.(9). Затем вычитаем из левой части .(9), а из правой — х. Мы можем так сделать, не нарушив равенства, т.к. первым шагом приняли 0.(9) = х. Таким образом, получаем 9 = 9x. А вот теперь уже делим на 9. Получаем 1=х. Сравниваем с исходным 0.(9) = х и делаем вывод, что 1 = 0.(9).
<щютка>
Просто так умножить 0.(9) на 10 мы не можем: последняя девятка (которой нет) превратится в 0. Поэтому надо её отщепить:
x=0.(9)9
умножить на 10:
10*x=9.(9)0
прибавить по 0.(0)9:
10*x+0.(0)9=9.(9)9
вычесть:
9*x+0.(0)9=9
и поделить на 9:
x+0.(0)1=1
Что и требовалось доказать :D
</щютка>
Честное слово, K-числа лучше. Правда, с ними безумно тяжело управляться.
Просто так умножить 0.(9) на 10 мы не можем: последняя девятка (которой нет) превратится в 0. Поэтому надо её отщепить:
x=0.(9)9
умножить на 10:
10*x=9.(9)0
прибавить по 0.(0)9:
10*x+0.(0)9=9.(9)9
вычесть:
9*x+0.(0)9=9
и поделить на 9:
x+0.(0)1=1
Что и требовалось доказать :D
</щютка>
Честное слово, K-числа лучше. Правда, с ними безумно тяжело управляться.
Вопрос стоит шире: можно ли ставить знак равенства между периодическими дробями и рациональными числами. Если ответ да, то 0.999(9) = 1, тут и доказывать нечего. Если нет, то не равно по определению. Аргументов в пользу того или иного варианта, кроме как принять на веру, я не знаю, но сам склоняюсь к варианту, что нельзя.
Аргумент в пользу того, что можно, приведен в моем комментарии, на который вы ответили. И в этом доказательстве не нужно принимать на веру то, что можно ставить знак равенства. Приведу его еще раз, в более читабельном виде:
1. Пусть 0.(9) = x (это наша аксиома, никто не запрещает нам считать, что икс равен 0.(9))
2. Умножаем обе части равенства на 10. Получаем 9.(9) = 10х (какие еще варианты, сколько будет 0.(9) * 10 ?)
3. Вычитаем из левой части 0.(9), а из правой вычитаем х. Мы можем это сделать, т.к. см. шаг 1. Равенство не нарушится, т.к. вычитаем одно и то же число:
9.(9) — 0.(9) = 10х — х
что эквивалентно 9.0 = 9х
4. Делим левую и правую часть на 9. Получаем 1 = х
5. Сравниваем результат 1=х с аксиомой на первом шаге.
1. Пусть 0.(9) = x (это наша аксиома, никто не запрещает нам считать, что икс равен 0.(9))
2. Умножаем обе части равенства на 10. Получаем 9.(9) = 10х (какие еще варианты, сколько будет 0.(9) * 10 ?)
3. Вычитаем из левой части 0.(9), а из правой вычитаем х. Мы можем это сделать, т.к. см. шаг 1. Равенство не нарушится, т.к. вычитаем одно и то же число:
9.(9) — 0.(9) = 10х — х
что эквивалентно 9.0 = 9х
4. Делим левую и правую часть на 9. Получаем 1 = х
5. Сравниваем результат 1=х с аксиомой на первом шаге.
Про это доказательство я выше ответил. У меня вызывает сомнение переход между 3 и 4 шагами. То есть, что 9.(9) — 0.(9) можно считать равным 9, а не 9.(0). Если допустить такое понятие как периодическое число и разрешить операциям над ними возвращать рациональные числа, то мы неизбежно придём к тому, что каждому периодическому числу будет равно какое-то рациональное и наоборот. Тогда 0.999(9) останется только равняться 1, других вариантов нет.
Я не пытаюсь доказать или опровергнуть правомерность этих допустить и разрешить (это вопрос определений, то есть веры), но я говорю, что все доказательства 0.999(9) = 1 — на самом деле не доказательства, так как если мы приняли равенство множеств периодических и рациональных чисел, то эти доказательства доказывают очевидное, а в противном случае они неверны.
Я не пытаюсь доказать или опровергнуть правомерность этих допустить и разрешить (это вопрос определений, то есть веры), но я говорю, что все доказательства 0.999(9) = 1 — на самом деле не доказательства, так как если мы приняли равенство множеств периодических и рациональных чисел, то эти доказательства доказывают очевидное, а в противном случае они неверны.
9, а не 9.(0)9.(0) означает, что в десятичной дроби после точки все цифры — нули, соответственно, дробная часть числа равна 0. Отсюда 9.(0) = 9.
Если не считать очевидным равенство 0.999(9) с 1, то и равенство 1.000000(0) с 1 не очевидно и равенство 0.0000(0) с 0.
Стремление снизу меняется на стремление сверху, но суть остается.
0.0000(0) — это бесконечно малая последовательность. Мы не можем считать малые последовательности равными 0.
Стремление снизу меняется на стремление сверху, но суть остается.
0.0000(0) — это бесконечно малая последовательность. Мы не можем считать малые последовательности равными 0.
Хорошо, давайте так. 0.(0) — это сумма ряда 
, каждый элемент которого равен нулю, отсюда 0.(0) равно 0 (НЕ стремится, а равно).
, каждый элемент которого равен нулю, отсюда 0.(0) равно 0 (НЕ стремится, а равно).Нет, 0.(0) это последовательность стягивающихся отрезков [0,1/10n]. Каждый раз, когда мы видим конечное число нулей, мы можем сказать только, что этот объект лежит в соответствующем отрезке. Так что результатом являлось бы их пересечение… если бы мы были уверены, что оно есть. А иначе придётся работать с самими последовательностями.
Собственно, так и можно определить вещественные числа (один из многих способов).
Собственно, так и можно определить вещественные числа (один из многих способов).
Ну я тут расписываю периодическую дробь по определению десятичной дроби, и, честно говоря, не понимаю, при чём тут отрезки [0, 1/10n].
Вспомним определение десятичной записи положительного числа. Последовательность
N.a1a2a3… является записью числа x, если для любого n>0 выполняется условие:
пусть yn=N+sumk=1nak/10k.
Тогда yn <= x <= yn+1/10n.
Иногда второе «меньше или равно» заменяют на «меньше» — в этих случаях запрещается бесконечный хвост девяток.
Сходящихся последовательностей и пределов к этому моменту ещё нет. А вещественные числа только строятся.
N.a1a2a3… является записью числа x, если для любого n>0 выполняется условие:
пусть yn=N+sumk=1nak/10k.
Тогда yn <= x <= yn+1/10n.
Иногда второе «меньше или равно» заменяют на «меньше» — в этих случаях запрещается бесконечный хвост девяток.
Сходящихся последовательностей и пределов к этому моменту ещё нет. А вещественные числа только строятся.
Не встречал такого определения, кроме как при снятии показаний с приборов. Это что же получается, число 3.2 и не 3.2 вовсе, а что-то между 3.2 и 3.3, но до дальнейших уточнений неизвестно, что именно?
0.000(0) — это не обязательно сумма ряда из нулей. Это может быть предел последовательности 1/10, 1/100, 1/1000… Вы же не считаете, что это даст не 0.000(0), а 0.00(0)1?
На роль 0.000(0) подойдёт и любая другая бесконечно малая последовательность. Предложенный Вами вариант — это последовательность, не только стремящаяся, но и строго равная 0, что не доказано. То есть, 0.000(0) бездоказательно сужают до 0.
На роль 0.000(0) подойдёт и любая другая бесконечно малая последовательность. Предложенный Вами вариант — это последовательность, не только стремящаяся, но и строго равная 0, что не доказано. То есть, 0.000(0) бездоказательно сужают до 0.
0.000(0) — это не обязательно сумма ряда из нулейОбязательно.
Это может быть предел последовательности 1/10, 1/100, 1/1000… Вы же не считаете, что это даст не 0.000(0), а 0.00(0)1?Предел даст 0. Строгий, строжайший 0. 1/n при n->oo даст бесконечно малое число. lim(n->oo) 1/n — самый что ни на есть нулёвый ноль. Нулейший, я бы сказал.
