Задача о конфетах

На днях столкнулся с интересной задачкой, которая показалась мне достойной аудитории данного ресурса. Условие ее следующее:

«Найти максимально допустимое отклонение массы конфеты при ее производстве, чтобы нетто коробки, состоящей из 12 штук их, не выходило за пределы 310±7 грамм в 90% случаев. Закон распределения считать нормальным.»

Стоит сказать, что условие не было выдернуто из интернета или подсмотрено на каком-нибудь ресурсе занимательных задач, а пришло от одного очень хорошего друга, который по должности своей инженер по организации и управлению производством на одной небезызвестной кондитерской фабрике. То есть задача имеет вполне реальное происхождение, а ее решение — практическую пользу.

Я предложил читателям решить задачу самостоятельно и должен сказать, что они справились с этим лучше меня. В своем же решении я я сделал не верное допущение.

1. Условности

Условимся обозначать большими буквами параметры для коробки и маленькими — для конфет.
Пускай и — соответственно масса нетто коробки и ее допустимое отклонение, такое, что в процентах случаев она не выходит за пределы .
Пускай и — соответственно масса конфеты и ее допустимое отклонение, такое, что в процентах случаев она не выходит за пределы .
Количество конфет в коробке .

2. Нормальное распределение

Нормальное распределение описывается функцией Гаусса:

, где — математическое ожидание, — стандартное отклонение, квадрат которого — называется дисперсией.

В случае с конфетами , a , поэтому:

В случае с коробкой конфет , a :

Вероятность того что масса конфеты не выйдет за пределы равна:

Вероятность того что нетто коробки не выйдет за пределы равна:

Рисунок ниже хорошо иллюстрирует все выше сказанное:


Найдем вероятность для конфеты:

, где — функция распределения, а — функция ошибок.

Таким образом для конфеты:

Аналогично для коробки:

3. Центральная предельная теорема

Из центральной предельной теоремы следует что если существуют независимые случайные величины:

, то их сумма:

будет обладать параметрами:

Применительно к нашей ситуации имеем:

4. Вероятности и моя ошибка

Я ошибочно посчитал что совокупная вероятность для коробки равна произведению вероятностей для отдельных конфет. Другими словами:

, откуда:

Получилась система уравнений:

Решив ее относительно :

, вывел:

, где — обратная функция ошибок и нашел вполне конкретные цифры:

Такое решение я обосновал следующим образом: необходимо, чтобы масса конфеты не выходила за пределы 25.8333±3.2212 в 99.13% случаев (1 на 115). И хотя такой ответ не является противоречащим, правда в том что только является верным ответом. Так как при таком и меньшем стандартном отклонении нам ничего не нужно отбрасывать, о чем многие читатели мне долго намекали и были правы.

5. Проверка

Как же без нее. Проверку состряпал в матлабе. Вкратце создаем 1000000 конфет с найденными параметрами по нормальному закону. Случайным (равновероятным) образом из них формируем 1000000 группок (считай коробок) по 12 штук. Проверяем количество таких групп не вышедших за пределы 310±7 и делим на общее, получая таким образом ту самую вероятность для коробки. И так 1000 раз.

Код

% Number of candys
nC = 1000000 ;

% Mass deviation of a single candy
mC = normrnd ( m , s , 1 , nC ) ;

% Number of candys in the box
n = 12 ;

% Number of boxes
nB = 1000000 ;

% Number of experiments
nE = 1000;

pB = zeros ( 1, nE );

for k = 1 : nE
    % Random index of n candys
    i = random ( 'unid' , nC , nB, n ) ;

    % The mass of each boxes
    j = 1 : nB ;
    mB  = sum ( mC ( i ( j , : ) ) , 2 )' ;

    % Mask boxes that out of range
    mask = ( mB < M + dM ) .* ( mB > M - dM );

    % Probability of out of the range
    pB ( k ) = sum ( mask ) / nB;
end

В итоге получился такой вот красивый график:

Осмелюсь предположить что 1 млн. коробок мало и если устремить их количество в бесконечность, наши вероятности будут ровно в 90%.

Гораздо интереснее случай, когда аппарат для разлива конфет имеет константное стандартное отклонение, которое больше 1.2285 и нужно найти те самые границы , выше которых, при заданной , конфеты нужно отбросить, чтобы удовлетворять тем же условиям. Это куда более сложная задача, которой я возможно посвящу еще одну статью.