«Пыль! Эта странная субстанция, летящая вам в лицо. Она заслуживает внимания, она не должна скрываться за словом «пыль». Просто ли это грязь, не находящая себе места, но составляющая самое существо этой части света? Или она — Земля, пытающаяся подняться в воздух, оторваться от самой себя, как мысль от тела, как тело, уступающее себя жаре» (Иосиф Бродский)
«Каждая перестановка пыли, способная осознать себя, воспринять себя как мыслящее «я», именно это и сделает» (Грег Иган)
«Порядок есть самая примитивная и произвольная группировка объектов в хаосе Вселенной» (Роберт Шекли)
«Демон этот магичен, термодинамичен, неклассичен и статистичен, и станет он из старого бочонка или из чиханья экстрагировать и доставлять тебе информацию обо всём, что было, что есть, что может быть и что будет. И нет демона превыше этого Демона, ибо он — Второго Рода» (Станислав Лем)
Существует эзотерическое поверье об информационном поле Вселенной, также известном как хроники Акаши – универсальной эфирной библиотеке, где записана вся информация о прошлом, настоящем и будущем, включая судьбу каждого из нас. В этой базе данных хранятся все знания мира – оттуда пророки черпали религиозные откровения, писатели и поэты – литературные шедевры, художники и музыканты – произведения искусства, учёные – научные открытия, а инженеры – технические изобретения. Но вся эта мудрость веков доступна только избранным – тем, кто умеет «настроиться» на нужную частоту и «срезонировать» с полем. Есть даже платные курсы, на которые приглашают всех, кто хочет научиться специальным образом медитировать и подключаться к этому космическому интернету.
Можно сразу отбросить никчёмную аналогию с вибрирующими полями как разновидность псевдонаучной фантастики, но идея универсального архива всех возможных текстов, наглядно представленная Хорхе Луисом Борхесом в рассказе «Вавилонская библиотека», подозрительно напоминает гипотезу цифровой мультивселенной – Конечного ансамбля всех математически возможных миров. А если углубиться в метафизику, мы непременно придём к платоновскому миру идей, в котором все вечные истины и прообразы вещей существуют независимо от нашего желания и веры. Чем тогда ясновидящие хуже математиков, которые верят, что доказательства теорем приходят им свыше? Чем античный миф о мойрах, плетущих нити судьбы, уступает релятивистской теории блок-вселенной, где вся ваша жизнь записана в виде пучка мировых линий? А гипотеза математической Вселенной Макса Тегмарка – разве это не предельный платонизм? Так может, вообще не существует ничего, кроме мира идей, а наша материальная действительность – всего лишь иллюзия? Или нам следует лучше разобраться с тем, как работают поисковые алгоритмы Вавилонской библиотеки?
Вавилонская библиотека
Вавилонская библиотека – это вымышленная вселенная из одноимённого рассказа, опубликованного в 1941 г. аргентинским писателем Хорхе Луисом Борхесом. Вавилонская библиотека состоит из множества шестигранных комнат. Каждый шестиугольник вмещает 20 полок, на каждой из которых находятся 32 одноформатные книги, каждая из которых содержит 410 страниц, каждая из которых содержит 40 строк, каждая из которых состоит примерно из 80 символов чёрного цвета, каждый из которых может быть одной из 22 букв алфавита, точкой, запятой или пробелом. Цифры и заглавные буквы отсутствуют. Главный закон библиотеки: в библиотеке не бывает двух одинаковых книг. Поэтому число книг конечно и библиотека имеет границы. По словам Борхеса, Вавилонская библиотека содержит
«…подробнейшую историю будущего, автобиографии архангелов, верный каталог Библиотеки, тысячи и тысячи фальшивых каталогов, доказательство фальшивости верного каталога, гностическое Евангелие Василида, комментарий к этому Евангелию, комментарий к комментарию этого Евангелия, правдивый рассказ о твоей собственной смерти, перевод каждой книги на все языки, интерполяции каждой книги во все книги, трактат, который мог бы быть написан (но не был) Бедой по мифологии саксов, пропавшие труды Тацита».
В неопубликованном эссе 1939 года «Тотальная библиотека» Борхес дополняет этот список своими снами и грёзами на рассвете 14 августа 1934 года, а также включает в него утраченную трагедию Эсхила «Египтяне», точное число раз, когда воды Ганга отражали полёт сокола, тайное и истинное название Рима, энциклопедию, которую написал бы Новалис, демонстрацию теоремы Пьера Ферма, ненаписанные главы Эдвина Друда, те же главы, переведенные на язык гарамантов, «Железные книги» Уризена, визионерские прозрения Стивена Дедала, которые ничего не значили бы до прошествия тысячи лет, и песню, которую пели сирены.
Фактически содержание Вавилонской библиотеки – это комбинаторный перебор всех возможных перестановок 25 символов на книгу. В одной книге 410×40×80=1.312.000 символов, двух одинаковых книг быть не может. Общее число книг в библиотеке – 251312000 или 101834097 – называется числом Борхеса. Согласно подсчётам профессора математики Уильяма Блоха, при объёме одной шестиугольной комнаты 30 м3 Вавилонская библиотека превосходит объём наблюдаемой части Вселенной примерно в 10611338 раз. Или, из расчёта 1000 книг на м3, наблюдаемая вселенная при объёме порядка 1081 м3 вмещает всего 1084 книг, поэтому для размещения всей библиотеки понадобилось бы 101834013 таких вселенных!
Несмотря на умопомрачительные размеры, Вавилонская библиотека может быть создана с помощью нескольких строк кода. Первой виртуальной реализацией Вавилонской библиотеки стал сайт libraryofbabel.info, разработанный в 2015 г. бруклинским писателем и программистом Джонатаном Базайлом. Естественно, для полной оцифровки библиотеки объёмом порядка 101834103 байт не хватило бы 2*1023 байт на всех существующих сегодня цифровых носителях. Но алгоритм Базайла просто генерирует книгу путём перебора 29 символов (26 английских букв, пробела, запятой и точки), присваивая ей уникальный адрес среди 640 томов на каждой из 20 полок каждой из 4-х стен каждого из 105229 шестигранников. На сайте можно ввести любой текст английскими буквами длиной до 3200 символов, и поиск выдаст сразу три страницы с этим текстом: 1) там, где он окружён только пробелами; 2) среди случайных символов и 3) среди случайных слов; а также этот текст в виде названия книги. Я пробовал вводить английскими буквами вступление данной статьи до того, как она была опубликована, и получил следующий результат:
А вот тот же текст кириллицей на русскоязычном аналоге сайта https://gagarin.sijeko.ru.
Есть и графическая версия Вавилонской библиотеки – Вавилонский архив изображений. В своё время американский математик Мартин Гарднер показал, что прямоугольный рисунок конечного размера, состоящий из конечного числа пикселей с конечным диапазонов цветов для каждого из них, может находится в конечном числе возможных состояний, которое можно вычислить с помощью формул комбинаторики. Большинство этих состояний будут похожи на цветной шум, какая-то часть – на абстрактный «мусор», но в то же время там будут встречаться все шедевры изобразительного искусство, которые были или ещё будут созданы. Также в этой базе обязательно найдутся портреты каждого человека из когда-либо живших в каждый момент его жизни, все когда-либо сделанные и даже не сделанные фотографии и кадры видео, звуковые дорожки, напечатанные или написанные от руки тексты – всё, что вы когда-либо видели на экране телевизора, компьютера или смартфона, и даже то, чего не видели – всё содержимое Интернета! Можете сами в этом убедиться на том же сайте Library of Babel в разделе «Вавилонский архив изображений», загрузив любую картинку – хоть сделанное прямо сейчас селфи. Архив содержит 4096266240 (~10961755) уникальных изображений – все возможные комбинации пикселей 4096 разных цветов в прямоугольнике с 416 строками и 640 столбцами. Для хранения такого количества картинок не хватит атомов в наблюдаемой вселенной, поэтому алгоритм сайта просто присваивает каждому загруженному изображению уникальный адрес и потом выдаёт его по этому адресу.