На роль 0.000(0) подойдёт и любая другая бесконечно малая последовательность.Мы же тут рассматриваем 0.(0) как число. По определению периодической десятичной дроби имеем, что 0.(0) = 0.00000… = 0*100 + 0*10-1 + 0*10-2 + ..., где все слагаемые таки равны нулю.
бесконечно малое числоНе встречал такого термина. Видимо, Вы имели в виду «бесконечно малую функцию».
Мы знаем, что lim(0.00(0))=0 (а хотим вместо этого написать 0.00(0)=0). Исходя хотя бы из того, откуда у нас 0.000(0) возникает в доказательствах, это именно предел, но мы не знаем, какой именно последовательности. Это зависит от доказательства. В доказательстве «9.(9) — 0.(9)» оно получается как (0.1)^n при n->inf.
оно получается как (0.1)^n при n->infА предел (0.1)^n при n->inf (предел, не значение (0.1)^n) как раз и есть 0.
Если мы можем приравнять последовательность к её пределу, то 0.999(9) можно приравнять к 1.
Доказательства, включающие получение 0.000(0), основаны на предположении, что 0.999(9) = lim(0.999(9)). Предположим, что это не так. Пусть 0.999(9) != lim(0.999(9)), то есть 0.999(9) сколь угодно близко к 1, но равно. Иными словами, что 0.999(9) является последовательностью, а не пределом последовательности. Тогда выясняется, что 0.999(9) < 1. Что мы примем за аксиому, то и получим, поэтому не стоит говорить о доказательстве.
Доказательства, включающие получение 0.000(0), основаны на предположении, что 0.999(9) = lim(0.999(9)). Предположим, что это не так. Пусть 0.999(9) != lim(0.999(9)), то есть 0.999(9) сколь угодно близко к 1, но равно. Иными словами, что 0.999(9) является последовательностью, а не пределом последовательности. Тогда выясняется, что 0.999(9) < 1. Что мы примем за аксиому, то и получим, поэтому не стоит говорить о доказательстве.
0.(9) — это одно число, а не последовательность. Его значение можно представить в виде суммы ряда. По определению. Сумма ряда — единица. По определению суммы ряда.
Пусть 0.999(9) != lim(0.999(9))lim(С) = С. По определению предела функции.
lim(С) = С. По определению предела функции.Это если C число.
Если положить 0.999(9) числом, для которого это верно, то lim(0.999(9)) = 1.
Давайте немного пофантазируем на эту тему. Вот предположим, что -0.0(0)1 = 0 = +0.0(0)1 (не выставляйте из класса, это обозначение для последовательностей -0.1, -0.01, -0.001,… и 0.1, 0.01, 0.001, то есть 0-0 и 0+0). Теперь посмотрим на их отношение. Если брать предел их отношения, получится отрицательная неопределённость и это кажется логичным (в этом «кажется» слабое место моего доказательства, оно несостоятельное, как и доказательства обратного). Если же приравнять эти числа к 0 (как Вы предлагаете, насколько я понял), то получится неопределённость 0/0. Потерялась информация о том, что она отрицательная. Хотя бы на основании этого можно считать, что 0.0000(0) != 0.
Вот предположим, что -0.0(0)1 = 0 = +0.0(0)1 (… это обозначение для <...> 0-0 и 0+0)Нельзя так делать. Хотите писать 0-0 и 0+0 — так и пишите. Не надо придумывать собственные обозначения, создавая путаницу.
Если есть 0.999..., которое соответствует единице снизу (соответствующая последовательность стремится к единице снизу), то должна быть аналогичная запись, соответствующая единице сверху (соответствующая последовательность стремится к единице сверху).
Так в том же всё и дело. 0.999(9) не соответствует «единице снизу», оно соответствует единице, поэтому 1
- 0.(9) = 0.(0) соответствует нулю. Запись же 0.(0)1 бессмысленна сама по себе: если у вас есть число, состоящее из бесконечного числа нулей после запятой и ещё единицы, то это не периодическая дробь, а 10-oo — бесконечно малая функция, а не конкретное число.это не периодическая дробь, а 10-oo — бесконечно малая функция, а не конкретное число.В записи 0.999(9) я тоже вижу не число, а число минус бесконечно малая функция.
Кстати, есть ещё способ показать, что 0.(9) (рассматриваемая, как предел суммы) меньше 1.
Возьмём множество рациональных функций над x в положительной окрестности нуля. Определим порядок на них так: f=0 если она равна 0 в некотором интервале (0,eps) и f>0, если она строго положительна в некотором интервале. Ситуации, когда f меняет знак сколь угодно близко к нулю, возникнуть не может (у рациональных функций конечное число корней).
Очевидно, эти функции образуют упорядоченное поле, то есть, вся арифметика и работа с отношениями порядка к ним применима. И любое действительное число является элементом этого поля (как функция-константа).
Возьмём функцию f=1-x.
Любой член последовательности 0, 0.9, 0.99, 0.999… меньше f (можно подобрать x так, что для всех 0<y<x значение f(y) будет больше этого члена). Значит, по свойствам пределов, если предел существует, то он должен быть меньше либо равен f. А f, очевидно, меньше 1. Значит, последовательность не сходится к единице :) Она вообще никуда не сходится.
Возьмём множество рациональных функций над x в положительной окрестности нуля. Определим порядок на них так: f=0 если она равна 0 в некотором интервале (0,eps) и f>0, если она строго положительна в некотором интервале. Ситуации, когда f меняет знак сколь угодно близко к нулю, возникнуть не может (у рациональных функций конечное число корней).
Очевидно, эти функции образуют упорядоченное поле, то есть, вся арифметика и работа с отношениями порядка к ним применима. И любое действительное число является элементом этого поля (как функция-константа).
Возьмём функцию f=1-x.
Любой член последовательности 0, 0.9, 0.99, 0.999… меньше f (можно подобрать x так, что для всех 0<y<x значение f(y) будет больше этого члена). Значит, по свойствам пределов, если предел существует, то он должен быть меньше либо равен f. А f, очевидно, меньше 1. Значит, последовательность не сходится к единице :) Она вообще никуда не сходится.
А разве окрестность нуля проколотая? f, очевидно, меньше или равна 1 в окрестности нуля.
Для порядка анализируется только «положительная проколотая окрестность» (интервал (0,eps), который нуля не содержит). В нём f строго меньше 1.
Хорошо. Но при этом для сколь угодного малого eps найдётся n такое, что
1-an < eps
Так что по определению предела бла-бла-бла 0.(9) = 1
1-an < eps
Так что по определению предела бла-бла-бла 0.(9) = 1
Нет, для eps=x это условие выполняться не будет… Мы уже не ограничены тем, что вы когда-то называли «вещественными числами». И аксиома Архимеда пылится на дальней полке.
Ну если аксиома Архимеда пылится на дальней полке, то определение предела вообще не имеет смысла.
Предел — понятие из топологии. Матанализ использует его в терминах эпсилон-дельта, но это только потому, что он не любит слова «топологическое пространство». А интервальную топологию можно определить на любом упорядоченном множестве. И последовательность 1-x, 1-x^2, 1-x^3,… всё-таки сходится к 1 :)
«топологическое пространство»Лапки кверху, я сдаюсь :)
А зря, самое интересное только начинается :)
Потому что мы знаем, что вещественные числа — это не то «пополнение», не то «замыкание» множества рациональных чисел (у которых предел тоже не всегда существовал). При переходе к рациональным функциям предел снова потерялся. Можно ли их аналогичным образом «замкнуть»? И можно ли это сделать, не потеряв отношения порядка? Сам я этих деталей уже не помню…
Потому что мы знаем, что вещественные числа — это не то «пополнение», не то «замыкание» множества рациональных чисел (у которых предел тоже не всегда существовал). При переходе к рациональным функциям предел снова потерялся. Можно ли их аналогичным образом «замкнуть»? И можно ли это сделать, не потеряв отношения порядка? Сам я этих деталей уже не помню…
Нет-нет, есть ещё определение предела по Гейне, которое не оперирует терминами эпсилон-дельта.
