Sergey_Kovalenko 15 авг 2023 в 21:23

Почему при умножении «минус на минус» дает «плюс»?

Средний

45 мин

35K

Занимательные задачкиМатематика*Логические игры

Мнение

✏️ Технотекст 2023

(фотография треков частиц и античастиц. источник: www.sciencephoto.com )

В чем, собственно, вопрос

Когда вы учились в школе, разве у вас не возникало желание получить простое объяснение, почему при умножении чисел “минус на минус” дает “плюс”? С умножением двух положительных все просто: $3 \times 5$ — это, когда у вас есть $inline$ корзины по $inline$ яблок. Умножение положительного и отрицательного тоже легко себе представить: $3 \times (-5)$ — это когда вы одолжили у соседа $inline$ корзины по $inline$ яблок в каждой и все эти яблоки уже съели. Но как тогда при помощи корзин и яблок предать смысл произведения $(-3) \times (-5)$ и почему оно неожиданно оказывается тем же самым, что и $3 \times 5$ ?

Этот вопрос — он не то, чтобы совсем простой. Когда я вновь задумался о нем, мне уже был знаком почти весь курс университетской математики, но даже с этим багажом знаний поиск ответа занял у меня почти неделю. Я до сих пор считаю, что получил его скорей случайно.

Объяснение, которое я тогда обнаружил, кажется мне по-настоящему красивым и в то же время достаточно простым, чтобы о нем стоило попробовать рассказать школьникам. Повествование у меня получилось, конечно, не самым кратким, но я старался составить его так, чтобы до всех ключевых идей мой читатель смог догадаться (почти) сам.

Если у вас неправильно отображаются формулы, попробуйте несколько раз перезагрузить страницу. Приятного чтения.

1. Недостатки школьного объяснения и способ их преодолеть

1.1 “Доказательство” из учебника

Умножение отрицательных чисел в школьной программе впервые встречается при изучении целых. Множество целых определяется как множество, состоящее из натуральных, им противоположных “отрицательных чисел” и нуля. Свойство противоположности натурального n и противоположного ему отрицательного -n выражается тождеством:
$def) \ n + (-n) = 0 \ \ \ \ \ \ (1)$

Предполагается, что к моменту, когда школьникам предстоит познакомиться с умножением целых, они уже научились их складывать и успели убедиться, что такое сложение подчиняется многим из тех арифметических законов, которым прежде подчинялось сложение натуральных. В частности, как и для натуральных:

$A0) \ a + c = b + c$ справедливо тогда и только тогда, когда $inline$ .

Дальше обычно говорятся примерно такие слова:

Мы хотим ввести умножение целых так, чтобы оно подчинялось тем же основным арифметическим законам, что и умножение натуральных:

$A1)\ a \cdot b = b \cdot a$ (коммутативности);
$A2)\ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ (ассоциативности);
$A3)\ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ (дистрибутивности со сложением);
$A4)\ 1 \cdot a = a$ ;
$A5)\ 0 \cdot a = 0$ .

Покажем, что, если и существует способ это сделать, то обязательно:

a) для любого отрицательно $inline$ и любого положительного $inline$
$m \cdot (-n) = - (mn) \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$ ;

b) для любых отрицательных $inline$ , $inline$
$(-m)\cdot(-n) = mn \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$ .

Доказательство a):

$-(mn) + mn \underset{def}{=} 0 \underset{A5)}{=} m \cdot 0 \underset{def}{=} m \cdot \bigl( (-n) + n \bigr) \underset{A3)}{=} m \cdot (-n) + mn \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$

откуда:

$-(mn) + mn = m \cdot (-n) + mn \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$ ,

применяя к последнему равенству $inline$ , получаем:

$-(mn) = m \cdot (- n) \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$

Доказательство b):

$-(mn) + mn \underset{def}{=} 0 \underset{A5),def}{=} (-m) \cdot \bigl( n + (-n) \bigr) \underset{A3),a)}{=} -(mn) + (-m) \cdot (-n) \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$

откуда:

$-(mn) + mn = -(mn) + (-m) \cdot (-n) \ \ \ \ \ \ \ \ (7)$

и снова обращаясь к $inline$ , получаем искомое тождество:

$mn = (-m) \cdot (-n) \ \ \ \ \ \ \ \ (8)$ .

1.2 Критика.

В чем недостаток только что приведенного “доказательства”?
Главный — в его условности, ведь оно начинается со слов “если и существует”. Чтобы понять всю шаткость выводов, сделанных на предположении существования, рассмотрим похожий пример.

Если среди натуральных чисел и существует такое $inline$ , что $inline$ , то $x^4 = (x^2) \cdot (x^2) = (-1) \cdot (-1) = 1$ . Эта цепочка рассуждений логически безупречна, а среди натуральных только $inline$ возведенное в четвертую степень равно единице, но ведь вы не будете из этого всего делать вывод, что $1\cdot 1 = -1$ ?

Выходит, что мы по-прежнему не можем быть уверены, существует ли на целых числах умножение, которое удовлетворяет арифметическим законам $inline$ . Из этого затруднения можно пытаться выбраться по-разному. Способ, основанный на формальном подходе, состоит в том, чтобы правила $(-m) \cdot (-n) = mn$ и $m \cdot (-n) = -(mn)$ принять за определение произведения целых, а затем проверить, что такое определение превращает формулы $inline$ в тождества. В частности, для доказательства истинности $inline$ , было бы достаточно перебором всех возможных расстановок знаков у $inline$ , $inline$ , $inline$ проверить, что $inline$ .

Несмотря на идейную простоту формальный подход требует множества долгих и скучных выкладок, а его доказательства вряд ли сделают доказываемое более понятным, поэтому мы не будем использовать формальный подход и пойдем другим путем.

1.3 Модельный подход

Не кажется ли вам, что лучший способ убедится в существовании чего-либо — увидеть это воочию (ну, или почти). Давайте попробуем поискать среди реальных или вымышленных предметов такие, что:

о каждом из них мы бы могли бы сказать, что он (играет роль) обозначает определенное целое число: положительное, отрицательное или ноль;
эти предметы можно было бы естественным образом между собой складывать, причем по тем же правилам, что и обозначаемые ими целые числа;
эти предметы можно было бы естественным образом друг на друга умножать, причем перемножение происходило бы по тем же правилам, что и перемножение обозначаемых ими целых чисел.
было бы само собой очевидно, что операции сложения и умножения этих предметов подчиняются законам $inline$ .

На языке математической логики множество таких объектов называлось бы моделью для арифметики целых чисел с операциями сложения и умножения. Отыскать модель целых, в которой операция умножения была бы совершенно естественной и наглядной, не так-то просто. Много лет назад мне повезло наткнуться на такую. Она потрясла меня своей логической красотой и я хотел бы показать ее вам.

2. Арифметика футуристических картин

2.1 Мотивация

Трудно сказать, что стало настоящей причиной изобретения отрицательных чисел: живые примеры вроде долгов и доходов или желание, чтобы операция вычитания была осуществима всегда. Так или иначе, но долгое время после изобретения отрицательных чисел речь шла только об их сложении и вычитании: перемножать отрицательные числа, насколько мне известно, изначально никто не собирался. Чтобы понять, почему сама возможность умножения отрицательных совсем не очевидна, будет полезно пройти историческим путем и разработать какую-нибудь простую модель целых с естественными операциями сложения и вычитания.

За основу такой модели мы возьмем один замечательный пример из физики: аннигиляцию электрона и позитрона при их столкновении. Если привести в соприкосновение $inline$ электронов и $inline$ позитронов, то $inline$ электронов и $inline$ позитронов аннигилируют и в конце останется только $inline$ позитрона. Этот пример показывает, что реакция группы электронов и группы позитронов выглядит как сложение двух целых чисел противоположного знака. Попробуем придать этой идее точный математический смысл.

2.2 Необычные картины

Я попрошу вас немного пофантазировать.

Представьте, что идет выставка современного искусства в далеком от нас 3141 году. Главной изюминкой этой выставки стали медиа-картины, изображающие собой наглядную модель электронно-позитронного газа. На их полупрозрачных поверхностях медленно дрейфуют красные и зеленые кружкии (двумерные шары) одного и того же размера. Кружки одинакового цвета друг от друга отскакивают, а разного, соприкоснувшись исчезают с негромким хлопком и яркой вспышкой света. Иногда под вспышкой фотокамеры на холсте появляется пара из разбегающихся в разные стороны красного и зеленого кружков (рождение электрон-позитронной пары из гамма-кванта).

(рисунок 1)

Я собираюсь вам показать, что по своим свойствам такие медиа-картины очень похожи на обычные целые числа.

2.3 Заряд картины и его постоянство

Договоримся смотреть на каждый зеленый кружок как на условный электрон e⁻ с зарядом $inline$ , а на каждый красный — как на условный позитрон e⁺ с зарядом $inline$ . В таком случае каждой картине $inline$ в любой момент времени $inline$ можно приписать ее условный заряд $inline$ , равный сумме зарядов всех присутствующих на ней в этот миг “электронов” и “позитронов”. Заряд $inline$ в любой момент времени $inline$ будет целым числом. Он будет положительным, если в этот момент на $inline$ преобладают красные кружки, отрицательным — если преобладают зеленые, и равным нулю — если и тех и других кружков в момент $inline$ оказалось поровну.

