Как стать автором
Обновить

Математика и физика для простой и результативной учёбы (Серия: Сельскому учителю в помощь). Часть II: Предмет математики

Уровень сложностиПростой
Время на прочтение33 мин
Количество просмотров5.4K
Всего голосов 12: ↑4 и ↓8-3
Комментарии57

Комментарии 57

ЗакрепленныеЗакреплённые комментарии

В свое время, в 80-90-х, очень популярна была тема описания всего универсума математикой и обнаружения универсальных математических законов для всех явлений. ...Занимались этим в основном городские сумасшедшие. А на Хабре оказывается, жив курилка! (c)

Как Вам известно, материл лекций я составляю цитированием фрагментов известных, многократно изданных книг известных авторов с указанием страниц, где это написано (то что Вы прочли, это их, а не мои слова и мысли).

Так кто же те «городские сумасшедшие» из чьих цитат составлена статья?
Компания подобралась неплохая:

список городских сумасшедших и «курилок»

Дьедоне – академик, профессор, Франция, 2-я фигура в Бурбаки

Александров – академик, профессор, СССР Слухаев – доцент, обратите внимание его биография находится в разделе легенды Томского госуниверситета http://www.math.tsu.ru/node/1989

Энгелер Эрвин – доктор, профессор, Швейцария-США

Суслов - русский и советский учёный-механик, заслуженный профессор Киевского университета, действительный статский советник,ректор Одесского политехнического института.

Кострикин – советский и российский математик, специалист в области алгебры и алгебраической геометрии. Член-корреспондент Академии наук СССР (1976)

Эйхенвальд – русский физик, профессор Московского университета, доктор философии (1897), доктор физико-математических наук (1908), академик АН УССР

Иштван Дьярмати — венгерский физик, акадеимк, создатель венгерской школы термодинамики.

Эрнст Шмутцер — немецкий физик-теоретик, профессор, ректор Йенского Университета Фридриха Шиллера

И так далее… И так далее…

Это я подряд, в порядке следования привёл сведения об авторах материала выше.

Те, как Вы их фамильярно называете «курилки», представляют собой историю физики и математики.

Полагаю, с «городскими сумасшедшими» разобрались?

4 раза прочел п.8 и так и не понял, о чем это

Вы 4 раза прочли фрагмент книги «Начала кибернетики» Александра Яковлевича Лернера — доктора технических наук, профессора. И коль Вы его не поняли, это не его проблема а Ваша. Обращайтесь в таких случаях литературе, обогащайтесь знаниями, и возможно, начнёте понимать.

Прочитал текст, но в нем никакой ясности и единой мысли не обнаружил, наоборот, налицо признаки того, что психиатры называют "вязким" и "спутанным" мышлением.

Да и психиатр из Вас к тому же плохой. Попробуйте почитать нормативные правовые акты, и Вы, к своему удивлению, обнаружите что то, что по Вашему мнению «психиатры называют "вязким" и "спутанным" мышлением» – является стандартом при написании законодательства, а не только научной литературы.

PS Заглянул и в Ваш профиль. Обнаружил там минус 14 в карме. Это тоже о чём-то говорит. О том, что "все вокруг дураки", полагаю.

Если не изучать свойства фигур - не узнаешь, как проверить прямоугольность измерением диагоналей.

Универсальный метод - это хорошо. Но он не даёт инструментов для быстрой качественной оценки.

Может в рамках такой системы представлений, к этому можно будет подойти с более высокого уровня абстракции. Причем - возможно самостоятельно. То есть нынешняя нормативность геометрии школьного толка будет чем то само собой разумеющимся с уровня более сложных абстракций. И не будет нуждаться в запоминании.

Это вполне возможно. Но такой путь будет более или менее трудоёмким?

как-то формул маловато, особенно для теории поля) в последующих частях их больше будет?

Да значительно. В третьей части будет дана выборка книг по всем затронутым здесь темам. А эта часть - содержит каркас, чтобы учащийся мог видеть общую картину и связи между частями предмета.

>>Лекции разбиты на 7 частей ... 3. Курс из книг известных педагогов и учёных, посвятивших жизнь естествознанию; кто изложит науки с большим мастерством, нежели это сделано ими? Приступать к курсу можно незамедлительно.

Автору.

Математика - это простота, краткость, чистота и ясность.

Теперь сформулируйте, пожалуйста, в 3-4 строках, смысл всего написанного вами выше.

ох, люто плюсую. Прочитал текст, но в нем никакой ясности и единой мысли не обнаружил, наоборот, налицо признаки того, что психиатры называют "вязким" и "спутанным" мышлением. Например, 4 раза прочел п.8 и так и не понял, о чем это и как связано с остальным текстом и внутри себя. Понятно, что пытается объяснить общий механизм движения, но если бы наш препод по систематической философии это так объяснял, у нас бы полкурса в окна попрыгали от безысходности :)
В первой части было понятней, потому что он там цитировал известных математиков и обращался к известной дискуссии между Понтрягиным и Колмогоровым о методах преподавания математики в средней школе (я целиком на стороне первого, так как к экзаменам в ВУЗ готовился по доколмогоровским учебникам, а преподавали нам ее в школе по учебникам 80-х, плюс столкнулся с тем, что математически небесталанная дочка в упор не понимала погореловскую геометрию) . Но это я - я начитан в этой дискуссии, у меня в семье полно педагогов, и педагогическую периодику читал с детских лет, а те, кто первый раз слышат о реформе преподавания математики в 1977-79 гг, могут и не понять, что автор хотел сказать. Здесь было хоть и путанно, но узнаваемо, но когда пошло изложение предмета, то даже минимальной ясности я не вижу.

В свое время, в 80-90-х, очень популярна была тема описания всего универсума математикой и обнаружения универсальных математических законов для всех явлений. То есть, математика воспринималась как метанаука, а не как прикладная наука. Фоменковщина берет начало именно отсюда. Занимались этим в основном городские сумасшедшие, которые создавали математические модели политики, выводили универсальные математические формулы экономики и пытались описать количеством и количественными зависимостями все социальные понятия типа счастья и тем самым облагодетельствовать человечество. Спрос на эту макулатуру был относительно невелик - Интернет смахнул их с философского поля (к вопросу, с уходом яндексовского проекта narod.ru количество всякого бреда в интернетах резко уменьшилось). А на Хабре оказывается, жив курилка!