Удивительно, но соглашусь. Получается, всё приведённое доказательство строится на очевидности того, что доказывается.
0.9999(9) это не число, а предел последовательности 0.9, 0.99, 0.999
Вообще-то предел последовательности — это число (а не другая последовательность). При этом указанное число не обязательно совпадает с каким-нибудь членом данной последовательности. Например, lim(1/x)=0 при x->inf, однако при этом никакое 1/x не равно строго нулю при любом x.
Правильно. Но нельзя сказать, что 1/x=0 при x->inf. Правильно: 1/x -> 0 при x->inf. «Стремится» и «равно» — разные вещи. По той же причине правильно 0.999(9) -> 1, но неправильно 0.999(9) = 1.
Я считаю, что между периодическими и рациональными числами априори не может стоять знака "=" по той же причине, по которой его нельзя писать в записи «1/x=0 при x->inf». Противоположное мнение состоит в том, что его можно ставить. Если можно ставить, то легко доказывается, что нужно ставить.
Я считаю, что между периодическими и рациональными числами априори не может стоять знака "=" по той же причине, по которой его нельзя писать в записи «1/x=0 при x->inf». Противоположное мнение состоит в том, что его можно ставить. Если можно ставить, то легко доказывается, что нужно ставить.
Фраза «1/x стремится к нулю при x стремящемся к бесконечности» сбивает с толку, поэтому вместо нее лучше использовать более строгое определение предела. Если вы не забыли из курса матана, то предел последовательности {Xi} — это такое число A, что для любого epsilon>0 найдется такое число N, что при i>N, все Xi-A будут по модулю меньше epsilon. Так что еще раз обращаю ваше внимание, что предел — это фиксированное число. Это число ни к чему не стремится. Оно просто существует.
В свою очередь, периодическая дробь — это сумма бесконечного ряда, состоящего из членов вида 9^(-i). Сумма бесконечного ряда определяется как предел его частичных сумм. Иными словами, следует рассмотреть последовательность частичных (конечных) сумм вида:
0.9, 0.99, 0.999…
и найти ее предел. Этот предел — число, оно ни к чему не стремится, и в данном случае он строго равен 1, в чем вы сможете несложно убедиться. Если вы возьмете любое положительное epsilon>0, то по этому epsilon найдете и такое N, после которого все частичные суммы будут отличаться от 1 не более, чем на epsilon.
Снова обращаю ваше внимание, что предел последовательности частичных сумм — это число, которое, по определению, не обязано быть равно хоть одному члену этой последовательности. Должно лишь соблюдаться условие |Si-1| < epsilon при i>N.
Также вы не сможете найти никакого другого числа, кроме 1, которое является пределом рассмотренной выше последовательности по приведенному выше определению.
В свою очередь, периодическая дробь — это сумма бесконечного ряда, состоящего из членов вида 9^(-i). Сумма бесконечного ряда определяется как предел его частичных сумм. Иными словами, следует рассмотреть последовательность частичных (конечных) сумм вида:
0.9, 0.99, 0.999…
и найти ее предел. Этот предел — число, оно ни к чему не стремится, и в данном случае он строго равен 1, в чем вы сможете несложно убедиться. Если вы возьмете любое положительное epsilon>0, то по этому epsilon найдете и такое N, после которого все частичные суммы будут отличаться от 1 не более, чем на epsilon.
Снова обращаю ваше внимание, что предел последовательности частичных сумм — это число, которое, по определению, не обязано быть равно хоть одному члену этой последовательности. Должно лишь соблюдаться условие |Si-1| < epsilon при i>N.
Также вы не сможете найти никакого другого числа, кроме 1, которое является пределом рассмотренной выше последовательности по приведенному выше определению.
Я не спорю, что предел последовательности 0.9, 0.99, 0.999,… равен 1. Также я не говорил, что «предел стремится».
Если считать периодические числа равными пределам соответствующих им последовательностей (то есть, поставить знак равенства между периодически чистами и рациональными), то всё доказано. Но можно ли так считать, и было взято под сомнение.
Суть:
Если считать периодические числа равными пределам соответствующих им последовательностей (то есть, поставить знак равенства между периодически чистами и рациональными), то всё доказано. Но можно ли так считать, и было взято под сомнение.
Суть:
Получается, всё приведённое доказательство строится на очевидности того, что доказывается.
Если считать периодические числа равными пределам соответствующих им последовательностей
Ну а как может быть иначе? В матане сумма бесконечного ряда определяется как предел последовательности частичных (конечных) сумм этого ряда.
В свою очередь, бесконечная десятичная дробь (периодическая или нет) есть не что иное, как сумма ряда слагаемых вида Di*10^(-i), где Di — соответствующая цифра после запятой.
Как я понял, в итоге всё упёрлось в трактовку записи 0.999…
Чтобы получить равенство с 1, нужно её трактовать как предел. Если трактовать как последовательность, то будет меньше 1. Как именно трактовать эту запись, зависит от задачи.
Кстати, в википедии перечислены причины отрицания 0.999… = 1.
Похоже, в моём случае это
Чтобы получить равенство с 1, нужно её трактовать как предел. Если трактовать как последовательность, то будет меньше 1. Как именно трактовать эту запись, зависит от задачи.
Кстати, в википедии перечислены причины отрицания 0.999… = 1.
Похоже, в моём случае это
Where students accept the difference between a sequence of numbers and its limit, they might read «0.999...» as meaning the sequence rather than its limit.Я не считаю 0.999… таким же объектом (числом), как 1, чтобы их можно было приравнять.
Приведите в таком случае определение, что такое, по-вашему, десятичная дробь?
Десятичная дробь, по-моему, это конечная десятичная дробь. Общепринятое определение десятичной дроби шире и включает бесконечные десятичные дроби, включая иррациональные числа. Число 1 я считаю конечной десятичной дробью или рациональным числом, но не бесконечной десятичной дробью.
Десятичная дробь, по-моему, это конечная десятичная дробь.
Ох уж эта рекурсия :) Что тогда такое «десятичная дробь», которая стоит в правой части этого определения?
Десятичная дробь, по-моему, это конечная десятичная дробь.Таким образом, бесконечная десятичная дробь — это не десятичная дробь, хотя это десятичная дробь, пусть и бесконечная, но не десятичная дробь.
Я. Так. Сказал.
Вы просто выделяете подмножество, называете его множеством, а всё, что в это подмножество не входит, объявляете чем-то невнятным. Не дело это.
Вещественное число, по-моему, это рациональное число. Общепринятое определение вещественного числа шире и включает иррациональные числа. Число 1 я считаю рациональным числом, но не иррациональным числом.Аналогия неполная, но суть примерно такова.
Вы просто выделяете подмножество, называете его множеством, а всё, что в это подмножество не входит, объявляете чем-то невнятным. Не дело это.Я считаю, что бесконечные десятичные дроби не пересекаются с конечными десятичными дробями. 0.99(9) относится к бесконечным десятичным дробям, а 1 к конечным. Следовательно, 0.99(9) не может быть равно 1.
Я считаю, что бесконечные десятичные дроби не пересекаются с конечными десятичными дробями.А я считаю, что
но это не значит, что так оно и есть.
^__^
В итоге вернулись к тому, можно ли считать бесконечные десятичные дроби равным конечным. Я не думаю, что на этот вопрос есть ответ. В каких-то областях (Вы сами приводили снятие показаний с приборов) правильным ответом будет нет. Даже 1.0000 уже не то же, что 1, а если хвост бесконечный, то это означает абсолютную точность, а 1 может означать, например, 0.5 <= x < 1.5. А если рассматривать 0.99(9) как предел этой последовательности, то будет равенство. Мне кажется, мы спорим второй день по поводу обозначений.
Мы сейчас говорим о математике per se, а не снятии показаний. При снятии показаний, во-первых, бесконечные дроби получиться не могут в принципе, а во-вторых, в дело вступают погрешности.
