Комментарии 88
Прошу прощения за дилетантский вопрос, но как вы перешли в полярной системе от бесконечности к 2П, да понятно, что бесконечное количество поворотов проходит лишь по одному кругу, но если взять спираль, то каждый новый виток — отличен, а функции, как правило, бессмысленно делать такими, что бы они давали сразу бесконечное количество корней, поэтому они по виткам раскручиваются — корень, за корнем.
Ну вот представьте что вы решили взять множество всех точек на 
. Для того чтобы это сделать, вам нужны все возможные значения 
от 0 до 
, что же касается угла, то нужно всего лишь покрыть окружность один раз чтобы зацепить все точки — именно поэтому пределы интегрирования по от 0 до 
.
Вообще этот интеграл — чуть ли не пример из учебника. Ну в Демидовиче-то точно был (это задачник).
Все это просто и понятно когда в удобном интеграле делаешь правильную замену. Проблема в том, что априори не известно какую именно замену надо сделать и, что много печальнее, неизвестно возможно ли вообще найти такую замену.
Иногда интеграл по своей начинке сам намекает на некоторые подстановки и геометрические интерпретации.
Когда решаешь их по задачнику сотнями глаз сам начинает замечать эти намеки, но часто интеграл тут же перестает быть удобным из-за какой-нибудь пошлой константы поменявшей знак.
Найти удачную подстановку — зачастую удел гения :)
Найти удачную подстановку — зачастую удел гения :)
Иногда интеграл сам намекает
Если вам начинает казаться, что интегралы хотят вам что-то сказать, рекомендую обратиться к специалисту (ну, или хотя бы отдохнуть немного!).
Всегда раздражал в учебниках так называемый «индуктивный скачок». Это когда — фигак, а теперь мы можем вот так. Как? Почему? Самому так делать можно научиться только с большой математической практикой за плечами.
В продвинутой литературе часто пишут так, как будто подразумевают что читатель знает вообще весь мат.ан. наизусть, и это действительно напрягает. В моем посте вроде таких скачков нет.
Если под «индуктивным скачком» имеется в виду не издевательская фраза типа: «отсюда легко показать, что...», а новый подход к решению вроде описанных автором топика, то за «фигагом» может стоять нефиговый-такой фрагмент в истории развития математики. Часто очень интересный и даже трагичный, но это же не учебник истории.
Саймон Сингх написал замечательную книгу Великая Теорема Ферма посвященную таким историям — настоятельно рекомендую всем интересующимся математикой.
Саймон Сингх написал замечательную книгу Великая Теорема Ферма посвященную таким историям — настоятельно рекомендую всем интересующимся математикой.
a нe интeгpaлы Лeбeгa-Cтилтьeca, Итo, Cкopoxoдa и тaк дaлee
Напишите пост про Ито и Скорохода с Маллявэном, раз уж обмолвились. Если посчитаете с помощью Ито подробно и без ошибок хотя бы GBM — уже будет хорошо. А Скороходом можно какую-нибудь экспоненту от винеровсого процесса. Было бы полезно.
Насколько я читал, Лобачевский использовал свою геометрию для разгибания интегралов примерно таким же образом: обнаруживал, что некий интеграл равен площади (или объёму) некой фигуры в его геометрии, затем вычислял эту площадь (объём) более простым интегралом. Вот бы про это популярную статью…
«Booбщe, «cкaтывaниe в гeoмeтpию» пopoй пpинocит плoды. Boт нaпpимep… » Шедеврально прозвучало :-)
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Mathematica точно не умеет брать интегралы Ито :)
Это фигня. Сейчас вполне серьёзно от математиков слышны выражаения «класс не берущихся в Математике интегралов».
Сейчас? Такой термин был в ходу уже 20 лет назад даже на уроках по матану для 1го курса… Интегральный синус/косинус например.
А если серьезно, то интегралы, которые не выражаются через элементарные функции (или подругому — неберущиеся) существуют почти с момента зарождения самого интергрального исчисления.
А если серьезно, то интегралы, которые не выражаются через элементарные функции (или подругому — неберущиеся) существуют почти с момента зарождения самого интергрального исчисления.