В свое время, в 80-90-х, очень популярна была тема описания всего универсума математикой и обнаружения универсальных математических законов для всех явлений. ...Занимались этим в основном городские сумасшедшие. А на Хабре оказывается, жив курилка! (c)

Как Вам известно, материл лекций я составляю цитированием фрагментов известных, многократно изданных книг известных авторов с указанием страниц, где это написано (то что Вы прочли, это их, а не мои слова и мысли).

Так кто же те «городские сумасшедшие» из чьих цитат составлена статья?
Компания подобралась неплохая:

список городских сумасшедших и «курилок»

Дьедоне – академик, профессор, Франция, 2-я фигура в Бурбаки

Александров – академик, профессор, СССР Слухаев – доцент, обратите внимание его биография находится в разделе легенды Томского госуниверситета http://www.math.tsu.ru/node/1989

Энгелер Эрвин – доктор, профессор, Швейцария-США

Суслов - русский и советский учёный-механик, заслуженный профессор Киевского университета, действительный статский советник,ректор Одесского политехнического института.

Кострикин – советский и российский математик, специалист в области алгебры и алгебраической геометрии. Член-корреспондент Академии наук СССР (1976)

Эйхенвальд – русский физик, профессор Московского университета, доктор философии (1897), доктор физико-математических наук (1908), академик АН УССР

Иштван Дьярмати — венгерский физик, акадеимк, создатель венгерской школы термодинамики.

Эрнст Шмутцер — немецкий физик-теоретик, профессор, ректор Йенского Университета Фридриха Шиллера

И так далее… И так далее…

Это я подряд, в порядке следования привёл сведения об авторах материала выше.

Те, как Вы их фамильярно называете «курилки», представляют собой историю физики и математики.

Полагаю, с «городскими сумасшедшими» разобрались?

4 раза прочел п.8 и так и не понял, о чем это

Вы 4 раза прочли фрагмент книги «Начала кибернетики» Александра Яковлевича Лернера — доктора технических наук, профессора. И коль Вы его не поняли, это не его проблема а Ваша. Обращайтесь в таких случаях литературе, обогащайтесь знаниями, и возможно, начнёте понимать.

Прочитал текст, но в нем никакой ясности и единой мысли не обнаружил, наоборот, налицо признаки того, что психиатры называют "вязким" и "спутанным" мышлением.

Да и психиатр из Вас к тому же плохой. Попробуйте почитать нормативные правовые акты, и Вы, к своему удивлению, обнаружите что то, что по Вашему мнению «психиатры называют "вязким" и "спутанным" мышлением» – является стандартом при написании законодательства, а не только научной литературы.

PS Заглянул и в Ваш профиль. Обнаружил там минус 14 в карме. Это тоже о чём-то говорит. О том, что "все вокруг дураки", полагаю.

В свое время у Саши Черного была эпиграмма:

Ослу образованье дали.

Он стал умней? Едва ли.

Но раньше, как осел,

Он просто чушь порол,

А нынче - ах злодей -

Он, с важностью педанта,

При каждой глупости своей

Ссылается на Канта.

Так кто же те «городские сумасшедшие» из чьих цитат составлена статья?

Относительно списка литературы. Мне еще в студенческие годы приходилось читать совершенно бредовые тексты, составленные на 90% из цитат вполне нормальных исследований. В силу того, что в рыночной экономике научной цензуры фактически при публикациях не существует, то барахлом подобного рода завалены все книжные, вы просто мало с этим сталкивались. Как вы понимаете, факт цитирования академика Александрова не есть индульгенция от принципиальной неверности и бредовости текста. Я уже не говорю, что в приведенном вами списке приведены ученые, стоявшие на разных научных и философских позициях, например, советская школа бурбаков резко критиковала.. То есть вы пытаетесь "губы Никанора Ивановича да приставить к носу Ивана Кузьмича, да взять сколько-нибудь развязности, какая у Балтазара Балтазарыча, да, пожалуй, прибавить к этому ещё дородности Ивана Павловича" Надеюсь, понимаете, что такое эклектика или мне пояснить?

>Вы 4 раза прочли фрагмент книги «Начала кибернетики» Александра Яковлевича Лернера — доктора технических наук, профессора.

Вы понимаете, что любая цитата обретает смысл только в контексте или нет? Если дергать из Гегеля, например, произвольные цитаты вне контекста, то это просто набор слов, и поймет это только специалист по Гегелю. К вопросу, я очень много и серьезно изучал Гегеля, но я все же не берусь 100% угадать некую вырванную из контекста цитату, восстановить смысл и ретранслировать в общепонятных терминах.

Тут еще возникает тот момент, что вы беретесь обучать (!) и при этом кидаете цитату, почти 100% непонятную для человека, не имеющего знаний. То есть, получается, что вы беретесь обучать только людей, уже знающих преподаваемый вами материал :))) Но зачем это людям, знающим?
И, к вопросу насчет моей "недообразованности" - если ваш текст не понимает человек с высшим образованием, то вопрос скорей к тому, что ваш текст НЕ ОТВЕЧАЕТ ЗАЯВЛЕННЫМ ВАМИ ЦЕЛЯМ. Вы в первой части заявили, что математическое образование-де преподается плохо и непонятно, вот вы сейчас напишете, как это делать правильно и понятно, и ... оказалось, что ваш текст непонятен не то что для школьников, но и для выпускника философского факультета МГУ.

Очень забавно, что вы здесь в комментарии раскрыли, что ваш "обучающий" текст - это просто эклектически надерганные цитаты, и рассчитаны они не на учащегося, а на человека, уже фактически освоившего материал, который вы предполагаете преподавать, в силу чего теряется весь смысл вашего текста.

то, что по Вашему мнению «психиатры называют "вязким" и "спутанным" мышлением» – является стандартом при написании законодательства, а не только научной литературы.

Российское законодательство (и не только) действительно написано архитяжелым, вязким и спутанным канцеляритом. Юристы тщетно бьются над вопросом упрощения и приведения его к нормальному русскому языку. То есть, правовые нормы у нас с точки зрения восприятия НИЗКОГО КАЧЕСТВА. Но вы, декларировав создание более понятного курса математики и физики, взяли за образец для подражания и стандарт обучающего текста НИЗКОКАЧЕСТВЕННОЕ, ТЯЖЕЛОЕ И ЗАПУТАННОЕ РОССИЙСКОЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВО!!! Замечательно! Просто великолепно. Избави нас объективная реальность от таких учителей.