Мы пойдём другим путём. Обозначение N.a1a2...an(b1b2...bm) представляет собой обобщённый вид периодической дроби с длиной периода, равной m. N называется целой частью дроби, a1a2...an — предпериодом, b1b2...bm — периодом дроби. Её значение определяется как
Мы пойдём другим путём. Обозначение N.a1a2...an(b1b2...bm) представляет собой обобщённый вид периодической дроби с длиной периода, равной m. N называется целой частью дроби, a1a2...an — предпериодом, b1b2...bm — периодом дроби. Её значение определяется как
Из этого можно сделать вывод, что
т.о. периодические дроби представляют собой не что иное, как рациональные числа.
В частности, если m = 1, b1 = 9, периодическая дробь вырождается в
N.a1a2...an + 10-n
т.о. периодические дроби представляют собой не что иное, как рациональные числа.
В частности, если m = 1, b1 = 9, периодическая дробь вырождается в
N.a1a2...an + 10-n
Если я правильно понял, получается рациональное число с бесконечными числителем и знаменателем. Если разрешать такое рациональное число, то 0.99(9) = 1.
Стоп. Где бесконечные числа? m и n — неотрицательные целые числа.
А, тогда получается, к примеру, 0.999… = 0 + 9/9 = 1. Но ведь именно это мы и хотим доказать. Получается, периодическую дробь определили как равную рациональному числу с самого начала (фразой «Её значение определяется как...»). Это доказательство из определения.
Может быть, правильным будет принять это определение и равенство 0.999...=1, но это не будет доказательством.
Может быть, правильным будет принять это определение и равенство 0.999...=1, но это не будет доказательством.
один = 1?
нет, потому что множество русских букв и арабских цифр не пересекается.
нет, потому что множество русских букв и арабских цифр не пересекается.
Ну а также «1» != 1 (если типизация строгая). В математике типизация статическая и неявная. А вот строгая или нет, не знаю.
В математике нет типизации. Если хотите, она там «утиная»: если выражению можно приписать смысл, оно корректно.
A+B — корректно, если A и B — это числа, векторы или тензоры одинаковой размерности и тому подобное, так как можно получить некий согласующийся с другими формулами результат. Но некорректно, если это разные объекты, т.к. непонятно, какой смысл приписать выражению и как согласовать с другими выражениями.
A+B — корректно, если A и B — это числа, векторы или тензоры одинаковой размерности и тому подобное, так как можно получить некий согласующийся с другими формулами результат. Но некорректно, если это разные объекты, т.к. непонятно, какой смысл приписать выражению и как согласовать с другими выражениями.
Десятичная дробь, по-моему, это конечная десятичная дробь.
Такое определение содержит порочный круг и потому неудовлетворительно.
«Халатность заключается в том, что человек халатно относится к своим обязанностям»
Проблема определения не в этом. Проблема в том, что если дробь конечна, то есть она имеет вид 0.abc...z, где присутствует N цифр, то какое должно быть N? Конечное, но какое именно?
Любые попытки разрешить эту проблему сейчас приведут к счётному числу цифр, т.к. к бесконечному, где однако все цифры можно пронумеровать. Собственно, так и определяется вещественное число — счётное число цифр в виде десятичной дроби.
Любые попытки разрешить эту проблему сейчас приведут к счётному числу цифр, т.к. к бесконечному, где однако все цифры можно пронумеровать. Собственно, так и определяется вещественное число — счётное число цифр в виде десятичной дроби.
Но ведь существует понятие «десятично-рациональных» чисел. У каждого из них десятичная запись конечна, хотя никаких ограничений на её длину нет. Лишь бы у каждого конкретного числа она была конечной.
Точно так же, как у рациональных чисел нет ограничений на величину числителя и знаменателя — но у каждого конкретного числа они могут быть сколь угодно большими.
В математике это обычное дело. И никаких чисел с «счётным числом цифр» при этом не возникает, если мы не введём их специальным декретом.
Точно так же, как у рациональных чисел нет ограничений на величину числителя и знаменателя — но у каждого конкретного числа они могут быть сколь угодно большими.
В математике это обычное дело. И никаких чисел с «счётным числом цифр» при этом не возникает, если мы не введём их специальным декретом.
Точно так же, как у рациональных чисел нет ограничений на величину числителя и знаменателя — но у каждого конкретного числа они могут быть сколь угодно большими.
Я и говорю — счётное число цифр.
Рациональное определяется как m/n, где m — целое, n — натуральное, а целое тоже определяется через натуральное. Натуральное и «счётное число цифр».
Здесь вы неявно пользуетесь аксиомой Архимеда — в данном случае, что для любых двух различных чисел можно найти такое epsilon (которое, скорее всего, подразумевается рациональным или даже вида 1/10^n), которое меньше модуля разности этих двух чисел.
Если мы «забудем» про эту аксиому, то у последовательности 0.9, 0.99,… может вообще не оказаться предела. Или он может оказаться числом, меньшим 1 (но их разность при этом будет меньше любого положительного рационального числа).
Если мы «забудем» про эту аксиому, то у последовательности 0.9, 0.99,… может вообще не оказаться предела. Или он может оказаться числом, меньшим 1 (но их разность при этом будет меньше любого положительного рационального числа).
deleted (уже все написали, я не заметил)
Сходиться может последовательность, а не число.
А если Вы считаете, что 0,(9) «строго меньше», то ответьте, насколько. 1 — 0,(9) равно… чему? Бесконечный ряд нулей и единица?
Если число неотрицательно и меньше любого положительного, то это 0 :).
А если Вы считаете, что 0,(9) «строго меньше», то ответьте, насколько. 1 — 0,(9) равно… чему? Бесконечный ряд нулей и единица?
Если число неотрицательно и меньше любого положительного, то это 0 :).
А если Вы считаете, что 0,(9) «строго меньше», то ответьте, насколько0.99(9) не рассматривается как рациональное число (иначе мы сразу получаем равенство с 1 и доказывать тут нечего). 0.99(9) рассматривается как бесконечная последовательность, она меньше 1 на бесконечно бесконечно малую положительную последовательность. Бесконечный ряд нулей и единица — условное обозначение такой последовательности. Лучше подходит обозначение 0+0.
0.99(9) не рассматривается как рациональное число
0.99(9) рассматривается как бесконечная последовательностьКем? Периодическая дробь является бесконечной десятичной дробью, которая, в свою очередь, является вещественным числом.
Если 0.99(9) относить к рациональным числам, то вопрос снят и равенство с 1 очевидно. Но именно то, 0.99(9) относится к рациональным числам, не подтверждено. Есть рассуждение в пользу этого. Каждому периодическому числу можно поставить в соответствие уникальное рациональное число, и наоборот. Но то же можно сказать и про натуральные числа: каждому рациональному числу можно поставить в соответствие уникальное натуральное число, и наоборот (так как множество рациональных чисел счётно, его можно пронумеровать натуральными числами):
Но это не дает права ставить знак "=" между рациональным числом и натуральным числом, служащим его «номером» в данном представлении, большая часть из них далеки от равенства. Так же и с периодическими дробями: каждой из них можно найти соответствующее рациональное число, но не поставить знак равно между ними.
Но это не дает права ставить знак "=" между рациональным числом и натуральным числом, служащим его «номером» в данном представлении, большая часть из них далеки от равенства. Так же и с периодическими дробями: каждой из них можно найти соответствующее рациональное число, но не поставить знак равно между ними.
Но именно то, 0.99(9) относится к рациональным числам, не подтверждено.
Внимание сюда:
Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр.0.(9) — периодическая дробь, значит 0.(9) является бесконечной десятичной дробью.
Бесконечная десятичная дробь — десятичная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.Т.о. 0.(9) — десятичная дробь.
Значением десятичной дроби является действительное число.Отсюда 0.(9) — как минимум, действительное число (не последовательность).
Далее покажем, что 0.(9) является рациональным числом.
