Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 29
Это просто праздник какой-то!
Вот сколько ни пытался в голове «визуализировать» четырехмерное пространство, ну никак :( Что только ни пробовал: и видео глядел, и теорию читал, и трехмерные развертки тессеракта смотрел… Ну никак не укладывается, хотя вроде с абстрактным мышлением и геометрией проблем нет. Может кто расскажет, как выкручивался?
Никак, это невозможно для мозга человека. Только через проекции можно как-то представить.
Ну представить себе минус-одно яблоко ведь тоже трудновато.
Отрицательные числа появились в математике значительно позже положительных.
Иррациональные, трансцендентные а тем паче комплексные числа как-то ведь укладываются в мозгу?
«бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих» (с) Леопольд Кронекер
Конечно, мозг оперирует со «знакомыми» ему объектами. Значит, надо знакомить его.
Желательно с малых лет. Кому-то это удается хорошо, кому-то похуже.
Если не получается — ну присмотритесь к себе! Может ну её нафиг, эту математику? Заняться чем-нибудь другим. Музыкой, рисованием, выращиванием помидоров? Кто сказал, что выращивать помидоры менее достойное занятие, чем вычисление количества правильных многогранников в четырехмерном пространстве?
Отрицательные числа появились в математике значительно позже положительных.
Иррациональные, трансцендентные а тем паче комплексные числа как-то ведь укладываются в мозгу?
«бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих» (с) Леопольд Кронекер
Конечно, мозг оперирует со «знакомыми» ему объектами. Значит, надо знакомить его.
Желательно с малых лет. Кому-то это удается хорошо, кому-то похуже.
Если не получается — ну присмотритесь к себе! Может ну её нафиг, эту математику? Заняться чем-нибудь другим. Музыкой, рисованием, выращиванием помидоров? Кто сказал, что выращивать помидоры менее достойное занятие, чем вычисление количества правильных многогранников в четырехмерном пространстве?
А я не только четырехмерное, я двухмерное тоже не представляю. Нет, плоский лист я могу представить, но только внутри трехмерного пространства. А так чтобы быть внутри двухмерного, не привлекая трехмерное совсем, чтобы полностью удалить одно из измерений, не получается.
Проблема в том, что эволюция «заточила» мозг на обработку визуальной информации, поступающей в виде 2 плоских картинок — по ним уже достраивается «карта глубины». Т.е. это даже не полноценное 3-х мерное восприятие.
Соотв, в сознании мы тоже не можем полноценно представить себе что-то иное, только динамическими проекциями.
Соотв, в сознании мы тоже не можем полноценно представить себе что-то иное, только динамическими проекциями.
Не, ну для трехмерного восприятия у человека еще руки есть :)
В дополнение к двум плоским и перевернутым картинкам.
Так что «картина мира» даже у одноглазых и слепых какая-то, да имеется.
В дополнение к двум плоским и перевернутым картинкам.
Так что «картина мира» даже у одноглазых и слепых какая-то, да имеется.
Это все опять сводится к построению и запоминанию «карты глубины», до истинного 3-х мерного не дотягивает.
Ребят вы просто не читали оба труды по нейрофизиологии за последний год. Карта для ориентирования на местности в гиппокампусе однозначно двумерна, однако зоны тактильного восприятия — это полноценное 3D. Если брать проекцию многомерного пространства — например руки (с множеством степеней свободы), то ваш мозг отлично справится с 3D проекцией этого N-мерного пространства, чтобы вы могли, к примеру, неглядя пошариться и достать рукой до вкуского банана в рюкзаке за спиной. (Ну, у кого что). Вообще вы в динамике обрабатываете N-мерную информацию с ваших «датчиков», в 4Д информацию — карту 3-Д пространства с прогнозированием нахождения 3D-объекта во времени, и обратно для преобразования в N-мерный поток сигналов для управления телом кажлый день в пробке, в метро, на автомобиле и т/д.
Так что не надо лепить гобатого — вы всё прекрасно умеете.
Если вы этого не осознаёте — так это вам же во благо — иначе ваш маленький мозг (по сравнению с мозгом слона, к примеру) из сотояния покоя (задействованы 2-6% неронов) превратился бы в кипящий ад (задействованы 60-80% нейронов), правда, ненадолго — минут на 5-7 — и просто вы бы умерли или впали в состояние комы.
Так что не надо лепить гобатого — вы всё прекрасно умеете.