Небольшая к вам просьба - не могли бы вы деанонимизироваться хотя бы в личном сообщении и дать информацию, где вы преподаете? Дело в том, что у меня двое детей - 19 и 15 лет, оба предполагают обучаться по технической специальности, и я крайне не хотел бы, чтобы они нарвались на вас в качестве преподавателя.

 Заглянул и в Ваш профиль. Обнаружил там минус 14 в карме. Это тоже о чём-то говорит. 

Мерение кармой :) Замечательно, вы даже не представляете как глупо выглядите. Мы все знаем, что 5 миллионов леммингов не могут же ошибаться. Вы, как я понимаю, пытаетесь определить истину голосованием?
Цитируя Маяковского, "я не червонец, чтобы всем нравиться"

приведены ученые, стоявшие на разных научных и философских позициях... я очень много и серьезно изучал Гегеля
Российское законодательство (и не только) действительно написано архитяжелым, вязким и спутанным канцеляритом. Юристы тщетно бьются над вопросом упрощения и приведения его к нормальному русскому языку...
Мы все знаем, что 5 миллионов леммингов не могут же ошибаться.

Помимо того, что Вы естествознатель-психиатр, как оказалось Вы ещё: знаток языков программирования, философ, юрист, специалист по леммингам и "приведению законодательства к нормальному русскому языку". :)

Полагаю, к этому "нормальному русскому языку"?! :

"городские сумасшедшие", "Спрос на макулатуру", "количество всякого бреда", "барахлом завалены", "курилка", "Ослу", "Я же не идиот", "те, у кого ни хрена не получилось", "Ты – чертов сотрудник, который что-то может в автоматизацию", "людишек в процессах участоввало поразительно много", "мне поставщик софтины впаривал", "разработчики этой шняги", итд итп ...

(с) выпускник философского факультета МГУ :)

в рыночной экономике научной цензуры фактически при публикациях не существует, то барахлом подобного рода завалены все книжные, вы просто мало с этим сталкивались

Ну, почему же?! С этим явлением приходится сталкиваться на каждом шагу.

оказалось, что ваш текст непонятен не то что для школьников, но и для выпускника философского факультета МГУ.

Ну, не говорите за всех школьников. А то может оказаться, что школьникам текст понятен, а вот отдельно взятому выпускнику философского факультета МГУ - нет.

Выпускнику философского факультета МГУ следует слегка научиться не только читать, но и понимать прочитанное.
Вероятно, на следующих этапах неизвестное будет разъяснено. По-моему об этом недвусмысленно сказано и в предисловии к курсу, и в инструкции данного раздела:

Предмет математики. Изложенную общую картину следует понять и «держать в голове» постоянно, наблюдая, как её пока детально не раскрытые элементы, наполняются содержанием на каждом этапе курса. (c) Предисловие

И не ленитесь заглядывать хотя бы в Гугл, там полно информации по не понятым Вами терминам https://google.com/search?q=конечный+автомат&

у меня двое детей - 19 и 15 лет, оба предполагают обучаться по технической специальности, и я крайне не хотел бы, чтобы они нарвались на вас в качестве преподавателя.

Вот здесь не беспокойтесь. Не "нарвётесь". Там, где я преподаю, обучение стоит дорого. При всём уважении, у Вас денег не хватит.

А с Сашей Черным полностью согласен. Тут вопросов не имею.

PS Предлагаю на этом дискуссию закрыть.

Как отвратить школьника от математики? Очень просто - дать прочитать текст, который наваял автор. Автор, вы написали много, скучно и непонятно для школьника и для любого читателя. Преподавание математики (как и любого предмета) - это прежде всего интерес учащегося к изучаемой области знаний. Нет интереса - и вы никак не впихнете знания в человека.

И это не считая того, что у вас ошибочные рассуждения по поводу энергии)

у вас ошибочные рассуждения по поводу энергии

Ну, не у меня, а у Макса Планка. Я цитирую фрагмент его книги «Принцип сохранения энергии» (с указание страниц цитирования).

У Вас есть возможность привнести что-то новое физику, доказав ошибочность его рассуждений.

PS Не стреляйте в пианиста Макса Планка – он играет, как умеет.

Спорить с Планком не имеет смысла, особенно после того как вы отредактировали ваш первоначальный текст ;)

после того как вы отредактировали ваш первоначальный текст

Эээээ, нет. Оно так не работает. Если мы решим с Вами публично "покопать" что же я там в "тексте отредактировал", то я сделаю официальный запрос в редакцию Хабра и получу текст оригинала. Окажется, там "отредактирован" лишь порядок сносок, и Вам придётся поспорить с Планком, даже не смотря на "отредактированный первоначальный текст". Кстати, возможно, и Гугл первоначальный текст помнит. ;)

PS В этом и смысл Частей 1-4 курса лекций, что они строятся цитированием известных работ ("отсебятину" в них я не пишу). Поэтому там под каждым абзацем ссылка на оригинал (для тех кто хочет почитать подробнее либо проверить). А вот Части 5-6 будут оригинальные, авторские. И я с сверху помечу, что это мои оригинальные работы, пототму что они будут действительно новы и интересны. Такова задумка (и логическое построение) лекций.

Немного был невнимателен при повторном перечитывании статьи, но я готов поспорить с Паули.

Это дает нам повод различать в системе различные виды энергии, как-то: энергию механическую, тепловую, химическую, электрическую, магнитную; суммируя их, мы получаем полную энергию системы. Этот факт, который мы можем назвать принципом наложения друг на друга (суперпозиции) энергий, связан с тем, что многие, происходящие в природе явления протекают совершенно независимо друг от друга: нагревание тела не изменяет его веса, электростатический заряд не влияет на магнетизм и т.д. 

Проанализируем данное утверждение. При написании своей книги Паули должен был быть знаком с формулой Эйнштейна E=mc^2., поэтому ошибка Паули заключается в утверждении, что нагревание не изменит вес тела. Также не будет работать принцип суперпозиции энергий для квантовых систем (неопределенность Гейзенберга) и абсолютно замкнутых систем (они неизбежно переходят в состояние "тепловой смерти" где само понятие энергии утрачивает смысл).

Немного был невнимателен

Будьте внимательней!

поспорить с Паули, книги Паули, ошибка Паули

С Паули спорить не надо. (Планк и Паули - это два разных человека).

