Как стать автором
Обновить

Математика и физика для простой и результативной учёбы (Серия: Сельскому учителю в помощь). Часть II: Предмет математики

Уровень сложностиПростой
Время на прочтение33 мин
Количество просмотров5.4K

ЧАСТЬ I: ВСТУПЛЕНИЕ
ЧАСТЬ II: ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ
ИНСТРУКЦИЯ РАЗДЕЛА
1. МАНИФЕСТ
2. МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА КАК НЕДЕЛИМОЕ ЦЕЛОЕ
3. ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ
4. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: «НОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
5. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: ТЕОРИЯ ПОЛЯ
6. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
7. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
8. ОТОБРАЖЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ МОДЕЛЬЮ «КОНЕЧНЫЙ АВТОМАТ»
9. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: ЭНЕРГИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ
ЛИТЕРАТУРА
10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЯЗЫКИ

Постоянная ссылка: https://github.com/myfoundation/EvolutionaryEngineering

ИНСТРУКЦИЯ РАЗДЕЛА

Ниже доступно даны элементы математики, каждодневно пользуемые каждым естествознателем (математиком, физиком, инженером). Высшее образование строят на их познании и умении применить. Эти элементы следует запомнить, и взять за каркас, расширяемый и детализируемый обучением.

1. МАНИФЕСТ

Мурал мозаикой на фасаде здания завода Каустик, Волгоград. Шардаков П., 1969-1973
Мурал мозаикой на фасаде здания завода Каустик, Волгоград. Шардаков П., 1969-1973

В манифестах кратко излагают программу, принципы деятельности, иногда призыв.
У каждого из нас в кармане лежит машина, чьи физико-математические модели чувственно неотличимы от реальности. Она связана с космическими спутниками и миллионами таких же машин. Способна считать и читать каждый удар сердца, эмоцию. Несомненно, эти машины требует эффективной физики и математики.
В школе же будущие учёные и инженеры десять лет осваивают четыре арифметических действия, три графика функций, нескольких формульных операций, геометрию треугольника и «циркуля с линейкой». С большего, это всё.
В «Век пара и машин» Сэр Артур Конан Дойль устами Шерлока Холмса оценил данную «тренировку мышления» так.
«Человеческий мозг – это пустой чердак, куда можно набить всё, что угодно. Дурак так и делает: тащит туда нужное и ненужное. И наконец, наступает момент, когда самую необходимую вещь туда уже не запихнёшь. Или она запрятана так далеко, что ее не достанешь. Я же делаю всё по-другому. В моём чердаке только необходимые мне инструменты. Их много, но они в идеальном порядке и всегда под рукой. А лишнего хлама мне не нужно.»[1]

В начале XX века государствами признана «отсталость общеобразовательного курса математики от ее современного состояния более, чем на 300 лет» и начато массовое внедрение «новой математики», свёрнутое затем в промежутке 1952-1969 гг.

[24]

«В курсе так называемой элементарной математики полагается основание знакомству с тремя основными математическими понятиями, а именно: с понятием числа, уравнения и функции. Первому из них в средней школе уделяется наибольшее внимание и отводится наибольшее время. В арифметике рассматривается сначала счет, как первый основной процесс, приводящий к результату, выражающемуся числом; затем изучаются действия над натуральными числами, являющимися результатом счета, и указываются некоторые их свойства; наконец, делаются первые шаги на пути расширения понятия числа, а именно; вводятся число нуль и дробные числа, и указывается второй основной процесс получения числа: измерение.
Дальнейшее изучение числа переносится обыкновенно в курс алгебры. Здесь рассматривается дальнейшее расширение понятия числа, и вводятся числа отрицательные, иррациональные и комплексные.
Второму основному понятию – понятию уравнения – отводится несравненно меньше времени и места. Изучаются лишь уравнения первой и второй степеней и некоторые уравнения приводящиеся к уравнению второй степени.
Наконец третьему основному понятию – понятию функции – в средней школе пли совсем не оказывается места, или уделяется весьма мало времени и внимания.
Кроме арифметики и алгебры, в курс математики средней школы входят еще геометрия и тригонометрия. Та и другая представляют обыкновенно обособленные части, и, если в геометрических задачах на вычисление пользуются арифметикой и алгеброй, то в арифметике и алгебре обыкновенно не прибегают к помощи геометрических иллюстраций и интерпретаций.
Описанный выше в кратких чертах обычный курс элементарной математики содержит в себе почти только то, что было достоянием науки до XVII столетия. Из математических открытий, сделанных с ХVII столетия, в элементарный курс вошла только теория логарифмов и начинают входить учения о координатах и функции.
Таким образом создалась отсталость общеобразовательного курса математики от ее современного состояния более, чем на 300 лет.
Между тем приложения математики к вопросам естествознания, техники, статистики, политической экономии, финансовых вычислений, страхового дела с каждым годом расширяются, и лица, занимающиеся этими предметами, встречают не малые затруднения, если они обладают только теми математическими знаниями, которые даст обычный курс элементарной математики.»

В то же время с XIX века в ключевых научных школах преподают «новую математику» и построенную на ней физику. Рекомендую вдумчивому читателю введение к учебнику Дьедонне (вместе с Вейлем ведущая фигура Бурбаки). Ниже – фрагменты от туда.

[2]

