Всем привет. Сегодня хочу затронуть тему матана, чтобы показать как его можно применять на реальных задачах. Думаю каждый, кто учил матан часто задавался вопросами: «Где это вообще пригодится?», «Зачем это нужно?», «Как это может помочь?» и т. д. Так вот, чтобы эти вопросы отпали раз и навсегда предлагаю свой топ-5 алгоритмов из курса матана с конкретными примерами их применения в работе.
❯ 1. Метод Ньютона (касательных)
Представьте, что вам нужно найти корень уравнения 
Точный ответ неизвестен, а перебирать числа наугад — слишком медленно. Здесь на помощь приходит метод Ньютона — алгоритм, который используют в машинном обучении, рендеринге 3D-игр и даже при расчёте кредитных ставок.
Суть метода?
Геометрическая аналогия: «Метод Ньютона — как навигатор для слепого: он „ощупывает“ кривую касательной и шаг за шагом двигается к корню».
Формула:
Всё, что нужно — знать функцию и её производную. Алгоритм напоминает градиентный спуск, но работает точнее.
Наглядный пример можно увидеть по ссылке: Пример работы метода Ньютона (касательных)
Пример с кодом:
# Поиск квадратного корня из 2 (≈1.4142)
f = lambda x: x**2 - 2
df = lambda x: 2*x
x = 1.0
for _ in range(5):
x = x - f(x)/df(x)
print(x) # Результат: 1.41421356237Как можно заметить мы сделали всего 5 итераций — и ошибка меньше 0.00001!
В чём преимущество этого метода?
Перебор требует 1000 шагов, метод Ньютона — 5, отсюда следует экономия вычислительных ресурсов.
В отличие от градиентного спуска, не нужно подбирать learning rate, что делает его более удобным.
Где может пригодиться?
ML: В логистической регрессии метод Ньютона-Рафсона находит оптимальные веса в 3 раза быстрее, чем SGD.
Графика: Используется в Unreal Engine для расчёта столкновений частиц.
Финтех: Банки вычисляют IRR (внутреннюю норму доходности) за миллисекунды.
С какими «подводными камнями» можно столкнуться?
Метод не идеален: если начать с нуля, он сломается (деление на ноль). А для функции может зациклиться. Но эти проблемы решаются выбором „умного“ стартового приближения.
Вывод:
Метод Ньютона — это как швейцарский нож для расчётов: простой, мощный и незаменимый в арсенале разработчика. Попробуйте реализовать его для своей задачи — и убедитесь сами.
❯ 2. Ряды Фурье
Когда вы слушаете музыку в Spotify, делаете МРТ в больнице или загружаете мем в JPEG, в фоне работает математический инструмент, придуманный ещё в 1807 году. Ряды Фурье — это «математический микроскоп», который раскладывает любые сигналы на частоты. Сегодня эта абстракция из курса матана стала основой цифрового мира.
Суть метода:
Главный принцип: Любую периодическую функцию можно представить как сумму простых синусов и косинусов с разными частотами и амплитудами».
Формула:
Представьте, что вы разобрали аккорд на пианино на отдельные ноты — это и есть преобразование Фурье.
Пример с кодом:
# Генерация сигнала = сумма 2-х синусов (частоты 5 Гц и 20 Гц)
import numpy as np
t = np.linspace(0, 1, 1000)
signal = np.sin(2*np.pi*5*t) + 0.5*np.sin(2*np.pi*20*t)
# Визуализация
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(t, signal)
plt.title("Сигнал = 5 Гц + 20 Гц")Ряд Фурье „увидит“ обе частоты (5 и 20 Гц) и их амплитуды (1.0 и 0.5)
В чём преимущество?
Ряды Фурье (и их цифровые версии — БПФ/DFT) — это не просто абстрактная математика. Их ключевая сила в том, что они переводят сложные данные в форму, которую легко анализировать, обрабатывать и сжимать.
Универсальность: Можно разложить что угодно: звук, изображение, биение сердца, курс акций.
Пример: Запись голоса → спектр частот → можно удалить шум (например, фоновый гул).Эффективное сжатие данных: Отбрасываем «неважное».
Человеческое ухо/глаз не воспринимают все частоты.
MP3: Удаляются звуки за пределами 20 Гц – 20 кГц.
JPEG: Высокие частоты (мелкие детали) сжимаются сильнее.
Результат: Файлы в 10–100 раз меньше без заметной потери качества.
Быстрота вычислений (БПФ): O(n log n) вместо O(n²)
Прямое вычисление ряда Фурье для N точек требует ~N² операций.
Быстрое преобразование Фурье (FFT) сокращает это до N log N.
Пример:Анализ аудио в реальном времени (например, Shazam).
Мгновенная обработка МРТ-снимков.
Где может пригодиться?
Обработка сигналов
Шумоподавление в микрофонах (например, в Zoom).
Работа радаров и МРТ (анализ радиочастотных сигналов).
Сжатие данных
JPEG: Дискретное косинусное преобразование (DCT) — «родственник» Фурье.
MP3: Удаление частот, которые не слышит человеческое ухо.
Финансы и наука
Предсказание циклов на фондовом рынке (анализ временных рядов).
Расшифровка ДНК (периодические паттерны в геноме).
С какими «подводными камнями» можно столкнуться?
Ряды Фурье работают идеально только для периодических сигналов. Для реальных данных (например, аудиозаписи) используют:
Дискретное преобразование Фурье (DFT) для цифровых сигналов.
Оконные функции (Ханна, Хэмминга), чтобы избежать „утечек“ частот.
Вывод:
Ряды Фурье — это не просто абстракция из учебника. Каждый раз, когда вы отправляете голосовое сообщение или смотрите стрим, они работают на вас. Попробуйте разложить свой сигнал через numpy.fft — и увидите мир частот!
❯ 3. Градиентный спуск
Каждый раз, когда нейросеть распознаёт ваше лицо в телефоне или сервис доставки прокладывает оптимальный маршрут — в фоне работает алгоритм, придуманный ещё в 1847 году. Градиентный спуск — это „компас“, который помогает компьютерам находить лучшие решения в море данных.
Суть метода:
Главный принцип: Представьте, что вы спускаетесь с горы в тумане. Самый быстрый путь вниз — идти в направлении наибольшей крутизны. Градиентный спуск делает то же самое с функцией потерь.
Формула:
Пример с кодом:
# Пример: поиск минимума f(x) = x^2 + 5*sin(x)
def gradient_descent(df, x0, eta=0.1, epochs=100):
x = x0
for _ in range(epochs):
x = x - eta * df(x)
return x
df = lambda x: 2*x + 5*np.cos(x) # Производная
x_min = gradient_descent(df, x0=10)
print(f"Найден минимум: x = {x_min:.3f}")В чём преимущество метода?
работает с функциями от миллионов переменных (например, в GPT-4).
Вычислительная сложность линейна от числа параметров.
Применим почти к любой оптимизационной задаче:
Обучение нейросетей (backpropagation — это градиентный спуск),
Оптимизация бизнес-процессов (минимизация издержек),
Настройка гиперпараметров в науке.
Где применяется?
Машинное обучение: Обучение нейросетей (от линейной регрессии до трансформеров).
Логистика: Оптимизация маршрутов доставки (например, в Amazon).
Финансы: Алгоритмический трейдинг (минимизация риска).
Медицина: Подбор дозировки лекарств (минимизация побочных эффектов).
С какими «подводными камнями» можно столкнуться?
Градиентный спуск — не волшебная таблетка. Вот что может пойти не так:
Слишком большой шаг (η): алгоритм «перепрыгнет» минимум.
Локальные минимумы: остановка в субоптимальной точке.
„Плато“: медленное обучение на пологих участках.
Вывод:
Градиентный спуск — это „кирпичик“ современного ИИ.
❯ 4. Метод наименьших квадратов (МНК)
Когда врач прогнозирует действие лекарства, Netflix советует вам фильм, а биржа пытается угадать курс акций — все они используют метод, придуманный... для расчёта орбит комет. Метод наименьших квадратов (МНК) — это математический „детектор трендов“, который находит закономерности даже в хаотичных данных.
Суть метода:
Главный принцип: Найти линию (или кривую), которая минимизирует сумму квадратов отклонений всех точек данных.
Формула:
Представьте, что вы натягиваете резинку между гвоздиками (точками данных) так, чтобы она была ближе всего ко всем сразу.
Пример с кодом:
# Подгонка прямой к данным (y = ax + b)
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
X = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape(-1, 1) # Данные
y = np.array([2, 3, 5, 7, 8]) # Цели
model = LinearRegression().fit(X, y) # МНК под капотом!
print(f"Уравнение: y = {model.coef_[0]:.2f}x + {model.intercept_:.2f}")Вывод: «Уравнение: y = 1.60x + 0.20
В чём преимущество метода?
Даёт точные результаты даже при 20-30% ошибках в данных (например, в экономике).
Решается аналитически — быстрее многих альтернатив.
Коэффициенты a и b имеют понятный смысл (например: «цена растёт на $1.6 за каждый новый признак»)
Где применяется?
Машинное обучение: Линейная регрессия (предсказание цен, спроса).
Геодезия: Калибровка GPS/ГЛОНАСС по контрольным точкам.
Медицина: Анализ «доза-эффект» (подбор безопасной дозы).
Финансы: Прогноз биржевых трендов (скользящие средние).
С какими «подводными камнями» можно столкнуться?
МНК как и все методы не идеален. Вот где он даёт сбой:
Выбросы: Один аномальный пункт может исказить всю модель (решение: использовать М-оценки).
Не линейность: Если данные похожи на синусоиду — нужна полиномиальная регрессия.
Мультиколлинеарность: Когда предикторы коррелируют (например, «вес» и «калорийность»).
Вывод:
МНК — это „швейцарский нож“ аналитика. Отлично может найти закономерности даже в хаотичных данных. Можете убедиться сами на своих данных.
❯ 5. Цепи Маркова
Когда вы читаете предложение, дополненное смартфоном, или получаете персональную рекламу — возможно, в этот момент работает модель, созданная русским математиком ещё в 1906 году. Цепи Маркова — это «машина вероятностных переходов», которая легла в основу PageRank, ChatGPT и даже ИИ для игр. Сегодня эта абстракция из теории вероятностей управляет цифровым миром.
Суть метода:
Главный принцип: Следующее состояние системы зависит только от текущего — никакой памяти о прошлом»(свойство марковости).
Представьте пьяного человека, который шагает в случайном направлении, но его следующий шаг зависит только от того, где он стоит сейчас. Так и работают цепи Маркова.
Пример с кодом (генератор текста):
import random
# Правильная структура цепи Маркова:
# Каждое состояние ведёт к словарю {следующее_состояние: вероятность}
transitions = {
'start': {'I': 0.6, 'You': 0.4},
'I': {'love': 0.7, 'hate': 0.3},
'You': {'win': 0.5, 'lose': 0.5},
'love': {'Python.': 1.0}, # Конечные состояния должны быть словарями
'hate': {'homework.': 1.0},
'win': {'!': 1.0},
'lose': {'.': 1.0}
}
def generate():
# Выбираем первое слово на основе 'start'
current_word = random.choices(
list(transitions['start'].keys()),
weights=transitions['start'].values()
)[0]
sentence = [current_word]
# Продолжаем, пока не достигнем конечного состояния (точка, воскл. знак)
while current_word not in ['.', '!', '...']:
next_words = transitions[current_word]
current_word = random.choices(
list(next_words.keys()),
weights=next_words.values()
)[0]
sentence.append(current_word)
return ' '.join(sentence)
print(generate()) # Пример: "You win !" или "I love Python."Вывод: You win !
В чём преимущество метода?
Нужны только текущее состояние и матрица переходов (обычная таблица вероятностей).
Сравните с нейросетями, где требуются тысячи параметров.
Перемножение матриц — операция, которую GPU выполняет молниеносно.
Цепь из 1000 состояний хранится как матрица 1000×1000 чисел (вместо гигабайтов весов нейросети).
Где применяется?
Поиск: Ранжирование в Google/Yandex.
NLP: Автодополнение в Gmail/iPhone.
Геймдев: Поведение NPC в Civilization.
Биология: Моделирование мутаций ДНК.
С какими «подводными камнями» можно столкнуться?
Цепи Маркова — не волшебство. Главные ограничения:
Нет долгой памяти: Не помнит состояния 2 шага назад
Стационарность: Вероятности должны быть постоянными
Проклятие размерности: Для сложных систем нужны огромные матрицы
Вывод:
Цепи Маркова окружают нас — от ленты соцсетей до умных колонок. Они очень практичны и легки в понимании.
В заключение этой статьи хочу напомнить вам, что хороший программист = хороший математик. Можно было рассмотреть ещё тысячи, десятки тысяч очень полезных алгоритмов, но уже на этом этапе можно понять важность матана и в целом всей высшей математики в нашей современной жизни.
Новости, обзоры продуктов и конкурсы от команды Timeweb.Cloud — в нашем Telegram-канале ↩
📚 Читайте также:
➤ JavaScript: примеры реализации некоторых математических выражений
➤ IT и ЗОЖ: Как не сгореть за компом? Простые ритуалы для сейва здоровья
Перед оплатой в разделе «Бонусы и промокоды» в панели управления активируйте промокод и получите кэшбэк на баланс.