Наши картины не статичны, более того, количество присутствующих на них кружков меняется со временем. Несмотря на эти изменения, для любой картины $inline$ ее заряд $inline$ остается постоянным во времени, то есть он не зависит от $inline$ и может быть записан как $inline$ . Действительно, в придуманном нами мире кружки красного и зеленого цвета появляются и исчезают с картин только в паре друг с другом. Поскольку суммарный заряд любой такой пары равен нулю, то ни процесс спонтанного порождения, ни процесс аннигиляции не могут повлиять на общий заряд $inline$ . Как следствие заряд картины остается постоянным на протяжении всего времени ее существования.

(рисунок 2: постоянство заряда)

Насколько заряд картины определяет число нарисованных на ней кружков каждого цвета?

Если заряд картины $inline$ является положительным числом: $inline$ (или нулем), то в данный момент она должна изображать художественную композицию (набор кружков) c одним из следующих составов: (e⁺: $inline$ , e⁻: $inline$ ), ( e⁺: $inline$ , e⁻: $inline$ ), … (e⁺: $inline$ , e⁻: $inline$ ), … и в будущем на ней может появится композиция с любым из этих составов. Если же заряд $inline$ является отрицательным числом: $inline$ , то художественная композиция, которую она изображает в данный момент, может иметь такие составы: (e⁺: $inline$ , e⁻: $inline$ ), ( e⁺: $inline$ , e⁻: $inline$ ), … (e⁺: $inline$ , e⁻: $inline$ ), … и, опять же, в будущем на $inline$ может появится композиция с каждым из этих составов. Поскольку множество возможных составов для будущих композиций на картине зависит только от заряда картины, то это множество также остается неизменным с течением времени.

2.4 Отношение равенства между картинами

На множестве абстрактных целых чисел определено отношение равенства: подразумевается, что два числа равны тогда и только тогда, когда они совпадают. Если мы хотим провести параллель между множеством целых чисел и множеством картин, то в первую очередь нам придется решить, какие картины нам стоит считать равными, а какие — нет.

Посмотрим еще раз на заряд картин:

заряд картины $inline$ выражается целым числом $inline$ и остается неизменным с течением времени;
для каждого целого $inline$ : положительного, отрицательного или нуля, гипотетически мы можем создать картину $inline$ зарядом $inline$ , равным $inline$ ;

Если наша задумка в том, чтобы построить арифметику картин, которая была бы очень похожа на арифметику целых чисел, то выглядит логично в качестве отношения равенства картин принять равенство их зарядов, считая что:

$A \underset{p}{=} B$ тогда и только тогда, когда $inline$

Давайте так и сделаем!

Пример: картина $inline$ c текущей композицией из $inline$ -х красных и $inline$ -и зеленых кружков равна (и будет оставаться равной) картине $inline$ с текущей композицией из $inline$ -х красных и $inline$ -и зеленых кружков, но они не равны (и никогда не станут равны) картине $inline$ с текущей композицией из $inline$ -ти красных и $inline$ -х зеленых кружков.

(рисунок 3: пример равенства картин)

Как и отношение равенства абстрактных целых чисел, введенное нами равенство картин удовлетворяет следующим арифметическим законам:

$Eq1) \ A \underset{p}{=} A \ \ \ \ \$ (рефлексивность);
$inline$ Если $\ \ A \underset{p}{=} B \ \$ , то $\ \ B \underset{p}{=} A \ \ \ \ \$ (симметричность);
$inline$ Если $\ \ A \underset{p}{=} B \ \$ и $\ \ B \underset{p}{=} C \ \$ , то $\ \ A \underset{p}{=} C \ \ \ \ \$ (транзитивность).

Упражнение: проверьте, что у равных картин и только у них множества возможных составов для их будущих композиций, одинаковы.

2.5 Сложение двух картин

Абстрактные целые числа можно складывать. Если мы хотим видеть в электрон-позитронных картинах материальный аналог целых чисел, то должны каким-то образом определиь их сложение. Как на это сделать?

Вряд ли найдется более естественный способ сложить две картины, чем взять их и склеить вместе. Для простоты будем считать, что процесс склейки происходит очень быстро и все цветные кружки на $inline$ сразу после склейки — это в точности те, которые в момент непосредственно перед склейкой находились либо на $inline$ , либо на $inline$ .

(рисунок 4: пример сложения картин)

Тот факт, что множества кружков на картинах $inline$ и $inline$ в процессе склейки объединяются и становятся множеством кружков картины A + B, имеет одно важное и простое следствие. Поскольку заряд картины — это сумма зарядов всех находящихся на ней кружков, то сразу после склейки:

$Charge(A \underset{p}{+} B) = Charge(A) + Charge(B) \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$ ,

Более того, поскольку заряд любой картины, в том числе и $A \underset{p}{+} B$ не меняется со временем, то равенство $inline$ останется справедливым навсегда. По сути, соотношение $inline$ и есть тот логический мостик, который соединяет арифметику электрон-позитронных картин с арифметикой абстрактных целых чисел. Чуть ниже вы увидите, как его можно использовать.

2.6 Однозначность с точностью до равенства

Сложение картин — это хороший пример, чтобы разобрать на нем одну простую, но важную для нашего повествования концепцию “с точностью до равенства”.

Начнем с такого замечания. Результат сложения картин $inline$ и $inline$ не определен однозначно: если $С = A \underset{p}{+} B \ \$ и $\ \ C’ = A \underset{p}{+} B$ , то картины $inline$ и $inline$ друг другу, вообще говоря, не идентичны, и для этого есть несколько причин. Во-первых, композиции на картинах $inline$ и $inline$ динамичны, поэтому в зависимости от выбора момента склейки вы получите разные композиции на картине $A \underset{p}{+} B$ . Во-вторых, даже в один и тот же момент полотна картин $inline$ и $inline$ можно склеить по-разному и получить, вообще говоря, разный узор на итоговом полотне.

(рисунок 5: сумма двух картин при разных способах склейки и склейки в разное время)

Я надеюсь, что на этом месте у читателя появился примерно такой вопрос. Если сложение двух абстрактных целых чисел дает однозначный результат, скажем $inline$ в сумме с $inline$ дает $inline$ , а сложение двух картин не до конца однозначно, то как мы тогда собираемся выстроить аналогию между арифметикой картин и арифметикой целых чисел?

Мы бы действительно не смогли, если бы определили равенство картин как требование идентичности их художественных композиций или даже ослабив его до требования изображать одинаковые по составу наборы цветных кружков. Однако мы поступили по-другому и назвали равенством картин равенство их зарядов.

В чем преимущество такого подхода? А вот в чем:

Когда бы и каким образом не были получены картины $C = A \underset{p}{+} B \ \$ и $\ \ C’ = A \underset{p}{+} B$ , у картин $C \$ и $\ C’$ будет один и тот же заряд равный $inline$ , то есть, в нашем определении $C \underset{p}{=} C’$ . Записанное в виде формулы это же утверждение верно и для абстрактных целых чисел:

Если $c = a + b \ \$ и $\ \ c’ = a + b \ \$ , то $\ \ c = c’$ .

Как вы сами можете видеть, аналогия здесь налицо.

Об операции, которая дает неоднозначный результат, но при фиксированных операндах все возможные ее результаты равны между собой, принято говорить, что она определена однозначно с точностью до равенства. В этом смысле сложения двух картин является примером однозначной с точностью до равенства $\underset{p}{=}$ операции.

2.7 Вычитание одной картины из другой

Одна из причин, по которой математики пришли к использованию целых — это желание, чтобы вычитание одного числа из другого было всегда осуществимым (в арифметике натуральных вычесть можно только меньшее из большего). Напомню, что алгебраически вычитание определяется, как операция обратная сложению:

$(a + b) - b = a \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$ ,
$(a – b) + b = a \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$ .

Поскольку во множестве абстрактных целых для каждого числа $inline$ существует обратное ему $inline$ , такое что:

$p + q = q + p = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$ ,

и сложение целых ассоциативно:

$(a + b) + c = a + (b + c) \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$ ,

то вычитание из $inline$ числа $inline$ оказывается эквивалентным прибавлению к $inline$ противоположного к $inline$ числа $inline$ и поэтому возможно всегда. Действительно:

$a – p = (a – p) + 0 = (a – p) + (p + q) = \bigl ((a - p) + p \bigr ) + q = a + q \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$ ,

Существует ли естественный способ определить разность картин так, чтобы вычитание одной картины из другой было бы всегда возможно? Давйте попробуем это сделать!

Будем отталкиваться от требования, что вычитание должно быть обратной операцией к сложению. Если вы только что получили картину C тем что подклеить картине A картину B, то лучший способ сделать как было — это отрезать B обратно.

(рисунок 6: пояснение для операции разности картин)

Симметрично: если у вас есть какая-то картина $inline$ и вы только что отрезали от нее картину $inline$ , то быстро подклеив $inline$ обратно, вы вновь получите ту же самую $inline$ .

Кажется, что отрезание одной картины от другой — это хороший кандидат на роль вычитания. Мы видели, как отрезание работает в специальных случаях, давайте теперь рассмотри общий. Пусть у нас есть произвольная картина $inline$ и произвольная картина $inline$ , истории появления которых вообще говоря никак не связаны друг с другом. Каким образом мы можем из $inline$ «вычесть» $inline$ ?

Самое очевидное — попытаться отрезать от $inline$ картину $inline$ которая была бы, если ни точной копией $inline$ , то по крайней мере содержала бы одинаковое с ней количество красных и зеленых кружков.

Можем ли мы это сделать для любых $inline$ и $inline$ в любой момент времени? — Вообще говоря, нет! Например у нас явно не получится отрезать картину с $inline$ -тью красными и $inline$ -тью зелеными кружками от пустой картины $\varnothing$ .