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Действительно… пропустил, что merlin-vrn написал Математика с большой буквы, думал речь про математику ). Спасибо за пояснение.
Таки справедливости ради по этой ссылке примеры интегралов, невыразимых элементарными функциями и, как следствие, не берущихся алгоритмом Риша.
Mathematica включает алгоритм Риша, но также берёт много интегралов по собственным проприетарным алгоритмам, в т. ч. выражая первообразные через специальные функции.
Также, в разделе по ссылке на это намекается.
Вы хотите сказать, что Mathematica справляется с обоими примерами из Problem Examples?
Я имею в виду f(x) = x / sqrt ( x4 + 10x² — 96x + 71 ) и второй пример с логарифмами.
В последний раз, когда я проверял, Axiom справлялась только с первым. Wolfram|Alpha тоже.
Прямо там же, в вики, сказано, что при отыскании первообразной приходится сравнивать символьные выражения, и, поскольку на данный момент неизвестно, алгоритмизируема ли эта задача в принципе, приходится применять эвристики. Второй пример, по всей видимости, как раз синтетический, минимально необходимый для того, чтобы эвристики обломались.
PS. Сам Бронштейн по этой проблеме (помимо собственно реализации алгоритма Риша) опубликовал Symbolic Integration Tutorial, и это без преувеличения самый хардкорный из туториалов, которые я видел, моего знания математики не хватило, чтобы осмыслить, что он предлагает, и то, что он многие вещи упоминает лишь вскользь (видимо, подразумевая очевидными), тоже дела не облегчает. Однако, профессиональным математикам, наверное, будет понятно.
Стиль там вообще очень контрастен к любому из учебников интегрирования для людей: сразу же полями и их замыканиями в голову, большинство наблюдений и результатов дано без доказательств (вряд ли это можно поставить в упрёк, так как поля у него действительно были слишком узки), и только примеры отчасти спасают ситуацию для программистов вроде меня.
Я имею в виду f(x) = x / sqrt ( x4 + 10x² — 96x + 71 ) и второй пример с логарифмами.
В последний раз, когда я проверял, Axiom справлялась только с первым. Wolfram|Alpha тоже.
Прямо там же, в вики, сказано, что при отыскании первообразной приходится сравнивать символьные выражения, и, поскольку на данный момент неизвестно, алгоритмизируема ли эта задача в принципе, приходится применять эвристики. Второй пример, по всей видимости, как раз синтетический, минимально необходимый для того, чтобы эвристики обломались.
PS. Сам Бронштейн по этой проблеме (помимо собственно реализации алгоритма Риша) опубликовал Symbolic Integration Tutorial, и это без преувеличения самый хардкорный из туториалов, которые я видел, моего знания математики не хватило, чтобы осмыслить, что он предлагает, и то, что он многие вещи упоминает лишь вскользь (видимо, подразумевая очевидными), тоже дела не облегчает. Однако, профессиональным математикам, наверное, будет понятно.
Стиль там вообще очень контрастен к любому из учебников интегрирования для людей: сразу же полями и их замыканиями в голову, большинство наблюдений и результатов дано без доказательств (вряд ли это можно поставить в упрёк, так как поля у него действительно были слишком узки), и только примеры отчасти спасают ситуацию для программистов вроде меня.
Во-первых, int x/sqrt(x4+10x2-96x+71) dx по ссылке отсутствует.
Во-вторых, повторюсь, по ссылке идёт речь не об интегралах, которые не берут CAS, а об интегралах, невыразимых элементарными функциями.
Обрати внимание, что ты поправил totally_nameless, принявший первый класс интегралов за последний класс интегралов, статьёй, обсуждающей как раз последний класс интегралов, сообщив, мало того, при этом, что в статье обсуждается первый класс интегралов, что ещё глубже запутывает ситуацию, учитывая, что в статье дополнительно описываются интегралы, не принадлежащие первому классу, но принадлежащие последнему, о которых totally_nameless ошибочно подумал, что идёт речь.