Рациональное число — число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где m — целое число, а n — натуральное число.Пусть x = .(9)
Обе части равенства умножаем на 10
10x = 10*.(9)
10x = 10*.9(9)
10x = 9.(9)
Вычитаем из обеих частей равенства x
10x — x = 9.(9) — x
9x = 9.(9) — .(9)
9x = 9 [1]
Делим обе части равенства на 9
x = 9/9
.(9) = 9/9 = 1/1 = 1
[1] 9.(9) = 9 + 0.(9):
9+0.(9)------- 9.(9)9.(9) — 0.(9) = 9:
Бесконечная десятичная дробь — десятичная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.Если это так, то Вы правы. Но я не уверен, что это так.
Кстати, я с числом e промахнулся.
e = 2.718281828… — это действительно так. Потому что слева и справа написано одно и то же. e — это и есть бесконечная десятичная дробь, как и 2.718281828… А вот что такое эти бесконечные десятичные дроби и могут ли они равняться рациональным числам, неясно. С e совершенно точно понятно, что оно не может равняться рациональному числу, поэтому как пример, оно, к сожалению, не подходит.
С моей точки зрения, бесконечные десятичные дроби — это правила генерации соответствующих членов последовательности. А десятичные дроби, с моей точки зрения, относятся к рациональным числам. Под такие определения 0.999(9) и e ложатся как бесконечные десятичные дроби. На примере e можно показать, что класс бесконечных десятичных дробей шире класса десятичных дробей (если десятичные дроби включены в рациональные числа), поэтому не может в него входить. Значит, определение
Бесконечная десятичная дробь — десятичная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.не может считаться верным.
Кажется, непонимание между нами вызвано разным определением десятичной дроби. Вы считаете, что десятичная дробь может быть равна любому действительному числу, а я считаю десятичную дробь рациональным числом вида целое/10^целое (что-то вроде десятичного числа произвольной точности в программировании, например, Decimal в Python).
Но я не уверен, что это так.Да это же определение.
Моё определение десятичной дроби уже общепринятого. #
Это уже недостаток вашего образования, а не дробей или чисел.
Остальные понимают под десятичной дробью именно то, что написал AraneusAdoro. Люди уже давно так договорились и выработали это определение, а то, что вы его не знаете — ну что же поделаешь, теперь знаете.
Остальные понимают под десятичной дробью именно то, что написал AraneusAdoro. Люди уже давно так договорились и выработали это определение, а то, что вы его не знаете — ну что же поделаешь, теперь знаете.
Да, только когда вы делаете биекцию между натуральными и рациональными, то теряется согласованность с операциями. В случае с периодическими десятичными дробями согласованность есть.
Хороший довод! Но если считать 0.99(9) < 1, то (1-0.99(9)) / (0.99(9)-1) < 0, а если считать 0.99(9) = 1, то такое выражение превратится в 0/0 и не будет имет значения. Значит, приравнивание 0.99(9) = 1 изменяет результат (1-0.99(9)) / (0.99(9)-1).
Eсли считать 1/2 < 2/4, то (2/4-1/2) / (1/2-2/4) < 0, а если считать 1/2 = 2/4, то такое выражение превратится в 0/0 и не будет имет значения. Значит, приравнивание 1/2 = 2/4 изменяет результат (2/4-1/2) / (1/2-2/4).
2/4 уже выглядит как рациональное число, его можно сократить до 1/2. Если периодические дроби считать рациональными числами, то переход из 0.99(9) в 1 так же прост, как из 2/4 в 1/2.
Уважаемый, по всем вашим комментариям сразу видно, что математического образования у вас нет. Возможно, вы получали пятерки в школе, вероятно, выслушали курс лекций по матану на первом курсе технического ВУЗа. Возможно, вы неплохой программист, который временами использует свои знания по математике в текущей работе (надеюсь, ничего сложнее работы с векторами и матрицами). Но то что вы тут развели на 100 с лишним комментариев, игнорируя разумные доводы других более подкованных в данном вопросе хабра-пользователей, это просто смешно. Смиритесь со своей неправотой, не смешите народ своим невежеством. У людей уже не хватает зарядов вас минусовать.
Всё так. Мне жаль, что заполонил комментарии. Моей целью было показать, что доказательства 0.999...=1 вроде того, с которого начинали — не доказательства, так как доказывают факт из подобного ему или из очевидности. Если принимать 0.999...=1 по определению (то есть как очевидный), то доказательств не нужно. Как Вы считаете, можно ли считать доказательство через одну треть доказательством? Я увлёкся и стал доказывать неравенство. Доказать неравенство не вышло.
Мой преподаватель по матанализу говорил: «очевидно» можно говорить только в том случае, если знаешь, как это доказать
Вы правильно написали, что доказательств не нужно. Не придумывайте каких-то новых допущений. Факт, что 0.(9) равно единице в буквальном смысле доказано десятком разных способов столетиями назад известными математиками.
1 - 0.(9) — это длина точки ;)
Прочитав комментарии к этой ветке, я понял, что умею читать сквозь кисть, ибо оторвать руку от лица у меня не получалось. Это просто ужасно. Факт очевидный, вместо того, чтобы писать бред, достаточно было вбить одну строчку в любой поисковик…
не равно а бесконечно близко
Число е в любой позиционной системе счисления имеет бесконечно цифр =) (отмазываю автора)
10е = 2.718281828...10
:)
:)
Это объясняется тем, что любое число в позиционной системе счисления с основанием, равным этому числу, записывается как «10». Кстати, число 1 во всех позиционных системах счисления записывается как «1», если я правильно помню. А как единица будет записываться в системе счисления с основанием е? И может ли основание не быть целым числом?
Основание быть не целым может, но с кучей ограничений. Рассматриваются системы по основаниям -2, (1+sqrt(5))/2, -1+i, ещё каким-то… В каждой свои ограничения на запись чисел (какие цифры и в каких сочетаниях можно использовать). 1 — везде 1 (хотя могут быть и альтернативные записи вроде нашей 0.(9)). И если просто взять систему по основанию e с цифрами 0,1,2, то окажется, что 1=0.21211112…
А как единица будет записываться в системе счисления с основанием е?Вы не поверите :)
И может ли основание не быть целым числом?Может. Правила те же: цифры от 0 и строго меньше основания, число представляется в формате
anan-1...a1a0a-1...am b = an*bn + an-1*bn-1 +… + a1*b1 + a0*b0 + a-1*b-1 +… + am*b-m
Для основания е, к примеру, цифры 0, 1 и 2.
только правильно будет так (за единичный элемент берем e): 1 (е) = 2.718281828… (10)
или же (за единичный элемент берем s(e)=e(e)/t(e), t(e) =10(10) ): t (s) = 2.718281828… (10)
(числа 1...10 отсутствуют в арифметике e, поэтому и используем замену)
или же (за единичный элемент берем s(e)=e(e)/t(e), t(e) =10(10) ): t (s) = 2.718281828… (10)
(числа 1...10 отсутствуют в арифметике e, поэтому и используем замену)
Я аж теряюсь. Это вы что такое сделали?
Мы же можем взять за единичный элемент как e так и величину s, равную одной десятой e. (А при желании и любое другое число.)
(неясность возникла наверное потому, что в скобках я обозначил систему счисления. Не знал как делать подстрочный текст)
Можно написать без замены — понятнее, но не вполне корректно:
s=e/10 = 2.718281828…/10.
Тогда будет:
10s = 2.718281828...10
(неясность возникла наверное потому, что в скобках я обозначил систему счисления. Не знал как делать подстрочный текст)
Можно написать без замены — понятнее, но не вполне корректно:
s=e/10 = 2.718281828…/10.
Тогда будет:
10s = 2.718281828...10
Красота простых чисел описана в прекрасной книжке Джона Дербишира «Простая одержимость». Всем, интересующимся математикой, рекомендую почитать. Кстати, из краткого пересказа этой книги вышла бы отличная статья на Хабр. Мне пока недосуг, может, кто-нибудь возьмётся? :-)
Таки не удержался.
Скрытый текст
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
Console.WriteLine(Complex.Exp(Complex.ImaginaryOne * Math.PI) + 1);
Console.ReadLine();
}
}
Я удивляюсь с разработчиков библиотеки Complex – как можно было константу для i назвать таким длинющим именем?
