Привет, Хабр!
Сегодня расскажу, как нейросеть DeepSeek-R1, несмотря на свои ограничения, помогла вывести обобщённое уравнение плоскости и поверхности второго порядка в геометрической алгебре (GA) через матрицы Паули. Это не просто история про «ИИ vs математика» — это пример симбиоза, где человек направляет, а машина предлагает идеи, которые иначе могли бы остаться незамеченными. Это пример того, как технологии расширяют возможности исследователя, а критическое мышление превращает сырые идеи в строгие математические конструкции.
___________________________________________________________________________
1. Введение: Почему геометрическая алгебра и матрицы Паули?
Геометрическая алгебра (GA) объединяет векторы, бивекторы и другие объекты в единую систему, заменяя классические координатные подходы. Например:
Бивектор плоскости кодирует не только ориентацию, но и "площадь" через внешнее произведение.
Дуальность в GA позволяет преобразовывать бивектор в вектор (нормаль) через умножение на псевдоскаляр i·σ0, где i обычная мнимая единица.
Матрицы Паули (σx,σy,σz) обычно используются в квантовой механике, но их структура идеально подходит для представления 3D-векторов в GA:
Именно здесь начался наш диалог с DeepSeek-R1.
_______________________________________________________________________
2. Как DeepSeek-R1 «ломали» и что из этого вышло
Проблема 1: Уравнение плоскости в GA
Исходный запрос:
«Напиши уравнение плоскости через матрицы Паули в GA».
Первая попытка ИИ:
DeepSeek выдал каноническое уравнение плоскости n⋅r=d, но попытался перемножить матрицы покомпонентно, что привело к ошибке:
!Ошибочный вывод!:
Что не так: В GA скалярное произведение n⋅r=(n·r+r·n)/2 — это антикоммутатор, а не покомпонентное умножение.
Хоть преобразования и были не верны, но за то какая идея! На этом моменте поставил себе цель довести DeepSeek до правильного ответа.
Решение после 7 попыток:
2.1 Обобщённое уравнение плоскости в GA
В геометрической алгебре уравнение плоскости задаётся через геометрическое произведение вектора нормали n и направляющего вектора r:
где n⋅r=(nr+rn)/2 скалярное произведение (антикоммутатор), n∧r=(nr-rn)/2 внешнее произведение (коммутатор).
Это равенство объединяет:
Скалярную часть: n⋅r=d (расстояние до плоскости),
Бивекторную часть: n∧r (ориентация плоскости).
На этом перестал мучать DeepSeek и далее сформулировал всю основную математику, попросив его, как соавтора исправить мое изложение.
Обобщённый вектор r и нормаль n включают дуальные компоненты через матрицы Паули:
Коэффициенты:
a,b,c,nx,ny,nz — «реальные» параметры,
a′,b′,c′,nx′,ny′,nz′ — «дуальные» параметры, связанные с мнимыми компонентами.
Физический смысл:
Скалярная часть n⋅r=d задаёт классическое расстояние до плоскости.
Бивекторная часть n∧r кодирует ориентацию и «скручивание» плоскости в дуальном пространстве.
___________________________________________________________________________
2.2 Пример: Уравнение плоскости без дуальности
Если a′=b′=c′=0, уравнение сводится к классическому виду:
n⋅r=au⋅σ0, где au — задает действительное расстояние.
При подстановке матриц Паули:
(nr+rn)/2=nx⋅a⋅x+ny⋅b⋅y+nz⋅c⋅z=au.
Это каноническое уравнение плоскости Ax+By+Cz=D, где A=nx⋅a, B=ny⋅b, C=nz⋅c, D=au.
2.3. Новизна:
Введение мнимой компоненты i⋅bu позволяет разделить «реальное» расстояние до плоскости и «дуальное» смещение, связанное с ориентацией.
Дуальная часть бивектора плоскости n задаётся через "−i⋅n", что сохраняет связь с классической нормалью.
___________________________________________________________________________
Проблема 2: Поверхности второго порядка
Цель: Получить уравнение конуса/квадрики через GA.
Сначала я дал пару запросов, ответ не устроил, но меня озарило от этого ответа!
Если направляющий вектор сам является нормалью к образующей плоскости, то уравнение приобретает очень красивый вид.
Решение DeepSeek-R1 (после исправлений):
где r^2 раскрывается как:
Как это работает:
Уравнение задает все поверхности второго порядка.
При пересечении с плоскостью z=−Ax/C−By/C−D/C уравнение даёт кривые второго порядка (эллипс, гиперболу). Требуется только подставить z в уравнение.
Мнимые коэффициенты a′,b′,c′ управляют «скручиванием» поверхности в дуальном пространстве.
Пример:
Для a′=b′=c′=0 получаем классический конус:
_______________________________________________________________________
3. Новизна: Что не встречалось в учебниках?
Матричное представление плоскости с дуальными параметрами:
Стандартные уравнения GA (например n∧r=d) не включают мнимые компоненты для разделения реального/дуального пространств.Квадрики через матрицы Паули:
Использование r^2=u⋅σ0 с комплексным u — это новый способ параметризации поверхностей, удобный например для анализа данных (см. п. 4).Явная связь с коммутаторами:
Скалярное произведение = антикоммутатор (nr+rn)/2,
Внешнее произведение = коммутатор (nr−rn)/2.
Это объединяет GA с алгеброй Ли, что редко подчёркивается в базовых курсах.
____________________________________________________________________
4. Практическое применение: Аппроксимация данных
Идея: Восстановление поверхности второго порядка по 10 точкам через СЛАУ:
Подставить координаты точек в r^2=u⋅σ0.
Решить систему для a,b,c,a′,b′,c′,d,x0,y0,z0.
Преимущество: Учёт «дуальных» параметров a′,b′,c′ позволяет аппроксимировать не только форму, но и ориентацию поверхности.
_________________________________________________________________________
5. Почему DeepSeek-R1 — не панацея, но прорыв
Минусы:
Путает коммутаторы/антикоммутаторы.
Не может раскрывать скобки в длинных выражениях.
Переходит на английский без запроса.
Плюсы:
Предлагает неочевидные аналогии (например, связь бивектора и дуальной нормали).
Генерирует «каркас» формул, который человек может интерпретировать и доработать.
_________________________________________________________________________
6. Заключение
DeepSeek-R1 не заменит математика, но станет идеальным «коллегой» для исследований:
Помогает преодолеть когнитивную инерцию.
Автоматизирует рутинные выкладки (если дать чёткие инструкции).
Что дальше:
Проверка гипотезы об аппроксимации квадриками. Применение подхода в машинном обучении для аппроксимации сложных поверхностей.
Сравнение с методами машинного обучения (например, нейросетями с loss-функцией на основе GA).
Исследование дуальных коэффициентов в задачах компьютерного зрения.
Спасибо вам за внимание! И спасибо DeepSeek-R1! Книга для погружения в тему: «Геометрическая алгебра для физиков» (Крис Дорнан, Энтони Ласенби).
P.S. Если вы встречали похожие уравнения в литературе — напишите в комментариях! Пока что мои поиски не дали результатов, но это может быть связано с узостью темы. Совместными усилиями можно раскрыть потенциал этого подхода.