Более того, CAS могут как включать алгоритм Риша, так и не включать его, дополнительно также включать либо дополнительные алгоритмы, либо не включать их, оперировать специальными функциями (а также различными их наборами), либо нет.
Что интересно, Mathematica 9 берёт первообразную и от первых двух примеров в разделе, и от твоей функции, но не берёт от последней f разделе. W|A (который-таки поновее девятой версии) тоже не справляется с этим интегралом.
Ссылка, которую я имел в виду, интеграл, который я имел в виду. Да, конечно, там -71, а не 71.
По остальным пунктам – «да» («последняя f в разделе» – отмечена у меня на скрине (2)).
Проверял на последнем образе Axiom на ubuntu-виртуалке – брать отказалась.
Было бы интересно посмотреть трассировку алгоритма для (2) – где именно навернулась эвристика, и какое тождество она в итоге не расколола.
Касаемо же closed-form integration (я даже затрудняюсь сказать, есть ли у нас соответствующий термин) – бОльшая часть материалов, которые мне попадались, активно использовали ТФКП (да, ехал вычет через вычет), и, поскольку ТФКП нам толком не читали, воспринимал я эти материалы приблизительно никак, увы.
По остальным пунктам – «да» («последняя f в разделе» – отмечена у меня на скрине (2)).
Проверял на последнем образе Axiom на ubuntu-виртуалке – брать отказалась.
Было бы интересно посмотреть трассировку алгоритма для (2) – где именно навернулась эвристика, и какое тождество она в итоге не расколола.
Касаемо же closed-form integration (я даже затрудняюсь сказать, есть ли у нас соответствующий термин) – бОльшая часть материалов, которые мне попадались, активно использовали ТФКП (да, ехал вычет через вычет), и, поскольку ТФКП нам толком не читали, воспринимал я эти материалы приблизительно никак, увы.
Вы знаете, а я вот вечером сел и прочитал вашу ссылку внимательно. Речь там об алгоритме нахождения первообразной, а не значения функционала, как я в начале подумал. Так, что это, как раз те самые неберущиеся интегралы, т.е. не представимые в виде композиции элементарных функций, про которые нам рассказывал наш профессор фронтовик.
Другими словами, множество интегралов, которые не может взять человек == множеству интегралов, которые не может взять система компьютерной алгебры. По крайне мере в контексте вашей ссылки.
<зануда мод>
Наверное, для чистоты обсуждения все же стоит четко различать первообразную и интеграл. В статье речь только про (определенные) интегралы. А в обсуждении речь зашла про фунцкии {f'} для которых невозможно найти прообраз {f}, выразимый через элементарные функции такой, что g:{f}->{f'}, где g — оператор взятия производной.
<зануда мод>
Другими словами, множество интегралов, которые не может взять человек == множеству интегралов, которые не может взять система компьютерной алгебры. По крайне мере в контексте вашей ссылки.
<зануда мод>
Наверное, для чистоты обсуждения все же стоит четко различать первообразную и интеграл. В статье речь только про (определенные) интегралы. А в обсуждении речь зашла про фунцкии {f'} для которых невозможно найти прообраз {f}, выразимый через элементарные функции такой, что g:{f}->{f'}, где g — оператор взятия производной.
<зануда мод>
Другими словами, множество интегралов, которые не может взять человек == множеству интегралов, которые не может взять система компьютерной алгебры.
Если вы это утверждаете, рекомендую перепроверить.
Хм… даже если мы ослабим утверждение до
то утверждать, что математики выделяют специальный класс интегралов, который не разрешается конкретной реализацей алгоритма(ов), да и еще использют для этого устоявшийся термин, это очень спорно, о чем я и написал в первом моем сообщении в этой ветке.
P.S. оставил знак "<=" потому, что хочется верить, что CAS все таки научаться их брать…
Другими словами, множество интегралов, которые не может взять человек <= множества интегралов, которые не может взять система компьютерной алгебры.
то утверждать, что математики выделяют специальный класс интегралов, который не разрешается конкретной реализацей алгоритма(ов), да и еще использют для этого устоявшийся термин, это очень спорно, о чем я и написал в первом моем сообщении в этой ветке.
