Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Поток Научпоп доступен 24/7 благодаря поддержке друзей Хабра
Комментарии 35
Вопрос после "Введём несколько определений:"
Sk - это же множество? Или что? Что значит 
? Вектор перпендикулярен всем векторам множества? Что значит 
?
Возьмём самый простой пример. Если 
то 
и т.д.
— каждый элемент 
векторно умножаем на 
И да, 
значит, что 
ортогонален любому вектору из 
.
Встает вопрос, а есть вообще этот самый uk, перпендикулярный всем остальным. Сколько их может быть в n-мерном пространстве? Зависит ли что-нибудь от выбора этого самого вектора?
Предполагая, что мы уже построили 
ортогональным, можно рассматривать его как базис
-1 мерного подпространства, а потом применить процесс ортогонализации Грамма-Шмидта и построить 
, ортогональным подпространству натянутому на базис.
От выбора векторов ничего не зависит. Главное, что, если 
построено, то их можно взять в качестве базиса, что даёт соответствующее ограничение на n.
Это неверное утверждение. Векторов перпендикулярных векторам a и b в пространствах выше R3 просто много. Но интересующий нас перпендикулярный вектор собственно и в R3 определен лишь с точностью до умножения до константу, которую нам приходится выбирать из каких-то дополнительных соображений. В R7 возможных перпендикулярных векторов тупо больше и правила выбора нужного вектора сложнее. А в R0 и R1 все наоборот: там единственный вектор перпендикулярный одновременно двум (a) и (b) - это нулевой вектор. Да-да, нулевой вектор по определению ортогонален всем остальным. Так что R0 и R1 прекрасно работают тоже.
это не так? в 4-мерном пространстве двум векторам может быть перпендикулярна плоскость — не значит ли это, что любой вектор между двумя точками этой плоскости будет перпендикулярен изначальному вектору?
В алгебре Клиффорда определено для всех размерностей.
А что такое R0? И как там вообще живут вектора
это нульмерное пространство, то есть просто точка. То есть такое векторное пространство содержит только нулевой вектор.
Статья/карма/подписки: +/+/+
Реплика:
Чаще всего с векторным произведением мы знакомимся в курсе аналитической геометрии, где мы редко выходим в задачах за размерность три
Конечно. Если заниматься физикой (которая не "мета", а обычная - по которой ездят трамваи и летают ракеты), то в финале все расчёты - в каких бы размерностях они не вычислялись, - проецируются в "геометрию размерности три". Как говорится: все вопросы к т.н. "богу". :)
"двух", "трёх", "черырёх"... итд итп "измерения" "пространства" - это абстракции. Выдумки ума человеческого. Проверка - всё равно выход в практику: в трёхмерку - то есть в пространство с минимальным чилом компонент, совпадающее с геометрией механики. Иначе говоря: междисциплинарная теория - т.н. "теория всего", всё равно должна (с сокращеним измерений) проецироваться в R3. :)
Мы не знаем, сколько в нашем мире измерений, не забывайте. То, что мы знаем 3 пространственных и 1 временное значит лишь то, что они нам доступны.
И вообще, мерность – тоже математическая абстракция, никаких настоящих трехмерных пространств не существует. Просто металлическая модель хорошо описывает интересующую нас часть реальности.
... так же почитал телеграм, но не подписался. Минусы: слишком абстрактная информация. Не ясно, как
*
мне, я всегда говорю только своё ИМХО, а не дяди из тиливизора объективное мнение и дядину правду
всем этим воспользоваться в жизненной практике (я намекаю на "извлечение прибыли"). :)
При исследовании более практических тем типа тех же нейронок более абстрактная теория бывает полезна, а нейронки для извлечения прибыли могут пригодиться. Автора не знаю, чтобы рекомендовать подписываться, а вот "подписаться на спецкурсы кафедры алгебры мехмата" для кругозора полезно даже в применении к практическим темам. Математика не пригодится, если её не знать, а иначе вообще-то имеет шансы, даже довольно абстрактная. Так что абстракция не такой минус, минус, что сложность и порог входа высокие, и польза станет понятна нескоро, но оно того стоит.
*
Спасибо, совет хороший. Однако, загляните в мой профиль и ознакомьтесь со статьями (и, что не маловажно, комментариям): я несколько осведомлён в математике. Возможно, даже причастен к не самым последним государственным ВУЗам, где преподают последнюю.
В таком случае, вы всю жизнь извлекаете прибыль из этих и подобных знаний, в профессиональной деятельности.
Из этих знаний - ничего не извлекаю. Я даже не проверял математику (логика рассуждений мне показалась правдоподобной - и не более).
PS Я призываю авторов, производящих абстракции, приводить мотивы их создания или аргументы зачем эти абстракции нужны людям (иначе они ничем не отличаются от других "говорящих голов" из тИлИвизоров).
Имеем: "векторное произведение существует только в R^0, R^1, R^3, R^7". И что дальше? Это здесь математически доказывается?! Нет. Значит это лишь гипотеза.
(Простейший вариант: по индукции распространить закономерность на пространства N+1 измерений. И я не утверждаю, что это возможно: R^0, R^1, R^3, R^7 - уж больно здесь попахивает простыми числами.)
Далее: где в практике я могу применить эти знания?
где в практике я могу применить эти знания?
Для настоящего математика такой вопрос не стоит в принципе. Для него математика - это объективная реальность, которую он изучает, дополняет, обобщает, классифицирует и всё такое.
