Комментарии 11
Что ж вы то набираете формулы, то картинки вставляете?
Тема публикации перекликается с известным разделом теории динамических систем, который посвящен реконструкции систем. Реконструкция — это построение динамической системы (например, в виде системы Обыкновенных Дифференциальных Уравнений) по одному или нескольким временным рядам, представляющим собой результаты наблюдений каких-то физических величин. Не осмеливался заниматься реконструкцией для неточных наблюдений, с точными когда-то экспериментировал.
Реконструкция (или восстановление) системы по нескольким временным рядам — более простая задача, поскольку в ней заранее известно количество динамических переменных, описывающих систему.
Как и описано в статье, по системе Лоренца (решая её)
можно сгенерировать три временных ряда, представляющих собой значения трех динамических переменных. Далее, можно искать правую часть реконструируемой системы в общем виде, например, в виде полиномов второго порядка. Применение Метода Наименьших Квадратов позволяет получить значение параметров.
Вот результат конкретного эксперимента
`Реконструкция Лоренца
Уравнения системы:
Y1' = c1+c2Y1+c3Y2+c4Y3+c5Y1^2+c6Y1Y2+c7Y2^2+c8Y1Y3+c9Y2Y3+c10Y3^2
Y2' = c11+c12Y1+c13Y2+c14Y3+c15Y1^2+c16Y1Y2+c17Y2^2+c18Y1Y3+c19Y2Y3+c20Y3^2
Y3' = c21+c22Y1+c23Y2+c24Y3+c25Y1^2+c26Y1Y2+c27Y2^2+c28Y1Y3+c29Y2Y3+c30Y3^2
Начальные условия:
X0 = 1, X1 = 7.998
Y1(X0) = 9.0294515
Y2(X0) = 14.557099
Y3(X0) = 18.442343
Параметры (константы) системы:
C1=-0.706157679, C2=-9.903306103, C3=9.90869937, C4=0.086167599,
C5=0.009366051, C6=-0.007094675, C7=0.000585685, C8=-0.002520329,
C9=0.001717728, C10=-0.002387849,C11=-6.651345298,C12=27.03746801,
C13=-0.740066127,C14=0.833818399, C15=0.108642436, C16=-0.099410223,
C17=0.020862284, C18=-0.973958104,C19=-0.002888791,C20=-0.023869912,
C21=-5.402205382,C22=-0.254148545,C23=0.099799627, C24=-1.899216532,
C25=0.144377007, C26=0.856194606, C27=0.031540784, C28 = 0.007928282,
C29=-0.003421554,C30=-0.024331327
`
приблизительно соответствуют искомым.Вот как реконструкция выглядит на графике
Реконструкция по одному временному ряду — задача более сложная, поскольку в этом случае предварительно следует как-то оценить количество динамических переменных, определяющих систему. Для этого существуют специальные методы.
Замечу, также, что параметры системы Лоренца, используемые в статье, подобраны совершенно неудачно, а именно — при них система не демонстрирует то, что в ней наиболее интересно — хаотическое поведение. При этих параметрах первые две компоненты затухают, а третья — неограниченно возрастает
Зеленый график — первая компонента, красный — вторая
Подробнее о реконструкции можно почитать в
Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику,
а также здесь
Немного занудства:
Эта работа основана на материале, распространяемом под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0) International License. Исходный материал: "ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО НЕТОЧНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ" от Г. Ш. Цициашвили и М. А. Осипова, доступно по адресу https://journals.vsu.ru/sait/article/view/10247/9468 (дата обращения: 14.07.2023). В оригинальный алгоритм/метод не быловнесено изменений, а лишь представлена его реализация и проведен эксперимент.
Отмечу, что в данной работе (коде) используется ранее созданный мною строковый калькулятор, функционирование которого было описано в предыдущей статье (https://habr.com/ru/articles/747920/). В связи с этим, не будем останавливаться на его функциях в данной статье.
Я бы оформил вот так:
Эта работа основана на материале, распространяемом под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0) International License. Исходный материал: "ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО НЕТОЧНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ" от Г. Ш. Цициашвили и М. А. Осипова, доступно по адресу (дата обращения: 14.07.2023). В оригинальный алгоритм/метод не было внесено изменений, а лишь представлена его реализация и проведен эксперимент.
Отмечу, что в данной работе (коде) используется ранее созданный мною строковый калькулятор, функционирование которого было описано в предыдущей статье. В связи с этим, не будем останавливаться на его функциях в данной статье.
Скажите, пожалуйста, какое прикладное применение? Правильно понимаю, что если есть сэмплированная амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристика, то этим способом можно реконструировать передаточную функцию? Если да, можете создать пример для функций 5-го порядка, к примеру?
1) Реконструкция динамических систем - прикладной раздел математики и она много где используется в прогназировании и управлении. Первое что мне приходит на ум - это сбор данных косательно погодных показателей с различных датчиков через равные интервалы времени. В таком случае заная "уравнения" которым подчиняется система можно востановить ее параметры. упомяну что в оригинальной статье указано что метод работает только если в точке с нулевым временом шагом якобиан в этой точке не должен быть равен нулю (в статье этот момент упущен за ненадобностью)
2) "сэмплированная амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристика" тут ничего сказать не могу поскольку не знаю что это и с таким не работала, могу посоветовать обратиться к автором метода, их контакты указаны в оригинальной статье.
3) если под функциями пятого порядка имеюсят ввиду полином пятого порядка то я не вижу проблем.
В тексте,, есть несколько моментов, которые можно улучшить. Сначала, описания переменных и формул в начале текста могут быть немного запутанными, особенно для тех, кто не знаком с системой Лоренца. Было бы полезно предоставить более подробное объяснение каждого уравнения и переменной, чтобы читатели могли лучше понять их смысл и значение.
Также некоторые шаги в алгоритме оценки параметров не ясны. Например, как именно вы решаете систему уравнений и получаете оценки параметров? Было бы хорошо, если бы вы предоставили более подробное объяснение этого процесса.Кроме того, не ясно, каким образом вы генерируете неточные наблюдения и какая роль у параметров hi и epsilon в этом процессе. Было бы полезно предоставить более подробное объяснение этих параметров и их значения.
В целом, текст нуждается в большей ясности и подробностях.
Оценка параметров системы дифференциальных уравнений по неточным наблюдениям