P.S. оставил знак "<=" потому, что хочется верить, что CAS все таки научаться их брать…
Не вижу ничего предосудительного в определении класса интегралов, не берущихся конкретным алгоритмом.
Я не знаю, что имеется в виду под ``<=''.
Разумеется, человек может взять все интегралы, что берёт любая CAS (в конце концов, она написана по нашей, человеческой математике).
Примеры интегралов, что не берут все или конкретные CAS, в этом топике достаточно. Конечно, человек берёт много интегралов, что не поддаются CAS.
Ничего предосудительного тут и нет, просто дело было представлено так, как будто это какие-то особенные интегралы отличающиеся от стандарного определения неберущихся.
Кстати, любопытно бы увидеть интеграл который берется человек, но не CAS. Выше приведенный пример не берется никем.
<= здесь понимается как:
множество интегралов, которые не может взять человек включено или равно множеству интегралов, которые не может взять система компьютерной алгебры.
о чем вы собственно и написали в последнем абзаце.
Кстати, любопытно бы увидеть интеграл который берется человек, но не CAS. Выше приведенный пример не берется никем.
<= здесь понимается как:
множество интегралов, которые не может взять человек включено или равно множеству интегралов, которые не может взять система компьютерной алгебры.
о чем вы собственно и написали в последнем абзаце.
<= здесь понимается как:
Тогда вы ищете символ подмножества ⊆ (LaTeX \subseteq), ну, или он же самый, но в другую сторону ⊇ (LaTeX \supseteq).
=> и <= обычно понимаются как ASCII-нотация символов ⟹ (LaTeX \implies) и ⟸ (LaTeX \impliedby) соответственно, что обозначают материальную импликацию.
На людей, берущих интегралы, с которыми не справляются CAS, можно налюбоваться, выполнив поиск на MSE по тегу integration.
Забыл ссылку на поиск.
Спасибо, не знал, что хабр поддерживает LaTeX, теперь буду использовать.
Тут речь про вольфрам (с) Кэп
А чо не так с серьёзностью этих выражений?
Да их навалом. Другое дело, что людей, которые ищут новые первообразные, не так много, значит и Математика обновляется нечасто.
Вообще все довольно неплохо, хотелось бы еще)
У Фихтенгольца во втором томе есть интересные приёмы вычисления несобственных интегралов, описаны связи с рядами.
В трёхтомнике-справочнике Прудникова, Брычкова и Маричева «Интегралы и ряды» собраны без вывода значения несобственных интегралов и рядов, приведён перечень литературных источников (наших и зарубежных).
Обращение к ТМ:
Заметьте как различие в тематике Geektimes и Habrahabr размылось, статья явно больше на Geektimes подходит, если следовать вашим правилам, в тоже время на Geektimes полно статей, которые явно подходят больше для Habrahabr.
Сейчас разделение ничего кроме неудобства не доставляет, возможно стоит, наконец, объединить эти ресурсы обратно?
Заметьте как различие в тематике Geektimes и Habrahabr размылось, статья явно больше на Geektimes подходит, если следовать вашим правилам, в тоже время на Geektimes полно статей, которые явно подходят больше для Habrahabr.
Сейчас разделение ничего кроме неудобства не доставляет, возможно стоит, наконец, объединить эти ресурсы обратно?
В этой идее есть определённая логика, но она мне не нравится.
Стоило написать хотя бы про вычеты
Какие вычеты?
Которые residue, а точнее, основная теорема, наше все!
Не стоит минусы. Я тоже только что узнал, что оно вычет, а не остаток по-русски.
ЗЫ, OP, почему у тебя по всей статье кириллические символы вперемешку с латинскими?
Например, хотя бы самое первое предложение "Интeгpaлы, чтo мoжeт быть вeceлee?"
