Монти Холл без магии и метафор: строгий разбор «парадокса»

[rilio]

Допустим, ведущий в процессе игры знал ответ, но потом забыл, а потом опять вспомнил. Вопрос: в процессе этого забывания-вспоминания вероятность менялась?

[baxmax]

Разберите такой вариант и напишите статью, а мы потом обсудим

[peterjohnsons]

Полный анализ изменения вероятности в парадоксе Монти Холла (by Claude Sonnet 4)

Постановка задачи

Ведущий: знал → забыл → вспомнил
Вопрос: меняется ли вероятность?

Строгий математический анализ

Фаза 1: Ведущий знает

• Игрок выбирает дверь A

• P(автомобиль за A) = 1/3

• P(автомобиль за B или C) = 2/3

• Ведущий знает точное расположение, откроет дверь с козой

• Ожидаемая вероятность выигрыша при смене = 2/3

Фаза 2: Ведущий забыл

При забывании возникает неопределенность в действиях ведущего:

Расчет для случая "автомобиль за B":

• Ведущий может открыть B (автомобиль) с вероятностью 1/2

• Ведущий может открыть C (коза) с вероятностью 1/2

Расчет для случая "автомобиль за C":

• Ведущий может открыть C (автомобиль) с вероятностью 1/2

• Ведущий может открыть B (коза) с вероятностью 1/2

Общая вероятность испорченной игры:
P(игра сломана) = P(авто за B) × P(откроет B) + P(авто за C) × P(откроет C)
= 1/3 × 1/2 + 1/3 × 1/2 = 1/3

Вероятность нормального завершения:
P(нормальная игра) = 1 - 1/3 = 2/3

При нормальном завершении:

• P(выигрыш при смене | нормальная игра) = 2/3

• Общая вероятность выигрыша при смене = 2/3 × 2/3 = 4/9

Фаза 3: Ведущий вспомнил

Случай 3а: Вспомнил правильно

• Возвращается к фазе 1

• Вероятность выигрыша при смене = 2/3

Случай 3б: Вспомнил неправильно
Пусть p = вероятность правильного воспоминания

Детальный расчет:

Реальное положение P Правильно вспомнил Неправильно вспомнил P(игра сломана) A 1/3 Откроет B или C Откроет B или C 0 B 1/3 Откроет C 1/2 шанс открыть B (1-p)/2 × 1/3 C 1/3 Откроет B 1/2 шанс открыть C (1-p)/2 × 1/3

Общая вероятность испорченной игры:
P(игра сломана) = (1-p)/2 × 1/3 + (1-p)/2 × 1/3 = (1-p)/3

Вероятность нормального завершения:
P(нормальная игра) = 1 - (1-p)/3 = (2+p)/3

Общая вероятность выигрыша при смене:
P(выигрыш при смене) = (2+p)/3 × 2/3 = 2(2+p)/9

Численные примеры

Если p = 1 (всегда помнит правильно):

• P(выигрыш при смене) = 2(2+1)/9 = 6/9 = 2/3 ✓

Если p = 0 (всегда помнит неправильно):

• P(выигрыш при смене) = 2(2+0)/9 = 4/9 ≈ 0.444

Если p = 1/2 (случайно):

• P(выигрыш при смене) = 2(2+0.5)/9 = 5/9 ≈ 0.556

Динамика изменения вероятности

Знает:     2/3    →    Забыл:     4/9    →    Вспомнил: 2(2+p)/9  ↑                      ↑                        ↑
Классический        Снижение из-за           Зависит от качества
результат           риска поломки            воспоминания

Ответ на вопрос

ДА, вероятность менялась на каждом этапе:

1. Знал: P(выигрыш при смене) = 2/3 = 0.667

2. Забыл: P(выигрыш при смене) = 4/9 ≈ 0.444

3. Вспомнил: P(выигрыш при смене) = 2(2+p)/9

Изменение происходит потому, что:

• Забывание создает риск случайного открытия автомобиля

• Неправильное воспоминание также создает этот риск

• Каждое изменение ментального состояния ведущего влияет на ожидаемый исход игры

Математически строго: Вероятность является функцией от информационного состояния системы, и изменение этого состояния неизбежно ведет к изменению вероятностей.

Практический вывод

В реальных играх типа "Поле чудес" или "Deal or No Deal" квалификация и надежность ведущего напрямую влияют на математическое ожидание выигрыша участников.

[baxmax]

В классической ТВ вероятность - это функция события. Если распределение вероятностей зависит от чего-либо ещё, например, от времени, то это уже случайный процесс (нестационарный).
Вы "на пальцах" что-то посчитали, но математической модели не построили

[nin-jin]

Искуство сказать простую вещь сложным способом... Всё же куда проще: независимо от того, что выберет игрок и ведущий, вероятность, что приз за выбранной дверью - 1/3, а вероятность, что за одной из оставшихся - 2/3. От того, что ведущий открыл какие-то двери, эти вероятности не меняются. Меняется лишь число дверей в каждом из вариантов. Так что смена двери меняет вероятность с 1/3 на 2/3.

[baxmax]

Видите ли, цель была в другом. Не решить задачу максимально простым способом (для этого и не нужна статья), а разобраться, что происходит, и почему большинство людей продолжает "стоять на своём".
Вот в начале стоит Игрок, и перед ним 3 двери. Ясно, что приз может быть за любой из них, и вероятность у каждой двери 1/3. А когда Ведущий открыл одну из них, вероятность "второй закрытой двери" стала вдруг равна 2/3. Возникает ощущение, что "вероятность" с открытой двери "перебежала" на ту "вторую" дверь. А почему не на первую? Почему не распределилась равномерно? Интересные же вопросы, согласны? Вот чтобы на них ответить, и стОило поковыряться в этом подольше

[Kerman]

"вероятность" с открытой двери "перебежала" на ту "вторую" дверь. А почему не на первую?

Потому что ведущий открывает одну из двух дверей. Причём ту, которая пустая. Вероятность перетекает в тот момент, когда ведущий ВЫБИРАЕТ пустую дверь.

[nin-jin]

В том-то и дело, что вероятности никуда не "перебегали", они остались неизменными для двух групп дверей. Просто одна группа изменилась и,соответственно, изменилось распредение этой вероятности между дверьми этой группы. А люди тут ошибаются потому, что в школе не учат искать инварианты.

[Kerman]

изменилось распредение этой вероятности между дверьми этой группы

Вероятность перебежала с открытой двери на не открытую?

[baxmax]

Вопрос был не "в какой момент", а "почему именно так"? Как "выбор пустой двери" связан со "второй" дверью??

[Kerman]

Ну всмысле как? Ведущий выбирает из двух дверей, какую открыть. Он не открывает дверь, на которую показал игрок.

Две двери, ведущий выбирает из них пустую. Сознательно. Зная, где коза. У двух дверей раньше была вероятность 2/3. Теперь вероятность для них осталась такой же, но из двух дверей закрыта только одна.