Вавилонская библиотека содержит любой текст до того, как он был написан, и любое фото, видео и аудио до того, как оно было снято или записано. Более того, там есть любая ваша мысль до того, как вы её подумаете, любой образ до того, как вы его вообразите, и любое ваше действие до того, как вы его совершите. Так что же это получается, в нашем мире нет ничего уникального и оригинального? Тогда какой смысл в творчестве и вообще в жизни, если всё уже записано и предопределено, а мы можем только копипастить плагиат, переоткрывать Америку и переизобретать велосипед? Получается какой-то предельный фатализм, никакой свободы воли и творческого самовыражения!
Хотя многие книги в библиотеке различаются одним или несколькими символами, а любые тексты повторяются во многих книгах, плагиатом это назвать нельзя, потому что все книги написаны одним анонимным автором. Как вы уже догадались, этим автором являются бесконечные обезьяны Эмиля Бореля, беспорядочно щёлкающие по клавишам печатных машинок. Или квантовый генератор случайных чисел. Забавно, что тексты Вавилонской библиотеки только кажутся белибердой, а на самом деле каждая строка имеет смысл. Поскольку в библиотеке есть словари всех возможных языков со всеми возможными значениями каждого возможного слова, ни одно слово не является бессмысленным, любая строка символов имеет какое-то значение. Какую бы книгу на какой бы странице мы ни открыли, её расшифровка обязательно найдётся в другой книге:
«...если недостаточно будет языка философов, многообразная Библиотека создаст необходимый, ранее не существовавший язык, словари и грамматики этого языка.
Какое бы сочетание букв, например:
дхцмрлчдй —
я ни написал, в божественной Библиотеке на одном из её таинственных языков они будут содержать некий грозный смысл».
Там нет ошибок, потому что любое сочетание букв может быть истинным высказыванием на одном из множества языков одного из множества возможных миров. Какие бы утверждения мы ни делали, в библиотеке найдутся как доказательства их истинности, так и доказательства их ложности.
Каждый, кто впервые узнаёт о Вавилонской библиотеке, невольно задаётся вечными философскими вопросами. Описывает ли Вавилонская библиотека весь Мультивёрс Эверетта со всеми возможными историями – Сад расходящихся тропок? Или она сама и есть Мультивёрс, и мы живём на страницах её книг? Не означает ли это, что «В начале было Слово (Логос)», т.е. информация (слова, идеи) первична, а материя – вторична? Не является ли Вавилонская библиотека иллюстрацией идеи Людвига Витгенштейна о том, что реальность состоит не из вещей, а из фактов, изложенных на естественном языке? Или основного тезиса постмодернизма, сформулированного Жаком Деррида:
«…для меня текст безграничен. Это абсолютная тотальность. Нет ничего вне текста: это означает, что текст не просто речевой акт. Этот стол для меня текст. То, как я воспринимаю этот стол — долингвистическое восприятие, — уже само по себе для меня текст»?
Не является ли Вавилонская библиотека хрониками Акаши, где записано всё, что было, есть и будет? И не подтверждает ли она ключевую идею каббалы, сформулированную в её первоисточнике – Сефер Йецире («Книге творения»)?
«Двадцатью двумя буквами, давая им форму и образ, смешивая их и комбинируя различными способами, Он сотворил всё то, что есть, что имеет форму и всё то, что будет её иметь»
Не гарантирует ли Вавилонская библиотека вечную жизнь и реинкарнацию? Ведь там записаны все возможные варианты вашей биографии, как если бы вы проживали жизнь каждого из 100 млрд когда-либо живших людей, а также всех, кто никогда не родился и кому ещё предстоит родиться. Ну и что – скажете вы – мало ли, что там написано в книгах вымышленной библиотеки – какое это имеет отношение к реальному миру? Самое непосредственное. Если наша Вселенная бесконечна, на её просторах будут существовать все возможные конфигурации материи в бесконечном количестве копий. В том числе и Вавилонская библиотека – почему бы ей не существовать физически? Кроме того, там будут существовать и все возможные перестановки книг в этой библиотеке, и все возможные её реализации, и все возможные нарушения основного правила, и т.д. Да, и самое главное – все более-менее самосогласованные истории, изложенные в книгах библиотеки, реально происходят где-то в мультивселенной. Более того, Вавилонская библиотека включает описания не только физически и математически возможных миров, но и миров с другой физикой, а также математически невозможных и логически противоречивых миров. Своего рода мультивселенная в шкатулке. Но почему именно библиотека? Может есть более компактные способы оцифровать мультивселенную?
Нормальные числа
Математическим эквивалентом Вавилонской библиотеки являются нормальные числа. Понятие нормального числа было введено Эмилем Борелем в 1909 г. Это действительное число, которое содержит в себе любую конечную последовательность цифр. Например, число 0,1234567891011121314151617… (постоянная Чемпернауна), содержащее всю бесконечную последовательность натуральных чисел, нормально по основанию 10. Если последовательно записывать после десятичной запятой переборы всех комбинаций нуля и единицы, наращивая разрядность, получится нормальное число, содержащее любую возможную последовательность нулей и единиц:
0,(0)(1)(00)(01)(10)(11)(000)(001)(010)(011)(100)(101)(110)(111)(0000)…
Или в десятичном виде – 0.27638711… В этом бесконечном числе гарантированно присутствует содержимое памяти всех компьютеров, которые существовали, существуют и будут существовать. Более того, если придерживаться сильной версии тезиса Чёрча-Тьюринга, согласно которой любой конечный физический объект можно представить в виде строки битов и смоделировать на универсальном компьютере, то в нашем нормальном числе записано всё прошлое, настоящее и будущее Вселенной до мельчайших подробностей! А также все возможные тексты, изображения, видео и т.д. Чем не Вавилонская библиотека, книга судеб или хроники Акаши?
Раздел теории чисел, который занимается исследованием нормальных чисел, называется теорией равномерного распределения. Определение «нормальности» заданного числа является нерешённой и, возможно, неразрешимой проблемой, как и доказательство гипотезы, что все иррациональные алгебраические числа нормальны. «Как это часто бывает, гораздо легче доказать, что подавляющее большинство объектов обладают определенным свойством, чем продемонстрировать хотя бы один такой объект... Довольно сложно продемонстрировать „нормальное“ число!» - писал Марк Кац.
Множество нормальных чисел несчётно бесконечно и намного превышает множество ненормальных чисел, т.е. случайно выбранное действительное число почти со 100-процентной вероятностью окажется нормальным. Конечно, нормальные числа никто никогда не видел, но мы знаем, что все математические и физические константы – это бесконечные дроби. Например, число π, в двоичном коде это 11.00100100001111110110…. Является ли оно нормальным числом, пока не доказано и не опровергнуто, но, если оно бесконечно, ничто не мешает ему содержать в себе любую конечную последовательность цифр в бесконечном количестве копий. Что же получается, история Вселенной полностью детерминирована всего одним нормальным числом? И мы сами являемся не более чем цифрами в составе этого числа?
Скоро мы ответим на эти вопросы, а пока отвлечёмся на одну интересную идею из «Города перестановок».
«Город перестановок» и Теория Пыли
«Город перестановок» - научно-фантастический роман австралийского писателя Грега Игана, опубликованный в 1993 г. В книге обсуждаются следствия вычислимости человеческого сознания по Тьюрингу, возможность его переноса на цифровой носитель и разница между реальным человеком и его цифровой копией, но все эти вопросы кажутся второстепенными на фоне предложенной автором Теории Пыли. Согласно этой теории, после смерти наше сознание не исчезает, а переходит на новый физический носитель, которым может служить любая достаточно сложная система вплоть до газопылевого облака в центре галактики. Даже необязательно, чтобы все логические элементы находились в одном месте, как нейроны в мозге: их можно распределить по разным компьютерам или вычислительным средам в разных уголках Вселенной.