Если вы этого не осознаёте — так это вам же во благо — иначе ваш маленький мозг (по сравнению с мозгом слона, к примеру) из сотояния покоя (задействованы 2-6% неронов) превратился бы в кипящий ад (задействованы 60-80% нейронов), правда, ненадолго — минут на 5-7 — и просто вы бы умерли или впали в состояние комы.
А можно ссылки на эти новые труды по нейрофизиологии? Любопытно взглянуть.
И, к слову, как соотносится тактильное восприятие с построением визуальной модели в сознании?
И, к слову, как соотносится тактильное восприятие с построением визуальной модели в сознании?
Прогнозирование положения объекта во времени — это уже немного не то, это уже не геометрическое 4D, а параметрическое, где 4-ое не измерение, а параметр, время например.
Карта для ориентирования на местности в гиппокампусе однозначно двумерна,
Не очень понятно. Человек, как и его родственники, живущие на деревьях в тропическом лесу, отлично ориентируется в трёхмерной «местности». Мы можем сказать, что находится за этой стеной (там шкаф), что лежит в этом шкафу на такой-то полке, и показать направление на этот объект. Можем представить себе структуру многоэтажного коттеджа, и рассказать о взаимном расположении помещений (можно ли сверлить эту стенку) и как пройти из одного места в другое. Можем показать примерное направление на Рио-де-Жанейро из Москвы (под землёй, где-то на юго-западе), и, если мы знакомы с картой города, представить, как она будет выглядеть с изнанки. И более-менее правильно её сориентировать. Находясь в комнате, понять как эта же комната будет выглядеть, если смотреть от двери. Неужели всё это делается с помощью двумерных «карт» в мозгу?
Если вы этого не осознаёте — так это вам же во благо — иначе ваш маленький мозг (по сравнению с мозгом слона, к примеру) из сотояния покоя (задействованы 2-6% неронов) превратился бы в кипящий ад (задействованы 60-80% нейронов), правда, ненадолго — минут на 5-7 — и просто вы бы умерли или впали в состояние комы.
Насколько я знаю, все эти байки про 3% использования мозга — всего лишь байки, не имеющие научного обоснования, которые используются во всяких Люси.
Скорее всего кто как ни выкручивался, а результат приблизительно такой же, как и у вас :) близкий к нулю, но не тождественный ноль, конечно. Вот математика нам в помощь. Хотя мозгу и этого мало.
По слухам, если у ребёнка не видел один глаз во время развития мозга, то даже после восстановления работы глаза научить его видеть 3-мерие невозможно.
Ещё один слух: заяц не видит 3-е измерение, для него мир плоский. Поэтому можно полагать, что мы по аналогии с зайцами не видим 4-е измерение, если оно есть.
Если нас интересует восприятие 4-го измерения мозгом, а не абстракто-математическим инструментарием, то можно подойти с другой стороны и немного пофантазировать о свойствах 4-го измерения. Условимся, что заяц действительно видит только 2 измерения и проведём серию мысленных экспериментов.
1. Положим перед зайцем морковку, он её видит. Поднимем морковку за верёвочку вверх, заяц не видит измерения «вверх-вниз», поэтому для него эта морковка исчезла, т.к. она пропала из плоскости его поля зрения.
2. Положим морковку в поле зрения зайца, но в другое место. Заяц увидит её и подумает, что морковка незаметно переместилась из одной точки в другую. Сначала исчезла в точке А и появилась в точке Б.
3. Повторим эксперименты 1, 2 с перемещением морковки через 3-е, невидимое для зайца, измерение, но перед этим добавим ещё один предмет: препятствие, стенку. Точку А поместим с одной стороны препятствия, точку Б с другой стороны препятствия. Заяц подумает, что морковка просочилась сквозь препятствие.
4. Повторим эксперименты 1,2,3 с человеком в 4-мерном пространстве, но человек видит только 3 измерения. Представьте, что ваш коллега по работе вдруг исчезает и через пару секунд появляется в 3 метрах от места исчезновения. А потом опять исчезает и появляется в коридоре, по другую сторону стены.
Судя по всему, есть некая корреляция с потусторонним миром, однако не полная :) Если бы смерть живого существа означала перемещение в 4-мерном пространстве (без времени, геометрическом), то эти живые существа вместо смерти исчезали бы, но этого не происходит.
Можно ещё пофантазировать что-нибудь в этом роде и найти связь с гравитацией (безынерционного перемещения в пространстве) или ещё с чем-нибудь, но в любом случае для мозга это испытание, он будет сопротивляться, не желая это воспринимать.