Можем ли мы когда-либо отрезать от $inline$ картину с таким же цветовым составом кружков, каким оно будет в тот момент на $inline$ ? — Вообще говоря, да, и в этом смысле вычитание из любой картины $inline$ любой картины $inline$ возможно. Объясняется это тем, что из-за вероятностной природы процессов аннигиляции и спонтанного порождения электрон-позитронных пар, если и не сразу, то через достаточно долгое время (почти) обязательно должен наступить такой момент, когда на $inline$ и красных и зеленых кружков будет больше, чем на $inline$ .

Упражнение: объясните, почему определенная нами только что операция вычитания картин $\underset{p}{-}$ не является полностью однозначной. Попробуйте доказать, что как и операция сложения $\underset{p}{+}$ , вычитание $\underset{p}{-}$ определено однозначно с точностью до равенства $\underset{p}{=}$ .

2.8 Модельное отображение

Арифметика картин и арифметика целых чисел во многом похожи: с каждой картиной $inline$ связано однозначно определенное целое число $inline$ , подобно целым числам картины можно складывать и вычитать, эти сложение и вычитание подчиняются некоторым из тех арифметических законов, что $inline$ и $inline$ для целых чисел. Сейчас мы покажем, что эта аналогия позволяет рассматривать арифметику картин, как модель (аддитивной) арифметики целых чисел.

В параграфе «Модельный подход» было упомянуто, что объекты, отношения и операции модели должны «изображать» объекты, отношения и операции той абстрактной теории, для которой эта модель построена. Но что значит «изображать»? На примере арифметики картин постараемся придать этому понятию точный математический смысл.

Сперва мы скажем, что каждая картина $inline$ изображает собой целое число $A^\# = Charge(A)$ . При таком определении:

Каждая картина $inline$ изображает в точности одно целое число $inline$ :
$inline$ Если $\ \ A^\# = a \ \$ и $\ \ A^\# = b$ , то $\ \ a = b$ .

Каждое целое число a изображается по крайней мере одной картиной $inline$ :
$inline$ Для каждого целого $inline$ найдется такая картина $inline$ , что $\ \ A^\# = a$ .

Если $inline$ — это положительное или ноль, то в качестве такой $inline$ можно взять картину с $inline$ красными и $inline$ зелеными кружками, если $inline$ отрицательное — то картину с $inline$ красными и $inline$ зелеными.

Перейдем теперь к отношениям равенства. Вспомним, что равенство картин было определено нами как равенство их зарядов. В частности, если картина $inline$ изображает число $inline$ , картина $inline$ — число $inline$ и $\ A \underset{p}{=} B \ \$ , то $\ \ a = b$ :
$inline$ Из $\ \ A \underset{p}{=} B \ \$ следует, что $\ \ A^\# = B^\#$ .

Именно свойство $inline$ мы будем подразумевать, говоря, что отношение равенства между картинами $\underset{p}{=}$ изображает собой отношение равенства = между изображаемыми этими картинами целыми числами.

В проведенной параллели между равенством картин и равенством целых чисел есть еще одно важное для нас свойство. Если картина $inline$ и картина $inline$ изображают одно и тоже число $inline$ , то обязательно $\ \ A \underset{p}{=} B$ :
$inline$ Из $\ \ A^\# = B^\# \ \$ следует, что $\ \ A \underset{p}{=} B \ \$ .

Свойство $inline$ выглядит похожим на определение “однозначности с точностью до равенства”. По аналогии с последним мы будем говорить, что каждое целое число $inline$ изображается единственной с точностью до равенства $\underset{p}{=}$ картиной $inline$ .

Пример: единственной точностью до равенства картиной, которая изображает число $inline$ — является пустая (на которой в данный момент нет ни одного кружка), число $inline$ — картина, на которой есть только один красный кружок, а число $inline$ — картиной, на которой есть только один зеленый кружок. «Пустые» картины будут играть в нашей истории особую роль и мы будем обозначать их как $\varnothing$ .

(рисунок 7: картины с зарядами 0, 1, и -1).

Обсудим теперь сложение. При сложении двух картин заряд суммы равен заряду слагаемых:
$Charge(A \underset{p}{+} B) = Charge(A) + Charge(B)$ , другими словами, если картина $inline$ изображает число $inline$ , картина $inline$ изображает число $inline$ , то $inline$ — это число, которое будет изображать картина $A \underset{p}{+} B$ :
$inline$ $(A \underset{p}{+} B)^\# = A^\# + B^\#$ .

Свойство $inline$ и есть точный смысл утверждения, что операция суммирования картин $\underset{p}{+}$ изображает собой операцию $inline$ суммирования абстрактных целых чисел.

То же самое и с вычитанием. Вычитания картин $\underset{p}{-}$ изображает собой операцию вычитания — абстрактных целых чисел в том смысле, что если картина $inline$ изображает число $inline$ , картина $inline$ изображает число $inline$ , то $inline$ — это число, которое будет изображать картина $A \underset{p}{-} B$ :
$inline$ $(A \underset{p}{-} B)^\# = A^\# - B^\#$ .

В описанном выше смысле арифметика картин изображает (аддитивную) арифметику целых чисел или, как говорят математики, является ее моделью, а построенное соответствие между картинами и числами, равенством картин и равенством чисел, сложением и вычитанием картин и одноименными им операциями на целых числах — модельным отображением.

Но для чего вообще нужны модели абстрактных теорий? В основном для…

2.9 Модельные доказательства.

Бывает так, что утверждение, которое трудно доказать внутри абстрактной теории $\mathfrak{A}$ (готическое «A»), оказывается почти очевидным внутри специально сконструированной для $\mathfrak{A}$ модели $\mathfrak{M}_A$ (готическая «M»). Вот пример, хорошо знакомый вам с детства.

Вспомните, как в начальной школе вам объяснили, почему $inline$ ? Сама по себе перестановочность сложения натуральных не то, чтобы очевидна, ведь
$inline$ ,
в то время как
$inline$ .
Я помню, что в детстве мне говорили что-то такое:

“Возьмем кучку из $inline$ яблок и сложим ее с кучкой из $inline$ яблок. Перекладываете ли вы по одному яблоку из первой во вторую (число $inline$ ) или из второй в первую (число $inline$ ) — в обоих случаях результатом будет кучка, состоящая в точности из яблок первой и второй кучек, следовательно $inline$ ”

(рисунок 8: коммутативность сложения яблок)

В приведенном выше “доказательстве” кучки яблок “изображали” натуральные числа, отношение идентичности — равенство натуральных, а перекладывание яблок из одной кучки в другую — прибавление одного числа к другому.

С помощью этой же “яблочной” модели нетрудно объяснить, почему сложение натуральных еще и ассоциативно, то есть для любых натуральных $inline$ , $inline$ , $inline$ :
$inline$ .

Действительно, если взять три (непересекающиеся) кучки яблок размера $inline$ , $inline$ и $inline$ , то не важно: объедините вы сначала первую со второй, а потом прибавите к ним третью, или объедините вторую и третью, а первую прибавите в конце — в результате у вас получится одно и то же множество яблок с одним и тем же их числом.

(рисунок 9: ассоциативность сложения яблок)

Хорошо, а как насчет закона ассоциативности сложения для целых чисел? Почему для них он тоже справедлив, ведь с правилом “из большего вычесть меньшее и поставить знак большего” простая аналоги между суммированием чисел и объединением кучек предметов уже не действует?

Конечно, мы можем проверить ассоциативность сложения целых сугубо формально, просто перебрав все возможные сочетания знаков у целых чисел $inline$ , $inline$ , $inline$ и удостоверившись, что при каждом таком сочетании справедливо равенство $inline$ . Но есть и более элегантное решение, оно состоит в том, чтобы использовать арифметику картин.

Докажем сначала, что сложение самих картин ассоциативно.

Возьмем три произвольные электрон-позитронные картины $inline$ , $inline$ и $inline$ . Если все склейки происходят почти мгновенно, то картины $S’ = A \underset{p}{+} (B \underset{p}{+} C) \ \$ и $\ \ S’’ = (A \underset{p}{+} B) \underset{p}{+} C$ состоят из одного и того же множества зеленых и красных кружков: в точности из тех, которые непосредственно перед склейкой были на полотне $inline$ , или $inline$ , или $inline$ .

(рис 10 ассоциативность сложения картин )

Раз так, то заряды картин $inline$ и $inline$ равны, а значит:
$A \underset{p}{+} (B \underset{p}{+} C) \underset{p}{=} (A \underset{p}{+} B) \underset{p}{+} C \ \ \ \ \ \ \ \ (7)$ .

Теперь мы можем доказать ассоциативность сложения и для чисел. Пусть $inline$ , $inline$ и $inline$ — произвольные целые числа. Согласно $inline$ найдутся такие три картины $inline$ , $inline$ , $inline$ , что $inline$ изображает $inline$ , $inline$ изображает $inline$ , $inline$ изображает $inline$ . Поскольку
$A \underset{p}{+} (B \underset{p}{+} C) \underset{p}{=} (A \underset{p}{+} B) \underset{p}{+} C \ \ \ \ \ \ \ \ (8)$ ,

то:
$\bigl (A \underset{p}{+} (B \underset{p}{+} C) \bigr )^\# = \bigl ((A \underset{p}{+} B) \underset{p}{+} C \bigr )^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (9)$ .