«Теперь он был... пылью. Для внешнего наблюдателя эти десять секунд были измельчены в десять тысяч некоррелированных моментов и разбросаны по реальному времени - и в модельном времени внешний мир постигла аналогичная судьба. Тем не менее, структура его сознания осталась совершенно нетронутой: каким-то образом он нашёл себя, «собрал себя» из этих перемешанных фрагментов. Его разобрали на части, как пазл, - но его расчленение и перемешивание были для него незаметны. Каким-то образом - на их собственных условиях - части оставались связанными».
В момент смерти самосогласованность сознания не нарушается, оно просто меняет адрес в памяти вселенского процессора – и вычисление продолжается. Правда, после смерти сознание вынуждено постоянно перемещаться из одной среды в другую, но для каждого его возможного состояния найдётся соответствующая конфигурация частиц в бесконечной Вселенной. «Что я? Данные? Процесс, который их генерирует? Отношения между числами?» - спрашивает себя герой романа, и даёт ответ: «Мы — одно из решений гигантской космической анаграммы».
Тезис Чёрча-Тьюринга, который мы разбирали в статье «Квантовый панкомпьютерализм против цифровой физики», действительно подразумевает, что вы не можете знать, сделаны ли вы из настоящих атомов или из точных компьютерных симуляций атомов – кубитов квантового компьютера. Виртуальный наблюдатель никогда не сможет определить изнутри симуляции, на чём эта симуляция запущена – на транзисторах, сверхпроводящих контактах Джозефсона или частицах космической пыли. Симуляцию можно ускорять, замедлять, ставить на паузу, переписывать на другой носитель – все эти манипуляции никак не отразятся на субъективном опыте её цифровых обитателей. Поэтому теория пыли утверждает, что различные состояния вашего сознания или виртуального мира не нужно вычислять последовательно. Более того, их вообще не нужно вычислять, ведь необходимая конфигурация частиц всегда существует где-то в пространстве-времени, и её можно связать с другой конфигурацией, которая существует в совершенно другом месте, и т.д. «Смысл теории пыли заключается в том, что в причинности нет ничего, кроме корреляций между состояниями».
«Представьте себе вселенную полностью без структуры, без формы, без причинно-следственных связей. Облако микроскопических событий, как фрагменты пространства-времени... за исключением того, что нет ни пространства, ни времени. Что характеризует одну точку в пространстве, на одно мгновение? Только значения полей элементарных частиц – всего лишь набор чисел. Теперь уберите понятия координаты, расположения, порядка, и что останется? Облако случайных чисел.
Но если структура, которая есть я, может выделить себя из всех других событий, происходящих на этой планете, почему бы шаблону, который мы называем «вселенной», не собирать себя, находить себя точно так же? Если я могу собрать воедино своё собственное связное пространство и время из данных, разбросанных так широко, что они могли бы быть частью какого-то гигантского облака случайных чисел, то что заставляет вас думать, что вы не делаете то же самое?»
Грег Иган предвосхищает гипотезу математической вселенной Макса Тегмарка: «Математика каталогизирует всё, что не противоречит само себе; в этом обширном инвентаре физика — остров структур, достаточно богатых, чтобы вместить своих собственных наблюдателей». Если что-либо математически возможно, то это существует. Но в таком мире полностью стирается граница между реальным и виртуальным, физическим миром и его симуляцией. Всё есть самосознающая и самокомбинирующая пыль, «как […] гравитация и ускорение в общей теории относительности - всё зависит от того, что вы не можете отличить их друг от друга. Это новый принцип эквивалентности, новая симметрия между наблюдателями».
Абсолютно любая случайная последовательность битов, набор пикселей белого шума или конфигурация частиц пыли представляет состояние какого-то сознания. Но почему именно эта конфигурация, а не любая другая, соответствует именно этому состоянию сознания, а не другому? Мы ограничены языком, на котором думаем и которым интерпретируем получаемые информационные сигналы. А если рассмотреть все возможные языки и способы кодирования информации, то окажется, что любая строка битов имеет смысл на каком-то из них. Любая интерпретация и любая история, которую мы можем вообразить, окажется истинной. Не похоже ли это на Вавилонскую библиотеку, в которой каждая последовательность букв является словом на каком-то языке?
Если Вселенная полностью вычислима, её саму или любую её часть, включая наше сознание, можно симулировать даже на самом простом компьютерном «железе», и эта симуляция будет неотличима от оригинала. Более того, для создания такой симуляции не нужен программист – достаточно подождать, чтобы она возникла сама из тепловых флуктуаций де Ситтеровского вакуума или в ходе перемешивания частиц межзвёздного газа и пыли. Это похоже на сценарий больцмановского мозга, который мы рассматривали в статье «Бесконечные обезьяны, больцмановские мозги и другие чудеса статистической механики». На самом деле получить путём случайного перебора последовательность битов, отвечающую за ваше сознание, гораздо проще, чем самосознающий мозг, поскольку не имеет значение, на чём эта симуляция будет реализована. И если Вселенная в состоянии тепловой смерти будет существовать вечно, она переберёт все возможные комбинации частиц, и рано или поздно реализует симуляцию вашего сознания, а заодно и всего окружающего мира. Следовательно, вероятность жить в такой симуляции намного выше, чем в реальной вселенной с низкой энтропией. Так может вы и есть симуляция, а в реальной Вселенной никогда не было и нет ничего, кроме пыли?
Зовём на помощь робота-пылесоса
Как говорится, на каждую пыль найдётся свой робот-пылесос. Грег Иган исходит из предположения, что программа может работать сама по себе без компьютера. Но алгоритм, написанный на бумаге или на пыльном столе, работать не будет. На самом деле программа – это не только последовательность битов и конфигурация частиц её носителя. Программа – это полное описание машины Тьюринга, включающее кроме бумажной ленты с символами ещё и механизм её выполнения – головку записи-чтения с алгоритмом действий. Любая информация останется шумом, если не существует интерпретатора, способного её прочитать и перевести на другой язык или на другой физический носитель. Для всех программ, идентифицированных как таковые, интерпретатором выступает универсальный компьютер. Его универсальность заключается в том, что он может выполнить любую выполнимую программу. Но он не способен заранее определить по описанию и входным данным, выполнима программа или нет, не выполнив её пошагово – это знаменитая проблема остановки Тьюринга.
Как мы выяснили в статье «Меры сложности», одна и та же информация может быть записана на разных физических носителях, структура которых будет изоморфна. Есть мнение, что информации вообще не существует без интерпретатора, а её смысл полностью зависит от интерпретации, т.е. красота в глазах смотрящего. Противоположный подход состоит в том, что по крайней мере некоторые сообщения имеют универсальный смысл, который содержится в самой структуре их носителя и может быть раскрыт универсальным интерпретатором – разумом. Пример тому – золотые пластины с посланиями инопланетным цивилизациям на аппаратах «Вояджер». И наоборот – очевидно, что книга из Вавилонской библиотеки, состоящая из повторяющихся букв «MCV», не несёт никакого смысла ни на одном языке. И случайный набор букв не несёт никакого смысла, если у нас нет очень специализированного интерпретатора, способного расшифровать только эту строку и никакую другую.
Чем упорядоченнее записана информация, тем проще будет интерпретатор, и наоборот. Если информация имеет вид белого шума или Пыли, то есть имеет максимальную энтропию по Шеннону, для её расшифровки потребуется не менее сложный интерпретатор. Чтобы реализовать ваше сознание на таком носителе, как межзвёздная пыль, кто-то должен отслеживать состояние каждой частицы и корреляции между ними, иначе прочитать эту информацию будет невозможно. Если сознание распределено по разным серверам или перескакивает с одного носителя на другой, кто-то должен отслеживать порядок их работы и преемственность состояний. Сознание может быть реализовано на пылевом «железе» только при условии, что существует компьютер с достаточным объёмом памяти для хранения информации о взаимосвязях между триллионами частиц Пыли, и этот компьютер отслеживает движение каждой частицы. Разумеется, построить такой компьютер гораздо сложнее, чем симулировать сознание непосредственно на самом компьютере.