Что до Эйнштейна, то не силён в его теориях; слишком уж сложная и противоречивая фигура: гений, которым одни восхищаются, другие - хулят, третьи - не понимают, а четвёртые - игнорируют.

Опечатался) Я немного не согласен с Планком.

Что до Эйнштейна, то не силён в его теориях; слишком уж сложная и противоречивая фигура: гений, которым одни восхищаются, другие - хулят, третьи - не понимают, а четвёртые - игнорируют.

Без Эйнштейна в курсе физики не обойтись. И если у вас проблемы с пониманием, то в школе с этим будет полная катастрофа. И вы еще пихаете в школьный курс теорию поля. Мне хочется смеяться и плакать одновременно.

Без Эйнштейна в курсе физики не обойтись

Профессор, академик Лев Давидович Ландау и доктор физико-математических наук, академик Евгений Михайлович Лифшиц имеют другое мнение по этому вопросу. Оттого даже исключили ОТО из своего краткого курса теоретической физики.

«Лев Давидович Ландау в последние годы с большим энтузиазмом относился к идее создания краткого курса теоретической физики. Туда не должно входить изложение обшей теории относительности. По его мнению, основные физические идеи и результаты этой теории должны излагаться в курсах общей физики, а изучение ее полного математического аппарата необходимо (по крайней мере в настоящее время) лишь специалистам-теоретикам.»
См источник цитирования [7] https://habr.com/ru/articles/781498/

Что до меня, я хоть и имею прекрасное физико-математическое образование, но релятивистской физикой не занимался, потому и не берусь о ней судить.

Математика – часть физики. Физика – экспериментальная, естественная наука, часть естествознания.

Глупости, всё это! Говорю, как человек, который хотел стать физиком-теоретиком, но закончил дневное отделение мехмата МГУ, по специальности «математика».

Математика, скорее, «Царица Наук», как говорят философы. Правда, они это высказывали по отношению к своей науке. Не знаю даже, брать здесь это слово в кавычки или нет. Прав был один товарищ, который сказал, что «Философия это не наука, а всего лишь форма мировоззрения». Ну, да ладно! Суть в том, что математика это самодостаточная наука. Физика для нее нужна не в большей степени, чем допустим азартные игры (которые послужили стимулом для создания теории вероятности).

Уровень мышления у математиков шире, чем у физиков. Физики ограничены реальностью, а математики только логикой. Для физиков Истина это результат эксперимента («Критерий истины - Практика»). Более того, в ходу у физиков-экспериментаторов утверждение: «Любая теория истина до тех пор, пока не будет опровергнута!». А для математиков истинны любые высказывания, которые непротиворечивы в рамках соответствующей математической теории. При этом сами теории и их постулаты могут быть достаточно произвольны, если они непротиворечивы.

Вообще говоря, математики работают на себя, хотя могут помогать физикам решать их проблемы. Однако делают они это с абстрактно-логических позиций.

Обычно, во многих вопросах, достижения математики опережают практические потребности на 500 лет и более, хотя бывают случаи, когда практическая наука сталкивается с проблемами, которые еще не решены в математике (в своем формализованном виде). Часто это связано с решением, не решаемых в общем виде, уравнений в частных производных, вроде уравнения Шредингера из Квантовой механики.

Кстати, есть масса альтернативщиков в физике, обычно, с посредственным образованием, которые достаточно произвольно «закрывают» одни физические законы, предлагая взамен другие либо свои собственные. Выступают они, как правило, не на специализированных форумах профессионалов, а среди обывателей, которые толком и возразить ничего не могут. А вот математиков-альтернативщиков практически нет. Хотя, вру, одного такого видел в «Живом Журнале», у него, по-моему, даже было незаконченное математическое образование. У нас один такой тоже был на мехмате. Где-то на втором курсе, у него «поехала крыша», его отвезли в Кащенко. Потом он восстановился на мехмате, однако «крыша» у него «потекла» снова и он был вынужден уйти из математики. Кто знает, может быть, он где-то кому-то голову морочит до сих пор.

P.S. В принципе, существует еще такая наука, как «прикладная
математика», в отличии от теоретической либо абстрактной математики. Вот ее,
вероятно, и имел в виду автор статьи. Обычно именно ее изучают в технических
ВУЗах и даже на мехмате, по специальности «механика». В школах осваивают
элементарную математику, это некий упрощенный вариант двух «математик».

Какой смысл в науке, если её нельзя применить или проверить на практике? Чем она в этом смысле отличается от религии?

Обычно, во многих вопросах, достижения математики опережают практические потребности на 500 лет

Ну это смелое утверждение. Дифференциальное исчисление придумали физики, преобразование Фурье придумали физики, функции Дирака, Хэвисайда, операционное исчисление и весь прочий ЦОС тоже придумали физики (в начале 20 века, наши дни можно сказать).

Какой смысл в науке, если её нельзя применить или проверить на практике?

А кто вам сказал, что теоретическая или абстрактная математика не имеет смысла? Мир сложен, и каждому специалисту там есть место.

Дело в том, что физики-теоретики не способны, в принципе, соблюдать полную математическую строгость в своих теоретических выкладках. Возьмем, к примеру, Ландавшица (точнее, Ландау и Лифшица, десятитомник "Теоретической физики"). Это один из самых строгих подходов, с точки зрения математики, при описании физической реальности. Однако, даже он не обладает 100%-ной математической строгостью, поскольку физическая реальность и математическая реальность, это "две большие разницы". Математика имеет дело с предельными объектами, а физика с протяженными. Та же точка в математике всегда имеет нулевую меру, а в физике, (материальная) точка нет. Отсюда следует, что физическая точка может иметь физические свойства: массу, плотность, заряд и т.п., в математике ничего такого нет, только геометрия.

Я, конечно, понимаю, что сейчас вы начнете рассказывать про дельта-функцию плотности, которая имеет бесконечное значение в точке нулевой меры, иначе ноль. Мол, это дает конечную массу для области нулевой меры. Однако в математике произведение бесконечности на ноль не имеет смысла, она так и называется - математическая неопределенность. Смысл имеет только конечная функция, достигающая своего предельного значения. А от того, какая это будет функция, предельные значения будут разными. При этом, сами предельные значения, строго говоря, не являются частью предельной функции.