«Уже ряд лет наблюдается серьезная тревога по поводу все увеличивающегося разрыва между методами и духом преподавания математики в средних школах (лицеях), с одной стороны, и в университетах – с другой. Предлагаемая книга содержит полное и подробное изложение понятий и теорем элементарной линейной алгебры, которые должны были бы составлять необходимый минимум знаний бакалавра наук в момент его поступления в пропедевтические классы высшего учебного заведения. Это обучение должно ему казаться естественным продолжением предшествующей учебы. Однако в настоящее время вряд ли найдется даже один среди тысячи бакалавров, способный без дополнительной помощи и упорной работы прочесть данную книгу, что достаточно характеризует несогласованность программ курсов математики в средней и высшей школе. Я заранее прошу прощения у тех университетских коллег, в руки которых попадет эта книга. Они, возможно (и с полным правом!), обвинят меня в том, что я ломлюсь в открытую дверь, причем делаю это к тому же с совершенно ненужным шумом. В свое оправдание скажу, что дверь эта, видимо, открыта не для всех. Обучение математике «по Евклиду» было неплохой подготовкой к дальнейшим занятиям математикой для современников Виета или даже для современников Коши. Сегодня положение коренным образом изменилось. Я прошу вас беспристрастно посмотреть на следующие темы, занимающие большое место в школьной математике: I. Задачи на построение «циркулем и линейкой». II. Свойства «традиционных» фигур, таких, как треугольники, четырехугольники, окружности и системы окружностей, конические сечения... – все это со всеми изощрениями, накопленными поколениями «геометров» и преподавателей в поисках подходящих экзаменационных задач. III. Весь псалтырь «тригонометрических формул» и их калейдоскопических преобразований, позволяющих находить великолепные «решения» «задач» на треугольники. Если вы теперь откроете наугад любую книгу, трактующую какую-либо область, изучаемую в высшем учебном заведении, то сразу заметите, что ни в одной из них нет ни малейшего упоминания всей этой роскоши. Если иногда случайно и встретится коническое сечение, то оно исследуется (если это необходимо) так же, как и всякая другая кривая, – общими методами анализа. Что же касается других «фигур», дорогих сердцам геометров предыдущих поколений, то они просто растворились в небытие. Согласен, скажете вы, пусть теоремы, которым учат школьников, предназначены для того, чтобы в дальнейшем быть забытыми; однако, упражняясь на этих искусственных примерах, они познакомятся с методами исследований и приобретут навыки мышления, которые в дальнейшем окажут им большую помощь. На это опять-таки можно ответить, что сказанное, несомненно, было правильным в эпоху, предшествующую Декарту, но оно устарело уже для современников Ньютона. Следствием развития математики является то, что результаты, которые первооткрыватели получают после трудных рассуждений, следуя по извилистым и иногда темным путям, зачастую через 50-100 лет могут быть выведены на нескольких строчках. Общеизвестным примером такой ситуации является изобретение анализа бесконечно малых. Оно сразу свело решение проблем, над которыми бились изощренные умы Евдокса и Архимеда, к почти автоматическим вычислениям. Что хуже известно – это то, что в результате работ Грассмана, Кэли и других более чем столетней давности, и в элементарной геометрии открылся, по образному выражению Г. Шоке, «королевский путь». Отправляясь от очень простых аксиом – в отличие от сложных аксиом Евклида – Гильберта, – можно при помощи тривиальных вычислений непосредственно и в несколько строчек получить все то, для чего раньше нужно было возводить леса искусственных и сложных систем треугольников. Непосвященному такое явление может показаться удивительным. Специалист-математик давно уже освоился с подобным положением дел и знает, что замена одной системы аксиом другой – эквивалентной, но лучше подобранной – зачастую приводит к значительным упрощениям. Что же полезнее – излагать ученикам теории, где все естественно укладывается вокруг нескольких простых ключевых идей, которые, кроме того, будут основными и в их дальнейшей учебе, или же, напротив, оставить их лицом к лицу с неподходящим аппаратом, который им нужно будет забыть, как только они его освоят? Можно ли рассматривать накопление частных, более или менее разрозненных познаний для подготовки ко всевозможным профессиям целью среднего образования? Не лучше ли попытаться научить детей думать на примере небольшого числа хорошо подобранных понятий с тем, чтобы в дальнейшем технические навыки смогли с легкостью надстраиваться в «хорошо подготовленные головы». Это тем более просто, что в математике мало понятий, которые было бы проще определить, чем понятие векторного пространства и понятие линейного преобразования. Одно из преимуществ линейной алгебры в том и состоит, что она позволяет изложить элементарную геометрию с полной строгостью и совсем просто, между тем, как хорошо известно, аксиоматические системы, предложенные в конце прошлого столетия и тесно следующие традициям Евклида, столь сложны и тонки, что они практически не могут быть изложены ранее, чем на старших курсах университета. Я являюсь решительным противником «метода предварительного возведения лесов». Такой подход был бы оправдан, если бы понятия, лежащие в основе аксиом евклидовой плоскости – сложение векторов, умножение вектора на скаляр, скалярное произведение векторов, – были бы слишком абстрактны и труднопредставимы на чертеже. Однако все знают, что это не так, – и нескольких месяцев работы с миллиметровой бумагой должно быть достаточно, чтобы приучить ученика к этим действиям и привести его к допущению, что можно построить алгебро-геометрическое здание на свойствах, правильность которых легко проверяется на опыте. Нужно научить ребенка искусству геометрических построений, но при этом следует как чумы избегать этого воплощенного анекдота классического обучения – ограничения набора допустимых инструментов лишь циркулем и линейкой. Напротив, нужно приводить как можно больше примеров механических чертежных инструментов, позволяющих осуществлять самые различные конструкции или – еще лучше – преобразования плоскости (пантограф, аффиннограф и так далее). Желательно как можно раньше освободить ученика от смирительной рубашки традиционных фигур, упоминая их как можно реже (за исключением, конечно, таких, как точки, прямые и плоскости), и пользоваться вместо этого геометрическими преобразованиями всей плоскости или всего пространства. В целом преподавание в средних классах школ должно состоять из хорошо продуманной смеси умело выбранных «геометрических опытов» и частных рассуждений относительно результатов таких опытов: по аналогии с обучением физике и химии, это должно составить своеобразную «физику пространства». Нужно освободить обучение математике от суеверия, что все любой ценой должно быть сведено к единому аксиоматическому источнику. Математики-профессионалы имеют веские основания стремиться к такому положению вещей, но эти основания касаются только их. Что, напротив, имеет всеобщее значение – это умение осуществлять правильные логические выводы из посылок, которые вовсе не обязаны обладать генеалогическим древом, восходящим к теории множеств. Надеюсь, что мне поверят, если я в конце отмечу, что, вмешиваясь в вопросы среднего образования, я не преследую никакой личной выгоды. От того, где и когда произойдет реформа образования и какие принципы будут положены в ее основу, мне не холодно и не жарко. Я хотел только добавить для архивов будущего историка некоторый материал о том, как при этом можно было бы поступать, если стремиться действовать разумно.»