Воспользуемся $inline$ . С одной стороны:
$\bigl (A \underset{p}{+} (B \underset{p}{+} C) \bigr )^\# = A^\# + (B \underset{p}{+} C)^\# = A^\# + (B^\# + C^\#) = a + (b + c) \ \ \ \ \ \ \ \ (10)$ ,

а с другой:
$\bigl ((A \underset{p}{+} B) \underset{p}{+} C \bigr )^\# = (A \underset{p}{+} B)^\# + C^\# = (A^\# + B^\#) + C^\# = (a + b) + c \ \ \ \ \ \ \ \ (11)$ ,

откуда
$a + (b + c) = (a + b) + c \ \ \ \ \ \ \ \ (12)$ ,

что и требовалось доказать.

Наша главная цель в этой статье — наглядно доказать, что умножение с целых с правилом “минус на минус дает плюс ...” подчиняется основным законам арифметики $inline$ – $inline$ . Получается, что для “наглядности" нам нужно просто удачно подобрать модель.

3. Наглядная модель сложения и умножения целых чисел.

3.1 Почему не стоит пытаться искать естественное умножение внутри арифметики картин?

Предположим, что существует такая бинарная операция между картинами $\underset{p}{\cdot}$ , которая, если на каждую картину $inline$ смотреть как на число $A^\# = Charge(A)$ , изображает собой обычное умножение целых “ $\cdot$ ”. Формально это означало бы, что:

$(A \underset{p}{\cdot} B)^\# = A^\# \cdot B^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

для любых картин $inline$ и $inline$ . Давайте посмотрим, какие у этого были бы следствия.

Пусть $inline$ и $inline$ — это картины, которые изображают ровно по одному красному шарику, обозначим их $inline$ . Согласно $inline$

$( Red1 \underset{p}{\cdot} Red1 )^\# = 1 \cdot 1 = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$ ,

то есть $Red1 \underset{p}{\cdot} Red1$ должна быть картиной, на которой число красных шариков на 1 больше зеленых. Если же $inline$ и $inline$ изображают ровно по одному зеленому кружку, давайте такие картины обозначим как $inline$ то:

$(Green1 \underset{p}{\cdot} Green1)^\# = (-1) \cdot ( -1) = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$ .

Следовательно произведение $Green1 \underset{p}{\cdot} Green1$ снова должно быть картиной, на которой число красный кружков на $inline$ больше, чем зеленых.

Почему операция " $\ \underset{p}{\cdot} \$ " с такими свойствами ну никак не может быть естественной для арифметики картин? Все просто — она не симметрична по отношению к цветам!

Чем красный цвет лучше зеленого? Очевидно, что для картин — ничем. И действительно, склейка и отрезание картин вообще не апеллируют к цветовому составу их композиций, а определение для равенства можно переформулировать в абсолютно симметричной для обоих цветов форме:

“две картины равны тогда и только тогда, когда:
1) на них преобладают кружки одного и того же цвета
2) разность между численностью кружков доминирующего и доминируемого цвета на обоих картинах равны."

Поскольку арифметика картин симметрична по отношению к цветам кружков, а гипотетическая операция " $\underset{p}{\cdot}$ " относительно этих цветов ведет себя не симметрично, то очевидно, она не может быть “естественной” для арифметики картин.

Как же нам тогда построить модель целых, в которой умножение было бы естественной операцией? Давайте поищем примеры, когда операция умножения, пусть и не между целыми, но на целые возникает сама собой.

3.2 Умножение картин на натуральные числа

В арифметике натуральных умножение истолковывается как сокращенная запись для суммы нескольких одинаковых слагаемых: $n \cdot m = m + m + … + m$ ( $inline$ раз). Поскольку электрон-позитронные картины тоже можно складывать, совершенно естественным назвать сумму $inline$ копий какой-либо картины $inline$ произведением натурального $inline$ на $inline$ . Также нам будет удобно считать, что произведение числа $inline$ на $inline$ является пустой картиной $\varnothing$ .

(рисунок 11: умножения картины на число)

Упражнение: проверьте, что по отношению к введенной нами операции умножения натурального числа на картину оказываются верны следующие арифметические законы:
$1\underset{p}{\cdot} A \underset{p}{=} A \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$ ;
$0\underset{p}{\cdot} A \underset{p}{=} \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$ ;
$n \underset{p}{\cdot} \varnothing \underset{p}{=} \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$ ;
$n \underset{p}{\cdot} (A \underset{p}{+} B) \underset{p}{=} n \underset{p}{\cdot} A \underset{p}{+} n \underset{p}{\cdot} B \ \ \ \ \ \ \ \ (7)$ ;
$n \underset{p}{\cdot} (A \underset{p}{-} B) \underset{p}{=} n \underset{p}{\cdot} A \underset{p}{-} n \underset{p}{\cdot} B \ \ \ \ \ \ \ \ (8)$
$n \underset{p}{\cdot} (m \underset{p}{\cdot} A) \underset{p}{=} nm \underset{p}{\cdot} A \ \ \ \ \ \ \ \ (9)$ :
$(n \underset{p}{\cdot} A)^\# = n \cdot A^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (10)$ ;
для любого $n\neq 0$ равенство $n \underset{p}{\cdot} A \underset{p}{=} n \underset{p}{\cdot} B$ имеет место тогда и только тогда, когда $A \underset{p}{=} B \ \ \ \ \ \ \ \ (11)$
если $A \neq \varnothing \ \$ , то $\ \ n \underset{p}{\cdot} A \underset{p}{=} m \underset{p}{\cdot} A$ тогда и только тогда, когда $n = m \ \ \ \ \ \ \ \ (12)$ .

Поскольку изначально мы говорили о воображаемой выставке современного искусства, давайте представим, что умножением картин на натуральные числа занимаются особого рода художники-мултиреалисты. Пусть каждый художник-мультиреалист специализируется на том, чтобы умножать (мультикопировать) любую предложенную ему картину (картину-аргумент) на какое-то определенное натуральное число $inline$ или $inline$ . Всякого художника, который умножает картины на число $inline$ , договоримся обозначать как $inline$ , а результат его работы, полученный им по исходной картине-аргументу $inline$ , — как $inline$ . Согласно этим определениям:

$R_n(A) = n \underset{p}{\cdot} A \ \ \ \ \ \ \ \ (13)$ .

Введенная нами нотация подчеркивает, что на каждого художника-мультиреалиста мы можем смотреть как на функцию, для которой областью определения и областью значений служит множество электрон-позитронных картин. Записанные в функциональном стиле арифметические законы умножения будут выглядеть так:

$R_1(A) \underset{p}{=} A \ \ \ \ \ \ \ \ (14)$ ;
$R_0(A) \underset{p}{=} \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \ (15)$ ;
$R_n(\varnothing) \underset{p}{=} \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \ (16)$ ;
$R_n(A \underset{p}{+} B) \underset{p}{=} R_n(A) \underset{p}{+} R_n(B) \ \ \ \ \ \ \ \ (17)$ ;
$R_n(A \underset{p}{-} B) \underset{p}{=} R_n(A) \underset{p}{-} R_n(B)$ ;
$R_n(R_m(A)) \underset{p}{=} R_{nm}(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (18)$ ;
$(R_n(A))^\# = n \cdot A^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (19)$ ;
для любого $n\neq 0 \ \$ равенство $\ \ R_n(A) \underset{p}{=} R_n(B)$ имеет место тогда и только тогда, когда $A \underset{p}{=} B \ \ \ \ \ \ \ \ (20)$ ;
если $A \neq \varnothing \ \$ , то $R_n(A) \underset{p}{=} R_m(A)$ тогда и только тогда, когда $n=m \ \ \ \ \ \ \ \ (21)$ .

Что еще интересного может дать эта мысленная конструкция?

3.3 Художников-мультиреалистов можно складывать и перемножать

Как сложить двух художников $inline$ и $inline$ ? Давайте организуем из них "параллельную" художественную артель $inline$ со следующим регламентом работы: для любой переданной в артель картины-аргумента $inline$ каждый из художников делает c нee свою собственную мультикопию, после чего эти мультикопии склеиваются вместе.

(рисунок 12: работа параллельной артели двух художников реалистов)

Формально регламент работы параллельной артели можно описать так:

$(R_n + R_m)(A) \underset{p}{=} R_n(A) \underset{p}{+} R_m(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (22)$ .

Поскольку

$R_n(A) \underset{p}{+} R_m(A) \underset{p}{=} n\underset{p}{\cdot} A \underset{p}{+} m\underset{p}{\cdot} A \underset{p}{=} (n +m)\underset{p}{\cdot} A \underset{p}{=} R_{n + m}(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (23)$ ,

то с точки зрения финального результата вся артель “ $inline$ ” работает точно так же, как один единственный художник $R_{n + m}$ . Раз так, то совершенно естествено определить операцию сложения художников $\underset{f}{+}$ , положив:

$R_n \underset{f}{+} R_m = R_{n+m} \ \ \ \ \ \ \ \ (24)$

В этом определении " $\underset{f}{+}$ " читатель может узнать обычное для математики понятие суммы двух функций, что подчеркнуто нами использованием под знаком " $inline$ " подстрочной метки " $inline$ ".

Теперь давайте рассмотрим “последовательную” артель $R_n \ast R_m$ . Ее регламент работы будет таким: каждый раз, когда в артель $R_n \ast R_m$ поступает какая-нибудь картина $inline$ , она попадает только к художнику $inline$ , тот снимает с $inline$ мультикопию $inline$ и уже эту мультикопию в качестве аргумента передает художнику $inline$ . Второй художник, получив $inline$ , пишет с нее мультикопию $inline$ , которая и считается итогом работы всей артели. Артель $R_n \ast R_m$ мы будем называть произведением или композицией художника $inline$ с художником $inline$ , читатель легко узнает в ней самую обычную композицию функций $inline$ и $inline$ .