Например, значение функции y(x) = x^x, не имеет смысла в нуле (отрицательные значения мы рассматривать не будем, ради простоты). Однако мы можем произвольно доопределить эту функцию справа как z(x) = {y(x), при x > 0; 1 при x = 0}. Смысл этого доопределения в том, что функция z(x) становится непрерывной и даже гладкой, справа в нуле.

С точки зрения математики теоретическая физика - полустрогая наука. Но это не вина физики. Просто таковы свойства физических микрообъектов. Кстати, именно это дало повод "дедушке Ленину" сказать: "Электрон также неисчерпаем, как и атом" (иногда "атом" перефразируют во "Вселенную").

Если хотите, то математика это предельный случай физики. Если физики идут по этому пути, то становятся, математиками. И, наоборот, если математики начинают руководствоваться физической парадигмой Мира, то перестают быть математиками.

А так, в силу Диалектики, они взаимно дополняют друг друга.

Чем она в этом смысле отличается от религии?

Хороший вопрос! Религия, ведь, по сути, не дружит с логикой. Есть даже высказывание: "Там, где начинается Религия, там заканчивается Логика!". Однако ничто не мешает нам постулировать непротиворечивые аксиомы, скажем так, "Научной Религии", в которой не будет явных логических противоречий, типа, если Бог это Любовь и Добро, то почему он создал Ненависть и Зло? Отвечать что-то вроде, что некий "Падший Ангел ослушался и совратился, поэтому был изгнан из Рая и, в отместку, создал Ад", ну, звучит как-то несерьезно. По меньшей мере, что-то нам недоговаривают.

Чтобы подобных противоречий не было, можно ввести в рассмотрение третью Сущность, которую назовем Создатель, в дополнение к первым двум: Бог и Дьявол. А сами религиозные постулаты могут звучать примерно так:

1. Бог не создавал Дьявола, его, как и самого Бога, создала Сущность более высокого порядка - Создатель.

2. Цель Создателя - Развитие всего сущего.

3. Поскольку, с точки зрения Диалектики, источником развития являются антагонистические противоречия, то Бог и Дьявол были созданы как антагонистически противоречивые Сущности.

4. Цель Бога - божественное Развитие. Цель Дьявола - сатанистское Развитие.

5. Различие между Богом и Дьяволом в том, что у Бога развитие основано на (моральных) ограничениях, а у Дьявола, принципиально, нет никаких ограничений, в т.ч., моральных.

6. Мораль - это учет интересов окружающих. Люди Бога предпочитают интенсивное развитие и саморазвитие, и желают всех благ окружающим, а Люди Дьявола, всегда готовы развиваться экстенсивно, за счет всех остальных, абсолютно игнорируя их интересы.

Отсюда, кстати, возникает другое значение у слова "Троица".

Это все только демонстрация аксиоматического подхода. Кстати, сразу видно, что как только мы уходим от математической реальности, то сразу же уходим и от строгой математики.

Здесь еще можно заметить, что вместо математической логики мы используем "концептуальную логику". У нее нет строгого определения, Можно сказать только, что она имеет дело с содержательными неопределенностями. Смысл ее в том, чтобы концептуальные аксиомы устраняли "ближнюю" неопределенность, за счет переноса ее в "дальнюю" неопределенность.

Быстрый вывод из этих "аксиом". Если перед Богом мы будем отвечать за свои грехи, которые, по сути, есть аморальные поступки, то перед Создателем мы будем отвечать за отсутствие своего развития, либо слабое саморазвитие.

Еще один концептуальный вывод: "Если хочешь жить долго - развивайся!" и "Кто не занимается, в должной мере, своим саморазвитием - долго не живет!".

Ну это смелое утверждение. Дифференциальное исчисление придумали физики, преобразование Фурье придумали физики, функции Дирака, Хэвисайда, операционное исчисление и весь прочий ЦОС тоже придумали физики (в начале 20 века, наши дни можно сказать).

Я уже говорил о принципиальном различии физиков и математиков. Если физики полностью соблюдают математическую строгость в своих теориях, то становятся математиками, а, если математики начинают рассуждать в парадигме физической реальности, то становятся физиками.

Здесь нет никаких противоречий. Просто сузить горизонт своих рассуждений проще, чем расширить. Поэтому, я всегда говорил, что математик может работать кем угодно: физиком-теоретиком, программистом, химиком, биологом, генетиком и прочая, прочая, прочая. Наоборот, уже значительно сложнее, но можно...

И потом, не забывайте, что "технари" имеют дело с прикладной математикой, а я говорил о математике теоретической, которая просто неизвестна "простым смертным". Там, действительно, "абстракция на абстракции и абстракцией погоняет!". И если она не будет востребована еще 1000 лет, то я не удивлюсь.

Что касается математической строгости, то у нас на мехмате образцом ее служили Л.И. Камынин и А.И. Штерн. Первый читал лекции, а второй вел семинары по матанализу. Чтобы сдать зачет последнему, нужно было безукоризненно строго решать задачи и доказывать теоремы. На это мог уйти месяц и более, а без зачета студенты не допускались к экзаменам, со всеми вытекающими. Мы так привыкли тогда к строгости, что когда преподаватель по ТФКП (Теории функций комплексного переменного) доказывал свои теоремы, я ловил себя на мысли, что он бы зачет по матану не получил бы точно. Доказывал он все правильно, но строгость там была не идеальная.

Для примера, Штерн любил искать содержательные ошибки в серьезной матлитературе. Так он нашел целых две ошибки в 22-м(!) издании Куроша "Линейная алгебра". А его статьи можно почитать в пятитомной математической энциклопедии.

Кстати, когда академик Рыбников получил доступ к архивам Карла Маркса и опубликовал его "Математические рукописи", то нам, студентам-математикам, лучше бы их не показывали. Уж насколько Маркс был гений в политической экономии, то в своих матрукописях он выглядел, скажем мягко, как "наивный чукотский юноша".

На эту тему два анекдота: "- Кто такой Карл Маркс? - Экономист! - Как наша тётя Соня? - Нет, что ты! Тётя Соня - старший экономист!" и "Шерлок Холмс и Доктор Ватсон летят в воздушном шаре. Заблудились. Приблизились к земле и спрашивают у прохожего: "Уважаемый! Где мы находимся?". Тот посмотрел на них и отвечает: "Вы находитесь в воздушном шаре!". Шерлок Холмс говорит: "Этот человек - математик!". Ватсон: "Почему?". - Его ответ абсолютно точен и абсолютно бесполезен!".