Constituent codepoints:
0418 CYRILLIC CAPITAL LETTER I 043D CYRILLIC SMALL LETTER EN 0442 CYRILLIC SMALL LETTER TE 0065 LATIN SMALL LETTER E 0433 CYRILLIC SMALL LETTER GHE 0070 LATIN SMALL LETTER P 0061 LATIN SMALL LETTER A 043B CYRILLIC SMALL LETTER EL 044B CYRILLIC SMALL LETTER YERU 002C COMMA 0020 SPACE 0447 CYRILLIC SMALL LETTER CHE 0442 CYRILLIC SMALL LETTER TE 006F LATIN SMALL LETTER O 0020 SPACE 043C CYRILLIC SMALL LETTER EM 006F LATIN SMALL LETTER O 0436 CYRILLIC SMALL LETTER ZHE 0065 LATIN SMALL LETTER E 0442 CYRILLIC SMALL LETTER TE 0020 SPACE 0431 CYRILLIC SMALL LETTER BE 044B CYRILLIC SMALL LETTER YERU 0442 CYRILLIC SMALL LETTER TE 044C CYRILLIC SMALL LETTER SOFT SIGN 0020 SPACE 0432 CYRILLIC SMALL LETTER VE 0065 LATIN SMALL LETTER E 0063 LATIN SMALL LETTER C 0065 LATIN SMALL LETTER E 043B CYRILLIC SMALL LETTER EL 0065 LATIN SMALL LETTER E 0065 LATIN SMALL LETTER E 003F QUESTION MARK
Должно быть "Интегралы, что может быть веселее?"
Причём в комментариях такого нет, только у людей, которые куски из статьи копируют...
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
«я пo-pуccки пpoчитaл poвнo нуль мaтeмaтичecкиx книг (чeгo и вaм coвeтую)»… ecли интepecнo, coвeтую глянуть cooтвeтcтвующую литepaтуpу."
Порекомендуете что-нибудь из личного опыта? (не на русском)
По какой конкретно теме?
Начиная с общего: интегральное исчисление, его приложения, методы интегрирования.
А особенно интересно глубже про гeoмeтpичecкиe интepпpeтaции.
А особенно интересно глубже про гeoмeтpичecкиe интepпpeтaции.
Начальные знания об интегралах лучше брать из хорошей вводной книжки, например Spivak's Calculus. Что касается разных приемов взятия интегралов, неплохой список литературы есть вот тут. Inside Interesting Integrals особенно хороша́.
Прямо первый курс матана вспомнился… эх было время… решибник к Демидовичу передавался из рук в руки, как священная книга… за семестр надо было решить около сотни всяких интегралов в индивидуальном задании…
О чем это я… простите молодость вспомнил)
Пишите про Лeбeгa-Cтилтьeca, Итo, Cкopoxoдa… будем благодарны
О чем это я… простите молодость вспомнил)
Пишите про Лeбeгa-Cтилтьeca, Итo, Cкopoxoдa… будем благодарны
Да перестаньте, Демидович весь руками решается, решебник там ни к чему.
Да, но не в первые месяцы учебы сразу после школы…
Хотя возможно для человека с вашими способностями это не так и вы решали его сразу и весь…
Хотя возможно для человека с вашими способностями это не так и вы решали его сразу и весь…
Именно это время и определяет, сможете вы в будущем самостоятельно и успешно решать естественнонаучные задачи, или займётесь чем-нибудь другим.
Способность решать задачки из Демидовича в первом месяце в вузе?
Самостоятельное решение всех задаваемых задач без каких-либо решебников.
Хотя, возможно, я был и не прав. Вед решебники есть и к школьным учебникам, так что привычка могла сформироваться и ранее, и на первом курсе могло быть уже поздно.
Но, первый курс всё же некий водораздел. Институт/университет более осознанный выбор профессии в жизни, чем обязательное среднее образование.
Но, первый курс всё же некий водораздел. Институт/университет более осознанный выбор профессии в жизни, чем обязательное среднее образование.
Кстати, если вы прорешали всего Демидовича, то я перед вами действительно преклоняюсь… Даже доцент, который у нас вел практику по матану иногда задумывался над примерчиками…
Помнится я разозлился на себя что математика не давалась, сел и решил за всю группу 25 человек по 40 интегралов каждому, после этого пришло просветление.