(рисунок 13: работа последовательной артели)

Формально определение регламента работы артели $R_n \ast R_m$ выглядит так:

$(R_n \ast R_m)(A) = R_n(R_m(A)) \ \ \ \ \ \ \ \ (25)$ ,

Поскольку

$R_n(R_m(A)) = R_{n \cdot m}(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (26)$ ,

то с точки зрения финального результата вся артель “ $R_n \ast R_m$ ” работает так же, как один единственный художник $R_{n \cdot m}$ . Получается, что совершенно естественно ввести операцию умножения художников " $\underset{f}{\cdot}$ ", определив ее правилом:

$R_n \underset{f}{\cdot} R_m = R_{n\cdot m} \ \ \ \ \ \ \ \ (27)$ .

Упражнение: попробуйте самостоятельно определить разность $R_n \underset{f}{-} R_m$ между художником $R_n \ \$ и $\ \ R_m$ для всех тех случаев, когда $n \geq m$ .

3.4 Художественная модель для арифметики натуральных чисел.

Трудно не заметить, что арифметические операции с художнками-мультиреалистами формально сводятся к одноименным арифметическим операциям над их индексами.
$R_n \underset{f}{+} R_m = R_{n+m}$ ,
$R_n \underset{f}{\cdot} R_m = R_{n\cdot m}$ .

Но это еще не все. Если под равенством между художниками понимать их равенство как функций, другими словами, считать что: $R_n \underset{f}{=} R_m$ тогда и только тогда, когда для любой картины $inline$ $R_n(A) \underset{p}{=} R_m(A)$ , то и отношение равенства формально тоже будет выглядеть как равенство индексов (смотрите $inline$ ):
$R_n \underset{f}{=} R_m$ тогда и только тогда, когда $inline$ .

Какие отсюда можно сделать выводы? На что это похоже? Давайте покажем, что построенная нами арифметика художников-мультиреалистов является моделью для (расширенной числом $inline$ ) арифметики натуральных чисел.

Будем считать, что каждый художник $inline$ изображает свой индекс $inline$ , то есть $(R_n)^\# = n$ , тогда:

Каждый художник-мультиреалист $inline$ изображает в точности одно натуральное число:
$inline$ Если $(R_i)^\# = m \ \$ и $\ \ (R_i)^\# = n \ \$ , то $\ \ m = n$ .
Каждое натурально число a изображается по крайней мере одним художником $inline$ :
$inline$ Для каждого натурального $inline$ найдется такой художник $R_i \ \$ , что $\ \ (R_i)^\# = n$ .

Поскольку художники равны тогда и только тогда, когда равны изображаемые ими числа:
$inline$ Из $\ \ R_i \underset{f}{=} R_j$ следует, что $(R_i)^\# = (R_j)^\#$ ,
$inline$ Из $\ \ (R_i)^\# = (R_j)^\#$ следует, что $R_i \underset{f}{=} R_j$ ,

то мы можем сказать, что отношение равенства " $\ \underset{f}{=} \$ " изображает равенство натуральных чисел " $\ = \$ ".

Далее, согласно $inline$ число, которое изображает сумма двух художников, равно сумме изображаемых этими художниками чисел:
$N3.1) (R_n \underset{f}{+} R_m)^\# = (R_n)^\# + (R_m)^\#$ ,
следовательно мы также можем сказать, что сложение художников " $\underset{f}{+}$ " изображает сложение " $inline$ " натуральных чисел.

Наконец умножение. Согласно $inline$ число, которое изображает произведение двух художников, как раз равно произведению чисел изображаемых каждым из них:
$N4) (R_n \underset{f}{\ast} R_m)^\# = (R_n)^\# \cdot (R_m)^\#$ ,
а значит по нашей терминологии умножение художников " $\ \underset{f}{\cdot} \$ " изображает умножение " $\ \cdot \$ " натуральны чисел.

И так, мы только что формально доказали, что множество художников-мултиреалистов является моделью арифметики натуральных чисел. В этой модели сами художнки соответствуют тем числам, на которые они “умножают” картины, объединение двух художников в параллельную артель с последующей заменой этой артели на эквивалентного ей художника — соответствует операции суммирования чисел, а объединение двух художников в последовательную артель (также с последующей заменой на эквивалентного этой артели художника) — умножению одного числа на другое.

Подождите! Но ведь арифметика натуральных чисел является частью арифметики целых: каждое натуральное число является также и целым, сложение и умножение натуральных чисел, не важно, рассматриваются ли они как натуральные или как целые, проходит по одним и тем же правилам и дает один и тот же результат.

Какая здесь должна возникнуть догадка? Правильно:

А нельзя ли к уже имеющимся художникам-мультиреалистам добавить художников еще каких-нибудь школ, чтобы получившееся расширенное множество художников с теми же операциями объединения двух художников в параллельную артель в качестве суммы и объединения в последовательную артель в качестве произведения, оказалось бы моделью, но уже для арифметики всех целых чисел?

3.5 В поисках идеального отрицателя

Давайте подумаем, какими качествами должен обладать художник, чтобы его работа изображала " $inline$ "?

По определению абстрактная " $inline$ " есть число обратное к " $inline$ " то есть:

$inline$

Пусть $inline$ — это гипотетический тип художников, которые должны изображать число $inline$ , то есть:

$(Im)^\# = -1 \ \ \ \ \ \ \ \ (28)$

Свойство $inline$ означает, что для любой электронно-позитронной картины $inline$ результат применения к $inline$ художника $inline$ в сумме с самой $inline$ должен давать картину с равным количеством красных и зеленых кружков:

$Im(A) \underset{p}{+} R_1(A) \underset{p}{=} \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \ (29)$ ,

Это требование будет выполнено тогда и только тогда, когда для любой картины $inline$ заряд картины $inline$ будет числом противоположным заряду картины $inline$ . Каким образом мы можем этого добиться?

Давайте вспомним, что заряд картины по определению равен суммарному условному заряду присутствующих на ней красных и зеленых кружков. Заряд каждого красного равен плюс 1-му заряд каждого зеленого — минус 1-му. Не находите ли вы, что самый простой способ поменять заряд картины на противоположный — это сделать так, чтобы на противоположный изменился заряд каждого изображенного на ней кружка. Последнего можно достичь, если в качестве картины $inline$ взять «цветовую инверсию» картины $inline$ , то есть ее точную копию за тем исключением, что каждый красный кружок на $inline$ будет скопирован на картину $inline$ как зеленый, а каждый зеленый — как красный. Пусть в этом и заключается работа художников-импрессионистов $inline$ .

(рисунок 14: работа импрессиониста)

Иметь в лице Im наглядную минус единицу — это конечно хорошо, но как насчет остальных отрицательных чисел, каким образом в нашей арифметике художников представить еще и их? Вспомним, что по определению отрицательное " $inline$ " — это число, которое удовлетворяет уравнению:

$(-n) + n = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ (30)$

Если $inline$ — это что-то, что в нашей арифметике художников выполняет роль числа " $inline$ ", то для любой элекрон-позитронной картины $inline$ должно выполняться тождество:

$Im_n(A) \underset{p}{+} R_n(A) \underset{p}{=} \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \ (31)$

Можно догадаться, что тождество выше окажется верным, если в качестве $inline$ взять последовательную артель $Im \ast R_n$ :

$(Im \ast R_n)(A) \underset{p}{+} R_n(A) \underset{p}{=} Im(R_n(A)) \underset{p}{+} R_1(R_n(A)) \underset{p}{=} Im(B) \underset{p}{+} R_1(B) \underset{p}{=} \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \ (32)$ ,

где $inline$ . Раз так, давайте и будем считать артель $Im \ast R_n$ нашим модельным числом " $inline$ ".

Чтобы построить из художников реалистов $inline$ и последовательных артелей $Im \ast R_j$ модельную арифметику целых нам будет полезно сперва обсудить…

3.6 Арифметические свойства цветовой инверсии.

Одно из наиболее ярких и очевидных свойств инверсии цвета, что ее двойное применение ровным счетом не меняет ничего:

$(Im * Im)(A) = Im(Im(A)) \underset{p}{=} A \ \ \ \ \ \ \ \ (33)$

Если снятие обоих инвертированных дубликатов происходит в одно мгновение, то картина $inline$ не только равна в смысле $inline$ \underset{p}$inline$, но даже является точной копией картины $inline$ .

(рисунок 15 пояснение для повторной инверсии)

Следующим важным для нас свойством инверсии является ее “перестановочность” с операцией сложения картин $\underset{p}{+}$ (сложить две картины, а потом инвертировать результат — то же самое, что сначала инвертировать слагаемые, а потом их сложить):

$Im(A \underset{p}{+} B) \underset{p}{=} Im(A) \underset{p}{+} Im(B) \ \ \ \ \ \ \ \ (34)$

Поскольку умножение картины $inline$ на натуральное число n определялось нами как сумма $inline$ экземпляров $inline$ то из $inline$ следует перестановочность $inline$ с умножением, или тоже самое с работой художников-муьтиреалистов $inline$ :

$n \underset{p}{\cdot} Im(A) \underset{p}{=} Im(n \underset{p}{\cdot} A) \ \ \ \ \ \ \ \ (35)$ ,

$R_n (Im(A)) \underset{p}{=} Im (R_n(A)) \ \ \ \ \ \ \ \ (36)$ .