Например, значение функции y(x) = x^x, не имеет смысла в нуле (отрицательные значения мы рассматривать не будем, ради простоты). Однако мы можем произвольно доопределить эту функцию справа как z(x) = {y(x), при x > 0; 1 при x = 0}. Смысл этого доопределения в том, что функция z(x) становится непрерывной и даже гладкой, справа в нуле.

Другие математики с этим не согласны. Функция x^x в нуле имеет устранимый разрыв, поэтому ничего доопределять не нужно.

Я, конечно, понимаю, что сейчас вы начнете рассказывать про дельта-функцию плотности, которая имеет бесконечное значение в точке нулевой меры, иначе ноль.

Дельта Дирака в нуле не имеет значение "бесконечности", а значение дельты Дирака в нуле не определено - точно также, как оно не определено в нуле для функции \frac{1}{x} . Это никак не мешает использовать её для построения математических моделей в сочетании с другими элементарными функциями.

И потом, не забывайте, что "технари" имеют дело с прикладной математикой, а я говорил о математике теоретической, которая просто неизвестна "простым смертным". Там, действительно, "абстракция на абстракции и абстракцией погоняет!". И если она не будет востребована еще 1000 лет, то я не удивлюсь.

А я не удивлюсь, если она не будет востребована никогда (простыми смертными, конечно же, технарями, программистами и прочим сбродом). Ну а со стороны это выглядит как решение выдуманных проблем выдуманными абстракциями (никого не хочу обидеть, извините). Поэтому и остаётся рассматривать её только как "искусство", интересное только лишь ограниченному количеству людей.

А я не удивлюсь, если она не будет востребована никогда (простыми смертными, конечно же, технарями, программистами и прочим сбродом). Ну а со стороны это выглядит как решение выдуманных проблем выдуманными абстракциями (никого не хочу обидеть, извините).

Для меня многие проблемы тоже кажутся выдумками. Вот чём проблема слетать на Луну или создать лекарства от вич - бери да делай. Наверное биологи и инженеры просто решают свои какие-то выдуманные проблемы.
Это всё шутка, конечно же, но вы прям классическую ошибку совершаете. Самое ценное почти всегда - это не доказанное утверждение, а само доказательство, его методы, идеи. И что-то сделанное для решение "выдуманной абстрактной проблемы" может примениться после в какой-нибудь условно "практической задаче" . И вообще, видимо никто из приверженцев "выдуманных абстрактных проблем" не понимает , что эти задачи не на пустом месте взялись, а в процессе развития математики. И они не абстрактные, а вполне прикладные - в самой математике. А с её общим развитием выиграют в том числе и "реальные" задачи.

Ну как вам и говорили уже не раз, то что сейчас "абстракция", однажды будет применено на практике, примеров тому немало.

то что сейчас "абстракция", однажды будет применено на практике, примеров тому немало.

... или не будет. Примеров тому ещё больше.

Не берусь судить, каких примеров больше. Тут сложно как-то определённо сказать, ведь то чему нашли "практическое" приложение сейчас мы знаем, а когда найдут другим - ещё нет.

что-то сделанное для решение "выдуманной абстрактной проблемы" может примениться после в какой-нибудь условно "практической задаче"

А что, мне понравилось.

Работа над "выдуманными проблемами" для решения "условно практических задач". Вроде бы это "наше всё" при бюджетном финансировании.

Имею деловое предложение: готов поработать над "абстракциями", которые, возможно то ли найдут, то ли не найдут применение лет так через 500 (а лучше - через 1000). Готовьте бюджеты и зовите. :)

Да, очень смешно, выдирать фразы из контекста, согласен. И игнорировать весь посыл комментария.
Если прочтёте повнимательнее, то я утверждаю, что все так называемые "абстракции ради абстракций" находят применение сразу - в самой математике. Иначе бы их не вводили. Есть бесконечное количество различных возможных конструкций и прочего, но многие из них бессмысленные или содержательные, так что если эти "абстракции" закрепились и исследуются - значит в них видят математическое приложение или потенциал оного.
А вот приложения за пределами математики находится не сразу, да, это факт.

Ну как вам и говорили уже не раз, то что сейчас "абстракция", однажды будет применено на практике

Да, конечно, мне это хорошо известно. Но здесь один очевидный нюанс, о котором настоящие математики редко когда задумываются.

Чтобы какому-нибудь типичному инженеру типа меня найти прикладное применение решённой абстрактной задаче, для этого нужно

1) Знать о её существовании.

Ну то есть помимо своей основной деятельности я должен штудировать все математические работы и журналы, понимать их - то есть знать математику не хуже всех профессиональных математиков вместе взятых и дополнительно к этому постоянно размышлять о том, а как же это всё применить на практике. Ну как бы совершенно нереалистичное распределение сил получается.

И за примерами далеко ходить не надо - кривые Безье придумали независимо друг от друга два французских инженера. Идём в википедию и что же мы там видим? "Всё было придумано до вас" русским математиком Бернштейном. О существовании которого я узнал непосредственно из этой самой статьи. Собрание сочинений которого на русском языке вряд ли читали французские инженеры. Название и содержание работы которого никакого отношения к кусочно-непрерывной интерполяции не имеет.

На эту тему два анекдота: ...

Тоже знаю анекдот. Ученика Бурбаки спрашивают: сколько будет 2 умножить на 3? Он отвечает: 3 умножить на 2, потому что умножение коммутативно. А анекдот в том, что никакой это не анекдот, подавляющее большинство виденных мною современных работ по математике выглядят именно так. Если забрать у математики прикладной смысл, теряется и конечный результат преобразований. "Если ты не знаешь, куда идёшь - то как ты узнаешь, когда туда придёшь?"(с)

Коль математика не часть физики, то откуда в неё «перекочевали» такие её неотъемлемые части, как аппарат дифференциальных уравнений, векторное исчисление, поля?

Что до физики, математики и философии, то с античности и вплоть до XVIII века это было целое. Самый известный труд Ньютона ведь так и называется «Математические начала натуральной философии» (т.е. «философии природы»).

для математиков истинны любые высказывания, которые непротиворечивы в рамках соответствующей математической теории. При этом сами теории и их постулаты могут быть достаточно произвольны, если они непротиворечивы.