Может быть лет через 1000 (или раньше) люди эволюционируют и научатся воспринимать мозгом 4-е измерение, а пока будем пробираться на ощупь, с помощью математики :)
Были мысли включить эти размышления в публикацию, но мало-ли кто как это поймёт, поэтому в публикацию этого не включил, а для комментариев эти фантазии могут оказаться кстати.
По слухам, если у ребёнка не видел один глаз во время развития мозга, то даже после восстановления работы глаза научить его видеть 3-мерие невозможно.
Ещё один слух: заяц не видит 3-е измерение, для него мир плоский. Поэтому можно полагать, что мы по аналогии с зайцами не видим 4-е измерение, если оно есть.
Если нас интересует восприятие 4-го измерения мозгом, а не абстракто-математическим инструментарием, то можно подойти с другой стороны и немного пофантазировать о свойствах 4-го измерения. Условимся, что заяц действительно видит только 2 измерения и проведём серию мысленных экспериментов.
1. Положим перед зайцем морковку, он её видит. Поднимем морковку за верёвочку вверх, заяц не видит измерения «вверх-вниз», поэтому для него эта морковка исчезла, т.к. она пропала из плоскости его поля зрения.
2. Положим морковку в поле зрения зайца, но в другое место. Заяц увидит её и подумает, что морковка незаметно переместилась из одной точки в другую. Сначала исчезла в точке А и появилась в точке Б.
3. Повторим эксперименты 1, 2 с перемещением морковки через 3-е, невидимое для зайца, измерение, но перед этим добавим ещё один предмет: препятствие, стенку. Точку А поместим с одной стороны препятствия, точку Б с другой стороны препятствия. Заяц подумает, что морковка просочилась сквозь препятствие.
4. Повторим эксперименты 1,2,3 с человеком в 4-мерном пространстве, но человек видит только 3 измерения. Представьте, что ваш коллега по работе вдруг исчезает и через пару секунд появляется в 3 метрах от места исчезновения. А потом опять исчезает и появляется в коридоре, по другую сторону стены.
Судя по всему, есть некая корреляция с потусторонним миром, однако не полная :) Если бы смерть живого существа означала перемещение в 4-мерном пространстве (без времени, геометрическом), то эти живые существа вместо смерти исчезали бы, но этого не происходит.
Можно ещё пофантазировать что-нибудь в этом роде и найти связь с гравитацией (безынерционного перемещения в пространстве) или ещё с чем-нибудь, но в любом случае для мозга это испытание, он будет сопротивляться, не желая это воспринимать.
Может быть лет через 1000 (или раньше) люди эволюционируют и научатся воспринимать мозгом 4-е измерение, а пока будем пробираться на ощупь, с помощью математики :)
Были мысли включить эти размышления в публикацию, но мало-ли кто как это поймёт, поэтому в публикацию этого не включил, а для комментариев эти фантазии могут оказаться кстати.
В эксперименте 4 представьте себе, что вы видите цветную проекцию человека на 3D: красную, если он пошёл в сторону «ана», и фиолетовую, если в сторону «ката» (или как они там называются). Чем дальше отходит, тем проекция бледнее. Посмотрев на раскраску стены, поймёте, что для него стена — как для вас колонна, которую можно обойти.
Может кто расскажет, как выкручивался?
Что же, хвастаться так хвастаться.
Попробую восстановить хронологию.
1982-1984: прочитал главу в книжке Гарднера, нарисовал каркас тессеракта в параллельной и перспективной проекциях, посмотрел на развёртку и понял, как она склеивается. Потом каким-то чудом решил задачу про сечения тессеракта гиперплоскостями, перпендикулярными главной диагонали.
1987: написал реализацию 4-мерного кубика Рубика на алфавитно-цифровом терминале, да ещё и смог его один раз собрать. Было трудно.
1991: написал 4-мерный тетрис — без падения фигур, вид сверху, показывают карту глубины на 3-мерном дне. Чтобы правильно укладывать фигуры, приходилось представлять, как они ложатся на неровное дно.
2010: обнаружил энтузиастов игры в 4-мерный кубик. Долго придумывал алгоритм, реализующий «спуск через подгруппы». Ничего не придумал, но со структурой кубика и группами вращений разобрался хорошо. Позже полез сразу в седьмое измерение. Кубик собрал, но понял, что для наглядного представления многомерного пространства он почти ничего не даёт.