Мы рассмотрели достаточно свойств инверсии. Давайте теперь попытаемся применить наши знания и построить…

3.7 Художественная арифметика модельных целых: равенство, сумма и разность

Как мы раньше и договорились, модельными целыми в нашей арифметике будут художники-мультиреалисты $inline$ и последовательные артели вида $Im \ast R_i$ . Первые будут изображать абстрактные натуральные и ноль:

$(R_i)^\# = i, i = 0, 1, ... \ \ \ \ \ \ \ \ (37)$

а вторые — все целые отрицательные числа:

$(Im \ast R_j)^\# = -j, j = 1, 2, … \ \ \ \ \ \ \ \ (38)$

в частности, чтобы наши построения были более единообразны, в качестве модельной " $inline$ " договоримся использовать именно артель " $Im \ast R_1$ ", а не отдельно взятого художника " $inline$ ".

Раз мы определились с объектами нашей модельной арифметики, пора задуматься о том, как эти объекты сравнивать, складывать и умножать.

Со сравнением все просто: если наши модельные числа — это функции над картинами, то два модельных числа $inline$ и $inline$ мы должны считать равными тогда и только тогда, когда для любой электрон-позитронной картины $inline$ результат применения к ней $inline$ и $inline$ дают одинаковый с точностью до равенства $\underset{p}{=}$ результат:

$X \underset{f}{=} Y$ тогда и только тогда, когда $X(A) \underset{p}{=} Y(A)$ для любой $A \ \ \ \ \ \ \ \ (39)$ .

Что можно сказать о таком равенстве: какие модельные числа в итоге окажутся «равны»? Чтобы ответить на этот вопрос возьмем в качестве $inline$ картину $inline$ (содержит всего один красный шар) и подставим ее в $inline$ . Этим мы легко убедим, что в нашей модельной арифметике целых художник $inline$ равен только художнику $inline$ , а артель $Im \ast R_k$ только ровно такой же артели $Im \ast R_k$ . Отсюда в частности следует, что модельные числа $inline$ и $inline$ равны тогда и только тогда, когда равны изображаемые ими абстрактные числа $X^\#$ и $Y^\#$ , а это в свою очередь означает, что отношение " $\underset{f}{=}$ " между модельными целыми изображает отношение " $inline$ " между абстрактными.

Перейдем к сложению. Пусть $inline$ и $inline$ — два модельных числа, то есть каждое из них — это либо художник $inline$ , либо артель $inline$Im *_R_k$inline$. Мы хотим, чтобы сумма $inline$ и $inline$ , как и в арифметике художников-мультиреалистов, была эквивалентна объединению $inline$ и $inline$ в параллельную артель, следовательно $X \underset{f}{+} Y$ должно быть чем-то, что по произвольной картине-аргументу $inline$ создает картину, равную $X(A) \underset{p}{+} Y(A)$ .

Что можно сказать о $X \underset{f}{+} Y$ ?

Для начала рассмотри случай, когда “подобное складывается с подобным” (складываются числа, изображающие абстрактные целые одного знака). Поскольку:

$R_n(A) \underset{p}{+} R_m(A) \underset{p}{=} R_{n+m}(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (40)$ , и
$(Im \ast R_n)(A) \underset{p}{+} (Im \ast R_m)(A) \underset{p}{=}$
$\underset{p}{=} Im \bigl ((R_n)(A) \bigr) \underset{p}{+} Im \bigl ((R_m)(A) \bigr) \underset{p}{=} Im \bigl (R_n(A) \underset{p}{+} R_m(A) \bigr ) \underset{p}{=}(Im \ast R_{n+m})(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (41)$ ,

то нам ничего не остается, как положить:

$R_n \underset{f}{+} R_m = R_{n+m} \ \ \ \ \ \ \ \ (42)$ , и
$(Im \ast R_n) \underset{f}{+} (Im \ast R_m) = Im \ast R_{n+m} \ \ \ \ \ \ \ \ (43)$ ,

Получается, что при сложении двух модельных целых “одинакового знака”, как и при сложении абстрактных целых одинакового знака, их «величины» складываются, а «знак» остается прежним.

Теперь давайте выясним, чему должна быть равна сумма модельных чисел $inline$ и $inline$ , когда они имеют разный знак (изображают абстрактные целые разного знака). Поскольку в параллельной артели " $inline$ " роль $inline$ и $inline$ одинакова, то без ограничения общности мы можем считать, что $inline$ – это положительное (или “ноль”) $inline$ , а $inline$ — это отрицательное $Im \ast R_k$ .

Если $n \geq k$ , то:

$R_n(A) \underset{p}{+} (Im \ast R_k)(A) \underset{p}{=} \bigl (R_{n-k}(A) \underset{p}{+} R_k(A) \bigr) \underset{p}{+} (Im \ast R_k)(A) \underset{p}{=}$
$\underset{p}{=} R_{n-k}(A) \underset{p}{+} \bigl (R_k(A) \underset{p}{+} (Im \ast R_k) \bigr )(A) = R_{n-k}(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (44)$ ,

противном случае $inline$ и:

$R_n(A) \underset{p}{+} (Im \ast R_k)(A) \underset{p}{=} R_n(A) \underset{p}{+} \bigl ((Im \ast R_n)(A) \underset{p}{+} (Im \ast R_{k - n})(A) \bigr) \underset{p}{=}$
$\underset{p}{=} \bigl (R_n(A) \underset{p}{+} (Im \ast R_n(A) \bigr ) \underset{p}{+} (Im \ast R_{k-n})(A) \underset{p}{=} (Im \ast R_{k-n})(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (45)$ .

Снова нам ничего не остается, как положить:

$R_n \underset{f}{+} (Im \ast R_k) =R_{n - k}$ , если $n \geq k \ \ \ \ \ \ \ \ (46)$

и

$R_n \underset{f}{+} (Im \ast R_k) =Im \ast R_{k - n}$ , если $n < k \ \ \ \ \ \ \ \ (47)$

Получается, что при сложении двух модельных целых “разного знака” снова, как и при сложении абстрактных, из величины большего нужно вычесть величину меньшего и поставить знак большего.

Легко проверяется, что при любой комбинации знаков модельных целых $inline$ и $inline$ :

$(X \underset{f}{+} Y)^\# = X^\# + Y^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (48)$ ,

а это означает, что операция сложения модельных целых " $\underset{f}{+}$ " изображает операцию сложения абстрактных целых " $inline$ ".

Упражнение: введите разность " $\underset{f}{-}$ " между художественными целыми числами, определив ее как операцию обратную к сложению. Покажите, что вычесть можно любое число из любого, причем:

$X \underset{f}{-} Y \underset{f}{=} X \underset{f}{+} (Im \ast R_1) \underset{f}{\cdot} Y \ \ \ \ \ \ \ \ (49)$ .

Покажите, что таким образом построенная операция разности художественных целых изображает операцию “ $inline$ ” между абстрактными целыми, то есть:

$(X - Y)^\# = X^\# - Y^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (50)$ .

3.8 Модельное умножение и ответ на вопрос: “Почему минус на минус дает плюс”

И так, мы подошли к кульминации повествования: наглядному перемножению целых, которое должно продемонстрировать механизм, из-за которго “минус на минус” дает “плюс”. Как и в модели, состоявшей только из художников-мультиреалистов под произведение модельных чисел X и Y давайте понимать составленную из них последовательную артель (функциональную композицию) $X \ast Y$ .
При перемножении двух положительных, все будет по-прежнему:

$(R_n \ast R_k)(A) = R_n \bigl (R_k(A) \bigr ) \underset{p}{=} R_{n \cdot k}(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (51)$

поэтому, как и прежде, в качестве произведения $R_n \underset{f}{\cdot } R_k$ мы должны взять художника-мультиреалиста $R_{n \cdot k}$ .

Ни чуть не сложнее посчитать произведение “отрицательного” $X = (Im \ast R_n)$ и положительного $inline$ :

$\bigl ((Im \ast R_n) \ast R_k \bigr )(A) = Im \Bigl (R_n \bigl (R_k(A) \bigr ) \Bigr ) \underset{p}{=} Im \bigl (R_{n \cdot k}(A) \bigr ) = (Im \ast R_{n \cdot k})(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (52)$ ,

следовательно, произведением $(Im \ast R_n) \underset{f}{\cdot } R_k$ должно быть отрицательное модельное число $(Im \ast R_{n \cdot k})$ .
Как видите, “минус на плюс” в нашей модельной арифметике, как и в арифметике абстрактных целых, дает “минус”.

Для остальных случаев становится важно, что в последовательной артели из двух или более художников, стоящих рядом $inline$ и $inline$ можно переставлять местами (формула $inline$ ).

При умножении отрицательного положительного $inline$ и отрицательного $Y = (Im \ast R_n)$ :

$\bigl (R_k \ast (Im \ast R_n) \bigr )(A) = (R_k \ast Im \ast R_n)(A) \underset{p}{=} (Im \ast R_k \ast R_n)(A) \underset{p}{=} (Im \ast R_{k \cdot n})(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (53)$ ,

то есть произведение $R_k \underset{f}{\cdot } (Im \ast R_n)$ должно быть артелью $(Im \ast R_{k \cdot n})$ . Как и ожидалось, “плюс на минус” дал “минус”.