Они не "истины", они "непротиворечивы". К тому же в "данной аксиоматике", которую можно выбрать "произвольно". А аксиоматик - неисчислимое количество (вводи свою, и там что хочешь строй).

Вы говорите лишь об устройстве аппарата логики - части математики, причем части не большой.

Как минимум, подборка иллюстраций к обоим статьям просто великолепна. Даже если читатель не приобщится к математике - то приобщится к графическому искусству, что тоже немало.

Увы... к моему огромному сожалению продуктивной дискуссии о состоянии математической школы в России обсудить не удалось. Но иллюстрации и их подборка лучше всяких похвал. Редко встретишь почитателя таланта Tamara (de) Lempicka  на просторах рунета.

Ну, мне много есть что сказать на эту тему - просто "поля этой книги слишком узки". Например, задачи математики можно выразить как:
- считать,
- измерять,
- предсказывать будущее.
Для этого в математике есть числа и функции. Числа бывают:
- целые,
- нецелые.
Все прочие понятия чисел получаются либо их комбинацией (рациональные, комплексные), либо подмножеством (натуральные, простые). Да, такая формулировка отличается от общепризнанной, но кто сказал, что учить математику нужно именно по школе Бурбаки? По крайней мере в программировании такое понимание намного более полезно.

- предсказывать будущее.

Что, простите?

Все прочие понятия чисел получаются либо их комбинацией

А как вы иррациональные получите? И что значит "нецелые", если рациональные выделяете в отдельный класс?

Что, простите?

Это называется "математическая модель". Это когда, например, есть бассейн с двумя трубами (из одной втекает, в другую вытекает) - то можно заранее предсказать, когда он наполнится или опустошится. А не сидеть и ждать, наблюдая этот процесс лично.

А как вы иррациональные получите? И что значит "нецелые"?

Иррациональные - это и есть "нецелые". Которые не получится точно спозиционировать на школьной линейке. А рациональные состоят из двух или трёх чисел, где единичность знаменателя - это просто вопрос масштаба.

Которые не получится точно спозиционировать на школьной линейке.

Представить комбинацией целых не получится - трансцендентные. А действительные алгебраические - тоже векторы над полем рациональных.

Это вы опять здесь про Бурбаки рассказываете. Трансцендентные по определению к многочлену с целочисленными коэффициентами привязаны. Только помимо многочленов с целочисленными коэффициентами есть множество других функций и объектов, где они вполне могут быть корнями. И соответственно, можно придумать ещё кучу названий для чисел, привязанных к каким-то другим объектам. На практике разницы нет никакой - в программировании у вас на всё будет тип double.

И соответственно, можно придумать ещё кучу названий для чисел, привязанных к каким-то другим объектам

Так, а что с невычислимыми числами будете делать?

Это называется "математическая модель"

Я конечно подзабыл УрМатФиз, но насколько понимаю такие модели строят физики и другие науки, с использованием матаппарата.

Которые не получится точно спозиционировать на школьной линейке.

1\3 спозиционируете точно на школьной линейке?

Так, а что с невычислимыми числами будете делать?

В смысле, что буду делать? Делаю то же, что и все - записываю символьно, а вычисляю с некоторой доступной точностью.

Я конечно подзабыл УрМатФиз, но насколько понимаю такие модели строят физики и другие науки, с использованием матаппарата

Ну так а такие абстракции как "число", "точка", "функция" как раз и появились в математике из физики и геометрии.

1\3 спозиционируете точно на школьной линейке?

1/3 от 3, 6 или 27 - легко.

Это вы опять здесь про Бурбаки рассказываете

Определение иррациональных и трансцендентных чисел дано задолго до Бурбаки

Это было про другую часть комментария, "векторы над полем рациональных".

Это способ представления. Не понимаю, к чему тут "фамильный привкус". От того, кто предложил такое разложение, что-то меняется что ли?

Я могу на вскидку другое представление предложить: целочисленный вектор в проективной системе координат, и пара рациональных пределов. В любом случае, алгебраическое число можно задать как некую структуру, составленную из целых чисел.

Я слышал о теореме, что корни многочлена выше 4-ой степени не представимы в радикалах (в общем случае). С тех пор что-то изменилось, или вы имели ввиду что-то другое?

Разумеется, блин, я имел в виду другое. Даже два разных других способа представления алгебраических чисел (один из которых, придумал на вскидку, наверняка "велосипед").

Про представление в радикалах я не говорил вообще.

Так поделитесь.

Блин, я ж двумя постами выше написал.

Самый наивный способ: массив коэффициентов многочлена и пара рациональных пределов, между которыми находится искомый корень.

Так это не реализация алгебраического числа, это реализация собственно многочлена с уточнением положения искомого корня. Вы с такими числами как собираетесь работать - складывать, умножать, аргументом в функцию передавать? Ну допустим, базовые арифметические операции можно реализовать, Mathematica это умеет:

спойлер
In[21]:= Root[1 + #1^7 + #1^9 &, 1]/
  Root[3 + #1^7 + #1^9 &, 1] // RootReduce

Out[21]= Root[-1 + 27 #1^9 - #1^14 + 2 #1^16 - 325 #1^18 + 21 #1^21 - 
   42 #1^23 + 21 #1^25 + 2268 #1^27 - 189 #1^28 + 378 #1^30 - 
   189 #1^32 + 945 #1^35 - 10206 #1^36 - 1890 #1^37 + 945 #1^39 - 
   2835 #1^42 + 5670 #1^44 + 30618 #1^45 - 2835 #1^46 + 5103 #1^49 - 
   10206 #1^51 + 5103 #1^53 - 61236 #1^54 - 5103 #1^56 + 
   10206 #1^58 - 5103 #1^60 + 80919 #1^63 - 4374 #1^65 + 2187 #1^67 - 
   59049 #1^72 + 19683 #1^81 &, 1]

Вот только, как легко заметить, даже при сложении степень полученного многочлена получается через перемножение степеней аргументов. Ещё одно такое сложение - и вот уже у нас уже 729 степень:

где-то посередине

Безусловно надёжный способ привить школьникам любовь к математике, да.

В программистской практике с ними работать не придётся.

Все числа в программе \frac{M}{2^N} , где M и N - целые.

А для более сложных случаев: символьное решение посередине, и численный метод в конце.

 Трансцендентные по определению к многочлену с целочисленными коэффициентами привязаны.

Наоборот. Это алгебраические. А трансцендентные - все остальные.