Это когда в тетради задачу решаешь, приходится много раз писать i, а в программе нет. Да и как ее еще назвать?
Ну, никто не мешает для случаев частого использования сделать алиасик:
static Complex i = Complex.ImaginaryOne;
в Python она называется j:
Python 3.2.5 (default, Oct 23 2013, 10:12:20)
[GCC 4.7.3] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> x = 1+2j
>>> x
(1+2j)
>>> y=2-3j
>>> y
(2-3j)
>>> x+y
(3-1j)
>>> x*y
(8+1j)
Только это не константа для мнимой единицы, а литерал.
imagnumber ::= (floatnumber | intpart) ("j" | "J")В С++14 будут возможны записи вида
2.3 - 0.2ii ближе к математической записи, чем j.
Спойлер
Мы видим деревья только в точках с взаимно простыми координатами. Вероятность того, что два случайно выбранных натуральных числа взаимно просты равна
(честно говоря, нагуглил). Значит, и видим мы около 0,608 всех деревьев.
(честно говоря, нагуглил). Значит, и видим мы около 0,608 всех деревьев.
Как водится, непонятно, что такое «два случайно выбранных натуральных числа». Было б их конечное количество, имелось бы в виду равномерное распределение, а так возможны варианты.
Меня ещё после задачи с двумя конвертами выражение «два случайно выбранных числа» — где неявно подразумевается равномерное распределение — заставляет поморщиться.
В данном случае может быть имеет смысл говорить вероятности того, что два равномерно случайно выбранных натуральных числа, меньших K, будут взаимно простыми.
А потом взять предел при K стремящемся к бесконечности.
В данном случае может быть имеет смысл говорить вероятности того, что два равномерно случайно выбранных натуральных числа, меньших K, будут взаимно простыми.
А потом взять предел при K стремящемся к бесконечности.
Видео, в котором по шагам описывается, как вывернуть сферу наизнанку, но другим способом: ссылка.
2.
Но, оказывается, выворачивание сферы возможно.Это выворачивание не допускает перегибы, но допускает самопересечения. Иными словами, это абстрактное понятие, не имеющее бытового смысла, и резиновый мяч вы не вывернете. Поэтому и удивляться тут нечему. См. Парадокс Смейла.
«Так называемую», потому что в реальности не существует числа, которое, будучи умноженным само на себя, в результате дало отрицательное числоПожалуйста, давайте исправим «в реальности» на «среди вещественных чисел», а лучше вообще выкинем это предложение. Потому что среди комплексных чисел она вполне себе неплохо существует. UPD: Ах, это перевод. Ну тогда не помешала бы пометка от переводчика о том, что автор не изучал комплексный анализ и наивно полагает i несуществующей.
P.S. К последнему вспомнилась бородатая шутка про Fortran: «God is Real unless declared Integer».
Часть про гомеомерфизмы нуждается в серьезном уточнении: гомеоморфизм ничего не знает про промежуточные состояния. Правильнее было бы говорить об изотопии или, если допускается сжатие до «одноточечной» ширины, о гомотопии.
С точки зрения гомеоморфизмов, между обычной сферой и вывернутой наизнанку нет никакой разницы, потому что гомеоморфизм ничего не знает ни о гладкой структуре, ни об ориентации поверхности, а как множества точек обе сферы совпадают. Речь идет о непрерывной деформации ориентированного многообразия внутри R^3, которая еще и допускает трансверсальные пересечения в процессе (то есть промежуточные варианты не вложены в R^3, а погружены).
Остальные примеры тоже довольно странно выбраны, я бы сказал.
С точки зрения гомеоморфизмов, между обычной сферой и вывернутой наизнанку нет никакой разницы, потому что гомеоморфизм ничего не знает ни о гладкой структуре, ни об ориентации поверхности, а как множества точек обе сферы совпадают. Речь идет о непрерывной деформации ориентированного многообразия внутри R^3, которая еще и допускает трансверсальные пересечения в процессе (то есть промежуточные варианты не вложены в R^3, а погружены).
Остальные примеры тоже довольно странно выбраны, я бы сказал.
… все двумерные повторяющиеся группы фигур, могут быть отнесены к той или иной так называемой «группе рисунка обоев». И знаете, сколько существует таких групп? Ровно 17.
Хм, откуда вы взяли это название «группе рисунка обоев». А, понял, это же перевод. По русски это называется "кристаллографическая группа".
И там нет осей симметрии пятого порядка
Взял из мультитрана. Все равно что-то не сходится. Английский вариант статьи в википедии, на которую Вы указали, называется Space group, а в оригинальной статье речь идет о Wallpaper group
Итого из пяти примеров «удивительных математических фактов» действительно удивительным является только пример про классификацию двухмерных wallpaper groups. Но маломерные классификационные теоремы все выглядят удивительно, так что через какое-то время перестаешь удивляться уже.
А вот из топологии есть гораздо сильнее выносящие мозг вещи, типа парадокса Банаха—Тарского.
А вот из топологии есть гораздо сильнее выносящие мозг вещи, типа парадокса Банаха—Тарского.
Это не им Фейнман троллил математиков, про порезку апельсина?
А разве парадокс Банаха — Тарского имеет отношение к топологии? Насколько я помню, он где-то между теорией множеств и теорией групп. Вот непрерывное отображение отрезка на квадрат — это точно топология :)
К теории групп он не имеет отношения. Он про «топологическую» теорию меры, как она описана у Дж. Окстоби в учебнике «Мера и категория».
Любопытно, как вы будете строить разбиение, не используя конечнопорождённых подгрупп группы вращения сферы?
Ну это не настолько глубокое использование теории групп, чтобы всерьез считать, что утверждение об этом. Тем более что не столь трудно переформулировать его без использования слов про вложение свободной группы из двух элементов в группу вращений (во всяком случае, впервые я доказательство увидел без упоминания теории групп).
И потом, представление, «о чем утверждение», часто не связано с тем, что используется при доказательстве (Великая Теорема Ферма, на первый взгляд, про целые числа). Особенно если вы рассказываете об этом не-математикам.
И потом, представление, «о чем утверждение», часто не связано с тем, что используется при доказательстве (Великая Теорема Ферма, на первый взгляд, про целые числа). Особенно если вы рассказываете об этом не-математикам.
Когда я впервые увидел доказательство, группа там была. Хотя и не свободная — что-то вроде a^2=b^3=e. И про вложение тоже ничего не говорилось — наверное, считалось, что это и так понятно. Но я плохо помню подробности, дело было на первом курсе.
Но топология-то здесь при чём? Для формулировки достаточно понятия множества и евклидова пространства (чтобы были сфера и конгруэнтные части). Для доказательства — одна группа и аксиома выбора. Для объяснения может пригодиться теория меры (и понятие неизмеримых множеств). Топологию не вижу. Для определения меры вам всё равно понадобится метрика. Конечно, метрика определяет топологию — но точно так же она определяет и группу перемещений…
Но топология-то здесь при чём? Для формулировки достаточно понятия множества и евклидова пространства (чтобы были сфера и конгруэнтные части). Для доказательства — одна группа и аксиома выбора. Для объяснения может пригодиться теория меры (и понятие неизмеримых множеств). Топологию не вижу. Для определения меры вам всё равно понадобится метрика. Конечно, метрика определяет топологию — но точно так же она определяет и группу перемещений…
Наверное, еще любопытным покажется число 142857
Вот объяснение, если не боитесь английского: www.youtube.com/watch?v=WUlaUalgxqI
Там на канале очень много говорят про разные числа, и чем они интересны. В том числе там есть и про e, и про пи, и про формулу Эйлера, и про скатерть Улама и про много чего еще.
Там на канале очень много говорят про разные числа, и чем они интересны. В том числе там есть и про e, и про пи, и про формулу Эйлера, и про скатерть Улама и про много чего еще.
Ну таких-то чисел полно. Вообще в математике тысячи удивительных фактов и тысячи любопытных чисел. Как выбрать из них какой-то «зал славы», я не представляю. Попытка автора этой статьи явно слабовата.