И наконец “минус на минус”, когда $X = (Im \ast R_k)$ , а $Y = (Im \ast R_n)$ :

$\bigl ((Im \ast R_k) \ast (Im \ast R_n) \bigr )(A) = (Im \ast R_k \ast Im \ast R_n)(A) \underset{p}{=}$
$\underset{p}{=} (Im \ast Im \ast R_k \ast R_n)(A) \underset{p}{=} \bigl ((Im \ast Im) \ast R_{k \cdot n} \bigr )(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (54)$ .

Два стоящих друг за другом художника Im производят две последовательные инверсии цвета, которые в итоге не меняют ровным счетом ничего (формула $inline$ ), поэтому

$((Im \ast Im) \ast R_{k \cdot n})(A) = Im \Bigl (Im \bigl (R_{k \cdot n}(A) \bigr ) \Bigr ) \underset{p}{=} R_{k \cdot n}(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (55)$ ,

соответственно:

$(Im \ast R_k) \underset{f}{\cdot } (Im \ast R_n) = R_{k \cdot n} \ \ \ \ \ \ \ \ (56)$

и выходит, что “минус на минус” дает “плюс”. Обратите внимание: правило знаков в нашей модели появляется само собой, оно естественно и объясняется тем, что две последовательные инверсии цвета компенсируют друг друга.

Читатель легко проверит, что во всех перечисленных случаях

$(X \underset{f}{\cdot } Y)^\# = X^\# \cdot Y^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (57)$ ,

то есть построенное нами умножение " $\ \underset{f}{\cdot} \$ " между художниками или их коллективами изображает обычное умножение " $\ \cdot \$ " абстрактных натуральных чисел.

Ну вот, наша художественная арифметика целых и построена. Теперь мы можем ее использовать для модельного доказательства истинности законов $inline$ — $inline$ в арифметике абстрактных целых чисел. Чтобы эти доказательства сделать прозрачнее, давайте еще раз явно проговорим, в какой формальной логической связи находятся абстрактная и художественная арифметики целых.

3.9 Модельное соответствие между арифметиками художественных и абстрактных целых

Выше мы установили следующие факты:

Каждое модельное целое $inline$ , будь то художник-мультиреалист $inline$ или последовательная артель мультиреалиста и импрессиониста $(Im \ast R_j)$ , — изображает в точности одно (абстрактное) целое число:

$Z_{+, \times}1.1)$ Если $X^\# = p \ \$ и $\ \ (X)^\# = q \$ , то $\ \ p = q$ .

Каждое (абстрактное) целое число $inline$ изображается по крайней мере одним модельным $inline$ :

$Z_{+, \times}1.2)$ Для каждого целого $inline$ найдется такое модельное $inline$ , что $\ \ X^\# = p$ .

Равенство между модельными числами изображает равенство между абстрактными. Модельные целые равны тогда и только тогда, когда равны изображаемые ими числа:

$Z_{+, \times}2.1)$ Из $\ \ X \underset{f}{=} Y$ следует, что $\ \ X^\# = Y^\#$ ,
$Z_{+, \times}2.2)$ Из $\ \ X^\# = Y^\#$ следует, что $\ X \underset{f}{=} Y$ .

Операция суммы " $\ \underset{f}{+} \$ " (разности " $\ \underset{f}{-} \$ ") между художественными числами изображает операцию “ $\ + \$ ” (“ $\ - \$ ”) между абстрактными:

$Z_{+, \times}3.1) \ (X \underset{f}{+} Y)^\# = X^\# + Y^\#$ ,
$Z_{+, \times}3.2) \ (X \underset{f}{-} Y)^\# = X^\# - Y^\#$ .

Умножение художественных целых " $\ \underset{f}{\cdot} \$ " изображает умножение " $\ \cdot \$ " натуральны чисел:

$Z_{+, \times}4) \ (X \underset{f}{\cdot} Y)^\# = X^\# \cdot Y^\#$ .

3.10 Модельное доказательство законов умножения

В начале статьи мы обозначили проблему, которая звучит так:

Пусть мы ввели умножение абстрактных целых со следующим определением: величина произведения двух чисел равна произведению их величин, а знак выбирается плюсом, когда знаки множителей одинаковы и минусом, когда они различны. Будет ли такое умножение подчинятся арифметическим законам:

$A1) \ p \cdot q = q \cdot p$ ;
$A2) \ (p \cdot q) \cdot v = p \cdot (q \cdot v)$ ;
$A3) \ (p + q) \cdot v = p \cdot v + q \cdot v$ ;
$A4) \ 1 \cdot p = p$ ;
$A5) \ 0 \cdot p = 0$ ?

Справедливость законов $inline$ и $inline$ тривиально следует из самого определения и не требует какой-то особой техники доказательств.

Что можно сказать об истинности $inline$ (закона коммутативности)? Смысл этого закона в том, что произведение двух сомножителей не должно зависеть от их порядка, другими словами, произведение должно быть симметричной по отношению к своим аргументам операцией. Для простоты мы будем предполагать известным, что произведение натуральных чисел от порядка множителей не завит.

Давайте посмотрим на написанное нами выше определение для умножения абстрактных целых чисел. Обратите внимание: оно звучит абсолютно симметрично для к первого и второго сомножителей, собственно, их номера явно даже не упоминаются. Единственное “тонкое место” в тексте определения — это “произведение величин”. Если величина первого сомножителя равна $inline$ , а второго $inline$ , то под “произведением величин” формально мы должны понимать либо $m \cdot n$ , либо $n \cdot m$ . Выбор любого из этих вариантов, конечно, нарушит формальную графическую симметрию определения, но поскольку оба они равны между собой, то “произведение величин” несмотря на свою графическую асимметрию, все равно окажется симметричной по отношению к своим аргументам операцией, следовательно, симметричной окажется и операция произведения целых.

Раз мы пришли к выводу, что произведения целых определено по отношению к сомножителям симметрично, то закон $inline$ должен выполняется сам собой.

И так, нам осталось доказать только справедливость закона ассоциативности $inline$ и закона дистрибутивности $inline$ . Докажем сначала, что эти законы верны в нашей модельной арифметике целых, то есть для любых модельных целых $inline$ , $inline$ , $inline$ :

$A2^*) \ (X \underset{f}{\cdot} Y) \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{=} X \underset{f}{\cdot} (Y \underset{f}{\cdot} Z)$ ;

$A3^*) \ (X \underset{f}{+} Y) \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{=} X \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{+} Y \underset{f}{\cdot} Z$ .

Начнем с $inline$ . Если мы допустим небольшую неточность и скажем, что произведение модельных целых $inline$ и $inline$ равно самой последовательной артели $S \ast T$ , то утверждение $inline$ станет почти очевидным. Действительно, и правая и левая его части окажутся тройной последовательной артелью $X \ast Y \ast Z$ . Точное доказательство ненамного сложнее.

Что такое $(X \underset{f}{\cdot} Y) \underset{f}{\cdot} Z$ ? По определению это такое модельное целое $inline$ , которое перерисовывает картины точно также, как последовательная артель $V \ast Z$ , где $inline$ является таким модельным целым, которое перерисовывает картины точно так же, как артель $X \ast Y$ . Но тогда получается, что $inline$ перерисовывает картины точно так же, как и артель $X \ast Y \ast Z$

(рисунок 16 пояснение для ассоциативности художников)

Аналогично, спросим себя, что такое $X \underset{f}{\cdot} (Y \underset{f}{\cdot} Z)$ ? Опять же, по определению это такое модельное целое $inline$ , которое перерисовывает картины также, как артель $X \ast U$ , где $inline$ является таким модельным целым, которое перерисовывает картины точно так же, как артель $Y \ast Z$ . И снова получается, что теперь уже $inline$ перерисовывает картины точно так же, как и артель $X \ast Y \ast Z$ .

Получается, что $inline$ и $inline$ перерисовывают одну и туже картину всегда одинаково, следовательно $W_L \underset{f}{=} W_R$ и тем самым справедливость $inline$ доказана.

Перейдем к проверке $inline$ . В действительности справедливость этого закона тоже почти очевидна и все доказательство сводится к проверке определений. По сути, нам надо доказать, что для любой картины $inline$ :

$\bigl ((X \underset{f}{+} Y) \underset{f}{\cdot} Z \bigr )(A) \underset{p}{=} \bigl (X \underset{f}{\cdot} Y \underset{f}{+} Y \underset{f}{\cdot} Z \bigr )(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (58)$ .

Рассмотрим выражение в правой части написанного только что предполагаемого равенства. По определению " $\ \underset{f}{\cdot} \$ ":

$\bigl ((X \underset{f}{+} Y) \underset{f}{\cdot} Z \bigr )(A) \underset{p}{=} \bigl ((X \underset{f}{+} Y) \ast Z \bigr )(A) \underset{p}{=} (X \underset{f}{+} Y)\bigl (Z(A)\bigr ) \ \ \ \ \ \ \ \ (59)$

Далее, по определению " $\ \underset{f}{+} \$ ":

$(X \underset{f}{+} Y)\bigl (Z(A)\bigr ) \underset{p}{=} X \bigl (Z(A) \bigr) \underset{p}{+} Y \bigl (Z(A) \bigr) \ \ \ \ \ \ \ \ (60)$ .

Очевидно, что это то же самое, что и правая часть $inline$ , но для полноты изложения я приведу все выкладки. По определению " $\ \underset{f}{+} \$ ":

$\bigl (X \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{+} Y \underset{f}{\cdot} Z \bigr )(A) \underset{p}{=} (X\underset{f}{\cdot} Z)(A) \underset{p}{+} (Y \underset{f}{\cdot} Z)(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (61)$ .