2011-2013: нашёл «четырёхмерный форум», где действительно обсуждаются разные аспекты 4-мерной жизни. Обнаружил там попытки задавать разные бытовые вопросы и отвечать на них (как устроены дороги? Как выглядит ошейник у собаки? Как сделать крюк для подъёмного крана и за что его цеплять? Возможны ли битвы на мечах? и так далее). Разные вопросы требовали разных способов представления 4D и быстрого переключения между ними — сечения, проекции, развёртки, динамическое сечение с развёрткой во времени… Пытался писать 4-мерные вьюеры. Для одного из них даже нарисовал модель автомобиля — шестиколёсный трёхместный кабриолет, с передним стеклом, дверями и сиденьями. Там пришлось работать с 4D в полном объёме.
2014: Долго собирался написать вьюер «от первого лица» (центральная проекция на трёхмерную сетчатку), который бы показывал рёберную стереомодель. Не собрался — обнаружил, что он уже написан. Теперь ищу время, чтобы в нём как следует разобраться.
Что ещё? Периодически пытаюсь представить, как выглядит 4D мир (в виде той же центральной проекции) — тропинки, дома, деревья, движения (как ходить на трёх ногах? Почему при этом есть возможность упасть вперёд? Как надеть и застегнуть ботинки?). Но без плотных тренировок навык быстро пропадает, хотя и восстанавливается тоже всё быстрее.
Но мало «похвастаться», вы и нас приобщите к 4D :) Где в игры поиграть, где кубик собрать? :) Хоть ссылки какие-нибудь, хоть статью какую-нибудь на эту тему.
Небольшой обзор игр: habrahabr.ru/post/111507/
В частности, сам 4D-кубик: www.superliminal.com/cube/cube.htm
Четырёхмерный форум: hddb.teamikaria.com/forum/
Четырёхмерная «песочница»: www.urticator.net/blocks/
В частности, сам 4D-кубик: www.superliminal.com/cube/cube.htm
Четырёхмерный форум: hddb.teamikaria.com/forum/
Четырёхмерная «песочница»: www.urticator.net/blocks/
И ещё есть приложение для Андроида: «Magic Cube 4D» play.google.com/store/apps/details?id=com.superliminal.magiccube4d
Собрать, как выяснилось, реально. Хотя и не очень просто.
Собрать, как выяснилось, реально. Хотя и не очень просто.
Для красивого отображения формул на хабре, я бы вам посоветовал сервис генераций картинок с формулами.
www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
Например
www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
Например
— класс символов задающих разбиение Сферического пространства на правильные многогранники соответствующей размерности;
— ---//--- разбиение Евклидова пространства ---//---
— ---//--- разбиение пространства Лобачевского на правильные многогранники Конечного объёма ---//---
— ---//--- разбиение пространства Лобачевского на правильные предельные многогранники конечного объёма ---//--- (такие, у которых вершины попадают прямо на абсолют — границу диска Пуанкаре)
— ---//--- разбиение пространства Лобачевского на правильные многогранники бесконечного объёма ---//--- (если получающиеся фигуры условно считать правильными многогранниками)
— класс «плохих» символов, которым невозможно поставить в соответствие какой-то многогранник или какое-то разбиение пространства постоянной кривизны.
Интересно, конечно, что это за «плохие» символы, но видно, что пропущено ещё несколько ситуаций (все они относятся к пространствам Лобачевского):
— разбиение пространства на области с бесконечным числом граней, граница которых является разбиением евклидовой плоскости или плоскости Лобачевского ({6,3,3} или {7,3,3})
— разбиение, в котором в рёбрах может сходится бесконечное число многогранников, или в вершине грани — бесконечное число сторон ({4,3,infinity}, {3,infinity,3}...)
— разбиение, в котором двумерная грань имеет бесконечное число вершин.
Если два последних типа разбиения могут и не понадобиться, то {7,3,3} наверняка нужно — как двойственное к {3,3,7}.
Должен признаться, что с {6,3,3} и прочими перечисленными объектами я пока не знаком, если можно, дайте пожалуйста ссылку, где почитать про это.
Мне интересны и эти объекты, тем более, что с точки зрения сформулированной постановки задачи они тоже представляют интерес, правда алгоритм построения многогранника по символу Шлефли (алгоритмическое определение символа Шлефли) пожалуй не сработает в перечисленных случаях.
Мне интересны и эти объекты, тем более, что с точки зрения сформулированной постановки задачи они тоже представляют интерес, правда алгоритм построения многогранника по символу Шлефли (алгоритмическое определение символа Шлефли) пожалуй не сработает в перечисленных случаях.
Для начала — ссылка на игрушку, основанную на разбиении {6,3,3}: cardiizastrograda.com/astr/M3dHT633/
Если игрушку скачать и она запустится, можно посмотреть, как выглядит пространство изнутри.