Насчет сферы, все же неискушенных читателей типа меня это ввело в заблуждение. Как видно из всех видео, которые я пересмотрел по ссылкам из комментариев выше, частицы материи сферы может проходить сквозь друг друга, пусть и не нарушая целостности самой сферы. Т.е. с настоящей сферой такое все же не получится, а я уж понадеялся на чудо!
Помимо 
есть еще например 
есть еще например 
А поясните для гумманитария. Я правильно понимаю, что вся фишка со сферами заключается в том, что в приведенных способах нет «перегибов» — то есть моментов когда поверхность «ломается»?
Да, правильно. Поверхность в любой точке в любой момент гладкая. Просто так протолкнуть два полюса навстречу друг другу и расправить не получится — когда складка на экваторе начнёт стягиваться, «ежу будет больно».
То есть задачу можно сформулировать так: представьте себе проницаемого ежика, свернувешгося в шарик. Как вывернуть ежика наизнанку так, чтобы он не уколок себя иголками?
В общем, да. Только натыкайте ему ещё иголок с внутренней стороны, чтобы он мог колоться и ими тоже.
Разумеется, ёжик сколь угодно сильно растяжимый, а иголки достаточно короткие.
Разумеется, ёжик сколь угодно сильно растяжимый, а иголки достаточно короткие.
Вроде бы, условие сколь угодной растяжимости, лишнее: этого не требуется, чтобы безболезненно вывернуть ёжика
Не уверен. Метрика на нём в любом случае будет меняться, так что потребуется, чтобы он был «достаточно» растяжимым. Ограничение может быть разным для разных алгоритмов, но в любом случае, оно будет конечным.
А вместо иголок проще сказать, что он достаточно гибкий, но не сколь угодно гибкий (радиус кривизны ограничен снизу).
А вместо иголок проще сказать, что он достаточно гибкий, но не сколь угодно гибкий (радиус кривизны ограничен снизу).
Все-таки, вроде бы, там не требуется вобще никакого растяжения. Только сгибы (без перегибов) и проницания. Метрика в нём не меняется, его делит на апельсиновые дольки, которые перевендюливаются. Но общая площадь поверхности остаётся неизменной.
Про гибкость — это точнее. Если одна точка поверхности ёжика поверхность ёжика соприкоснётся с другой точкой поверхности этого ёжика, и расстояние «по поверхности» между этими точками слишком маленькое, то ёжик сломается.
Про гибкость — это точнее. Если одна точка поверхности ёжика поверхность ёжика соприкоснётся с другой точкой поверхности этого ёжика, и расстояние «по поверхности» между этими точками слишком маленькое, то ёжик сломается.
Если метрика не меняется, то сферу вообще нельзя искривить — она в этом смысле жёсткая. Придётся либо делать изломы, либо сделать дырку или надрез. Так что лучше растяжение разрешить.
Упс. Кажется, мы пришли к этой проблеме: достаточно разрешить сфере растягиваться на 0.(0), чтобы все заработало
Нет, на 0.(0)1! Если меньше, хотя бы 0.(0)0(9), то не заработает!
И если предел будет небольшим, то сферу удастся только чуть-чуть пошевелить. Я думаю, что растяжение/сжатие там должно измеряться десятками… Но надо смотреть внимательнее. Возможно, хватит «пи» раз.
И если предел будет небольшим, то сферу удастся только чуть-чуть пошевелить. Я думаю, что растяжение/сжатие там должно измеряться десятками… Но надо смотреть внимательнее. Возможно, хватит «пи» раз.
на этом моменте мои знания закончились, и я могу продолжать дискуссию только на уровне юмора :(
Пожалуй, вы правы: все-таки ёжика придётся растягивать и сжимать www.youtube.com/watch?v=p8zPx41oxwE
При этом есть поправка — из того, что ёжик «проницаемый», следует, что на далёкие его части иголки не действуют.
Не, с внутренней стороны не годится — тогда при прохождении сферы самой через себя он уколется.
Лучше берите не иголки, а сделайте его из гибкой пластмассы, которую можно и гнуть и растягивать, но до определённого предела (если попытаетесь сложить лист пополам — сломается).
Если ежика можно растягивать, то длинна иголок роли не играет, и иголки я так понимаю всего перпендикулярны к поверхности?
Только натыкайте ему ещё иголок с внутренней стороны, чтобы он мог колоться и ими тоже.Бедное животное! Лучше мячики мучайте.
www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%28pi*sqrt%28-1%29%29+
Ещё удивительный факт в математике, который вспомнился после обсуждения 0.99(9) = 1: априорная вероятность произошедшего события модет быть равна 0. Пример такого события: случайная величина, распредённая нормально, приняла конкретное значение (например, 0). Причём это верно для любых значений непрерывных распределений, в которых плотность определена и больше 0. (Кстати, может ли плотность непрерывного распределения не быть определена для каких-то или всех действительных значений?)
Для каких-то, кажется, может. Если в качестве функции распределения взять, например, вот это. За пределами канторова множества плотность будет нулевой, а в его точках, соответственно, бесконечной…
Для «всех» пока не знаю. Может ли монотонная непрерывная ограниченная функция быть нигде не дифференцируема?
Для «всех» пока не знаю. Может ли монотонная непрерывная ограниченная функция быть нигде не дифференцируема?
Есть функция Вейерштрасса, непрерывная и нигде не дифференцируемая. Она не является монотонной и ограниченной, кажется, тоже.
Интересны кривая бланманже и снежинка Коха.
Хорошо бы построить монотонный вариант кривой бланманже. Подозреваю, что не получится, так как из-за наложения «зубчиков» она создаёт локально сколь угодно «крутые склоны», которые будут нарушать монотонность.
Интересны кривая бланманже и снежинка Коха.
Хорошо бы построить монотонный вариант кривой бланманже. Подозреваю, что не получится, так как из-за наложения «зубчиков» она создаёт локально сколь угодно «крутые склоны», которые будут нарушать монотонность.
Довольно очевидно, что для любой непрерывной монотонной функции и для любого отрезка найдётся точка этого отрезка, в которой функция дифференцируема хотя бы с одной стороны (делим отрезок пополам и выбираем ту половину, где изменение функции меньше. Продолжаем до бесконечности. Получается невозрастающая последовательность df/dx, ограниченная снизу нулём — значит, у неё есть предел. Он и будет производной нашей функции в общей точке отрезков — возможно, односторонней). Дальше надо думать. Похоже, что множество точек без производной тоже можно сделать всюду плотным. Но, скорее всего, оно всегда будет меры 0.
Я ждал, что эта статья появится на хабре, и она здесь. Спасибо.
Небольшая добавка —
понятное видео про выворачивание — www.youtube.com/watch?v=p8zPx41oxwE
первый факт именной и называется закон Бенфорда — en.wikipedia.org/wiki/Benfords_Law
понятное видео про выворачивание — www.youtube.com/watch?v=p8zPx41oxwE
первый факт именной и называется закон Бенфорда — en.wikipedia.org/wiki/Benfords_Law
Во первых забыли про «парадокс дней рождения». Многие пользуются программной (физической до сих пор нет) реализацией случайных чисел и hash функциями и не имеют понятие, что такое «метод грубой силы».