Теория Пыли ничего не объясняет, как и гипотеза симуляции. Какая разница, состоим мы из реальных атомов или симулированы на кубитах квантового компьютера, представляющих собой те же атомы или другие частицы? В любом случае перестановки этих атомов в пределах компьютера не настолько алгоритмически сложные, как может показаться. Но когда мы доходим до переноса сознания в другую вычислительную среду, нам нужно каким-то образом вычислить «адрес» этой среды, т.е. найти среди Пыли нужную конфигурацию частиц. А это ох как непросто! Почти все на первый взгляд случайные последовательности битов не могут быть созданы с помощью генератора псевдослучайных чисел. Алгоритм выполнения истинно случайной перестановки будет примерно в два раза сложнее самой переставляемой строки.
И всё же, такой алгоритм возможен? Что, если существует универсальный интерпретатор или поисковой алгоритм, способный извлечь из белого шума, космической пыли, нормального числа или Вавилонской библиотеки любую желаемую информацию, или хотя бы указать её адрес? Не зря же главный герой рассказа Борхеса посвятил свою жизнь поиску каталога Вавилонской библиотеки, следуя легенде, что «на некой полке в некоем шестиграннике (полагали люди) стоит книга, содержащая суть и краткое изложение всех остальных: некий библиотекарь прочел её и стал подобен Богу». Кто бы это мог быть? Знакомьтесь – Вавилонский библиотекарь и по совместительству универсальный интерпретатор – Демон Второго Рода.
Демон Второго Рода
Демон Второго Рода – фантастическая машина из «Кибериады» Станислава Лема, информационный аналог энергетического демона Максвелла, называемого в книге Демоном Первого Рода. Как вы помните из статьи «Информация об информации», демон Максвелла был придуман в качестве мысленного эксперимента, чтобы продемонстрировать нарушение второго закона термодинамики, запрещающего теплу переходить от холодных объектов к тёплым. Подобно тому, как демон Максвелла сортировал быстрые и медленные молекулы в контейнере с газом, создавая в нём разницу температур, лемовский Демон Второго Рода мог извлекать информацию из белого шума, отделяя осмысленные сигналы от бессмысленных.
«…В каждой щепотке воздуха действительно складываются из атомных брыканий и кувырканий важные истины и глубокие сентенции, но вместе с тем возникают совершенно бессмысленные скачки и отскоки, и этих последних в тысячи раз больше, чем первых. […] …Надо добиться, чтобы Демон экстрагировал из атомных танцев только истинную информацию, то есть математические теоремы и журналы мод, формулы и исторические хроники, рецепты ионофореза и способы штопки и стирки асбестовых панцирей, и стихи, и научные советы, и альманахи, и календари, и секретные сведения о событиях давних времен, и все то, что писали и пишут газеты во всем Космосе, и телефонные книги, пока еще не напечатанные…»
Героям «Кибериады» удалось создать такого Демона, но вместо полезной информации он стал генерировать истинные и при этом никому не нужные данные обо всём на свете:
«…Демон записывал на бумажной ленте всё, что узнавал от колеблющихся атомов, читал о том, как вить кисточки для алебард, и о том, что дочь царя Петриция из Благолонии звалась Горбундой и что съедал за вторым завтраком Фридрих II, король бледнотников, до объявления войны гвендолинам, и о том, сколько электронных оболочек насчитывалось бы в атоме термионолиума, если бы такой элемент мог существовать, и каковы размеры заднего отверстия крохотной птички, называемой куротел… вся эта вполне правдивая и во всех отношениях осмысленная информация… совершенно не нужна, ведь она превращалась в ужасную смесь, от которой разламывалась голова…»
Очевидно, найти алгоритм, отличающий полезную информацию от бесполезной, гораздо сложнее, чем просто извлекать из белого шума осмысленные предложения. Вся информация о том, какие биты являются осмысленными, а какие – нет, должна быть записана в самом Демоне. Он должен знать все возможные языки и все возможные факты обо всём на свете, почти как ChatGPT. Кстати, Большие языковые модели, генерирующие осмысленные тексты на основе чистой статистики и комбинаторики слов, в некотором смысле являются поисковиками в Вавилонской библиотеке и демонами второго рода, модулирующими белый шум в осмысленные тексты, картинки, аудио и видео. Но они генерируют информацию в ответ на запросы (промпты), а не сами по собственной воле или по воле случая. Источником их знаний является не белый шум, а цифровой контент, на котором их обучали.
Белый шум или максимально сжатое сообщение, в котором нет избыточности (только чистая информация), обладают максимальной энтропией по Шеннону. Такое сообщение выглядит как случайная последовательность битов, а все данные для его расшифровки содержатся в алгоритме архиватора, который его сжимал. Обычно архиватор находит в тексте статистические закономерности, кодирует их короткими программами и записывает текст в сокращённом виде. Но если в сообщении нет вообще никаких регулярностей, единственный способ его закодировать – записать побитово и выдавать командой print. Ни одна программа меньшей длины, чем длина случайной строки, не извлечёт информацию из этой строки, поскольку в ней нет никаких закономерностей. Если же алгоритм для извлечения информации из шума превышает по алгоритмической сложности саму извлекаемую информацию, он по сути уже содержит всю информацию в себе, как языковая модель, и не находит эту информацию в шуме, а навязывает её.
В статье «Квантовая случайность против детерминизма» мы изгнали демона Лапласа, убедившись, что ни одна машина не сможет предсказать своё собственное поведение из-за проблемы остановки. Там я ссылался на теоремы о монотеизме и о деизме математика Дэвида Вулперта, доказавшего, что в одной вселенной не могут сосуществовать две универсальные машины вывода, знающие всё будущее наперёд. Но им ничто не запрещает сосуществовать в мультивселенной, где любой компьютер разветвляется на множество невзаимодействующих между собой копий. Можно представить верховного, мультивёрсного Сверхдемона Лапласа, который находился бы в суперпозиции и вычислял одновременно во всех мирах. Нет, я имею в виду не Сатану, а обычный квантовый компьютер, обладающий достаточной вычислительной мощностью, чтобы смоделировать нашу Вселенную. Но его предсказание сводилось бы к банальному перечислению всех возможных исходов во всех возможных мирах. Это намного проще, чем вычислить, что же произойдёт в одном конкретном мире.
А что, если это вычисление оптимизировать и сократить? Не предсказывать будущее в подробностях, как демон Лапласа, а узнать самые важные события? Допустим, вы разрабатываете для этого сверхмощный искусственный интеллект – Демона Второго Рода – и ставите ему задачу находить среди десятичных знаков числа π или среди текстов Вавилонской библиотеки осмысленные предложения. Рано или поздно какие-то из этих предложений окажутся похожими на предсказания будущего, но они будут предсказывать совершенно разные, взаимоисключающие сценарии. Даже если вы напишете для Демона специальный алгоритм, загрузите в него все имеющиеся данные о вашей жизни и об окружающем вас мире и поставите задачу целенаправленно искать только продолжения вашей биографии, написанные примерно в том же стиле, Демон выдаст множество таких продолжений. Какие-то из них будут довольно правдоподобными, но большинство сценариев превзойдут ваши самые смелые фантазии и покажутся вам крайне маловероятными. Однако вы так и не сможете определить, какой же из этих прогнозов сбудется в действительности, пока не проживёте свою жизнь в неведении и не найдёте её сценарий среди предложенных уже задним числом.
В каждом нормальном числе, включая, возможно, и число π вместе с другими математическими и физическими константами, предопределено абсолютно всё, включая вашу судьбу. Главный вопрос в том, как эту книгу судеб прочитать. Предположим, вы хотите узнать всё своё будущее, от сегодняшнего дня и до точной даты смерти. Оно действительно записано нулями и единицами где-то среди бесконечности знаков после запятой. Но для того, чтобы извлечь эту информацию, не хватает самой малости – ключа, который подскажет, с какой позиции начинать читать. Думаю, вы уже догадались, что на создание такого ключа потребуется не меньше вычислительных ресурсов, чем потребовалось Вселенной для создания вас самих и всего, что вас окружает. На самом деле даже больше. Для того, чтобы найти в нормальном числе последовательность из n битов, нужно указать область, которая лежит примерно на 2n цифр после запятой. Это намного больше самой строки из n битов, так что гипотеза о том, что мы живём в числе π, не имеет никакого практического смысла. Увы, но без демона Лапласа число π не сообщит вам ничего, кроме отношения длины окружности к её диаметру. Прочитать свою судьбу в случайных числах, карточных раскладах или узорах кофейной гущи не получится.
Аналогично и с Вавилонской библиотекой – в ней предопределено абсолютно всё, но вы никогда не узнаете, что же именно вас ждёт. Все её книги в совокупности описать очень легко – достаточно запустить программу из нескольких строк, подобную той, на которой работает сайт Library of Babel. А на описание каждой конкретной книги потребуется примерно столько же символов, сколько есть в самой этой книге – только небольшую часть книг можно заметно сжать, применив к ним алгоритм компрессии. Поэтому никакой Демон Второго Рода не сможет извлечь оттуда больше информации, чем есть в нашем мире и в самом Демоне. Тексты Библиотеки обретают смысл по мере того, как соответствующие им факты и язык, на котором они изложены, физически реализуются в одном из возможных миров. Не слова из библиотеки предопределяют всё, что происходит в реальности, а наоборот – реальные события в одном из возможных миров определяют значение написанных слов.
Хотя Вавилонская библиотека и включает в себя все когда-либо написанные, а также не написанные (точнее, написанные в параллельных мирах Эверетта) осмысленные тексты, абсолютное большинство книг представляют собой случайный набор букв. А случайная последовательность символов обладает самой высокой колмогоровской сложностью, её невозможно сжать или вычислить короткой программой. Поэтому Уильям Блох в книге «Невообразимая математика Вавилонской библиотеки Борхеса» пишет:
«...для всех языков, известных в настоящее время людям, для неописуемого большинства книг в Библиотеке единственное возможное описание книги - это сама книга. Это, в свою очередь, приводит к чудесному, неизбежному и невообразимому выводу: Библиотека является своим собственным каталогом».
Вот такой облом! Библиотека содержит все знания мира, но получить к ним доступ нельзя, потому что каталог её содержимого размером с саму библиотеку и неотличим от неё. Но это даже хорошо – наличие на полках библиотеки текста данной статьи никак не обесценивает мою работу, поскольку ни один алгоритм не сможет его найти, пока статья не написана.
Наша вселенная сложнее мультивселенной?
Пришло время перенести наши выводы с игрушечных моделей на реальную физическую мультивселенную. В предыдущей статье «Иерархия мультивселенных» мы рассмотрели четыре уровня мультивселенной по Максу Тегмарку, предсказанные квантовой механикой, теорией инфляции и гипотезой математической вселенной, а также вечную во времени эргодическую вселенную статистической механики. Как показал Тегмарк, эти мультивселенные если не эквивалентны, то по крайней мере вложены одна в другую по принципу матрёшки и могут быть описаны единой метатеорией – интерпретацией Эверетта. А теперь, учитывая всё вышесказанное, давайте ответим на один вопрос. Что сложнее: Мультивёрс как совокупность всех возможных миров или синглвёрс как один из этих миров, в котором нам приходится жить? Ответ вроде бы напрашивается сам собой, но не спешите делать преждевременные выводы. Если хорошо подумать, то окажется всё наоборот. Что!? – спросите вы. Почему наблюдаемая вселенная сложнее мультивселенной? Как может быть часть сложнее целого? Может, если рассмотреть мультивселенную как вычислительную машину с точки зрения теории информации.
Давайте вспомним основные меры сложности, о которых мы писали в одноимённой статье. Есть алгоритмическая, или колмогоровская сложность, которая равна длине самой короткой компьютерной программы, выводящей данную строку битов. Есть вычислительная сложность, которая равна числу элементарных логических операций, необходимых для вычисления строки. Есть логическая глубина, которая равна объёму вычислительных ресурсов, требуемых для получения строки с помощью самой короткой программы, выводящей эту строку. Есть термодинамическая глубина, которая равна количеству полезной информации, энергии и массы, затраченных на создание физической системы. Наконец, есть эффективная сложность, которая равна количеству информации, описывающей регулярные аспекты физической системы, в противоположность энтропии, описывающей её случайные аспекты. Какую из этих мер сложности следует применить к описанию Вселенной?
Начнём с колмогоровской сложности. Каким образом полное квантовое состояние Вселенной может быть алгоритмически проще, чем состояние одного из множества параллельных миров, входящих в эту суперпозицию? В этом нет никакого парадокса. Набор всех чисел, состоящих из миллиарда битов, описать легко, но, чтобы описать почти любое отдельное число из этого набора, понадобится миллиард битов. Всю последовательность Фибоначчи можно задать короткой формулой, но, чтобы получить значение её n-го члена, нужно вычислить значения всех предыдущих членов, начиная с третьего. Суперпозицию всех возможных значений координаты и импульса элементарной частицы легко описать с помощью волновой функции, но вычислить, в какую именно точку она попадёт на экране, т.е. какой из вариантов реализуется при измерении – невозможно.
Здесь вы вправе возразить, что говорить об алгоритмической сложности Вселенной не совсем корректно, поскольку функция определения этой сложности – невычислимая. Да, это так, потому что никогда нельзя сказать наверняка, является ли выбранная программа вычисления Вселенной самой короткой – не даёт теорема Хайтина. На формальном языке она звучит так: если F - формальная система, которая имеет конечное описание и является непротиворечивой, то существует такое число x, что система F не может доказать существования каких-либо двоичных строк со сложностью больше x. Поскольку существует бесконечно много строк произвольной сложности, среди них есть строки сложности большей, чем любое произвольное, но фиксированное число x. Но F не может это доказать, следовательно, система F неполна. Иначе говоря, не существует программы, которая принимала бы на вход строку s и выдавала бы на выходе целое число K(s) – колмогоровскую сложность строки s. Отсюда следует невозможность создания идеального архиватора, формирующего для любого входного файла программу наименьшего возможного размера, и невозможность создания идеального компилятора, оптимизирующего по размеру при переводе с высокоуровневого языка программирования на низкоуровневый. К счастью, теорема об инвариантности колмогоровской сложности позволяет перевести программу с одного тьюринг-полного языка на другой без существенного увеличения её длины. То есть длина алгоритма практически не зависит от языка программирования.
В статье «Бесконечные обезьяны, больцмановские мозги и другие чудеса статистической механики» мы пришли к выводу, что вероятность возникновения из квантовых флуктуаций вакуума целой Вселенной выше, чем вероятность появления больцмановского мозга. Казалось бы, энтропия Вселенной в момент Большого взрыва была ниже энтропии больцмановского мозга, а значит, её случайное рождение из хаоса менее вероятно. Но здесь нужно учитывать не энтропию, а колмогоровскую сложность. Вселенную, какой она была на момент Большого взрыва, можно получить с помощью набора коротких физических формул, значений фундаментальных констант и начальных условий инфляции. Значит, она алгоритмически проста. А больцмановский мозг нельзя просто так взять и задать короткой программой, или распечатать на 3Д-принтере. Потому что знания и воспоминания, которыми он обладает, трудно варьировать - если в них закрался случайный бит, программа зависнет. С точки зрения вычислительных ресурсов сделать правдоподобную симуляцию окружающего мира не проще, чем сотворить точно такой же реальный мир. То есть сложность больцмановского мозга равна сложности наблюдаемой Вселенной плюс сложность функционирующего сферического мозга в вакууме, что заведомо больше сложности ранней Вселенной. Самый быстрый способ получить больцмановский мозг, если мы не хотим ждать его материализации из вакуума раз в 10^10^50 лет – это пройти весь путь эволюции Вселенной от Большого взрыва до появления современного человека, обладающего таким мозгом. Значит, человеческий мозг алгоритмически сложнее ранней Вселенной, которая его породила!
На наш аргумент о том, что закодировать Вселенную проще, чем больцмановский мозг, можно привести контраргумент: всё зависит от языка, на котором мы пишем программу. А в мультивселенной каждая строка, напечатанная обезьяной, является программой на одном из возможных языков и выдаёт какой-то результат. Это правда, но все универсальные, тьюринг-полные языки программирования предназначены для того, чтобы легко кодировать повторяющиеся последовательности или структурные закономерности с помощью функций, циклов, рекурсии и других инструментов. Можно, конечно, изобрести язык, на котором структурированные строки будут описываться длинными программами, а случайные последовательности битов – наоборот, записываться коротко, т.е. браться за константу. Такой язык будет крайне неудобным для практического пользования, поскольку программисту придётся писать почти всё вручную, даже если данные повторяются, а для каждой случайной строки помнить её код. К тому же случайных строк гораздо больше, чем всех возможных коротких программ. Если, скажем, закодировать каждую книгу Вавилонской библиотеки порядковым номером, на таком языке можно будет вывести любую строку, запомнив её адрес. Но почти все адреса окажутся намного длиннее самих строк, которые они выводят. Чтобы команда вывода книги по её номеру имела смысл в рамках фиксированной универсальной машины Тьюринга, необходимо включить описание этой команды и самой библиотеки в определение машины.
Теоретически для любой конечной последовательности битов можно придумать специальный язык, на котором она кодируется программой длиной в один бит. Например, можно сделать архиватор, кодирующий весь текст «Войны и мира» одним битом «0». Но этот архиватор будет сам длиной не меньше «Войны и мира» и не сможет сжать больше ни одного текста. Если каждую книгу Вавилонской библиотеки снабдить таким языком, выводящим только эту книгу и никакую другую, то количество специальных языков на много порядков превысит число универсальных, тьюринг-полных языков, кодирующих универсальные закономерности, и выбор нужного языка станет задачей ещё более сложной, чем выбор нужной книги. При случайном выборе языка короткая программа с наибольшей вероятностью выдаст случайную книгу или случайную строку битов. Но если мы захотим определить алгоритмическую вероятность произвольной строки битов, то её «вес» в универсальном априорном распределении Соломонова определяется длиной самого короткого описания на выбранной универсальной машине Тьюринга. Каждой строке соответствует совокупность программ, выводящих её, с весом, примерно равным
где p — длина программы на фиксированной универсальной машине U.
Обратите внимание, что в сумме доминирует самое короткое описание (программа), а не количество альтернативных описаний. Хотя для каждой строки существуют короткие программы на специальных языках, суммарный вес таких программ с точки зрения алгоритмической вероятности будет снижен дополнительным «оверхэдом» - стоимостью включения самого языка в описание универсальной машины Тьюринга. Даже если специальных языков, делающих практически любую строку легко описываемой, будет бесконечно много, их суммарный вклад нивелируется включением описания механизма, позволяющего быстро выдавать строку. И наоборот, вклад коротких программ на универсальных языках оказывается экспоненциально значимым, то есть алгоритмическая вероятность строки всё равно определяется самой короткой программой в универсальном представлении.
Если мы возьмём набор всех возможных бесконечных последовательностей битов, почти каждая последовательность будет нормальной, и любую произвольную строку битов будет гораздо проще найти в одной из этих нормальных строк, чем в повторяющейся, упорядоченной последовательности. Если мы одновременно запустим все возможные программы на всех возможных языках, подавляющее большинство программ выдаст строки с максимальной сложностью, а структурированные, легко сжимаемые строки составят лишь незначительную долю среди всех возможных строк. Однако повторяющиеся последовательности битов будут гораздо чаще встречаться в строках, выведенных короткими программами на универсальных языках, а программы на специализированных языках будут генерировать только случайные биты. То есть произвольная упорядоченная строка будет с большей вероятностью найдена как результат короткой программы на универсальном языке, нежели как случайный вывод из множества специализированных языков. При измерении алгоритмической вероятности строки решающим фактором является длина самой короткой программы на универсальных языках, а не количество языков или программ, которые могут её вывести.
Рассмотрим в контексте вышесказанного структуру физической мультивселенной. Как в Вавилонской библиотеке все возможные комбинации из 25 символов равновероятны, так и в Мультивёрсе все возможные конфигурации частиц (микросостояния) вселенной равновероятны. Число возможных микросостояний функционирующего мозга, обладающего осмысленными воспоминаниями, или компьютера, симулирующего сознание, на много порядков меньше числа нефункциональных мозгов, «сумасшедших» мозгов с противоречивыми воспоминаниями и «багов» в компьютерных симуляциях. Число «тонко настроенных» вселенных с разумными наблюдателями тоже на много порядков меньше числа необитаемых и никем не наблюдаемых вселенных. Почти все возможные миры будут намного проще, чем наша наблюдаемая вселенная возрастом 13.8 млрд лет, в которой дарвиновская эволюция привела к возникновению разума и созданию универсального компьютера. В пространстве всех возможных состояний вселенной, содержащей сознание, подавляющее большинство миров будут выглядеть совершенно случайными и бессвязными, за исключением минимального уровня порядка, необходимого для создания и поддержания сознательного разума. А мы наблюдаем достаточно упорядоченную вселенную. Этот аргумент против Теории Пыли приводит сам Грег Иган:
«Я думаю, что вселенная, в которой мы живём, дает веские эмпирические доказательства против «чистой» Теории Пыли, потому что она слишком упорядочена и подчиняется гораздо более простым и однородным физическим законам, чем это было бы необходимо, просто для того, чтобы содержать наблюдателей с устойчивым чувством их собственного существования. Если бы каждое расположение пыли, содержащее таких наблюдателей, было бы реализовано, то было бы в миллиарды раз больше расположений, в которых наблюдатели были бы окружены хаотическими событиями, чем расположений, в которых были бы однородные физические законы».
Так если статистически вероятность оказаться больцмановским мозгом в неупорядоченной вселенной с высокой энтропией выше, почему мы тогда осознаём себя в упорядоченной вселенной с низкой энтропией? Потому что с учётом колмогоровской сложности получается всё наоборот: низкоэнтропийные состояния более вероятны за счёт алгоритмических закономерностей (их проще описать), а высокоэнтропийные – менее вероятны из-за вычислительной неприводимости. То есть бесконечным обезьянам, щёлкающим по клавиатуре, гораздо проще набрать короткую программу, кодирующую упорядоченную строку битов, чем саму эту строку, не говоря уже о случайной строке битов или программе, которая её выводит. Это не зависит от используемого языка программирования, поскольку все универсальные языки, позволяющие компактно передавать повторяющиеся и структурированные последовательности, обеспечивают более высокую вероятность получения сложных упорядоченных объектов путём эволюции, а не случайным формированием в хаотичной среде. Даже если в идеализированном пространстве всех возможных программ и языков существуют способы кодировать любую строку специальным языком, суммарный вклад таких языков экспоненциально падает из-за необходимости включать язык в описание универсальной машины Тьюринга.
Очевидно, логическая и термодинамическая глубина Мультивселенной тоже невелика. Как показывают инфляционные модели, на образование новой вселенной из скалярного поля не требуется много вычислительных (пространства и времени) или физических (энергии-массы) ресурсов. Мультивселенная работает как квантовый компьютер, выполняя все возможные вычисления квантово-параллельным способом. Каждое возможное вычисление является элементом её полного состояния, для описания которого достаточно унитарного уравнения Шрёдингера. Но чтобы получить результаты вычисления в конкретной ветви волновой функции, нужно ввести в компьютер его «программу» (фундаментальные константы и начальные условия) и шаг за шагом пройти все итерации. Так, для вычисления отдельного элемента этой суперпозиции, каковым является наша версия наблюдаемой вселенной, нужно произвести примерно 10122 операций над 1092 битами – ровно столько, сколько ей понадобилось для вычисления самой себя, как мы выяснили в статье «Вычислительная мощность вселенной». Вселенная начинается из простого состояния и эволюционирует по простым законам, но её вычисление не детерминировано, поэтому сложность Вселенной растёт вместе с её энтропией.
Остаётся последняя мера сложности – эффективная сложность по Гелл-Манну. Она определяет, какие биты информации важны для функционирования системы, а какие – нет. Для её оценки достаточно инвертировать значение каждого бита и посмотреть, что будет. Очевидно, для нашей обозримой вселенной ничем хорошим это не закончится. Ведь речь идёт не о замене всех частиц античастицами, не о повороте времени вспять и не о зеркальном отражении Вселенной, а об изменении всех её параметров, как переменных, так и постоянных. А вот мультивселенная изначально включает все возможные варианты фундаментальных констант. Сколько бы мы не варьировали эти биты информации, на просторах мультивселенной найдётся любой вариант, и на общих свойствах системы это никак не отразится. Для каждой последовательности битов в наблюдаемой вселенной есть противоположная ей последовательность в мультивселенной. Следовательно, наша обозримая Вселенная эффективно сложнее, чем весь набор декогерентных миров под названием «мультивселенная». Эффективная сложность вселенной растёт вместе с её энтропией, хотя в далёком будущем, вероятно, следует ожидать обратного: энтропия продолжит расти, а сложность начнёт убывать, пока не наступит тепловая смерть.
Как может быть часть сложнее целого?
Субаддитивность, когда мера некоторой величины для объединённой системы оказывается меньше или равна сумме этих же мер для отдельных частей – очень контринтуитивное свойство. В классическом макромире целое обычно равно сумме своих частей (аддитивность), а в некоторых случаях действует аристотелевский принцип «целое больше суммы его частей» (сверхаддитивность). Но в квантовой механике субаддитивность в порядке вещей. Например, масса атомного ядра меньше суммарной массы входящих в него протонов и нейтронов (суммарная масса свободного протона и нейтрона превышает массу дейтрона примерно на 2,2 МэВ), а некоторые частицы распадаются на частицы, которые в сумме обладают большей массой, чем масса исходной частицы. Также субаддитивность характерна для теории вероятностей, где вероятность объединения двух событий меньше или равна сумме их индивидуальных вероятностей. Поэтому в бесконечном множестве математических структур вероятность каждой из них стремится к нулю. Аналогично и в бесконечной замкнутой Вселенной плотность материи будет равна нулю, ведь отношение площади сферы к её объему и массе материи внутри падает с увеличением радиуса сферы. Есть инфляционная гипотеза о Вселенной нулевой энергии, согласно которой суммарная энергия-масса Вселенной равна нулю, поскольку положительная масса частиц компенсируется отрицательной гравитационной энергией.
Ещё одна субаддитивная величина – квантовая энтропия фон Неймана, о которой я рассказывал в статье «Квантовая информация и законы сохранения». Это мера смешанности или запутанности квантового состояния частицы (кубита): 𝑆(𝜌)=−Tr(𝜌ln𝜌). Она всегда равна нулю для чистых квантовых состояний, но может быть выше нуля для их подсистем, если они запутаны между собой: 𝑆(𝜌𝐴𝐵)≤𝑆(𝜌𝐴)+𝑆(𝜌𝐵). Иначе говоря, вы знаете всё, что в принципе можно знать о системе, но ничего не знаете о её составляющих. Теорема о сильной субаддитивности (SSA) энтропии фон Неймана была доказана Либом и Рускаем (1973) и стала основой квантовой теории информации. Она гласит, что энтропия системы или множества случайных величин всегда меньше суммы энтропий её отдельных компонентов. Также можно вспомнить теорию множеств Цермело-Френкеля, в которой подмножество бесконечного множества равномощно самому бесконечному множеству, а множество всех его подмножеств имеет большую мощность.
Если вам всё ещё трудно понять, как часть может быть сложнее целого, вот неплохой пример. Наглядным представлением Мультивёрса может служить множество Мандельброта – математический объект, известный вам из статьи «Фрактальное самоподобие Вселенной». Представьте, что каждый его элемент – отдельная вселенная (синглвёрс). Все эти разноцветные круги с колючими шипами, завивающиеся спирали и нити с висящими гроздьями, «дьявольские полимеры», «морские коньки» и «ветки вьющихся растений» можно рассматривать вечно, увеличивая или уменьшая масштаб. Если бы множество Мандельброта было классическим фракталом, оно было бы внутренне самоподобным на различных масштабах, то есть составляющие его элементы были бы похожи друг на друга, и учёные могли бы предсказать, что они увидят на следующем уровне увеличения. На первый взгляд система приблизительно повторяет свои же элементы, но более детальные исследования показали совсем другую картину: отдельные детали между собой не идентичны, и каждый взгляд в глубины множества приносит новые сюрпризы. Математики Доуди и Хаббард доказали, что ни один фрагмент множества не повторяется при любом увеличении. Вот как описывает это Джейм Глейк в книге «Хаос. Создание новой науки»:
«… в каждом сегменте — не имеет значения, где он находится и насколько он мал, — при увеличении «компьютерным микроскопом» обнаружатся новые молекулы, каждая из которых будет напоминать систему в целом и одновременно чем-то отличаться от неё. Каждая новая молекула будет обладать собственными спиралями и выступающими частями, похожими на языки пламени, и в них также неизбежно обнаружатся новые молекулы, ещё меньшие, такие же бесконечно разнообразные, всегда подобные, но никогда — полностью идентичные. Это можно назвать чудом миниатюризации: каждая новая деталь является вселенной, цельной и многоликой».
Множество Мандельброта состоит из точек, и каждая точка комплексной плоскости, т.е. каждое комплексное число, или входит в это множество, или находится за его пределами. Единственный способ определить границы множества – тестировать каждую точку с помощью простого итерационного процесса. Вы берёте комплексное число, возводите его в квадрат, прибавляете результат к первоначальному числу, итог вновь возводите в квадрат, вновь прибавляете результат к первоначальному числу, вновь возводите итог в квадрат и т.д., снова и снова. Если полученное число стремится к бесконечности, значит, точка не входит в множество Мандельброта. Если же итог имеет предел (может быть обнаружен в какой-нибудь из повторяющихся петель или хаотично блуждать), в таком случае точка находится в пределах множества. Сложнее всего вычислить границу множества, где точки медленнее всего ускользают от притяжения системы, как бы балансируя между двумя соревнующимися аттракторами, один из которых располагается в нуле, а другой — на бесконечности.
«Когда сто, или тысяча, или десять тысяч итераций не приносят результата, программа всё ещё не может дать определённого ответа на вопрос, входит ли определённая точка в пределы системы или нет. Кто знает, что принесёт миллионная итерация? Поэтому программы, которые строят самые захватывающие изображения системы с наиболее детальным увеличением, выполняются на мощных универсальных вычислительных машинах или компьютерах с параллельной обработкой данных, где тысячи индивидуальных процессоров производят одни и те же вычисления в аналогичном порядке».
Множество Мандельброта кажется бесконечно сложным, но для его описания достаточно одной короткой рекурсивной функции или компьютерной программы из нескольких строк кода. А для того, чтобы вычислить отдельный элемент множества, потребуется произвести сложное вычисление из большого количества итераций, то есть применить эту функцию к себе самой много раз подряд. Так же и вся Мультивселенная может быть описана короткой формулой, в то время как для полного описания отдельного его элемента (синглвёрса) нужно осуществить множество итераций этой формулы, то есть по сути воспроизвести всю его историю с момента Большого взрыва. Следовательно, сложность Мультивёрса конечна и невелика по сравнению со сложностью нашего синглвёрса.
А что, если наша Вселенная имеет бесконечное пространство состояний или бесконечна во времени? Разве это не делает её бесконечно сложной? Руди Рюкер, математик, писатель-фантаст и прапраправнук Гегеля, придумал интересный мысленный эксперимент, чтобы показать, что вечная Вселенная не может быть описана с помощью конечного числа символов. Допустим, у нас есть идеальная монета, подбрасывая которую, можно получить истинно случайную последовательность нулей и единиц. В принципе подойдёт квантовый генератор случайных чисел, в котором вероятность исходов всегда равна 50/50. Когда мы запускаем такую машину, первое подбрасывание монеты расщепляет вселенную на две копии с разными исходами, второе подбрасывание создаёт уже четыре вселенных и т.д. В итоге каждая возможная последовательность битов будет присутствовать в какой-то из параллельных вселенных, и они никогда не станут повторяться. Получается, если у нас есть хотя бы один квантовый генератор случайных чисел, способный работать вечно, Вселенная не может иметь конечное описание. Но даже в таком случае весь Мультивёрс будет проще, чем каждая его ветвь по отдельности:
«Любопытно, что такая ветвящаяся Вселенная содержит меньше информации, чем Вселенная, которая не разветвляется. Ведь если существует только одна машина по подбрасыванию монетки, она генерирует уникальную последовательность нулей и единиц, и эта случайная последовательность, по всей вероятности, представляет собой несократимое бесконечное количество информации. [...]
Если вы запустите эту машину в ветвящейся Вселенной, то всё, что вы получите, - это все возможные узлы бесконечного двоичного дерева. Такая система полностью описывается конечным числом слов: "Возьмите любую возможную конечную последовательность нулей и единиц". [...]
Если каждая возможная Вселенная существует, пропадает необходимость учитывать особенности этой Вселенной (например, тот факт, что прямо сейчас по моему экрану ползёт муравей, или что на моём дворе растут 79 цветков клевера, или что в этой Вселенной есть живые существа, или что пространство в ней имеет три измерения). Если существует каждая возможная Вселенная, то нет необходимости объяснять какую-либо её особенность. Почему по моему экрану ползёт муравей? Не имеет значения: существует другая Вселенная - точно такая же, только без муравья».
Макс Тегмарк в статье «Возможные миры и реальные миры» приходит к аналогичному выводу:
«Весь ансамбль часто намного проще, чем один из его участников. Этот принцип можно сформулировать более формально, используя понятие алгоритмического информационного содержания. Алгоритмическое информационное содержание числа — это, грубо говоря, длина самой короткой компьютерной программы, которая выдаст это число на выходе. Например, рассмотрим набор всех целых чисел. Что проще: весь набор или только одно число? Наивно вы можете подумать, что одно число проще, но весь набор может быть сгенерирован с помощью довольно тривиальной компьютерной программы, тогда как одно число может быть очень длинным. Следовательно, весь набор на самом деле проще... (Аналогично)…мультивселенные более высокого уровня проще. Переход от нашей вселенной к мультивселенной уровня I устраняет необходимость указывать начальные условия, обновление до уровня II устраняет необходимость указывать физические константы, а мультивселенная уровня IV устраняет необходимость указывать что-либо вообще... Общая особенность всех четырёх уровней мультивселенной заключаются в том, что самая простая и, возможно, самая элегантная теория по умолчанию предполагает существование параллельных вселенных. Чтобы отрицать существование этих вселенных, нужно усложнить теорию, добавив экспериментально неподтвержденные процессы и специальные постулаты: конечное пространство, коллапс волновой функции и онтологическую асимметрию. Поэтому наше суждение сводится к тому, что мы считаем более расточительным и неэлегантным: много миров или много слов. Возможно, мы постепенно привыкнем к странностям нашего космоса и найдем его странность частью его очарования».
По мнению Тегмарка, лучше иметь простую, но расточительную теорию многих миров, чем сложную и многословную теорию одного мира. Тем самым он сводит на нет один из главных аргументов против мультивселенной: её несоответствие критерию бритвы Оккама, который требует не умножать сущности без необходимости. Постулировать существование других вселенных ради объяснения устройства нашей вселенной не более расточительно, чем считать вселенную бесконечной в пространстве. Но если колмогоровская сложность описания не увеличивается, а уменьшается с каждым следующим уровнем мультивселенной, может бритву Оккама следует применять к самим теориям, отсекая более сложные и оставляя более простые? С этим согласен и Виктор Стенджер. В книге «Бог и мультивселенная» он пишет:
«На первый взгляд может показаться, что одна Вселенная экономнее, чем множественные вселенные. Однако бритва Оккама касается не количества объектов в теории, а количества гипотез. Атомная теория материи умножила количество объектов, с которыми приходится работать физикам, в триллионы триллионов раз. Тем не менее она оказалась проще и мощнее, чем макроскопическая термодинамика, которая использовалась до неё и может быть полностью выведена из атомной теории. Аналогично, поскольку современная эмпирическая наука указывает на существование множественных вселенных, нам, чтобы обосновать существование всего одной Вселенной, потребуется дополнительная гипотеза, которая не следует из данных. Таким образом, именно гипотеза о единственной Вселенной нарушает принцип бритвы Оккама».
Вывод
Итак, в этой громоздкой и сложной во всех отношениях статье мы сделали генеральную уборку – изгнали из Вавилонской библиотеки лемовского Демона Второго Рода и смели с её полок Пыль Игана. Заодно мы пришли к парадоксальному выводу, что Вавилонская библиотека – гораздо более простой объект, чем любая нормальная библиотека с небольшим числом осмысленных книг. Аналогично и целая вселенная на момент Большого взрыва проще больцмановского мозга, а целый Мультивёрс проще отдельного синглвёрса. Как оказалось, Вавилонская библиотека является своим собственным каталогом, белый шум – своим собственным интерпретатором, а Пыль – своей собственной симуляцией, не способной симулировать ничего, кроме Пыли. Все они представляют собой игрушечные модели мультивселенной, которая содержит максимум информации и минимум смысла – любая её часть вычислительно сложнее целого. Но это не значит, что мультивселенной не существует, или что рассуждать о ней бесполезно. Другие вселенные, как и книги Вавилонской библиотеки, обретают смысл в процессе эволюции нашей вселенной и воплощение возможности в действительность.
В заключение давайте разрешим древний спор об основаниях математики и науки вообще: мы открываем уже существующие законы природы, или создаём их в своём уме, обобщая эмпирический материал? Первую концепцию исповедуют платонисты, вторую разделяют интуиционисты и конструктивисты. А истина, как обычно, где-то посередине. С одной стороны, научные теории, произведения искусства, математические теоремы всегда существовали и будут существовать в Вавилонской библиотеке Мультивёрса, поэтому их открывают, а не придумывают. Однако вместе с ними существуют и все возможные их вариации, отрицания, опровержения, да и просто бессмысленный мусор, занимающий львиную долю Библиотеки. Алгоритма, который заранее мог бы определить, что истинно, а что ложно, быть не может – запрещают неполнота Гёделя, проблема остановки Тьюринга, невычислимость колмогоровской сложности и вычислительная неприводимость Вольфрама. Поэтому нам приходится добывать знания по крупицам эволюционным методом проб и ошибок, опираясь на весь предыдущий опыт.
И вот мы каким-то образом оказались здесь, в этой вселенной – мы осознаём себя в определённой, вполне вычислимой среде, а не «размазанными» по всему Мультивёрсу в суперпозиции всех своих двойников. Вселенную такого уровня сложности нельзя просто взять и выдумать с нуля или извлечь из Вавилонской библиотеки Мультивёрса. Единственный способ её получить – вычислить пошагово, начиная с Большого взрыва и заканчивая текущим состоянием вашего мозга. Считайте это логическим опровержением солипсизма – если бы вселенная существовала только у вас в сознании, на её сотворение вам понадобилось бы не меньше вычислительных ресурсов, чем реальной вселенной на вычисление самой себя вместе с вашим сознанием. Заодно мы провели деконструкцию Теории Пыли и гипотезы симуляции – смоделировать наблюдаемую вселенную на пылевом или любом другом «железе» вплоть до кубитов квантового компьютера гораздо сложнее, чем получить её естественным эволюционным путём. Таким образом, с наибольшей вероятностью вы живёте в реальном мире. С чем вас и поздравляю.