Много красивых картинок разных разбиений можно найти на этой странице:
plus.google.com/u/0/+RoiceNelson/posts
А более научные описания — не знаю. Можно поискать «honeycomb» в английской Вики, но они ограничиваются не более, чем сферическими или евклидовыми вершинами и гранями. Случаи {7,3,3} и {3,3,7} почти никто не рассматривает.
Если игрушку скачать и она запустится, можно посмотреть, как выглядит пространство изнутри.
Много красивых картинок разных разбиений можно найти на этой странице:
plus.google.com/u/0/+RoiceNelson/posts
А более научные описания — не знаю. Можно поискать «honeycomb» в английской Вики, но они ограничиваются не более, чем сферическими или евклидовыми вершинами и гранями. Случаи {7,3,3} и {3,3,7} почти никто не рассматривает.
Если бы пространство было четырёхмерным — то кто знает, может быть у нас были бы глаза с трехмерной сетчаткой.
В том смысле, что фотон из трехмерного пространства может зажечь любую колбочку на плоскости сетчатки, а фотон из четырехмерного пространства может зажечь любую колбочку в трёхмерной сетчатке.
Таким образом мы могли бы видеть трехмерные объекты сразу со всех сторон так-же, как сейчас воспринимаем плоские рисунки целиком, одновременно.
В том смысле, что фотон из трехмерного пространства может зажечь любую колбочку на плоскости сетчатки, а фотон из четырехмерного пространства может зажечь любую колбочку в трёхмерной сетчатке.
Таким образом мы могли бы видеть трехмерные объекты сразу со всех сторон так-же, как сейчас воспринимаем плоские рисунки целиком, одновременно.
Сфера вкладывается как в эллиптическое пространство, так и в Евклидово и Лобачевского. Евклидова плоскость вкладывается только в Евклидово и Лобачевского пространства. Плоскость Лобачевского можно вложить только в пространство Лобачевского.
Однако этот ряд можно продолжить тем способом, который я не видел. Плоскость Лобачевского можно вложить в псевдоевклидово пространство Минковского. В принципе, это известный факт, пространство скоростей в теории относительности является гиперболическим. 4-вектор скорости всегда по модулю равен 1 (скорость света) — и вот получается гиперболоид возможных скоростей. Только я не видел, чтобы эта особенность рассматривалась с позиции возможных замощений.
Если этот гиперболоид дополняется ещё одним гиперболоидом, но с пространственноподобным радиусом, вот, глядишь, и «выход за абсолют» нашёлся. Правда, как я понимаю, там не дополнение, а вообще все точки будут на таком гиперболоиде, а это уже, наверное, пространства де Ситтера и анти-де Ситтера должно называться.
Ведь взять, допустим, пространство Минковского (2е пространственных координаты, одно время). На обычной плоскости Лобачевского вершины с бесконечным количеством рёбер мог быть только в идеалах. А в пространство Минковского вложил гиперболоид, замостил его пространственноподобной гиберболической мозаикой, и ещё от центра гиперболоида провёл бесконечность времениподобных вершин. И всё это — не в идеале, а в любой точке пространства. И для более простых «плохих» символов Шлефли должно место найтись.
Заодно узнаем, какая у нас потенциально может быть решётка пространства-времени.
Однако этот ряд можно продолжить тем способом, который я не видел. Плоскость Лобачевского можно вложить в псевдоевклидово пространство Минковского. В принципе, это известный факт, пространство скоростей в теории относительности является гиперболическим. 4-вектор скорости всегда по модулю равен 1 (скорость света) — и вот получается гиперболоид возможных скоростей. Только я не видел, чтобы эта особенность рассматривалась с позиции возможных замощений.
Если этот гиперболоид дополняется ещё одним гиперболоидом, но с пространственноподобным радиусом, вот, глядишь, и «выход за абсолют» нашёлся. Правда, как я понимаю, там не дополнение, а вообще все точки будут на таком гиперболоиде, а это уже, наверное, пространства де Ситтера и анти-де Ситтера должно называться.
Ведь взять, допустим, пространство Минковского (2е пространственных координаты, одно время). На обычной плоскости Лобачевского вершины с бесконечным количеством рёбер мог быть только в идеалах. А в пространство Минковского вложил гиперболоид, замостил его пространственноподобной гиберболической мозаикой, и ещё от центра гиперболоида провёл бесконечность времениподобных вершин. И всё это — не в идеале, а в любой точке пространства. И для более простых «плохих» символов Шлефли должно место найтись.
Заодно узнаем, какая у нас потенциально может быть решётка пространства-времени.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Правильные многогранники. Часть 2. Четырёхмерие