Для физиков и инженеров такой вопрос тоже не стоит. Их задача - строить мат. модели, а математика как мешок с инструментами. Порылся, достал, потыкал - не подходит, отложил в сторону. Достал другой - вроде подходит, но надо доработать, придумал пару новых функций и операций и пошёл думать над следующим проектом или физическим законом. А вопросы математической строгости их вообще не волнуют.
Зато волнуют настоящих математиков и те начинают возмущаться, что дельта-функция Дирака не функция, а святотатство, а дуальные числа нельзя называть числами из-за делителей нуля и вообще те не вписываются в классификацию через теорию множеств. И начинают придумывать новые понятия, чтобы всю эту непотребщину туда спихивать. Теперь дельта-функция Дирака не просто функция, а обобщённая функция, множество дуальных чисел - факторкольцо, а поэлементное умножение одинаковых матриц это произведение Адамара, потому что все свободные символы для вариантов перемножения матриц давно закончились.
>всем этим воспользоваться в жизненной практике (я намекаю на "извлечение прибыли"). :)
Вы напрямую подменяете тезис. Вас неясно не то, что утверждал автор, а то, на что вы в скобках заменили его утверждение.
В книге Geometrical Properties of Vectors and Covectors: an introductory survey of differentiate manifolds, tensors and forms (Joaquim M Domingos,) можно найти такой отрывок (глава 9, Wedge Product and Cross Product, стр. 67):
Я не особо математик и могу чего-то не знать, поэтому скажу лишь свои мысли как обывателя.
Как будто векторное произведение определёно на любой мерности, просто придётся работать с тензорами, а не векторами.
Но вообще, тогда лучше впринципе определить не тензор как результат век. произведения двух векторов, а тензор как век. произведение ноля вектороа — а потом домножать вектора на этот тензор. — То есть, определить некий тензор исходя из самого пространства.
Но вообще, если не лезть в тензоры, можно просто сказать, что век. произведение в ланной мерности N определено для N - 1 векторов.
Способ считать век. произведение как детерминант матрицы, где самая верхняя строчка это единичные векторы очень легко обобщается до многомерных пространств. Я этим в школе для своих развлечений вроде как типа и пользовался.
Только тогда в пятимерном пространстве перемножать будете не два вектора, а четыре :-)
В этом есть какие-то минусы кроме нарушения около-стереотипа о том, что раз умножение, то обязательно именно двух элементов?
К тому же такое умножение 4 векторов всё равно работало бы также как и для 3д-умножения — результатом будет пятый, вектор перпендикулярный этим четырём, при том что его длина будет соответвовать площади гиперпараллелепипеда между ними. Как минимум, поиск перпендикулярного вектора это задача очень часто реально полезная.
да и если и рассматривать только пространства где произведения могут быть только от двух элементов, с этим же вопросом было бы интересно подойти по поводу того, как понять для ккких пространств определено произведение от n элементов для произвольного неотрицательного целого n. если условно произведение от 1 элемента определено для каждого пространства, от 2 лишь для 0, 1, 3, 7, от 0 при беглом обдумывании непонятно как определять кроме как для 1- и 0-мерного пространства — и вот это типа обобщить для произвольного фиксированного числа множителей.
В этом есть какие-то минусы кроме нарушения около-стереотипа о том, что раз умножение, то обязательно именно двух элементов?
Нету. Но можно пойти дальше: обобщить на произвольный набор тензоров суммарной размерностью k≤N. Получая на выходе тензор/псевдотензор размерности N-k.
В случае двухмерных векторов ведь векторное произведение вполне определяется, и это псевдоскаляр.
Причём в принципе процесс делится на два: тензорное перемножение всех аргументов, а затем свёртка с символом Леви-Чивиты.
последний абзац я уже не понимаю, ибо так всей этой теорией не интересовался, но я просто думаю, что для N-мерного пространства можно определить N-мерный тензор, который как бы будет результатом перемножения 0 элементов, и затем уже получать то что нужно как было сказано через тензорное произведение на векторы-множители
Спасибо, интересно. Я всегда считал, что естественное обобщение - произведение n-1 вектора в n-менром пространстве как вектор длиной площадь n-1-мерного параллелограмма и перпендикулярный им, и его можно посчитать как определитель матрицы, в которой строки - координаты векторов и базис.
Но, согласно википедии, существует много вариантов обобщений, в зависимости от того, какие свойства векторного произведения мы хотим сохранить.
Из первых четырёх свойств также следуют:
а как оно следует если у вас 4 свойство буквально добавляет к правой части ещё три других члена? То бишь скалярные произведения обращаются в ноль? Или что за операция у вас под 
подразумевется?
А что вообще даёт +/- на МНОЖЕСТВЕ? направление векторов его составляющих?
ортонормированное множество.
пояснять, что это такое и чем оно сулит конечно же не надо.
то есть получается что 
и в итоге знак вовсе не нужен, ибо направление векторов их составляющих абсолютно не имеют значения? Правда непонятно почему внезапно мы начинаем перемножать множества - это же уже декартово произведение, нет?
Я думал про векторное в 7-мерном это из старой шутки про прямую перпендикулярную семи другим
Хорошая статья. Не хватило сил читать все комментарии (возможно, то, что я напишу, уже кто-либо написал). Тем не менее. Главный тезис автора следует из теоремы Гурвица о нормированных алгебрах ("Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр: действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октонионов"). Векторное произведение - это просто мнимая часть произведения в соответствующей алгебре. Подробнее: Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 143 с.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Почему векторное произведение существует только в R^0, R^1, R^3, R^7?