Дисклеймер: идея написания этой статьи появилась у нас в преддверии 1 апреля (что и отражено в названии). Поэтому все, что написано в данной статье, является всего лишь первоапрельской шуткой.
По роду своей деятельности мы часто имеет дело с задачами в области теории вероятностей и матстатистики. Зачастую это сложные теоремы и большие формулы. Но сегодня, 1 апреля, мы решили добавить креативный подход и юмор в строгую теорию и посмотреть, что из этого получится. Итак, начинаем.
Два века назад Н.И. Лобачевский исключил одну из аксиом из евклидовой геометрии, и создал новую геометрическую теорию. Мы решили пойти по стопам великого математика и поэкспериментировать с другой важной математической теорией – теорией вероятностей, а именно: поменять один из ее постулатов и посмотреть на результат.
Дальше будет несколько формальных определений - без них никак 🙄.
В большинстве источников указаны следующие аксиомы теории вероятностей:
Пусть Ω - множество элементов ω, которые называются элементарными событиями, а F - множество подмножеств Ω, называемых случайными событиями (или просто - событиями), а Ω - пространством элементарных событий.
Аксиома I (алгебра событий). F является алгеброй событий.
Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию x из F поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число P (x), которое называется вероятностью события x.
Аксиома III (нормировка вероятности). P ( Ω ) = 1.
Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события x и y не пересекаются, то
P ( x + y ) = P ( x ) + P ( y )
Все строго, последовательно и очень логично, что же здесь можно поменять?!
1. Особая роль числа 1 в математике
Мы задались вопросом: почему в Аксиоме III вероятность множества событий должна быть равна именно единице? Почему не 2 или не π, например? Давайте поменяем эту аксиому - заменим знак «=» на «>=». Какая мелочь, что может измениться?!
Теперь в нашей расширенной теории вероятность множества событий (и, как следствие, одного события) может быть больше 1.
Очевидно, что некоторые формулы классической теории вероятностей продолжат выполняться и в расширенной теории. Например: сложение вероятностей несовместимых событий. С другой стороны, многие формулы классической теории в этом случае станут выдавать странный результат, а теоремы перестанут выполняться.
Например, в классической теории вероятность события, противоположному данному, равна:
Р(не А) = 1 – Р(А). Но если Р(А)>1, то Р(не А) меньше 0, что противоречит Аксиоме II.
Ну что же, если не работают старые формулы, значит нужно определить новые! Но это выходит за рамки нашей статьи.
Думаю, у вас уже появился вопрос – это просто игра ума или для этой теории возможно найти применение? Прежде чем ответить на ваш вопрос, еще раз напомним, что и эта статья, и предложенные в ней теории – это первоапрельская шутка. Но все же попробуем найти ей практическое применение.
Предположим, что мы все живем в нескольких параллельных измерениях одновременно (хотя, почему только предположим 😊). Представим игрока, который находится в нескольких параллельных измерениях, и кидает монету: «орел» или «решка». Как нам определить вероятность каждого из этих событий? Очевидно, что классическая теория вероятностей в этом случае нам не поможет, так как одновременно могут произойти два противоположных события – у игрока одновременно выпадут и «орел», и «решка».
Определим вероятность события в нескольких измерениях следующим образом:
Р (события во всех измерениях) = Р (события в одном измерении) * Количество измерений.
Какова вероятность события «выпадет «орел»? Давайте посчитаем:
Р (орел) = 0,5 (вероятность события «орел» в одном измерении) * Количество измерений.
Таким образом, вероятность события «орел» равна (при двух измерениях) или больше 1 (при трех и более). Прибавим вероятность события «решка», и получаем число, заведомо большее 1.
Например, для четырех измерений Р (орел) будет равна 2 - наиболее вероятно, что «орел» выпадет в двух измерениях из четырех.
Если вы часто путешествуете между параллельными вселенными (и в одной из них прочитали эту статью), то вы можете взять нашу расширенную теорию на вооружение.
2. Воображение можно измерить
В отличие от первого варианта мы не будем менять операции или заменять число 1 на любое другое. Всего лишь уберем одно слово из формулировки Аксиомы II – кто вообще это заметит?! Теперь она звучит так:
Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию x из F поставлено в соответствие неотрицательное число P (x), которое называется вероятностью события x.
Вы заметили разницу? Нет слова «действительное». Зачем мы его убрали? Разве вероятность может быть комплексным числом? А почему нет?!
Комплексное число содержит действительную и мнимую части. Оставим действительную часть комплексной вероятности в ее текущем классическом виде. А мнимую часть определим как субъективное представление вероятности наступления события:
P комплексная = Р реальная + Р субъективная * i
Немного непонятно?! Объясним на примере: наверное, каждый встречал игровые автоматы, в которых за небольшую плату игрок получает шанс выиграть телефон, часы или мягкую игрушку управляя краном-«хватайкой». Реальная вероятность выигрыша в таком автомате небольшая, но, наблюдая за процессом со стороны, нам кажется, что выиграть приз не составит труда. То есть субъективное представление вероятности выигрыша намного выше реальной вероятности.
Рассмотрим другой пример состоящий из двух событий:
Событие первое: представим, что вы подбрасываете карандаш на стол, и он стоит на кончике грифеля. Какова вероятность этого события? Рассчитать ее теоретически вряд ли возможно - слишком много случайных и неизвестных величин – микро-шероховатости на поверхности стола, форма среза грифеля и так далее. И, насколько нам известно, подкинуть карандаш и поставить его на грифель еще никому не удавалось. То есть, очевидно, что вероятность этого события близка к 0.
И событие второе: представим, что вы сейчас читаете эту статью и раздается звонок в дверь. Открываете дверь и видите на пороге квартиры инопланетянина (нет, это не друзья решили так пошутить - это настоящий инопланетян). Вероятность этого события также близка к 0. Но, как говорится, есть большая разница. Если первое событие мы можем себе представить (берем карандаш, подбрасываем - он стоит кончиком грифеля на столе), то второе событие за гранью нашего обычного представления.
В комплексном представлении действительные части вероятности этих двух событий будут приблизительно равны, а вот мнимые части будет довольно сильно отличаться.
Несложно заметить, что, в отличие от варианта 1, многие формулы классической теории вероятностей будут корректны и в расширенной теории. Например, формула расчета вероятности события, противоположному данному, или формула сложения вероятностей несовместимых событий.
Планы на будущее 😊
Также можно рассмотреть и другие варианты. Например: убрать из Аксиомы II слово «неотрицательное» – и в этом случае открывается большое поле для фантазии.
Подводим итоги
Конечно, все предложенные варианты – это просто игра ума, первоапрельская шутка. Но история математики знает много примеров, когда теории, которые сначала казались странными и непонятными, находили свое применение в дальнейшем. Возможно, когда-нибудь отрицательная или комплексная вероятность станут полноправными членами математических формул. И вообще, наука – это, в том числе, искусство задавать правильные вопросы, пусть и в шуточной форме.