Да хотя бы просто покажите, что следующая система не имеет решения
0: 2*a*e + 2*b*f + 2*c*g + 2*d*h — 1
1: 3*a^2*e + 3*b^2*f + 3*c^2*g + 3*d^2*h — 1
2: 6*a*f*i + 6*a*g*j + 6*a*h*l + 6*b*g*k + 6*b*h*m + 6*c*h*n — 1
3: 4*a^3*e + 4*b^3*f + 4*c^3*g + 4*d^3*h — 1
4: 8*a*b*f*i + 8*a*c*g*j + 8*a*d*h*l + 8*b*c*g*k + 8*b*d*h*m + 8*c*d*h*n — 1
5: 12*a^2*f*i + 12*a^2*g*j + 12*a^2*h*l + 12*b^2*g*k + 12*b^2*h*m + 12*c^2*h*n — 1
6: 24*a*g*i*k + 24*a*h*i*m + 24*a*h*j*n + 24*b*h*k*n — 1
7: 5*a^4*e + 5*b^4*f + 5*c^4*g + 5*d^4*h — 1
8: 10*a*b^2*f*i + 10*a*c^2*g*j + 10*a*d^2*h*l + 10*b*c^2*g*k + 10*b*d^2*h*m + 10*c*d^2*h*n — 1
9: 15*a^3*h*l + 15*a^2*b*f*i + 15*a^2*c*g*j + 15*b^2*c*g*k + 15*b^2*d*h*m + 15*c^2*d*h*n — 1
10: 30*a*c*g*i*k + 30*a*d*h*i*m + 30*a*d*h*j*n + 30*b*d*h*k*n — 1
11: — 20*a^2*f + 20*a^2*g*j^2 + 20*a^2*h*l^2 + 40*a*b*g*j*k + 40*a*b*h*l*m + 40*a*c*h*l*n + 20*b^2*g*k^2 + 20*b^2*h*m^2 + 40*b*c*h*m*n + 20*c^2*h*n^2 — 1
12: 20*a^3*f*i + 20*a^3*g*j + 20*a^3*h*l + 20*b^3*g*k + 20*b^3*h*m + 20*c^3*h*n — 1
13: 40*a*b*g*i*k + 40*a*b*h*i*m + 40*a*c*h*j*n + 40*b*c*h*k*n — 1
14: 60*a^2*g*i*k + 60*a^2*h*i*m + 60*a^2*h*j*n + 60*b^2*h*k*n — 1
15: 120*a*h*i*k*n — 1
Да хотя бы просто покажите, что следующая система не имеет решения
0: 2*a*e + 2*b*f + 2*c*g + 2*d*h — 1
1: 3*a^2*e + 3*b^2*f + 3*c^2*g + 3*d^2*h — 1
2: 6*a*f*i + 6*a*g*j + 6*a*h*l + 6*b*g*k + 6*b*h*m + 6*c*h*n — 1
3: 4*a^3*e + 4*b^3*f + 4*c^3*g + 4*d^3*h — 1
4: 8*a*b*f*i + 8*a*c*g*j + 8*a*d*h*l + 8*b*c*g*k + 8*b*d*h*m + 8*c*d*h*n — 1
5: 12*a^2*f*i + 12*a^2*g*j + 12*a^2*h*l + 12*b^2*g*k + 12*b^2*h*m + 12*c^2*h*n — 1
6: 24*a*g*i*k + 24*a*h*i*m + 24*a*h*j*n + 24*b*h*k*n — 1
7: 5*a^4*e + 5*b^4*f + 5*c^4*g + 5*d^4*h — 1
8: 10*a*b^2*f*i + 10*a*c^2*g*j + 10*a*d^2*h*l + 10*b*c^2*g*k + 10*b*d^2*h*m + 10*c*d^2*h*n — 1
9: 15*a^3*h*l + 15*a^2*b*f*i + 15*a^2*c*g*j + 15*b^2*c*g*k + 15*b^2*d*h*m + 15*c^2*d*h*n — 1
10: 30*a*c*g*i*k + 30*a*d*h*i*m + 30*a*d*h*j*n + 30*b*d*h*k*n — 1
11: — 20*a^2*f + 20*a^2*g*j^2 + 20*a^2*h*l^2 + 40*a*b*g*j*k + 40*a*b*h*l*m + 40*a*c*h*l*n + 20*b^2*g*k^2 + 20*b^2*h*m^2 + 40*b*c*h*m*n + 20*c^2*h*n^2 — 1
12: 20*a^3*f*i + 20*a^3*g*j + 20*a^3*h*l + 20*b^3*g*k + 20*b^3*h*m + 20*c^3*h*n — 1
13: 40*a*b*g*i*k + 40*a*b*h*i*m + 40*a*c*h*j*n + 40*b*c*h*k*n — 1
14: 60*a^2*g*i*k + 60*a^2*h*i*m + 60*a^2*h*j*n + 60*b^2*h*k*n — 1
15: 120*a*h*i*k*n — 1
Тогда и парадокс Монти Холла нужно упомянуть. Был свидетелем, как человек с математическим складом ума пытался его опровергнуть с пеной у рта после просмотра фильма «Двадцать одно».
Про случайные числа. Смотря что считать программной реализацией. Сейчас много где есть аппаратные генераторы случайных чисел. Разумеется, в программу случайная информация попадает не напрямую, а хешируется от греха подальше, поэтому такой генератор уже не чисто аппаратный. Про «метод грубой силы» было бы интересно услышать более развёрнутый комментарий.
А что с системой?
Про случайные числа. Смотря что считать программной реализацией. Сейчас много где есть аппаратные генераторы случайных чисел. Разумеется, в программу случайная информация попадает не напрямую, а хешируется от греха подальше, поэтому такой генератор уже не чисто аппаратный. Про «метод грубой силы» было бы интересно услышать более развёрнутый комментарий.
А что с системой?
На счет красоты формулы Эйлера. Во время учебы в аспирантуре у меня была формула:
где кроме мнимой единицы, е и пи, есть еще постоянная Эйлера. И что самое удивительное, эта формула имеет отношение к первому в статье (5. Случайные наборы данных) факту. Наверно стоит про это отдельную статью написать.
где кроме мнимой единицы, е и пи, есть еще постоянная Эйлера. И что самое удивительное, эта формула имеет отношение к первому в статье (5. Случайные наборы данных) факту. Наверно стоит про это отдельную статью написать.
А хотите еще факт: в шести неделях красивое число секунд. Считайте сами )
В одной важной области математики, которая называется топология, два объекта считаются эквивалентными или гомеоморфными, если один из них может быть преобразован в другой путем скручивания или растягивания поверхности.
Это скорее определение гомотопных, а не гомеоморфных пространств: en.wikipedia.org/wiki/Homotopy (ой, какая там картинка). В частности, гомеоморфность сферы и «вывернутой наизнанку» сферы тривиальна, а лист Мебиуса как-раз можно преобразовать в обычное кольцо путем «скручивания или растягивания» (просто снянув оба в окружность), т.е. они гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны.
В математике число обладает рядом неожиданных свойств, например, оно равняется сумме обратных факториалов от нуля до бесконечности.
Нам не преподавали понятия «обратный факториал», лишь просто «факториал», но Википедия говорит, что эти понятия тождественны.
А теперь вопрос:
1! + 2! +… + n! +… =?
Или я неправильно понимаю словосочетание «сумма обратных факториалов от нуля до бесконечности»?
В статье сказано:
«Несмотря на свою важность, распределение простых чисел до сих пор остается тайной. Нет такого правила, которое бы однозначно говорило, какие числа будут простыми и через сколько встретится следующее простое число.»
А как же теорема о распределении простых чисел?
«Несмотря на свою важность, распределение простых чисел до сих пор остается тайной. Нет такого правила, которое бы однозначно говорило, какие числа будут простыми и через сколько встретится следующее простое число.»
А как же теорема о распределении простых чисел?
Я думаю, имелось в виду, что нет эффективного алгоритма нахождения следующего простого числа и алгоритма нахождения точного числа простых чисел, меньших данного числа.
Кстати, есть тест на простоту числа с полиномиальной сложностью (относительно логарифма числа). Однако сами простые числа встречаются так редко, что применение полиномиального теста к всем числам подряд в поисках следующего простого не будет эффективным.
Ещё одна нерешённая задача — эффективно раскладывать большое число на множители.
Кстати, есть тест на простоту числа с полиномиальной сложностью (относительно логарифма числа). Однако сами простые числа встречаются так редко, что применение полиномиального теста к всем числам подряд в поисках следующего простого не будет эффективным.
Ещё одна нерешённая задача — эффективно раскладывать большое число на множители.
Что-то я сколько ни смотрю на выворачивание сферы, но никак не пойму - КАК?
Или при выворачивании сфера может пересекать сама себя? Тогда зачем какие-то сложные выкрутасы?...
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Пять удивительных математических фактов