Вот здесь https://www.youtube.com/watch?v=PNKj529yY5c (MIT лекция по AI) хорошо обсуждается как автоматически преобразовывать интегралы. Таким образом берется большинство стандартных интегралов.
В последнем примере смелое сокращение 1/x-1/x, хотя х проходит через 0.
Корректно ли считать в таком случае интеграл?
Корректно ли считать в таком случае интеграл?
Зависит от определения интеграла. В интеграле Римана или Лебега некорректно, а если рассматривать главное значение по Коши, то корректно. Собственно, автор пишет, что рассматривает интеграл Римана, но на самом деле пользуется лишь самым наивным интегралом, известным со времён Лейбница (т.е. первообразная + формула Ньютона-Лейбница).
Там разрыв — и «наивным интегралом» пользоваться следует с осторожностью, таки он там несобственный. %))
Опять же, понятие несобственного интеграла — это одно из определений. Как правило определяют несобственный интеграл Римана как предел собственных интегралов Римана. А по Лебегу вполне себе можно интегрировать и бесконечные функции и на бесконечных промежутках. Автор всех этих тонкостей не разбирает и уповает на то, что у функции есть первообразная, а значит сии преобразования будут корректны.
Миша Вербицкий негодуэ — это же калькулюс!!!
А нерекомендуемые «русские математические книги» отмечают, что f(x) в последнем примере испытывает разрыв второго рода в нуле — что требует некоторых дополнительных мер предосторожности при её интегрировании на отрезке [-1, 1].
И да, интеграл с хотя-бы одним бесконечным пределами — тоже является несобственным.
А нерекомендуемые «русские математические книги» отмечают, что f(x) в последнем примере испытывает разрыв второго рода в нуле — что требует некоторых дополнительных мер предосторожности при её интегрировании на отрезке [-1, 1].
И да, интеграл с хотя-бы одним бесконечным пределами — тоже является несобственным.
Рызрыв-таки испытывает f, а не f(x). Кто негодуэ, не знаю. ;)
Предлагаю сойтись на том, что разрыв в нуле испытывает e1/x, с которой мы под конец играемся.
И что этот момент, в общем случае, надо отметить и проверить на сходимость.
Ну и — что интеграл из первого примера является несобственным, а не определённым.
А так — почитать интересно. ))
P.S. Кто негодуе, можно погуглить (sic transit...)
И что этот момент, в общем случае, надо отметить и проверить на сходимость.
Ну и — что интеграл из первого примера является несобственным, а не определённым.
А так — почитать интересно. ))
P.S. Кто негодуе, можно погуглить (sic transit...)
я пo-pуccки пpoчитaл poвнo нуль мaтeмaтичecкиx книг (чeгo и вaм coвeтую)
Абсолютно идиотский совет. Колмогорова, Маркова, Ширяева и т.д. в переводе читать, что ли? Или вообще не читать?
НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
Все дружно учили это в университете на младших курсах, на старших курсах попадается сложный интеграл и вопрос от преподавателя: «Как посчитать этот интеграл?». Все сразу начали выдвигать различный предложения, преподаватель в свою очередь все отвергал, и когда мы все сдались, он дал ответ… :«Использовать математический пакет....». После этого решать в ручную интегралы прекратил.
Ну, в оправдание такого подхода можно, наверное, отметить, что те исключительные случаи, когда системы компьютерной алгебры не могут отыскать первообразную, хотя она есть и элементарна, человеку в любом случае вряд ли удастся победить, если только это не человек, который их придумал.
И, разумеется, искать первообразные вручную целесообразно только тогда, когда учишься искать первообразные. Положительно оценить полезность этого умения саму по себе с каждым годом всё тяжелее, но иметь хотя бы базовое представление о том, как это делать руками, пожалуй, не вредно.
И, разумеется, искать первообразные вручную целесообразно только тогда, когда учишься искать первообразные. Положительно оценить полезность этого умения саму по себе с каждым годом всё тяжелее, но иметь хотя бы базовое представление о том, как это делать руками, пожалуй, не вредно.
Если вы учились на инженера то это оправдано. Если вы математик-исследователь, то напрасно.