Педагоги стыка начального и высшего образования так же требуют замены в школьном образовании исторически отжившей элементарной математики.
«До недавнего времени школьники, да и не только они, были убеждены в существовании двух математик – элементарной и высшей. Элементарная изучалась в школе и заканчивалась логарифмами, биномом Ньютона и задачами на применение тригонометрии в стереометрии. Она приносила немало неприятностей старшеклассникам, многие из которых выходили из стен школы с убеждением, чтя это не для них. И отдельно существовала высшая математика, о которой школьник в лучшем случае знал, что она изучается в вузах, что там есть векторы, дифференциалы и интеграл.
В соответствии с таким делением определялось и содержание популярной литературы для школьников. И из нее нередко можно было вынести мнение о математике, как о собрании головоломных задач, для решения которых необходимо обладать совершенно особенными способностями.
В действительности же дело обстоит далеко не так. Современная школьная программа позволяет избавиться от ненужного деления нашей пауки на «младшую» и «старшую». Она знакомит семиклассника с векторами, девятиклассника – с производной, десятиклассника – с интегралом. Это дает возможность любому школьнику еще в школе познакомиться с тем, чем занимается математика-наука.
Прекрасную возможность для самостоятельной творческой работы представляет дифференциальная геометрия – раздел математики, возникший как естественное обобщение и развитие одной из задач, рассматриваемых еще в школе, – задачи о проведении касательной. Именно при решении этой геометрической задачи возникли понятия дифференциала и дифференциального исчисления, а применение этого исчисления к исследованию линий и поверхностей и составляло в течение XVIII и XIX вв. содержание дифференциальной геометрии. Эту часть дифференциальной геометрии стали теперь называть классической или локальной.» [3]

2. МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА КАК НЕДЕЛИМОЕ ЦЕЛОЕ

Земля слушает. В.Нестеров, 1965
Земля слушает. В.Нестеров, 1965

«Математика – часть физики. Физика – экспериментальная, естественная наука, часть естествознания.
В середине двадцатого века была предпринята попытка разделить математику и физику. Последствия оказались катастрофическими. Выросли целые поколения математиков, незнакомых с половиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления ни о каких других науках.
Они начали учить своей схоластической псевдоматематике сначала студентов, а потом и школьников, забыв о предупреждении Харди, что для уродливой математики нет постоянного места под Солнцем.
Поскольку ни для преподавания, ни для приложений в каких-либо других науках схоластическая, отрезанная от физики, математика не приспособлена, результатом оказалась всеобщая ненависть к математикам – и со стороны несчастных школьников и со стороны пользователей.
Открытия связей между разнородными математическими объектами можно сравнить с открытием связи электричества и магнетизма в физике. Эмоциональное значение таких открытий для преподавания трудно переоценить. Именно они учат нас искать и находить подобные замечательные явления единства всего сущего. Дегеометризация математического образования и развод с физикой разрывает эти связи.» [22]
«Экспериментальная и математическая физика имеют общий предмет изучения и различаются только применяемыми ими методами исследования. Обе эти ветви науки образуют вместе одно целое, единство которого обеспечивается их взаимодействием. Физик-экспериментатор, лишенный помощи теоретика, бессилен в такой же степени, как теоретик без поддержки физика-экспериментатора.
Метод математической физики состоит в использовании фактов, устанавливаемых математикой. Этот метод, постоянно проверяемый экспериментальным путем, привел к огромным успехам, что дает физикам твердую уверенность в его применимости. Однако физики рассматривают этот метод лишь как инструмент и необходимый вспомогательный аппарат. Переоценивать математический метод и математический формализм было бы столь же неверно, как и пренебрегать ими.» [23]

3. ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ

Афинская школа. Рафаэль Санти, 1510
Афинская школа. Рафаэль Санти, 1510

Изречение «Негеометр да не войдёт», венчавшее вход в Академию Платона, Коперник поставил эпиграфом к своему трактату «О вращении небесных сфер».
«Пожелай мы услышать мнение великих о важности и полезности геометрии, мы могли бы вспомнить любого философа со времен Платона. У греков в древности, как и в школе Песталоцци и прочих в наши дни, геометрия преподается как лучшее упражнение для ума.
Это не должно вызывать удивления, учитывая, что эта величественная наука не только больше прочих пригодна к тому, чтобы пробудить дух исследования, возвысить разум и усилить способности к рассуждению, но и составляет лучшее введение в наиболее полезные и важные для человека профессии. Арифметика, топография, гидростатика, пневматика, оптика, физическая астрономия и т. д. –все полагаются на предложения геометрии». [27]
«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг – геометрия», оценил начало XX в. Ле Корбюзье.
«Так как все, что ни есть, находится в пространстве, то геометрия, как теория пространственных форм и отношений, имеет всеобщее значение. Мы окружены ее реальными воплощениями, она лежит в основе всей техники, появляясь всюду, где требуется малейшая точность в определении форм и размеров.
Геометрия возникла из практических задач. Технику, инженеру, квалифицированному рабочему геометрическое воображение необходимо, так же как и геометру или архитектору; математику понимание ее связей с другими науками и практикой чрезвычайно важно.
Геометрическая фигура в исходном смысле и есть не что иное, как идеальный, отвлеченный от всякого материала образ реального тела, реальной поверхности или линии. Идеальные геометрические фигуры и понятия существуют только в нашем представлении. Причина их ввода в том, что они нужны для точного решения задач и для точных теоретических выводов. Отвлекаясь от материала, можно мыслить тело идеально точной формы и размеров. В природе и технике нет отрезков без ширины, бесконечных прямых, точек без размеров.
Геометрия есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. Во всяком геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют два эти элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из этих двух сторон, нет и подлинной геометрии.
Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика – привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины – «лед и пламень не столь различны меж собой». Так геометрию и изучают: соединяя живость воображения с логикой, а наглядные картины – со строгими формулировками и доказательствами.
Поэтому основное правило состоит в том, что, обращаясь к определению, теореме или задаче, нужно представить в предметах (наглядно), нарисовать или вообразить то, о чем идет речь, и одновременно понять, как это точно выражается.
Для точного решения практических задач нужны точные правила, последние требуют точных понятий. Тем более точных понятий требует вывод одних правил из других (теория). Выводы, слагающиеся в логическую систему геометрии, относятся только к идеальным фигурам. Например, теорема Пифагора верна для идеальных треугольников, а к реальным применима в приближении. Однако, практика всегда показывала возможность сделать формы тел и геометрические построения более точными. Неточности связаны с особенностями материала «реальных тел».
Логическая система, где все доказано, важна для воспитания элементов научного мировоззрения, которое требует доказательств, а не ссылок на то что «так сказано в учебнике». Однако учащиеся не должны знать все доказательства; достаточно, если они разберутся в них, а знать будут только некоторые, наиболее существенные. Развитие логического мышления требует упражнения, а не запоминания готовых выводов. Каждый человек имеет наглядное понятие о пространстве, о телах, о фигурах. В геометрии свойства фигур изучаются в отвлеченном (абстрактном) виде и с логической строгостью.» [4]

«Геометрия – одно из самых мощных средств человеческого мышления. Мы воспринимаем окружающий мир в основном при помощи зрения, а геометрическая интуиция тесно связана со зрением. В геометрии часто в буквальном смысле можно увидеть то, что происходит.
Некоторые математики, может быть 10 из 100, мыслят формулами. Такова их интуиция. Но остальные мыслят образами: их интуиция геометрическая. Картинки несут гораздо больше информации, чем слова. В течение многих лет школьников отучали пользоваться картинками, потому что «они не строгие». Это печальное недоразумение. Да, они не строгие, но они помогают думать, а такого рода помощью никогда не следует пренебрегать.
Геометрия в стиле Евклида (а до недавнего времени только с ней и сталкивалось большинство людей) не одобряет обращения к картинкам и пользуется вместо этого высокопарными рассуждениями по существу алгебраического характера, основанными на понятии конгруэнтности треугольников. В итоге все геометрические идеи сводятся к свойствам треугольников.» [28]

4. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: «НОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

Идиллия (отъезд). 1931. Портрет мадмуазель Пом Рашо. 1933. Тамара де Лемпицка
Идиллия (отъезд). 1931. Портрет мадмуазель Пом Рашо. 1933. Тамара де Лемпицка

Весь ХIХ век шло строительство новых аппаратов математики. Физика спустилась к объектам масштаба атомного ядра. К ХХ веку математика перестроилась принципиально: предшествующая геометрия утратила значение для техники и науки, став рудиментом - отжившим при эволюции органом.
Теперь под «геометрией» понимают геометрию поля, теоретической механики и теории упругости. В неё элементами входят аналитическая геометрия, геометрия дифференциалов, матриц, тензоров и дифференциальных операторов. Уясним её место в естествознании.
«Если математика может рассматриваться как язык естествознания, то только потому, что языком математики является геометрия. Геометрическая терминология буквально пронизывает всю математику и создает связь между самыми абстрактными ее понятиями и пространственной интуицией. Поэтому всякий геометрический термин имеет две стороны: абстрактную и наглядную, связанную с интуицией и воображением.
Но геометрия – это не только язык математики, но и поэзия математики, и не случайно именно геометрические задачи положили начало большинству математических дисциплин: дифференциальному, интегральному и вариационному исчислениям, функциональному анализу, гомологической алгебре и многим другим.
Так, геометрическая операция нахождения касательной к кривой линии преломляется в анализе как нахождение производной, т. е. предела отношения, в механике – как нахождение скорости, а в алгебре – как линейное отображение особого вида. Весь этот спектр значений может вновь сойтись в теории дифференцируемых многообразий и найти общее применение в теории полей тяготения. Именно геометрические интуитивные представления помогают переносить понятия из одной области математики в другую, расширяя тем самым их значение. Более того, многим разделам математики именно геометрия придает смысл и значение, так как без ее посредничества они никогда не нашли бы приложений в естествознании.» [5]
«В вопросе о понятии пространства гораздо отчетливее чем в вопросе о вещественных числах, проявляется проблема соотношения математики с так называемой действительностью. Ньютон формулирует свою позицию следующим образом: «Основанием для геометрии является практика механики, и в действительности геометрия есть не что иное, как та часть механики в целом, которая точно устанавливает и обосновывает искусство измерения». Или, словами Гонсета: «Геометрия – это физика произвольного пространства».
Ньютон и классическая физика начинают, таким образом, с молчаливого предположения о существовании некоторого физически независимого субстрата, а именно пустого пространства, и создают понятие геометрии из идеализаций реальностей: точек, прямых, расстояний, углов и соотношений между ними. Возможность достичь широкого согласия о свойствах этих идеализированных реальностей была продемонстрирована еще древними; оно продолжает жить без изменений в школьной геометрии. В этом смысле евклидова геометрия образует систему отсчета, аналогичную континууму.» [6]
«Со времени Ньютона вся совокупность наук, занимающихся исследованием явлений материального мира, называется натуральной философией, или естествознанием. К естественным наукам относится и теоретическая механика, изучающая законы движения тел и называемая ещё иначе аналитической механикой.
Тот отдел механики, в котором движение изучается вне зависимости от сил, обусловливающих данное движение, называется по Амперу кинематикой. Здесь рассматриваются пространственные соотношения и их изменения, совершающиеся с течением времени.
Другими словами, кинематика есть не что иное, как геометрия, в которой независимой переменной служит время. Движущийся объект в кинематике важен лишь по своей форме и по своему положению; это объект геометрический: точка, линия, поверхность, тело или совокупность их.» [7]
«Математическая теория упругости старается выяснить изменения геометрического и механического состояния тела в процессе его деформации. Речь идет об определении и оценке геометрических величин, характеризующих деформации тела, а также об оценке внутренних сил, называемых напряжениями, которые возникают в процессе деформации.
Для анализа деформированного и напряженного состояний применяются методы математической физики. Для этого определяется понятие сплошной среды, ее плотности, рассматриваются геометрические величины, описывающие изменения тела, внутренние силы, их связь с внешними воздействиями. Соотношения между внутренними силами и деформациями берутся из эксперимента. Поэтому теория упругости является феноменологической теорией.» [8]
«Если отвлечься от крайностей, то алгебра издревле составляла существенную часть математики. То же самое следовало бы сказать и о геометрии, но мы скроемся за крылатой фразой Софи Жермен (XIX век): «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах».» [9]
Геометрия – это «наше всё».

5. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: ТЕОРИЯ ПОЛЯ

На работу в поле. Митлинова, 1960-е
На работу в поле. Митлинова, 1960-е

Задача теории единого поля - описать всю физику совокупностью полей («единым полем»). Первая успешная единая теория поля создана Максвеллом.
«Каждое физическое явление, происходящее в пространстве и во времени, уже образует поле. Теория поля лежит на границе между физикой и геометрией. Теория поля, по моему мнению, представляет собою в настоящее время главное зерно всей теоретической физики. Выделяя теорию поля, мы отчасти избегаем повторения выводов одних и тех же теорем в её различных отделах.» [10]
«Основная задача классической теории поля состоит в разработке механики, электродинамики и термодинамики непрерывных сред в трехмерном эвклидовом пространстве. Более конкретно, главной задачей классической теории поля является исследование дифференциальных уравнений в частных производных, которые справедливы в эвклидовом пространстве для механических, термических и электромагнитных параметров состояния, зависящих от пространственных координат и времени.» [11]

6. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Балет. Автор неизвестен
Балет. Автор неизвестен

Физика – наука, отображающая предметы уравнениями движения. Ключевое отображение этой науки - «пространство состояний». Для чего привлекают математику поля, аналитическую механику, системы дифференциальных уравнений. Перечисленные аппараты связаны и переплетены, и имеют в концовке вычислителями метод конечных разностей либо - конечных элементов.

[12]-[16]

«В нашем университете был введен курс лекций «Основные принципы классической механики и классической теории поля», включающий квинтэссенцию классических разделов теоретической физики. Я подготовил такой курс и дважды прочитал его. Важность этого материала для основ физики и отсутствие единого его изложения в существующих учебниках побудили меня сделать данный курс общедоступным, издав его в виде настоящей книги.» [12] «Не случайно принципы механики производили огромное впечатление на многих выдающихся математиков и физиков. Не случайно также, что в европейских университетах с давних пор курс теоретической механики обязательно входит в план обучения любого будущего математика и физика. Аналитическая механика – это гораздо большее, чем просто эффективный метод решения динамических задач, с которыми приходится встречаться в физике и технике. Вряд ли существует еще какая-либо из точных наук, где абстрактные математические рассуждения и конкретные физические доводы так прекрасно гармонируют и дополняют друг друга. За великими теориями Эйлера и Лагранжа, Гамильтона и Якоби скрывается необычайное богатство философского содержания, которое совершенно исчезает при чисто формальном изложении, но которое не может не быть источником величайшего интеллектуального наслаждения для человека, любящего математику. Дать студенту возможность открыть для себя скрытую красоту этих теорий – в этом заключалась одна из главных задач автора. Корни вариационных принципов механики уходят в глубь эпохи либерализма, начавшейся с Декарта и окончившейся с французской революцией, эпохи, в которую жили Лейбниц, Спиноза, Гёте и Бах. Это был единственный период во всей истории Европы со времен древних греков, когда люди мыслили в масштабах Вселенной. Если автор сумел передать хотя бы частицу этого космического духа, то его усилия вполне вознаграждены.» [13] «Каждой механической системе сопоставляется некоторая функция обобщенных координат, обобщенных скоростей системы, и времени: L = L (координат, скоростей, времени) называемая функцией Лагранжа. Обобщенными координатами называются любые величины, с помощью которых может быть задано положение системы в пространстве. Обобщенными скоростями называются производные обобщенных координат по времени. Установив для рассматриваемой механической системы вид функции Лагранжа, можно описать движение системы с помощью уравнений, связывающих частные производные функции L по координатам и скоростям. Функция Лагранжа может быть использована для характеристики не только систем с конечным числом степеней свободы, но и систем с бесконечным числом степеней свободы – сплошных сред, электромагнитных и других физических полей. Таким образом, значение функции Лагранжа выходит за рамки классической механики.» [14] «Системы, где есть преобразователи электрической энергии в другие виды и наоборот, описываются с помощью уравнений аналитической механики. Для электромеханических систем описание с помощью уравнений Лагранжа наиболее естественно. Это позволяет выделить обширный класс систем, для которых применим лагранжев формализм, что полезно в методическом и в принципиальном отношении. Основываясь на общности математического аппарата, можно использовать многие важные факты, полученные в аналитической механике, для интерпретации их в терминах теории цепей. Возможность использования методов аналитической механики в теории электрических цепей известна со времен Максвелла. Это положение сейчас столь очевидно, что во многих учебниках по теоретической электротехнике и теории цепей приведены примеры, показывающие применимость уравнений Лагранжа и Гамильтона. Аналогом кинетической и потенциальной энергий выступают магнитная и электрическая энергии цепи соответственно. Уже в работах Максвелла указан формальный прием построения уравнений Лагранжа для линейных цепей с двухполюсниками. Описание электрических цепей уравнениями классической механики имеет еще одну положительную сторону. Для численного решения уравнений типа Лагранжа и Гамильтона возможно построение специальных методов численного интегрирования, которые оказываются либо более эффективными, либо лучше отображают истинные свойства решений.» [15] «Механика прошла три основных этапа. К первому мы должны отнести развитие механики вплоть до Галилея и Ньютона; второй этап, начатый Галилеем и Ньютоном и включивший в себя разработку основных принципов механики в целом, заканчивается к половине девятнадцатого столетия; с этого времени, связанного с открытием закона сохранения и превращения энергии, начинается третий этап. Первый этап, занявший более полутора тысяч лет древнего мира и средневековья, характеризуется крайне низким уровнем развития техники. В силу этого и механика имела своим ближайшим объектом примитивные орудия этой эпохи – простые рычаги, блоки и т.п., привязанные к тому же к земле. Формулировка и применение основных законов динамики и обобщение механики с земных тел на все вообще соотношения тел во вселенной были задачей XVI и XVII веков. Эта эпоха была эпохой развития торгового и мануфактурно-промышленного капитализма. Развитие применения машин как в производстве, торговле, так и в военном деле ставило задачи развития механики и астрономии, а вместе с ними и математики. В тот период механика была господствующей и наиболее развитой среди естественных наук. С бурным развитием в XIX веке физики, производства и связанной с ним техники, одно из центральных достижений этой науки составляет принцип сохранения энергии и превращаемости ее форм. Обозначая через T кинетическую энергию, через V – потенциальную, через Q – тепловую, через X – электрическую и т. д., запишем закон сохранения энергии так: T + V + Q + X + ... = const т.е. ΔT + ΔV + ΔQ + ΔX + ... = 0 Эти уравнения содержат ту мысль, что механическое движение является лишь одной из форм физических движений материи, и что механическое движение может превращаться в другое – тепловое, электрическое и т.п. Первая формула указывает на постоянство полной величины энергии всех ее видов, вторая – на переход одного из них в другой. Здесь, таким образом, механике придана уже не механическая, а общефизическая основа.» [16]

«Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и все его прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время. Множество всевозможных состояний процесса называется фазовым пространством. Фазовое пространство механической системы – это множество, элементом которого является набор положений и скоростей всех точек данной системы. Движение всей системы описывается движением точки по кривой в фазовом пространстве.
В каждой точке фазового пространства задан вектор – он называется вектором фазовой скорости. Все векторы фазовой скорости образуют векторное поле фазовой скорости в фазовом пространстве. Это векторное поле определяет дифференциальное уравнение процесса (зависимость скорости движения фазовой точки от ее положения).
Основная задача теории дифференциальных уравнений состоит в определении или исследовании движения системы по векторному полю фазовой скорости. Понятие фазового пространства сводит изучение эволюционных процессов к геометрическим задачам о кривых, определяемых векторными полями.» [17]

7. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Солнце Мира (скульптура). Арнольдо Памодоро, 2012
Солнце Мира (скульптура). Арнольдо Памодоро, 2012

Под «вычислителями» понимают машины и алгоритмы числовых расчетов математики.
«Иногда удается упростить задачу настолько, что в уравнениях остается одна независимая переменная, т. е. задача приводится к одномерной. Полученные таким образом дифференциальные уравнения содержат одну независимую переменную и могут быть в принципе решены точными аналитическими методами.
В большинстве случаев принципиально, невозможно привести задачу к одномерному виду и решить ее точными аналитическими методами.
Среди конструкторов радиоэлектронной аппаратуры все большей популярностью пользуется метод конечных разностей, или метод сеток. Можно было бы его назвать и методом кубиков, поскольку в основе его лежит построение моделей сложных физических процессов, происходящих в больших объемах пространства из простых элементарных процессов, происходящих в малом объеме обычно кубической формы. Всегда можно перейти от уравнений в частных производных к (численным) уравнениям в конечных разностях и наоборот.» [18]
«Появление электронных вычислительных машин коренным образом изменило ситуацию в области решения дифференциальных уравнений с частными производными. Большинству инженеров-практиков в настоящее время стало доступным численно исследовать поставленные перед ними задачи.
Если же конструкция в целом неоднородна и состоит из большого количества отдельных конструктивных элементов, поведение каждого из которых описывается своим дифференциальным уравнением, то в этом случае, как правило, можно непосредственно применить лишь метод конечных элементов.
Ключевая идея метода при анализе поведения конструкций заключается в следующем: сплошная среда (конструкция в целом) моделируется путем разбиения ее на области (конечные элементы), в каждой из которых поведение среды описывается с помощью отдельного набора выбранных функций.
Начиная с 1955 г. метод распространился на наиболее перспективные направления численного исследования задач математической физики. Термин «математическая физика» используется здесь для обозначения широкого круга аналитических задач – расчет конструкций, теплопередача, течение жидкости, распространение электромагнитных волн. Популярность метода и интерес к нему как раз и объясняются указанной выше возможностью отражать реальные аспекты, возникающие в прикладных задачах проектирования.» [19]

8. ОТОБРАЖЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ МОДЕЛЬЮ «КОНЕЧНЫЙ АВТОМАТ»

Разностная машина. Бэббидж Ч. 1849
Разностная машина. Бэббидж Ч. 1849

«Конечный автомат» – отображение уравнения движения над пространством (дискретных) состояний.

[20]

«Движение системы можно рассматривать как цепь преобразований ее состояний. Состояние любой системы можно, с определенной точностью, охарактеризовать совокупностью значений величин, определяющих ее поведение. Есть различные формы описания состояния системы. Мы будем пользоваться способом, основанным на понятии пространства состояний. Пространство, где каждое состояние системы изображается определенной точкой (алгебраический вектор), назовём пространством состояний системы. Термин «дискретный автомат» или кратко просто «автомат» обозначает модель, обладающую следующими особенностями: а) на «входы» модели в каждый из дискретных моментов времени t1,t2,t3,... поступает m «входных» величин (вектор алгебраический) { x1,x2,x3,...,xm }, каждая из которых может принимать значение из конечного «входного» множества X; б) на «выходах» модели можно наблюдать n «выходных» величин (вектор алгебраический) { y1,y2,y3,...yn }, каждая из которых может принимать конечное число фиксированных значений из «выходного» множества Y; в) в каждый момент времени модель находится в одном из состояний z1,z2,z3,...zv, заданных конечным множеством Z; г) в каждый момент времени состояние модели определяется входной величиной х и состоянием z; д) модель осуществляет преобразование «ситуации» (вектора) x = { x1,xt2,x31,...,xm } на входе в «ситуацию» (вектор) y = { y1,y2,y3,...yn } на выходе в зависимости от ее состояния в предыдущей момент времени.» [20]

При реализации конечных автоматов отображение пар { состояние автомата, входная величина } в следующее состояние (функция «переходов») и отображение этих же пар в выходную величину (функция «выходов»), обычно задают графом либо таблицами (что одно и тоже).

9. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: ЭНЕРГИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ

Портрет Адели Блох-Бауэр I. Климт Г., 1907
Портрет Адели Блох-Бауэр I. Климт Г., 1907

Состояние предмета отображают взаимным положением обособленных частей предмета (его геометрией); химическими, тепловыми, электрическими, и иными скалярными и силовыми полями. Перечисленный состав предмета меняется количественно и качественно; его компоненты во «времени» переходят друг в друга.
Чтобы свести в единую модель полную совокупность свойств предмета с их взаимными преобразованиями, вводят понятие «энергия». Им связывают состояния над пространством состояний предмета.

[21]