Не знаю, по Бурбаки это или нет, но это логично.

Ну да, я так и сказал. Или вы можете определить трансцендентные числа без упоминания алгебраических или корней многочлена?

Но вопрос был не в этом. На что такая классификация влияет? Как вы узнаете, является произвольно взятое число трансцендентным или алгебраическим? Какие задачи не решаются без правильного определения принадлежности числа к трансцендентному или алгебраическому? В каких случаях у себя в программах вы используете вместо double тип TranscendentalNumber, а в каких AlgebraicNumber?

Произвольно взятое число, которое я могу представить на компьютере, является рациональным. Без вариантов.

А вот результат решения задачи - виден по самой задаче. Но точно может быть не представим.

Кстати, друзья, разрешите поледиться наблюдениями. Слово известному популяризатору науки Алексею Савватееву (математик, доктор физико-математических наук, научный руководитель Центра дополнительного профессионального образования Российской Экономической Школы, профессор МФТИ, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН)

Об "элитарном образовании" и "образовании для всех":

Безусловно, тяжеловесные лекции, которые профессор пишет на доске, а ученики потом переписывают в тетрадь, уходят в прошлое. Сейчас благодаря интернету доступен видеоконтент – блестящие лекции ярких педагогов. Причём использование такого подхода именно в России я считаю очень актуальным, поскольку учителей, которые профессионально пригодны преподавать математику, в нашей стране сегодня довольно мало. Не только математику, конечно, но именно она сейчас идёт хуже всего, поскольку запоминания в ней должно быть мало, а вот понимания – много. Но одновременно с этим средний уровень понимания математики, на мой взгляд, снижается, а максимальный – растёт. Но зато те, кто сознательно идёт в математику, самостоятельно находят в интернете всё необходимое, чтобы двигаться вперёд.

В Москве есть один школьник – Дмитрий Захаров, который в 9-ом классе написал настолько хорошую статью, что её опубликовали в одном из ведущих научных журналов. А год назад он вообще произвёл полнейший фурор, сразу двумя способами решив задачу из комбинаторной геометрии. Она была сформулирована ещё в 1962 году геометрами Людвигом Данцером и Бранко Грюнбаумом и с тех пор не имела убедительного решения. Даже знаменитый математик XX века Пал Эрдёш, бравшийся за эту задачу, смог предложить лишь крайне неэффективное и неточное решение.

Я твёрдо убеждён, что самое неблагородное занятие на свете – это пытаться научить того, кто учиться не хочет. Когда я рассказываю про идею своего видеокурса «100 уроков математики» на каком-нибудь совещании, меня обычно спрашивают: «Какой процент российских школьников её сможет освоить?» Я отвечаю: «Примерно 5%, в оптимуме – может быть, 10%». «А почему вы не делаете программы для всех?» Я отвечаю: «Я делаю программы для тех, кому интересно, меня приглашают те школы, где дети с «горящими глазами» хотят заниматься математикой». Что делать с математикой для всех, я не знаю, и особо не берусь о ней рассуждать. Этим сегментом я заниматься не буду, хотя и не говорю, что он неважен. Способным к математике нужно родиться, а если ты неспособен, ты должен освоить минимум, который необходим для твоей профессии. В принципе, в интернете есть всё для всех, но если школьники не хотят, они не будут ничего смотреть. Иногда мне попадаются настолько слабые студенты заурядных вузов, что я думаю, что их не было смысла ничему учить с самого начала. Поэтому я бы поставил для базового уровня математики простые, чёткие ориентиры – научиться складывать дроби, научиться писать уравнение прямой, какой-то устный счёт, деление в столбик… Нужно признать, что на уровне всеобуча можно научить только начальному образованию. Но поставив эту цель, нужно выполнить её грамотно, до конца, добиваясь её исполнения столь же профессионально, как в Финляндии (но только не такой ценой, как там – ценой фактического запрета на элитный образовательный сегмент)!
https://erazvitie.org/article/matematika_yazik_nauka

Правда тут же Алексей прогнозирует что будет с теми, кто не получил качественного элитарного образования (включая математику) :

Конечно, каждый из нас горазд что-то прогнозировать, и что будет в 30-х годах, наверняка не знает никто. Но то, что во всём мире начнётся чудовищный коллапс занятости – это факт. Без работы останутся многие, поскольку их достаточно быстрыми темпами заменят роботы. Уже в ближайшее десятилетие с появлением беспилотных автомобилей, как класс, скорее всего, полностью вымрет профессия таксиста. Это будет очень болезненный удар, поскольку сегодня человек, по каким-то причинам потерявший свою работу, всегда имеет возможность зарабатывать извозом. Вскоре такой отдушины не будет, а вслед за профессией таксиста «пойдут в известном направлении» и многие другие профессии. Одно из того немногого, что в итоге действительно останется человеку – это интеллектуальные творческие процессы. Но вся штука в том, что за любым сколь угодно сложным интеллектуальным процессом – будь то современный физический эксперимент, бизнес-процесс, программирование роботов или архитектурное проектирование, лежит крайне сложная математика. Возможно, эти люди и не будут называться математиками как таковыми, но по сути будут они заниматься именно ею. Что станет с остальными – я не знаю. Возможно, они уедут обратно в деревню. Возможно, начнут потихоньку спиваться и умирать. На Западе в качестве решения проблемы склоняются к выплате безусловного дохода, но я боюсь, что они тоже до конца не понимают, насколько далеко всё это может зайти. Человечество уже неоднократно проходило через периоды жестокой конкуренции, когда успеха добивались лишь те, кто напрягался физически или умственно. Остальным же практически ничего не доставалось (конечно, при условии, что ты не богатый наследник). https://erazvitie.org/article/matematika_yazik_nauka

Так что делайте выводы, господа, и о будущем и об "образовании" которое дают и будут давать через "всеобуч".

PS Если что, это не моё мнение. Автор указан (все вопросы ему).

в ближайшее десятилетие с появлением беспилотных автомобилей, как класс, скорее всего, полностью вымрет профессия таксиста

Как много сомнений в прогнозах автора оставляет это утверждение...

Он же математик. Строго доказать никакое из этих утверждений не может, от чего наверняка сильно страдает.

Имхо прогноз об автомобилях и экономике от того, кто эксперт в другой области.

Савватеев - не тот человек, у которого стоит спрашивать что-то кроме математики.

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий

Публикации

Истории