Есть такая история… проходил практику в одном из институтов математики. Решали вполне практическую задачу (что-то там со случайными процессами — приложения в физике, биржевой торговле и многом другом). Был какой-то интеграл. И вы знаете… я тупо пошел в библиотеку и нашел его преобразование в какой-то книге (третьекурсник). Профессора обрадовались — без шуток — потому что эта хренотень была шоу-стоппером в их работе. Интеграл не брался в элементарных функциях, но главное был его вид, из которого следовали свойства и возможность численного решения.
Мораль. Надеяться с решением надо на себя, а не на пакеты. Математика это люди, которые решают задачи, а не пакеты. Не обвиняйте в пафосе, я объяснюсь. Пакет такая вещь, которая может что-то упростить, но не решить. Она не сопоставит x(t) с бюджетом моделируемого проекта добычи нефти из скважины, и всегда имеет свойство garbage in garbage out.
Кроме того. Интеграл вот такая штука интересная. Что такое интеграл? Лебега, Римана, Ито, да хоть кого? Это банально сумма. Если сложно — решение дифура тоже интеграл. Символьные пакеты пока еще не настолько умны, чтобы оперировать аналогиями. В тех же методах Монте-Карло вычисление пи через бросание иголки — примитив с которого начинают, но ни один символьный пакет не сможет такую аналогию провести. За многими дифурами стоят модели, и их интегрирование — та история, где одной символикой не отделаешься.
Я тут много написал… наверное хотел сказать, что в математике есть достаточно искусства. И ручное решение приводит к мастерству.
Есть такая история… проходил практику в одном из институтов математики. Решали вполне практическую задачу (что-то там со случайными процессами — приложения в физике, биржевой торговле и многом другом). Был какой-то интеграл. И вы знаете… я тупо пошел в библиотеку и нашел его преобразование в какой-то книге (третьекурсник). Профессора обрадовались — без шуток — потому что эта хренотень была шоу-стоппером в их работе. Интеграл не брался в элементарных функциях, но главное был его вид, из которого следовали свойства и возможность численного решения.
Мораль. Надеяться с решением надо на себя, а не на пакеты. Математика это люди, которые решают задачи, а не пакеты. Не обвиняйте в пафосе, я объяснюсь. Пакет такая вещь, которая может что-то упростить, но не решить. Она не сопоставит x(t) с бюджетом моделируемого проекта добычи нефти из скважины, и всегда имеет свойство garbage in garbage out.
Кроме того. Интеграл вот такая штука интересная. Что такое интеграл? Лебега, Римана, Ито, да хоть кого? Это банально сумма. Если сложно — решение дифура тоже интеграл. Символьные пакеты пока еще не настолько умны, чтобы оперировать аналогиями. В тех же методах Монте-Карло вычисление пи через бросание иголки — примитив с которого начинают, но ни один символьный пакет не сможет такую аналогию провести. За многими дифурами стоят модели, и их интегрирование — та история, где одной символикой не отделаешься.
Я тут много написал… наверное хотел сказать, что в математике есть достаточно искусства. И ручное решение приводит к мастерству.
Да, инженер. Основные предметы: это теория обработки сигналов, схемотехника, теория автоматического управления. Математика во всех предметах примерно одна и та же. Да и весь аппарат решения интегралов в моем случае свелся к теории вычетов и операторному методу, свежий подход который мне объяснили в университете, была в этом какая-то новизна, зацепило)))
Я тут с вами полностью соглашусь, с 8 класса учился в топовой физмат школе, где учителя смогли привить нам эту мысль. Сейчас, к сожалению, сложно встретить 10-11 классников которые это понимают (занимаюсь репетиторством).
Я тут много написал… наверное хотел сказать, что в математике есть достаточно искусства. И ручное решение приводит к мастерству.
Я тут с вами полностью соглашусь, с 8 класса учился в топовой физмат школе, где учителя смогли привить нам эту мысль. Сейчас, к сожалению, сложно встретить 10-11 классников которые это понимают (занимаюсь репетиторством).
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Приемы взятия сложных интегралов