«Каждое физическое определение, претендующее на пригодность, должно сводить определяемое понятие к таким понятиям, происхождение которых коренится в непосредственных чувственных восприятиях – так, чтобы для более или менее точного числового выражения соответствующей величины требовалось только непосредственное наблюдение. Мы можем определить энергию некоторой материальной системы как функцию, значение которой зависит от переменных, определяющих состояние системы, следовательно, от положения, скорости, температуры и тому подобных материальных элементов системы. Состояние материальной системы в определенный момент времени есть совокупность всех величин, мгновенными значениями которых полностью определено течение в ней процесса (внешние действия здесь исключены). Тогда энергия системы является определенной функцией этих величин. Если ограничиться рассмотрением явлений движения, то под состоянием системы материальных точек можно понимать совокупность положений и скоростей всех точек системы. Следовательно, величины, определяющие механическое состояние, суть пространственные координаты точки и их первые производные по времени (скорости); только от этих величин зависит механическая энергия системы; когда они заданы, то вообще весь процесс движения и, следовательно, все переменные системы определены как функции времени. В целом, к этим «величинам, определяющим состояние» (кроме уже упомянутых переменных, определяющих механическое состояние) относятся температура, электрическая и магнитная плотность, сила гальванического тока и т. д. Тогда обнаруживается замечательный факт, что первичное выражение энергии выступает в форме суммы, отдельные слагаемые которой составляются из определенных характеризующих состояние величин, соответствующих отдельным частным формам явлений. Тем самым полная энергия сама собой распадается на некоторое число отдельных друг от друга независимых энергий, каждая из которых получается особым образом из отдельных свойств рассматриваемого состояния. Это дает нам повод различать в системе различные виды энергии, как-то: энергию механическую, тепловую, химическую, электрическую, магнитную; суммируя их, мы получаем полную энергию системы. Этот факт, который мы можем назвать принципом наложения друг на друга (суперпозиции) энергий, связан с тем, что многие, происходящие в природе явления протекают совершенно независимо друг от друга: нагревание тела не изменяет его веса, электростатический заряд не влияет на магнетизм и т.д. Мы можем принцип наложения энергий, выражающий обобщение целого ряда хорошо известных в физике законов, принять здесь просто как принцип, данный опытом. Укажем прежде всего на удобство, которое вытекает из принципа суперпозиции энергии для наглядности понятия и для вычисления значения полной энергии. Мы можем представить себе полную энергию системы как запас, возникший в результате простого сложения отдельных энергий, подобно тому как общий вес тела получается из сложения весов отдельных содержащихся в нем химических элементов. При этом можно подсчитать величину каждого отдельного вида энергии самого по себе, совершенно независимо от других свойств рассматриваемой системы, если только известны специфические величины, определяющие состояние, которые этому виду энергии соответствуют. Таким образом мы мысленно отводим каждому виду энергии особое место в материи; тем самым мы получаем практическую выгоду, облегчая рассмотрение отдельных видов энергии и предохраняя себя от ошибки упустить какой-либо из них из виду при вычислении полной энергии. В общем каждой действующей в системе силе или вообще каждому особому свойству системы соответствует особый вид энергии, которую нужно считать находящейся в том же самом месте, в котором это свойство проявляется. Так же как общая масса тела представляется как сумма отдельных масс содержащихся в нем химических субстанций, так и энергия системы составляется сложением отдельных видов энергии, и можно проследить до малейших деталей изменение и превращение этих различных видов энергии, подобно тому как это можно сделать в отношении изменений материи. Если, предположим, мы нашли бы выражение полной энергии как сумму отдельных видов энергии, то мы должны считать ее величину, при всяком изменении изолированной от внешних воздействий системы, независимой от времени, между тем как отдельные виды энергии могут изменяться по величине за счет других видов; следовательно, всякий процесс, происходящий в природе, можно рассматривать как превращение отдельных видов энергии друг в друга, в то время как их сумма, весь запас энергии, находящейся в системе, не может ни увеличиваться, ни уменьшаться. Если в системе существуют только такие силы, которые действуют на неизмеримо малые расстояния, то действие на какую-нибудь материальную частицу будет зависеть только от состояния самой частицы относительно ее непосредственного окружения, и тогда энергия системы получается простым суммированием энергий всех ее материальных частиц. Но иначе получается, когда встречаются силы, непосредственно действующие на расстоянии, так как энергия, обусловленная такой силой, будет зависеть от тех же величин, как и сама сила, следовательно, и от расстояния обоих действующих друг на друга элементов. В этом случае энергия связывается по существу с одновременным положением обоих элементов, следовательно, она не находится в каком-либо одном месте пространства, и нельзя больше положить полную энергию системы равной сумме энергий отдельных материальных элементов; напротив, к этой сумме надо прибавить еще те виды энергии, которые обусловливаются действиями на расстоянии каждой пары элементов. Точно так же как материя, сумма которой остается постоянной, меняет свое положение в пространстве, так и энергия меняет в материи свое положение и свою форму. В этом проявляется во всей своей плодотворности аналогия нашего принципа с принципом сохранения материи. Сумма весомых масс, существующих в природе, является неизменной, но эти массы меняют свое положение в пространстве; следовательно, если мы рассмотрим определенный ограниченный объем пространства, то содержащаяся в нем масса в общем случае не постоянна, но изменение (прирост) этой массы за известный промежуток времени равно массе, вошедшей за это время в объем извне. Совершенно подобное же положение мы выводим для энергии материальной системы. В материальной системе, которая не подвержена никакому внешнему влиянию, энергия остается постоянной. Но если мы выделим из системы любую совокупность материальных элементов и будем рассматривать их как особую систему, то она будет иметь и свою особую энергию, выражение которой может быть составлено аналогично выражению энергии общей системы. Эта энергия в общем случае не будет оставаться постоянной, – это имело бы место только в том случае, если бы рассматриваемая система в течение процесса совершенно не подвергалась воздействию извне, что в общем случае не будет выполняться; поэтому энергия изменяется именно в меру внешних воздействий. Следовательно, через внешние воздействия в систему передается извне энергия в известном количестве: изменение энергии, соответствующее определенному изменению состояния материальной системы, равно работе действий, производимых вне системы, чтобы вызвать это изменение состояния.» [21]

10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЯЗЫКИ

Галатея со сферами. Дали Сальвадор., 1952
Галатея со сферами. Дали Сальвадор., 1952

Суть предметно ориентированного метода: сделать специализованные под задачу инструменты, и дать в них решение. Это направление есть и в языках программирования ( см DSL-Based Development, Virtual Machine [26] ).
В 19-м веке многие математики пытались создать свои алгебры (или хотя бы ввести оригинальные операторы на существующих). Проверялся результат просто: насколько полученная алгебра удобна для отображения физики реального мира, либо насколько она упрощает и сокращает математику. В этом смысл любых вводимых алгебр и операторов.

«В то время как Гамильтон разрабатывал свою кватернионную алгебру, Грассман формулировал свою. Тогда же Клиффорд в попытке объединить алгебры Гамильтона и Грассмана ввел собственную геометрическую алгебру. Позже Гиббс ввёл своё векторное исчисление.»

Оригинальны и интересны начала геометрии Лобачевского. Они имеют философский смысл, и наравне с элементарной геометрий, являются одним из первых графических языков. Первичными объектами (началом) в геометрию Лобачевский ложит касание, сферы и плоскости, а прочие геометрические объекты, включая линии и точки, получает совмещая их. Это красивая и простая геометрия развивает пространственное мышление и идеально подходит для начинающих.

[25]