Теперь воспользуйтесь определением " $\ \underset{f}{\cdot} \$ ":

$(X\underset{f}{\cdot} Z)(A) \underset{p}{+} (Y \underset{f}{\cdot} Z)(A) \underset{p}{=} (X\ast Z)(A) \underset{p}{+} (Y \ast Z)(A) = X \bigl (Z(A) \bigr) \underset{p}{+} Y \bigl (Z(A) \bigr) \ \ \ \ \ \ \ \ (62)$

— что и требовалось доказать.

И так, мы доказали, что в нашей модельной арифметики закон ассоциативности умножения и закон дистрибутивности умножения и сложения верны. С помощью модельного отображения уже совсем просто доказать, что эти же законы верны и в арифметике абстрактных целых чисел, сделаем это.

Пусть $inline$ , $inline$ , $inline$ – три произвольных абстрактных целых числа. По свойству $Z_{+, \times}1.2$
найдутся такие модельные целые $inline$ , $inline$ , $inline$ , что $X^\# = a$ , $Y^\# = b$ , $Z^\# = c$ . Далее. Мы знаем, что

$X \underset{f}{\cdot} Y) \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{=} X \underset{f}{\cdot} (Y \underset{f}{\cdot} Z \ \ \ \ \ \ \ \ (63)$ ,

но тогда согласно $Z_{+, \times}2.1$ :

$\bigl ((X \underset{f}{\cdot} Y) \underset{f}{\cdot} Z \bigr)^\# = \bigr (X \underset{f}{\cdot} (Y \underset{f}{\cdot} Z) \bigl )^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (64)$

Поскольку " $\ \underset{f}{\cdot} \$ " изображает " $\ \cdot \$ " (свойство $Z_{+, \times}4$ ), то:

$\bigl ((X \underset{f}{\cdot} Y) \underset{f}{\cdot} Z \bigr)^\# = \bigl ((X \underset{f}{\cdot} Y) \bigr)^\# \cdot Z^\# = (X^\# \cdot Y^\#) \cdot Z^\# = (a \cdot b) \cdot c \ \ \ \ \ \ \ \ (65)$

и

$\bigr (X \underset{f}{\cdot} (Y \underset{f}{\cdot} Z \bigl)^\# = X^\# \cdot \bigr ((Y \underset{f}{\cdot} Z \bigl)^\# = X^\# \cdot (Y^\# \cdot Z^\#) = a \cdot (b \cdot c) \ \ \ \ \ \ \ \ (66)$ .

Объединяя два написанных выше равенства с $inline$ , приходим к выводу, что:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \ \ \ \ \ \ \ \ (67)$

таким образом $inline$ доказан.

Аналогичным способом доказывается и $inline$ . Пусть $inline$ , $inline$ , $inline$ – все те же три произвольных абстрактных целых числа, а $inline$ , $inline$ , $inline$ – все те же три модельных целых, для которых $X^\# = a$ , $Y^\# = b$ , $Z^\# = c$ . Согласно $inline$ :

$(X \underset{f}{+} Y) \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{=} X \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{+} Y \underset{f}{\cdot} Z \ \ \ \ \ \ \ \ (68)$

применяя к написанному выше равенству $Z_{+, \times}2.1$ , имеем:

$\bigl ((X \underset{f}{+} Y) \underset{f}{\cdot} Z \bigr) ^\# = (X \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{+} Y \underset{f}{\cdot} Z )^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (69)$

Поскольку " $\ \underset{f}{\cdot} \$ " изображает " $\ \cdot \$ " (свойство $Z_{+, \times}4$ ), а " $\ \underset{f}{+} \$ " изображает " $\ + \$ " (свойство $Z_{+, \times}3.1$ ), мы можем преобразовать левую и правую части полученного равенства:

$\bigl ((X \underset{f}{+} Y) \underset{f}{\cdot} Z \bigr) ^\# = (X \underset{f}{+} Y)^\# \cdot Z^\# = (X^\# + Y^\#) \cdot Z^\# = (a + b) \cdot c \ \ \ \ \ \ \ \ (70)$ ,

$(X \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{+} Y \underset{f}{\cdot} Z )^\# = (X \underset{f}{\cdot} Z)^\# + (Y \underset{f}{\cdot} Z )^\# = X^\# \cdot Z^\# + Y^\# \cdot Z^\# = a\cdot c + b \cdot c \ \ \ \ \ \ \ \ (71)$

Объединяя три последних равенства, получаем желаемое:

$(a + b) \cdot c = a\cdot c + b \cdot c$ .

4. Немного рефлексии и рекламы

Задачи для самостоятельного исследования

Задача 1: Попробуйте переизобрести натуральные числа. Собственно представьте, что вам не известна концепция натурального числа, но вы сообразителны и вам доступны наблюдения за любыми конечными множествами предметов. Попробуйте построить модель натуральных чисел, на которой вы сможете логически точно ввести отношения равенства, сумму, разность и произведение. Для таких построений особенно удобно иметь неограниченное число наборов одинаковых по форме деревянных кубиков.

В обосновании модельных тождеств вы не должны использовать знания об арифметики абстрактных натуральных чисел, иначе получится не честно — ведь вам их только предстоит изобрести. Одним из потенциально сложных для вас вопросов будет такой: «почему, если в танцевальном классе вы каким-то образом поставили в пары мальчиков с девочками и при этом осталось три мальчика без пары, то нет никакого способа составить пары мальчиков с девочками так, чтобы партнер нашелся для каждого ученика». Наверное, вам также придется поломать голову над коммутативностью $inline$ и ассоциативностью $inline$ умножения.

Задача 2 Ее предложил Давид Худавердян khdavid. Что будет, если кружки на картинах будут иметь не 2 а 3 или 4 различных цвета. Можно ли обобщить приведенные в статье логические построения и если да, то что за арифметика получится в итоге?

Решение этих задач может занять у вас часы, а может — и годы. Не торопитесь узнать ответ — главная ценность не в решении, а в тех навыках, которые вы приобретете во время его поиска.

Адаптации текста, вопрос к методистам и учителям.

Как видите тест получился не маленьким. Не знаю, насколько в таком виде он сложен для детей, скажем, класса 8-го и старше, не знаю насколько он способен заинтересовать и удержать внимание, но я уверен он должен быть понятен достаточно талантливому учителю. Мне было бы интересно услышать мнение таких людей и получить пару советов о том, как сделать текст доступнее и увлекательней для школьной аудитории.

Если вы работаете с детьми и готовы попробовать пересказать им мою статью, я хотел бы узнать, каких вам удалось получить результатов. Для связи со мной вы можете использовать мою электронную почту magnolia@bk.ru.

Пожертвования

Написать эту статью стоило для меня месяца кропотливого труда. Такие статьи — моя страсть, но только за свой счет я не могу позволить себе писать их слишком часто. Если вам понравилась моя работа и вы хотели бы видеть ей подобные чаще, то можете поддержать ее автора. Вот номер карты:
СовкомБанк 5536 0905 3062 3225.
Спасибо!

Личные занятия

В сообщении меня спросили насчет занятий в живую. Раз так, то почему бы и нет, тем более, что я планирую писать еще статьи для детей и хотел бы лучше понять природу мышления моих читателей.

Если у вас есть дети старшего школьного возраста (где-то 8 класс и старше ) могу попробовать на 3-4 экспериментальных занятиях помочь им научится смотреть на мир через призму математики. Никаких назиданий и ЕГЭ — только провокации их собственной инициативы и любопытства. Я думаю поиграть с ними в настольные и логические игры, сводить в книжный магазин, познакомит с азами философии, аккуратно поработать над их логикой построения выводов, помочь им сделать свое первое математическое исследование.

Мне кажется, я знаю, как работать с мальчиками. Мой метод состоит в том, чтобы поощрять их желание к независимости и самоутверждению. Если честно, я не представляю себе, как работать с девочками, однако у меня есть одна интересная знакомая, которая имеет успешный опыт и желание к общению с талантливыми детьми. Про одаренных девочек могу спросить у нее.

Скорее всего, ученик, которому будут полезны мои занятия — это способный «троечник» с достаточно развитым природным умом и сообразительностью, чтобы школьная математика могла представлять для него хоть какой-то интерес. Если ваш ребенок посещает профильный класс, подумайте дважды — я ведь могу показать ему совершенно другой мир математики нежели тот, о котором рассказывают ему в школе… но если будет желание пообщаться, то почему бы и нет.

Мои условия таковы:
1) Мой день (да, занятие — это примерно день непринужденного общения) будет стоит для семьи столько, сколько зарабатывают в среднем за день родители ученика (или его опекуны). Пусть это будет маленькая ирония, если мои уроки сможет позволить себе семья дворников и не сможет семья банкиров :).
2) Оплату предыдущего занятия я буду брать в начале следующего, если оно состоится, так что «попробовать» можно (почти) бесплатно. Оплата последнего дня дает возможность бывшему ученику задавать мне свои вопросы по электронной почте в течение еще 1-го года.
3) Перед первым занятием родителям придется приехать со мной познакомится в Ленинский район Москвы. Это позволит нам друг друга узнать, кроме того для подготовки к первому занятию я должен расспросить их о будущем ученике.

Если вам интересно — вот моя электронная почта:
magnolia@bk.ru.

Буду рад ответить на все ваши вопросы.
.
.

Другие мои научно-популярные статьи по математике:

Применимы ли индуктивные рассуждения к предсказанию символов в неслучайных последовательностях?
Случайный трамвай посреди незнакомого города
Эмпирическая вероятность

Сергей Коваленко
август 2023 года.

Теги:

Хабы: