Morgana0_0 26 авг в 15:20

Почему векторное произведение существует только в R^0, R^1, R^3, R^7?

Средний

2 мин

8.2K

Чаще всего с векторным произведением мы знакомимся в курсе аналитической геометрии, где мы редко выходим в задачах за размерность три, поэтому может складываться впечатление, что векторное произведение обобщается на любую размерность, по аналогии со скалярным.

Вспомним, что такое векторное произведение векторов. Векторным произведением векторов и (обозначается $a \times b$ ) называется вектор, перпендикулярный обоим векторам и и численно равный по длине площади параллелограмма, натянутого на соответствующие векторы, ту же длину выражает и определитель матрицы Грама векторов что влечёт следующее тождество:

$||a \times b||^2 = || a ||^2 || b ||^2 - (a\cdot b)^2 \Leftrightarrow (a \times b) · (a \times b) + (a · b)^2 = (a · a)(b · b)$ $(\star)$

Способы вычисления:

$|a \times b| = |a||b|sin(\alpha),$ где $\alpha$ - угол между векторами и .

$(a \times b) = \begin{pmatrix} i & j & k\\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}$ - а так мы можем узнать координаты вектора $a \times b$

Самое простое доказательство изложено в [1], его суть я изложу здесь. Основная идея состоит в построении универсального контрпримера для пространств большой размерности.

Для начала понадобятся некоторые свойства, векторного произведения. Их доказательства состоят в раскрывании скобочек и привидении подобных, так что это я опущу. Подробное доказательство изложено в [2].

$w\cdot(u \times v) = -u \cdot (w \times v)$
$u \times v = - v \times u \Rightarrow u \times u = 0$
$v \times (v \times u) = (v \cdot u)v - (v \cdot v)u$
$w \times (v \times u) = −((w \times v) \times u) + (u · v)w + (w · v)u − 2(w · u)v$

Из первых четырёх свойств также следуют:

$u \times (u \times v) = -v$
$w \times (v \times u) = -((w \times v) \times u)$

Введём несколько определений:

$S_0 = \{u_0\}, S_k = S_{k−1} \cup \{u_k\} \cup (S_{k−1} \times u_k)$ , где $u_k \perp S_{k-1}$
$S_i \times S_j = \{u \times v, \text{ где } u \in S_i \text{ и } v \in S_j\}$
$\pm S_i = S_i \cup (−S_i)$

Утверждение 1

Оказывается, что при таком построении — ортонормированное множество. Более того, что $S_k \times S_k = \pm S_k \text{ и } |S_k| = 2^{k+1}−1$ .

Утверждение 2

Если $u = (u_0 \times u_1) + (u_1 \times u_3)$ и $v = (u_1 \times u_2)− (((u_0 \times u_1)\times u_2)\times u_3)$ , то $u \times v = 0$ и $u \perp v$ .

Утверждение 3

Если $u = (u_0 \times u_1) + (u_1 \times u_3)$ и $v = (u_1 \times u_2) − (((u_0 \times u_1)\times u_2)\times u_3),$ то $(u \cdot u)(v \cdot v) \neq (u × v) · (u × v) + (u · v)^2$ .

Из утверждения 1 следует, что $n = 2^{k+1} - 1$ , а из утверждений 2 и 3, что при $k\geq3$ нарушается тождество ( $\star$ ). Дляи произведение просто равно 0. А вот, как строятся произведения в и :

Векторное произведение в также можно описать с помощью кватернионов. В общем случае, если вектор представлен в виде кватерниона ${a_1}i + {a_2}j + {a_3}k,$ то векторное произведение двух векторов это кватернион, но после умножения надо отбросить действительную часть. Действительная часть будет равна отрицательному значению скалярного произведения двух векторов. Например:

$(a, b) = -7; a \times b = (4, -1, -2)$

Аналогично для семимерного пространства, только вместо кватернионов стоит использовать октонионы.

Список использованных источников:

Peter F. Mcloughlin, “When does a cross product on exists?”, Electronic copy found at: https://www.arxiv.org/pdf/1212.3515v6
Peter F. Mcloughlin, “Basic Properties of Cross Products”, Electronic copy found at: http://www.math.csusb.edu/faculty/pmclough/BP.pdf

P.s. а ещё у меня есть тгк с другими не менее интересными заметками https://t.me/mathematuchka

Хабы:

Почему векторное произведение существует только в R^0, R^1, R^3, R^7?

Публикации

Ближайшие события