«Между свойствами, общими всем телам, одно должно назваться Геометрическим, – прикосновение. Словами нельзя передать совершенно того, что мы под этим разумеем: понятие приобретено чувствами, преимущественно зрением, и сими-то чувствами мы его постигаем. Прикосновение составляет отличительное свойство тел: ни в силах или времени и нигде в природе более его не находим. Отвлекая все прочие свойства, телу дают название – Геометрического.
Прикосновение соединяет два тела в одно. Так все тела представляем частью одного – пространства. Тело ограничено, когда прикосновение к нему другого – окружающего – делает невозможным прикосновение всякого третьего.
Воображаемое разделение тела на две части будем называть сечением. Соединение двух тел в одно будет вместе сечением в этом одном. Геометрические свойства тел познаем в различном делении их на части. Всякое тело может быть разделено тремя сечениями на 8 частей, которые все касаются взаимно; но далее невозможно уже новым сечением удваивать число частей. Такие сечения назовем тремя главными.
Всякое тело может быть разделено на части, которые не касаются через одну. Такие сечения назовем поступательными; число их не ограничено. Измерять тело значит исчислять одинаковые части, на которые разделяется это тело и другое, принятое за меру, в трех протяжениях поступательными сечениями.
Тело получает название поверхности, когда оно касается другого поверхностно и когда принимают в рассуждение только взаимное прикосновение сих двух тел; а потому дозволяют отбрасывать все части одного, неприкосновенные к другому. Так уничтожается одно из трех протяжений, и так отделением ненужных частей поверхности доходим до тонкости листа бумаги или как далеко может идти воображение.
Линией называется тело, которое касается линейно другого, и от которого дозволяют отбрасывать части, неприкосновенные к этому другому. Так доходим до тонкости волоса, черты от пера на бумаге и пр. С обращением тела в линию уничтожаются два протяжения, потому что линию образуют в пространстве два сечения, к которым поступательные отделяют одни излишние части.
Тело получает название точки, когда рассматривают его прикосновение к другому в точке, а потому дозволяют отбрасывать части первого, неприкосновенные к другому. Так можно доходить до малости песчинки или точки от острея пера на бумаге.
Точка образуется тремя главными сечениями в пространстве, к которым поступательные отделяют одни лишние части: следовательно в точке нет ни одного протяжения.
Сферой называется поверхность, которой все точки от одной – центра – находятся в равном расстоянии. Это расстояние будет полупоперечник сферы. Внутренняя сторона сферы та, где ее центр; другая – внешняя.
Тело, ограниченное сферою, называется шаром, которого центр и полупоперечник то же, что и сферы.
Сфера ограничивает со всех сторон пространство, потому что другая, одноцентрная, находясь вне первой, присоединяет такой слой, который делает уже невозможным прикосновение всякого нового тела к шару первой.
Две сферы около разных центров, входя одна внутрь другой и выходя вон, разделяют пространство на четыре части: одна А принадлежит внутренней стороне той и другой сферы, другая В – внешней обеих, третья G – внешней стороне одной и внутренней другой, а четвертая D – наоборот.
Итак, пересечение двух сфер дает линию, которую называют кругом.
Посему две сферы, пересекаясь, представляют два главных или, что все равно, два обращательных сечения в пространстве. По той же причине три сферы, если пересекаются, представляют три главных сечения.
Плоскостью называется поверхность, в которой лежат все круги от пересечения одинаковых сфер около двух точек – центров происхождения. Плоскость может следовательно продолжаться неограниченно, с увеличением полупоперечников одинаковых сфер.
Внутри всякого круга на плоскости находится точка – центр круга, которой расстояния – полупоперечники – от всех точек круга одинаковы. Всем таким кругам, производящим плоскость, одна только точка может служить центром.
Прямая линия называется та, которая между двух точек сама себя покрывает во всех положениях. Такова в плоскости круга линия, которой точки остаются на месте, когда круг покрывает сам себя другою стороной.
Расстояние двух точек может быть определено прямой линией, по свойству которой всякое расстояние составляется из повторения другого и частей его.
Прямая линия лежит вся в плоскости, как скоро две ее точки на плоскости.
Величина прямой линии определяется сравнением ее с другой.
Подобным образом определяется и величина дуги круга по сравнению ее с окружностью, которой дуга будет часть. Это содержание [отношение] не зависит от величины полупоперечника, но от взаимного положения тех двух полупоперечников, которые проходят чред концы дуги. Чтобы оставить на произвол, какая дуга принимается за единицу, мы будем означать 2π окружность. Так выраженная дуга называется линейным углом или углом тех двух линий, которые, идя чрез концы дуги, встречаются в центре круга.
Плоскостной и телесный углы не зависят от полупоперечника сферы, но от взаимного положения плоскостей, которые идут от центра сферы. Плоскостной угол также не зависит от места, где будет центр сферы на линии пересечения двух плоскостей.
В прямолинейном треугольнике против большего бока лежит угол более, и обратно. Сумма двух боков прямолинейного треугольника более третьего.»

ЧАСТЬ I: ВСТУПЛЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

[1] Артур Конан Дойл. Записки о Шерлоке Холмсе
[2] Ж. Дьедонне. Линейная алгебра и элементарная геометрия. 1972, с.8-16.
[3] Щербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. Дифференциалы помогают геометрии. 1982, с.4-5
[4] Александров А.Д. , Вернер А.Л. , Рыжик В.И. Начала стереометрии пробный учебник для 9 класса. 1981, c.3-8
[5] Слухаев В.В. Геометрия векторных полей, 1982, с.6-9
[6] Энгелер Эрвин. Метаматематика элементарной математики. 1987, с.56
[7] Суслов Г.К. Теоретическая механика. 1946, с.40
[8] Новацкий В. Теория упругости. 1975, с.11-12
[9] Кострикин А.И. Введение в алгебру. 1977, с.15-16
[10] Эйхенвальд А.А. Теоретическая физика. Часть 1. Теория поля. 1926, с.3
[11] Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. 1974, с.29-30
[12] Шмутцер Э. Основные принципы классической механики и классической теории поля (канонический аппарат). 1976, с.7
[13] Ланцош К. Вариационные принципы механики. 1965, с.11-14
[14] Савельев И.В. Основы теоретической физики. Том 1. Механика. Электродинамика. 1991, с.8
[15] Синицкий Л.А. Методы аналитической механики в теории электрических цепей. 1978, с.4-6
[16] Розе Н.В. (ред.) Теоретическая механика. Часть 1. Механика материальной точки. 1932, с.11-14
[17] Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 1984, с.11-4
[18] Маквецов Е.Н. Модели из кубиков. 1978, с. 3-5
[19] Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. 1984, с.16-17
[20] Лернер А.Я. Начала кибернетики 1967, с. 26-35, 171-172
[21] Планк Макс. Принцип сохранения энергии. 1938, с.31-137
[22] Арнольд В.И. О преподавании математики. Расширенный текст выступления на дискуссии о преподавании математики в Palais de Découverte в Париже 7 марта 1997 г. Успехи математических наук т. 53, вып.1 (319) https://mathnet.ru/rus/rm/v53/i1/p229
[23] Маделунг Э. Математический аппарат физики, Справочное руководство. 1961, с.15
[24] Виноградов С.П. Краткий курс аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений. 1931, с.6-7
[25] Норден А.П. (ред.) Об основаниях геометрии, 1956, с.27-33. Лобачевский Н.И. О началах геометрии. 1829
[26] https://ru.wikipedia.org/wiki/Предметно-ориентированный_язык
https://ru.wikipedia.org/wiki/Языково-ориентированное_программирование
https://en.wikipedia.org/wiki/Virtual_machine
[27] Брин О. Шесть книг Начал Евклида, 1847. перевод Слюсарев С. ( https://github.com/jemmybutton/byrne-euclid/) с.3-7
[28] Стюарт Я. Концепции современной математики. 1980, с.18,14,15

Теги:
Хабы:
Всего голосов 12: ↑4 и ↓8-3
Комментарии57

Публикации